應用類神經網路推估二維徑向收斂流場追蹤劑試驗之延散度

國立臺灣大學生物資源暨農學院生物環境系統工程學系 碩士論文

Department of Bioenvironmental Systems Engineering College of Bioresources and Agriculture

National Taiwan University Master Thesis

應用類神經網路推估二維徑向收斂流場追蹤劑試驗之延散度

Application of Artificial Neural Network to Estimate Dispersivity for Tracer Test

in Two-Dimensional Radially Convergent Flow Field

謝宏育 Hung-Yu Shieh

指導教授：劉振宇 林俊男 Advisor: Chen-Wuing Liu Chun-Nan Lin

中華民國九十七年七月

July, 2008

謝 辭

提筆的同時，代表碩士班求學生涯得以劃下圓滿的句點，在台大兩年求學生 涯，有幸接受恩師劉振宇教授與林俊男教授的指導，兩位師長在生活上的提攜與 照顧，在專業領域上精益求精追根究底的態度，不厭其煩地提醒與指正，都令我 獲益匪淺，藉此論文發表之際，表致謝之意。

文稿初成，承蒙口試委員成功大學李振誥教授、中央大學陳瑞昇副教授與開 南大學張誠信助理教授對本論文之細心斧正，並賜與諸多寶貴意見，使論文內容 更加完整而嚴謹，在此一併致上由衷之感謝。

兩年來在地下水研究室朝夕相處的夥伴當然也不能忘記，感謝學長聖瑋、清 傑、金靖、光亮、賢宗、元耀、偉光、星賓以及學姊菁萍、蔚蔚、麗萍的鼓勵與 諸多細節的教導；同窗好友彥呂、志傑、明哲與學弟俊傑在課業及生活上的相互 扶持，以及平日在研究室的嬉笑言談，都豐富了我的生活；更要感謝行政助理卓 姊和佳右在行政事務上的協助與幫忙。因為你們的幫助讓我能順利完成學業，謝 謝各位。

在學期間父親因病驟逝，無疑給予我重大打擊，幸賴母親許麗雲女士一肩挑 起家計重擔，無怨無悔的付出關懷與愛護，才讓我能無後顧之憂地完成學業，二 十多年來母親無私的奉獻更是支持我繼續前進的動力，教養之恩沒齒難忘，在此 致上由衷之感激。

最後，謹以本論文獻給所有給予我支持與關心的人們，謝謝。

0.5≤Pe≤100 摘要

移流－延散方程式（advection-dispersion equation, ADE）為描述含水層污染溶 質傳輸歷程之控制方程式，其中延散度（dispersivity）為模擬污染溶質傳輸主要傳 輸參數。傳統上，以標準曲線套配法（type curve-fitting）套配現地追蹤劑試驗數 據推估延散度需花費大量時間，且套配精確度不易掌握，故本研究應用倒傳遞類 神經網路（back propagation neural network, BPN）結合二維徑向收斂流場追蹤劑試 驗數學模式（scale-dependent dispersivity model, SDM），建立二維徑向收斂流場追 蹤劑試驗套配模式（back propagation neural network fitting model, BPNFM），以提 高推估延散度之精確度與效率。套配模式在訓練與驗證樣本之輸出誤差顯示，尺 度縱向延散度套配模式在 及有效孔隙率套配模式在0.05≤ ≤φ 0.5之 範圍推估誤差可保持在 2%以內。而尺度側向延散度套配模式在0.3≤α_{T S,} ≤10m之 推 估 誤 差 為 5% 以 內 ， 在 0.1≤α_{T S,} ≤0.3m 之 推 估 誤 差 為 8% 以 內 ， 在

0.03≤α_{T S}, ≤0.1m之推估誤差為 10%以內，在0.01≤α_{T S,} ≤0.03m之推估誤差則為 20%以內，各套配模式在其適用範圍內均可獲致良好之輸出精確度。在鹽寮核四廠 址與假想追蹤劑試驗之數據套配結果顯示，二維徑向收斂流場追蹤劑試驗套配模 式與標準曲線套配法在不同試驗場址之套配精確度相近。而套配效率上，二維徑 向收斂流場追蹤劑試驗套配模式可大幅縮短標準曲線套配法套配過程花費之時 間，因此二維徑向收斂流場追蹤劑試驗套配模式可在具備套配精確度下有效率地 套配現地試驗數據，獲致可靠之延散度參數。

關鍵詞：追蹤劑試驗、類神經網路、尺度效應、縱向延散度、側向延散度、有效 孔隙率

Abstract

Advection-dispersion equation (ADE) describes the solute transport process in saturated aquifer, the dispersivity is the main parameter of ADE. Traditionally, the use of type curve-fitting to estimate dispersivity by analyzing the field data generally requires to a large amount of time, and the analysis accuracy is difficult to control. This study applied the back propagation neural network (BPN) model to analyze two-dimensional radially convergent flow tracer tests. The developed back propagation neural network fitting model (BPNFM) incorporates the scale-dependent dispersivity model (SDM) to automatically estimate the longitudinal and transverse dispersivities as well as the effective porosity. The prediction errors of training and validation data show that the scale-dependent longitudinal dispersivity fitting model and the effective porosity fitting model can maintain the prediction errors within 2% while the Peclet number is between 0.5 to 100, the effective porosity is between 0.05 to 0.5, respectively.

The scale-dependent transverse dispersivity fitting model can maintain the prediction errors within 5%, 8%, 10% and 20% while the scale-dependent transverse dispersivity is between 0.3 to 10 meters, 0.1 to 0.3 meters, 0.03 to 0.1 meters and 0.01 to 0.3 meters, respectively. Two field data were used to demonstrate the efficiency and accuracy of BPNFM. The BPNFM not only significantly reduces the analysis time but also yields accurate matching result by comparing to the manual type curve-fitting results. The developed BPNFM is an effective tool for analyzing the dispersivities of the field tracer tests.

Keywords: Tracer test; Artificial neural networks; Scale-dependent effect; Longitudinal dispersivity; Transverse dispersivity; Effective porosity.

目錄

摘要 ...i

Abstract ...ii

目錄 ...iii

圖目錄 ...v

表目錄 ...viii

符號說明 ...ix

第一章 前言...1

1.1 研究動機...1

1.2 研究目的...2

第二章 文獻回顧...3

2.1 追蹤劑試驗...3

2.1.1 一維徑向收斂流場追蹤劑試驗數學模式...4

2.1.2 二維徑向收斂流場追蹤劑試驗數學模式...5

2.2 延散作用之尺度效應...6

2.3 類神經網路於地下水領域之應用...9

第三章 溶質傳輸理論...11

3.1 溶質傳輸控制方程式...12

3.1.1 移流－延散方程式...14

3.1.2 溶質傳輸化學反應...16

3.2 二維徑向收斂流場追蹤劑試驗數學模式...19

第四章 類神經網路...26

4.1 類神經網路概述...26

4.1.1 生物神經元...26

4.1.2 人工神經元...27

4.1.3 類神經網路架構...30

4.2 倒傳遞類神經網路...33

第五章 二維徑向收斂流場追蹤劑試驗套配模式...39

5.1 尺度縱向延散度套配模式BPN−α_{L S,} ...40

5.2 有效孔隙率套配模式BPN−φ...44

5.3 尺度側向延散度套配模式BPN−α_{T S,} ...48

5.4 現地試驗數據套配流程...57

5.5 案例研究－鹽寮核四廠址...60

5.5.1 試驗場址描述...60

5.5.2 現地追蹤劑試驗...62

5.5.3 試驗數據套配...63

5.6 案例研究－假想追蹤劑試驗...67

5.7 綜合討論...74

第六章 結論與建議...78

6.1 結論...78

6.2 建議...79

參考文獻...80

附錄 二維徑向收斂流場追蹤劑試驗套配模式（BPNFM）...84

圖目錄

圖2.1 追蹤劑試驗井配置示意圖（a）徑向發散流場（b）徑向收斂流場（Sauty,

1980）………....4

圖 2.2 不同側向延散度之穿透曲線行為圖...5

圖 2.3 現地追蹤劑試驗資料可靠度分布（Gelhar et al., 1992）...7

圖 3.1 分子擴散行為示意圖...11

圖 3.2 機械延散行為示意圖（Bear, 1979）...12

圖 3.3 控制體積示意圖...14

圖 3.4 二維徑向收斂流場示意圖（a）側視圖（b）俯視圖（Chen et al., 2006）...19

圖 3.5 注入井邊界條件俯視圖（Zlotnik and Logan, 1996）...22

圖 4.1 生物神經元構造圖（張斐章、張麗秋，2005）...26

圖 4.2 人工神經元構造圖………. 27

圖 4.3 活化函數(a)門檻值函數(b)片段線性函數(c)S 型函數(d)雙曲線函數……….29

圖 4.4 (a)單層前饋式網路...30

圖 4.4 (b)多層前饋式網路...30

圖 4.5 反饋式類神經網路...31

圖 4.6 倒傳遞類神經網路...33

圖 4.7 倒傳遞類神經網路演算流程圖...38

圖 5.1 不同隱藏層神經元個數BPN−α_{L S,} 之誤差關係圖...42

圖 5.2 BPN−α_{L S,} 訓練階段網路輸出誤差...42

圖 5.3 BPN−α_{L S,} 驗證階段網路輸出誤差...43

圖 5.4 不同隱藏層神經元個數BPN−φ之誤差關係圖...46

圖 5.5 BPN−φ訓練階段網路輸出誤差...47

圖 5.6 BPN−φ驗證階段網路輸出誤差...47

圖 5.7 不同隱藏層神經元個數BPN−α_{T S,} −1之誤差關係圖...51

圖 5.8 BPN−α_{T S,} −1訓練階段網路輸出誤差...51

圖 5.9 BPN−α_{T S,} −1驗證階段網路輸出誤差...52

圖 5.10 BPN−α_{T S,} −2訓練階段網路輸出誤差...54

圖 5.11 BPN−α_{T S,} −2驗證階段網路輸出誤差...54

圖 5.12 BPN−α_{T S,} −3訓練階段網路輸出誤差...56

圖 5.13 BPN−α_{T S,} −3驗證階段網路輸出誤差...56

圖 5.14 抽水井穿透曲線數據套配流程...58

圖 5.15 尺度側向延散度套配流程...59

圖 5.16 四號井組配置圖...61

圖 5.17 螢光劑穿透曲線...62

圖 5.18 螢光劑穿透曲線（排除背景濃度）...63

圖 5.19 鹽寮 p4 井 BPN 套配結果圖...64

圖 5.20 鹽寮 p4 井 SDM 標準曲線套配圖...65

圖 5.21 鹽寮 p4 井 SDM 標準曲線套配結果圖...66

圖 5.22 假想追蹤劑試驗井配置圖...68

圖 5.23 假想抽水井穿透曲線...68

圖 5.24 假想觀測井穿透曲線...68

圖 5.25 假想抽水井 BPN 套配結果圖...70

圖 5.26 假想觀測井 BPN 套配結果圖...70

圖 5.27 假想抽水井 SDM 標準曲線套配圖...72

圖 5.28 假想抽水井 SDM 套配結果圖...72

圖 5.29 假想觀測井 SDM 套配結果圖...73

圖 5.30 鹽寮 p4 井套配結果比較...76 圖 5.31 假想抽水井套配結果比較...76 圖 5.32 假想觀測井套配結果比較...77

表目錄

表2.1 不同地層質地縱向延散度係數迴歸（Schulze-Makuch, 2005）...8

表3.1 無因次化參數表（Zlotnik and Longan, 1996）...25

表5.1 BPN−α_{L S,} 訓練與驗證樣本SDM輸入參數值範圍...41

表5.2 BPN−φ訓練與驗證樣本SDM輸入參數值範圍...45

表5.3 BPN−α_{T S,} −1訓練與驗證樣本SDM輸入參數值範圍...50

表5.4 BPN−α_{T S,} −2訓練與驗證樣本SDM輸入參數值範圍...53

表5.5 BPN−α_{T S,} −3訓練與驗證樣本SDM輸入參數值範圍...55

表5.6 四號井組水井資料...61

表5.7 假想追蹤劑試驗數據SDM輸入參數值...67

表5.8 鹽寮追蹤劑試驗套配結果比較...75

表5.9 假想追蹤劑試驗套配結果比較...75

符號說明

符號 說明 因次

a 常數 【-】

2 A Q

π φb

= 【L T 】 ²

A

AC 控制表面之面積 【L²】

b 含水層厚度 【L】

bj 偏權值 【-】

c 孔隙介質特性參數 【-】

C 溶質濃度 【M L 】 ³

( )

C tI 注入井孔中之溶質濃度 【M L 】 ³

dk 輸出層第 個神經元之目標輸出值 k 【-】

D 水動力延散係數 【L T 】 ²

DL 縱向延散係數 【L T 】 ²

DT 側向延散係數 【L T 】 ²

Dm 擴散係數 【L T 】 ²

eL 縱向延散尺度比例因子 【-】

eT 側向延散尺度比例因子 【-】

E 誤差函數 【-】

( )

f i 人工神經元之活化函數 【-】

Fdif 擴散溶質通量 【M L T 】²

hI 注入井混合長度 【L】

i 水力梯度 【-】

K 水力傳導係數 【 L T 】

Kd 分布係數 【L M 】 ³

L 溶質平均傳輸距離 【L】

m 尺度指數 【-】

M 注入追蹤劑質量 【M 】

n ˆ 控制表面之法線方向 【-】

netj 第 j 個人工神經元輸入加權值與偏權值總和 【-】

r 距抽水井之距離 【L】

rD 無因次徑向距離 【-】

rL 注入井與抽水井之距離 【L】

rI 注入井半徑 【L】

rW 抽水井半徑 【L】

rWD 無因次抽水井半徑 【-】

Pe Peclet number 【-】

Q 抽水量 【L T 】 ³

R 遲滯因子 【-】

S 單位土壤質量所吸附之溶質質量 【-】

t 時間 【T 】

12

t 半衰期 【T 】

tD 無因次時間 【-】

U 達西流速 【 L T 】

V 滲流流速 【 L T 】

V 控制體積之體積 【L³】

Wji 第 個輸入訊息與第i j 個人工神經元之權重值 【-】

Xe 無因次側向尺度比例因子 【-】

X i 人工神經元第 個輸入訊息 i 【-】

x 溶質傳輸距離 【L】

yj 第 j 個人工神經元之輸出訊息 【-】

α 扭曲因子 【-】

αL 縱向延散度 【L】

,

αL S 尺度縱向延散度 【L】

αT 側向延散度 【L】

,

αT S 尺度側向延散度 【L】

λ 衰減常數 【T^-1】

φ 有效孔隙率 【-】

dC dx 濃度梯度 【M L 】 ⁴

ρb 土壤顆粒密度 【M L 】 ³

θ 角度 【-】

δ ^{徑角度 【-】}

μW 抽水井混合因子 【-】

μI 注入井混合因子 【-】

η 學習速率 【-】

第一章 前言 1.1 研究動機

近三十年來全球科技快速發展，逐漸創造出人類與科技密不可分的生活型 態，然而各項產業隨科技進步的同時，卻無形中增加地下水資源的沉重負擔。地 下水污染種類繁多，包含有機化學物質、無機化學物質及放射性核廢料等，這些 污染物的常見污染來源如：工廠生產過程所排放之含毒性物質、重金屬廢水，肥 料、殺蟲劑及除草劑等農用化合物，垃圾掩埋及事業廢棄物，污水管外洩，石油 儲存槽溢出及核廢料儲存場外洩等，而污染物可經由氣相、液相及固相等不同方 式直接或間接污染地下水，造成可利用淡水水源減少，污染廠址土地失去使用價 值，甚至經由食物鏈危害人體生命健康。由於地下水污染較不易察覺，往往發現 污染現象時已造成難以估計的損害，而需花費大量整治費用及時間，如中石化台 南安順廠污染整治場址，其所在廠區的土壤、地下水、鄰近漁塭底泥及水生物均 驗出遭受高濃度之汞、戴奧辛及五氯酚污染，其鄰近七百餘戶居民血液中戴奧辛 含量平均值達一般正常水準之 2.5 倍，經估計其整治費用超過五十億新台幣（台南 市環境保護局，http://140.116.244.95/main.asp，上網日期 2008 年 6 月 7 日）。

為避免污染場址危害持續擴大，必須針對污染場址施以適切之整治措施，整 治受污染之地下水，首先必須正確掌握含水層中污染物之傳輸行為，以評估受污 染範圍及受污染程度。污染物在含水層中的傳輸過程，主要有移流（advection）與 延 散 （ dispersion ） 現 象 等 傳 輸 行 為 ， 故 工 程 應 用 上 以 移 流 － 延 散 方 程 式

（advection-dispersion equation, ADE）模擬含水層中污染溶質傳輸行為。移流－延 散方程式中延散度（dispersivity）為模擬污染溶質傳輸之主要參數。推估含水層延 散 度 須 藉 由 現 地 試 驗 量 測 出 追 蹤 劑 溶 質 濃 度 － 時 間 關 係 曲 線 即 穿 透 曲 線

（breakthrough curve），將現地穿透曲線與追蹤劑試驗數學模式產生之標準曲線加 以套配，即可求得試驗場址之推估延散度（Sauty, 1980）。然而，以標準曲線套配

（type curve-fitting）法推求延散度常需耗費大量時間，且針對不同試驗場址所量

測之穿透曲線需要個別進行套配，套配結果亦取決於工程師主觀判斷，在應用上 有套配效率不佳的缺點。因此，若能夠建立較有效率且精確度穩定的套配方式推 估延散度，將成為污染整治工作可否有效進行的關鍵。

1.2 研究目的

類神經網路（artificial neural networks, ANN）具有自動學習、歸納判斷及經驗 累積能力等優點，可處理高維度非線性問題，僅須針對問題決定輸入與輸出變數，

藉由已知資料做為訓練樣本，即可建構出輸入變數與輸出變數之映射關係。本研 究應用倒傳遞類神經網路（back propagation neural network, BPN），結合 Chen et al.

(2006) 發展之二維徑向收斂流場追蹤劑試驗尺度延散度模式（scale-dependent dispersivity model, SDM ），將類神經網路之輸入變數予以無因次化及正規化

（normalized）處理，減少輸入變數數量，建構適用於不同現地試驗條件之二維徑 向收斂流場追蹤劑試驗自動套配模式（back propagation neural network fitting model, BPNFM），以期在良好之套配精確度下提高推估延散度之效率，並做為分析追蹤劑 試驗突破曲線數據之有效工具。

第二章 文獻回顧 2.1 追蹤劑試驗

自 1905 年 Slichter 為探討溶質在地下水中之流動行為，以氯化鈉做為追蹤劑 進行試驗發現溶質延散現象後，追蹤劑試驗即廣泛應用於研究孔隙介質延散問題

（Ogata, 1970）。Guvanasen and Guvanasen（1987）與 Domenico and Schwartz（1990）

指出現地追蹤劑試驗依試驗方式不同可分為自然梯度追蹤劑試驗（natural gradient tracer test, NGTT）及強制梯度追蹤劑試驗（forced gradient tracer test, FGTT）。自然 梯度追蹤劑試驗採取在自然地下水流系統上游注入追蹤劑，下游設置觀測井監測 追蹤劑濃度。強制梯度追蹤劑試驗則藉由抽水或注水，產生遠大於自然地下水流 系統之水力梯度。強制梯度追蹤劑試驗方法包含單井注水－抽水追蹤劑試驗、雙 井注水－抽水追蹤劑試驗與多重觀測井之單井（抽 注水）追蹤劑試驗。

多重觀測井之單井（抽 注水）追蹤劑試驗依流場型式可分為徑向發散流場

（radially divergent flow）與徑向收斂流場（radially convergent flow）兩類。徑向 發散流場追蹤劑試驗係注入井連續注水產生向外發散流場，待流場穩定後於注水 井注入追蹤劑，並於注水井外之觀測井量測追蹤劑濃度變化，如圖 2.1（a）所示；

徑向收斂流場追蹤劑試驗則係抽水井連續抽水產生向內收斂流場，待流場穩定後 於注入井注入追蹤劑，於抽水井或觀測井量測追蹤劑濃度變化，如圖 2.1（b）所 示。由於徑向收斂流場追蹤劑試驗法只需利用現有抽水試驗裝置之井系統即可進 行試驗，Carrera and Walters（1985）指出若注入之追蹤劑不具吸附性及化學變化，

則理論上所有注入之追蹤劑將到達抽水井，故可做為質量守恆之檢驗，因此現地 追蹤劑試驗與數學模式發展，多採用徑向收斂流場追蹤劑試驗法。

圖 2.1 追蹤劑試驗井配置示意圖（a）徑向發散流場（b）徑向收斂流場（Sauty, 1980）

2.1.1 一維徑向收斂流場追蹤劑試驗數學模式

描述徑向收斂流場追蹤劑試驗問題之數值模式多採圓柱座標系統，建立徑向 收斂流場之移流－延散方程式，其中，移流表示溶質之平均傳輸速度，而延散則 用於解釋溶質相對於平均水流速度之變化，Carrera and Walters（1985）、Guvanasen and Guvanasen（1987）及 Wang and Crampon（1995）之研究皆發展一維徑向收斂 流場數學模式模擬抽水井處追蹤劑濃度變化，推估含水層之縱向延散度。Sauty

（1980）假設延散係數與地下水流平均流速成正比，以有限差分法求解徑向收斂 流場延散度問題。Moench（1989）假設含水層為均質、等厚度之侷限含水層或水 位變化不大之非侷限含水層，發展常數延散度模式（constant dispersivity model, CDM），假設延散度在溶質傳輸過程中為一定值，且僅考慮抽水井處追蹤劑濃度 變化，不考慮側向延散（transverse dispersion）效應，推估含水層之縱向延散度

（longitudinal dispersivity），其結果顯示當縱向延散度增加則穿透曲線之尖峰濃度 降低，而尖峰濃度到達時間則縮短。Chen et al.（1996）假設含水層為等向、均質、

均一厚度之侷限含水層，忽略分子擴散效應，考慮逆水流延散（upstream dispersion）

對溶質傳輸行為的影響，結果顯示考量逆水流延散將造成穿透曲線尖峰濃度降低 與穿透曲線之尾線向外擴散。

2.1.2 二維徑向收斂流場追蹤劑試驗數學模式

陳瑞昇（1997）指出徑向收斂流場追蹤劑試驗通常選定抽水井觀測追蹤劑濃 度，在抽水井處所測得之濃度為流經井管周圍溶質的混合，側向延散效應並未顯 現於抽水井中，因此 Sauty（1980）、Carrera and Walters（1985）、Guvanasen and Guvanasen（1987）、Moench（1989）及 Wang and Crampon（1995）等學者之研究 均將水平二維平面數學模式以一維徑向數學模式近似。然而溶質在含水層之傳輸 過程中，側向延散（transverse dispersion）效應對溶質傳輸行為影響甚鉅，Guvanasen and Guvanasen（1987）考量側向延散效應，說明溶質污染團幾何型態對追蹤劑試 驗結果之影響。Leij and Dane（1991）指出以一維數學模式推估異質性介質之縱向 延散係數時，由於側向濃度梯度之影響將導致推估縱向延散係數產生誤差。Kapoor and Gelhar （1994）、Kitanidis（1994）、Kapoor and Kitanidis（1998）及 Fiori and Dagan

（2000）均指出側向延散對於污染溶質傳輸行為有重要之影響。Chen et al.（1999）

考慮縱向及側向延散對溶質傳輸行為的影響，發展二維徑向收斂流場追蹤劑試驗 數學模式，模擬溶質在含水層中二維傳輸行為，結果顯示當縱向延散度固定下，

側向延散度（transverse dispersivity）增加時則觀測井處之穿透曲線尖峰濃度將降 低，如圖 2.2 所示。

0 2000 4000 6000 8000

0 200 400 600 800 1000 1200

Concentration

Time X = 0.2

X = 0.4 X = 0.6

: : X

L T T

L

Longitudinal dispersivity Transverse dispersivity

α α α

=α

0 2000 4000 6000 8000

0 200 400 600 800 1000 1200

Concentration

Time X = 0.2

X = 0.4 X = 0.6

: : X

L T T

L

Longitudinal dispersivity Transverse dispersivity

α α α

=α

圖 2.2 不同側向延散度之穿透曲線行為圖

2.2 延散作用之尺度效應

Pickens and Grisak（1981a）指出自 1970 年代起，孔隙介質中延散作用之尺度 效應開始受到注意，許多學者對現地追蹤劑試驗資料進行溶質傳輸數值模擬時，

顯示範圍較大的模擬區域需要較大的延散度值。Sauty（1977）在法國 Cobras 和 Mckenna et al.（2001）之現地徑向收斂流場試驗，試驗結果均顯示縱向延散度隨傳 輸距離增加而增大。此外，李維華（1994）應用廣義泰勒延散理論於水平含水層 二維溶質傳輸方程式，探討延散度之推估，並指出模擬污染物傳輸時，將延散度 視為定值並不恰當。Jayawardena and Lui（1984）、Gelhar（1986）、Yates（1992）、

Hunt（1998）及 Pang and Hunt（2001）等研究假設具尺度效應之延散度求解移流 延散方程式。

Pickens and Grisak（1981b）指出延散度為平均傳輸距離的函數，延散度之經 驗函數形式包含線形、拋物線形、漸近線形與指數形等類型，延散度函數採用的 形式需藉由與現地追蹤劑試驗資料套配以決定。Yates（1990）根據 Pickens and Grisak（1981b）假設延散度與溶質平均傳輸距離呈線性正相關，以α_L =a x表示，

並就數學上探討待定常數a之合理範圍，指出若2< ≤ ∞a ，則逆水流方向之延散作 用將大於水流方向之移流與延散作用，此時溶質傳輸行為將違背物理現象，因此 待定常數a之合理範圍應為0≤ ≤a 2。Yates（1992）假設延散度與溶質傳輸距離呈 指數正相關求解一維移流延散方程式，Logan（1996）亦假設延散度與溶質傳輸距 離呈指數正相關，考量溶質之吸附與衰減效應探討週期性邊界條件對溶質傳輸行 為之影響，Chen et al.（2003）亦假設延散度隨溶質傳輸距離呈線性關係，以 Laplace transform power series 求解一維徑向收斂流場之移流延散方程式，發展尺度延散度 模式（scale-dependent dispersivity model, SDM），其結果顯示抽水井處相同的穿透 曲線以常數延散度模式與尺度延散度模式分別進行模擬，則尺度延散度模式所採 用之延散度值為常數延散度模式之 4 倍。Chen et al.（2006）探討側向延散度之尺 度效應，並提出套配現地追蹤劑試驗資料尺度側向延散度的步驟。

Neuman（1990）搜集 134 筆現地追蹤劑試驗資料，將縱向延散度與溶質傳輸 距離繪於雙對數座標上，顯示縱向延散度與溶質傳輸距離具線性關係，迴歸經驗 式與其中 131 筆資料在 95%之信賴區間內相關係數達 0.74，迴歸經驗式如下：

0.0175 1.46

α_L = ×L （2.1）

其中 L 為溶質傳輸距離（m）

Gelhar et al.（1992）則將所蒐集的現地追蹤劑試驗資料依地質結構將資料分為 孔隙介質（porous media）及破裂介質（fractured media），且將試驗資料依試驗方 式、追蹤劑注入方式有無清楚定義、追蹤劑是否為保守性、追蹤劑濃度量測值空 間 分 布 是 否 合 理 及 試 驗 資 料 分 析 方 法 是 否 適 用 等 標 準 ， 將 資 料 分 為 可 靠 度

（reliability）高、中、低三類，並將低可靠度資料予以重新分析，如圖 2.3 所示。

圖 2.3 現地追蹤劑試驗資料可靠度分布（Gelhar et al., 1992）

Schulze-Makuch（2005）收集不同地質結構之現地追蹤劑試驗中所推估之縱向 延散度資料，採用 Gelhar et al.（1992）之可靠度分類準則對資料進行可靠度分類，

並將資料依地質材質分為沙岩（sandstones）、石灰岩（carbonate rocks）、玄武岩

（basalts）與花崗岩（granites），迴歸出不同地質材質縱向延散度與溶質傳輸距離 之經驗關係式，如下式所示：

( )

α_L =c L ^m （2.2）

其中c為孔隙介質特性參數，m為尺度指數

（2.2）式中之孔隙介質特性參數與尺度指數依個別地層材質經迴歸所得之數 值，如表 2.1 所示。

表 2.1 不同地層質地縱向延散度係數迴歸（Schulze-Makuch, 2005）

Type of medium Slope of exponent, m Medium characteristic parameter, c

砂岩（sandstones） 0.92 0.01

石灰岩（carbonates） 0.40 0.80

玄武岩（basalts） 0.61 0.15

花崗岩（granites） 0.51 0.21

2.3 類神經網路於地下水領域之應用

應用類神經網路於地下水領域的研究相當廣泛，在地下水位預測方面，Coppola et al.（2005）利用研究區域水文與氣候資料包含水位、生產井平均日抽水量、累 計三十天抽水量、三十天總降雨量與平均日溫資料做為類神經網路的輸入變數，

預測觀測井三十天後水位，並與利用相同資料以線性迴歸所推求之預測水位比 較，類神經網路所得預測結果降低 59%之水位預測誤差，並以類神經網路執行敏 感度分析，量化不同輸入變數對三十天後水位的影響重要性。Daliakopoulos et al.

（2005）則以前饋式（feedforward neural network, FNN）、輻狀基底（radial basis function network, RBF）、回饋式（recurrent neural network, RNN）等三種不同類神 經網路架構，配合三種不同之誤差修正演算法（Levenberg-Marquardt, gradient descent with momentum and adaptive learning rate backpropagation, Bayesian regularization），以研究區域 1988 年至 1998 年之降雨、氣溫、流域控制點流量與 地下水位做為輸入變數，預測時距 1、6、12、18 個月後之地下水位。

含水層參數檢定的文獻方面，Aziz and Wong（1992）利用現地抽水試驗之洩 降數據以類神經網路推估儲水係數 S、流通係數 T 及r B值（ r 為距離觀測井之距 離， B 為含水層厚度）。Rizzo and Dougherty (1994) 以倒傳遞類神經網路結合 Kriging 空間內差法推估水力傳導係數 K。陳谷榕（2005）以倒傳遞類神經網路及 輻狀基底類神經網路，結合侷限含水層中變量徑向流之 Theis equation，應用於含 水層參數檢定，將傳統標準曲線套配法推估儲水係數與流通係數之誤差由 10%降 低至 3%。Samani et al.（2007）以主成份分析（principal component analysis, PCA）

修改 Lin and Chen（2006）所發展之類神經網路輸入變數架構，權重修正演算法採 用 Levenberg-Marquardt 演算法，結果顯示透過主成份分析可將 Lin and Chen

（2006）所發展之模式輸入變數由 24 個減少至 1 個，隱藏層神經元數由 32 個減 少為 8 個，類神經網路訓練過程所需時間大幅減少約 90%，而 Levenberg-Marquardt 演算法則可降低輸出變數約 84%之誤差。

應用類神經網路結合追蹤劑試驗數學模式的文獻方面，Akin（2005）利用四 種追蹤劑試驗數學模式（multifracture model, fracture matrix model, uniform porous model, double-porosity pseudosteady state model），在已知試驗件下各模式分別製作 12 組理論穿透曲線做為倒傳遞類神經網路之訓練樣本，每組穿透曲線取 29 個點做 為輸入變數，訓練完成之倒傳遞類神經網路可對現地試驗資料進行模式優選，其 結果顯示針對不同場址的試驗資料，倒傳遞類神經網路可挑選出最適合該場址使 用之追蹤劑試驗數學模式。Yoon et al.（2007）探討污染溶質由地表進入不飽和含 水層的垂直傳輸行為，以倒傳遞類神經網路結合數值模式 HYDRUS-2D（Simunek et al., 1996）所模擬之溶質傳輸穿透曲線數據，以含水層水流流速、溶質注入過程 花費時間、注入溶質濃度、溶質注入後經過時間做為輸入變數，推估溶質到達不 飽和層底層所需時間，及不飽和層底層各時段到達之溶質質量，其測試樣本溶質 到達不飽和層底層所需時間推估值與實際值相關係數可達 0.998，溶質質量推估值 與實際值相關係數可達 0.98。

Akin（2005）與 Yoon et al.（2007）所建立之模式針對個別現地場址試驗資料 雖能獲得理想之精確度，但針對不同場址之試驗資料，則需重新以追蹤劑模式製 作訓練樣本訓練類神經網路，使用上未能兼顧不同試驗條件而較缺乏效率，且輸 入變數數量較多，因此本研究將類神經網路輸入變數予以無因次化及正規化處 理，減少輸入變數數量並擴大套配模式適用之試驗條件範圍。

第三章 溶質傳輸理論

Bear（1979）指出污染物或追蹤劑等溶質在飽和含水層中的傳輸過程，主要有 下列傳輸現象：

1. 移流：溶質隨地下水流動而被帶動的現象，其流動乃是根據達西定律

（Darcy’s law）所控制。

2. 分子擴散（molecular diffusion）：溶質污染團與周圍地下水因空間的濃度 梯度，使溶質由高濃度處向低濃度處流動的現象，如圖 3.1 所示，其傳輸 行為可以 Fick’s first law 描述。

圖 3.1 分子擴散行為示意圖

3. 機械延散（mechanical dispersion）：土壤孔隙中不同傳輸路徑間異質性所 造成溶質移動速度偏差的現象，與整個流體運動過程以及孔隙的複雜性 結構有關，主要由三種因素所造成：靠近孔隙通道路徑邊緣的液體質點 其移動速率受剪力影響較靠近通道中央者緩慢，如圖 3.2（a）；由於孔隙 大小不同的變化，使液體質點沿著較大孔隙軸向移動的速度高於較小孔 隙，如圖 3.2（b）；相鄰的液體質點會沿著不同的路徑流向不同的通道，

而這些質點可能在下一個通道再會合，亦可能持續分離更遠不再會合，

如圖 3.2（c）。

圖 3.2 機械延散行為示意圖（Bear, 1979）

4. 吸附（adsorption）：溶質離子或分子黏附到土壤顆粒表面上。溶質與土壤 顆粒間最常見的鍵結方式包含（a）凡得瓦力鍵結、（b）靜電鍵結、（c）

氫鍵結、（d）配位鍵結以及（e）疏水性吸附。

5. 其他如衰減（decay）、沉澱、生物作用等化學反應，這些現象亦影響溶質 在土壤孔隙中濃度之變化。

3.1 溶質傳輸控制方程式

地下水在含水層流動的過程中，水流通過孔隙介質時，流速與水頭損失成正 比，其水流流速依據達西定律以下式表示：

U = ⋅K i··· (3.1) 式中

U為達西流速 [L T ]

K 為水力傳導係數（hydraulic conductivity）[L T] i 為水力梯度（hydraulic gradient）[-]

然而，地下水於含水層中流動僅能通過含水層之孔隙部分，因此須考量含水 層之有效孔隙率（effective porosity）以求得水流在土壤孔隙中流動之平均線性速

率（average linear velocity），此平均線性速率稱為滲流流速（seepage velocity）或 孔隙水流速（pore water velocity），滲流流速與達西流速之關係式如下：

V U

= φ ··· (3.2) 式中

V 為滲流流速 [L T] φ為含水層有效孔隙率 [-]

污染溶質進入含水層後，由於污染團與周圍地下水因空間之濃度梯度，即使 在無流速之條件下，污染溶質仍能藉分子擴散行為移動。根據 Fick’s first law 之假 設，擴散物質在某區域中，通過單位面積的傳輸率正比於物質濃度梯度。若以一 維之擴散效應表示，即下式：

dif m

F D dC

= − dx ··· (3.3)

（3.3）式等號右邊負號代表擴散方向為高濃度處向低濃度處擴散。式中

F 為擴散溶質通量 [dif M L T ] ²

D 為擴散係數（diffusion coefficient）[m L T ] ²

C 為溶質濃度，定義為單位體積之溶質質量 [M L ] ³ dC

dx 為濃度梯度 [M L ] ⁴

孔隙介質中不同傳輸路徑間異質性所造成溶質移動速度偏差為機械延散的主 因，而實際應用上大都將分子擴散係數與機械延散係數加以合併，稱為水動力延 散係數（hydrodynamic dispersion coefficient）如下式所示：

L m

D=α V +D ··· (3.4) 式中

D 為水動力延散係數，簡稱為延散係數（dispersion coefficient）[L T ] ² αL為縱向延散度（longitudinal dispersivity）[ L ]

3.1.1 移流－延散方程式

假設含水層為均質、等向之飽和含水層，地下水流動適用達西定律，其延散 現象亦遵守 Fick’s first law，考慮孔隙介質中一代表元素體積（representative elemental volume, REV），如圖 3.3 所示。

圖 3.3 控制體積示意圖

根據雷諾傳輸定理質量守恆的觀念，在地下水流為穩態流（steady state flow）

狀態下，控制體積之質量時變率等於控制體積之淨質量變化率 D d V

Dt

∫

∫

V 為控制體積之體積 [L ] ³ nˆ為控制表面之法線方向 [-]

A 為控制表面之面積 [C L ] ² 在x方向，移流傳輸質量通量F_{x adv( )}為

( ) ^x

x adv

F =V φCdydz··· (3.6)

式中

φC為孔隙介質中單位體積之溶質質量 [M L ] ³ 在x方向，延散傳輸質量通量F_{x disp( )}為

( ) ^x

x disp

F D Cdydz φ ^∂x

= ∂ ··· ··· ···(3.7) 故在x方向，流入此 REV 之質量通量為

( ) ( )

( )

x x adv x disp x x

F F F V C D C dydz

φ φ ^∂x

⎛ ⎞

= + =⎜⎝ − ∂ ⎟⎠ ··· (3.8a)

而在 y 、 z 方向，流入此 REV 之質量通量分別為

( )

y y y

F V C D C dxdz φ φ y

⎛ ∂ ⎞

=⎜⎝ − ∂ ⎟⎠ ··· ··· (3.8b)

( )

z z z

F V C D C dydx φ φ ^∂z

⎛ ⎞

=⎜⎝ − ∂ ⎟⎠ ··· · (3.8c)

（3.8）式中負號代表延散現象使流入此 REV 的溶質濃度降低。

在x、 y 、 z 方向，流出此 REV 之溶質質量通量為

x x

F F dx x +∂

∂ ··· (3.9a)

y y

F F dy y +∂

∂ ··· (3.9b)

z z

F F dz z +∂

∂ ··· (3.9c) 此 REV 在x、 y 、 z 方向之淨質量通量為

Fx

x dx

−∂

∂ ··· · (3.10a) Fx

x dx

−∂

∂ ··· · (3.10b) Fx

x dx

−∂

∂ ··· · (3.10c) 此 REV 之總淨質量通量為

x Fy z

F F

dx dy dz

x y z

∂

⎛∂ ∂ ⎞

−⎜⎝ ∂ + ∂ + ∂ ⎟⎠ ··· ··· · (3.11)

此 REV 的溶質質量時變率為 Cdxdydz

φ^∂t

∂ ··· · (3.12) 因此非反應性溶質之連續方程式為

x Fy z

F F C

dx dy dz dxdydz

x ^∂y z φ t

⎛∂ ∂ ⎞ ∂

−⎜⎝ ∂ + ∂ + ∂ ⎟⎠= ∂ ··· · (3.13)

再將（3.8）式代入（3.13）式，可得三維移流－延散方程式

2 2 2

2 2 2

x y z x y z

C C C C C C C

D D D V V V

x y z x y z t

⎛ ∂ + ∂ + ∂ ⎞ ⎛− ∂ + ∂ + ∂ ⎞=∂

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜⎝ ∂ ∂ ∂ ⎟⎠ ∂

⎝ ⎠ ··· (3.14)

二維移流－延散方程式如下式所示：

2 2

2 2

x y x y

C C C C C

D D V V

x y x y t

⎛ ∂ + ∂ ⎞ ⎛− ∂ + ∂ ⎞=∂

⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎠ ∂

⎝ ⎠ ··· ·· (3.15)

一維移流－延散方程式如下式所示：

2

x 2 x

C C C

D V

x x t

∂ − ∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ··· (3.16)

3.1.2 溶質傳輸化學反應

溶質在含水層傳輸過程中，因不同的土壤材質、結構、土壤中生物數量、種 類與溶質種類等因素，使溶質受吸附、衰減、沉澱及生物作用等化學反應影響，

造成地下水中溶質濃度的變化，需將移流－延散方程式予以修正。

若考慮具有吸附性之孔隙介質時，則（3.16）式將改寫為

2 2

b

x x

C C S C

D V

x x t t

ρ φ

∂ − ∂ = ∂ +∂

∂ ∂ ∂ ∂ ··· (3.17)

式中

ρb為單位體積孔隙介質密度 [M L ] ³ S為單位土壤質量所吸附之溶質質量 [-]

當溶質濃度低時，可假設吸附行為呈現線性等溫吸附關係

S=K Cd ··· (3.18) 式中

K 為分布係數（distribution coefficient）[d L M ] ³ 則（3.17）式等號右邊可改寫為

b b 1

d

S C C C

K R

t t t t

ρ ρ

φ φ

⎛ ⎞

∂∂ +∂∂ =⎜⎝ + ⎟⎠∂∂ = ∂∂ · (3.19)

式中

b 1 R ρ Kd

= φ + ，為遲滯因子（retardation factor）[-]

則考慮具有吸附性之孔隙介質之溶質傳輸方程式為

2

x 2 x

C C C

D V R

x x t

∂ − ∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ··· (3.20)

若再考慮衰減（decay）反應，則地下水中溶質之衰減量可表示為

λC ··· (3.21)

其中

12

ln 2

λ= t ，為衰減常數（decay constant）[T⁻¹]

12

t 為半衰期（half-life）[T ]

而固相表面所吸附之溶質，其衰減量為

bS λ ρ

φ ··· (3.22)

故衰減項為

bS 1 bKd

C ρ C ρ CR

λ λ λ

φ φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ + ⎟= − ⎜ + ⎟= −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ · (3.23)

則考慮衰減反應之孔隙介質之溶質傳輸方程式為

2

x 2 x

C C C

D V CR R

x x λ t

∂ − ∂ − = ∂

∂ ∂ ∂ ··· (3.24)

若僅考慮沉澱、生物作用等化學反應的效應，將造成地下水中溶質之濃度變 化，因此（3.16）式修正改寫為

2

2

1 i

x x n

n

C C C

D V R

x x ₌ t

∂ − ∂ + = ∂

∂ ∂

∑

R 為 i 種不同化學反應中第n n種反應所造成之溶質濃度變化率

綜合上述，考慮吸附、衰減、沉澱及生物作用等化學反應之一維溶質傳輸方 程式可表示為

2

2

1 i

x x n

n

C C C

D V CR R R

x x λ t

=

∂ − ∂ − + = ∂

∂ ∂

∑

3.2 二維徑向收斂流場追蹤劑試驗數學模式

Chen et al.（2006）應用 Laplace transform finite difference（LTFD）技術求解二 維徑向收斂流場下之移流－延散方程式發展尺度延散度模式。假設延散度隨溶質 傳輸距離呈線性關係，並考慮側向延散效應之影響，可用於已知含水層厚度之追 蹤劑試驗分析，推估試驗場址之縱向、側向延散度與有效孔隙率。尺度延散度模 式所模擬之二維徑向收斂流場如圖 3.4 所示。

圖 3.4 二維徑向收斂流場示意圖（a）側視圖（b）俯視圖（Chen et al., 2006）

藉由位於圓柱座標（r=0,θ =0）處半徑為r 之抽水井以定抽水量（ Q ）抽_W 水，以形成一穩定徑向收斂流場，當試驗開始時將追蹤劑瞬時注入位於圓柱座標

（r= ,r_L θ π= ）處且半徑為r 之注入井。數學模式發展基於下列基本假設： _I 1. 含水層為等向、均質、均一厚度之侷限含水層。

2. 抽水所建立之穩定流場應於未注入追蹤劑前達成，水流為水平流且相對 於抽水井而言為軸對稱，而區域自然地下水流之流動相對於抽水所建立 之強制流場可忽略。

3. 追蹤劑注入過程將不改變含水層流速分佈，且注入井完全貫穿含水層。

4. 注入追蹤劑完全混合均勻分佈於注入井內，且注入井之濾網長度等於含 水層厚度，而注入井孔內之全部追蹤劑瞬間可流出注入井進入含水層。

5. 追蹤劑在含水層中傳輸行為主要藉由流向抽水井之移流傳輸和機械延散 傳輸，而分子擴散傳輸相對於機械延散為可忽略。

6. 機械延散亦遵守 Fick’s first law。

7. 注入追蹤劑濃度應較低而不致引起密度效應。

8. 追蹤劑在含水層中之傳輸過程不致與含水層中之固相表面引起吸附、衰 減、沉澱、生物作用等反應。

9. 追蹤劑進入抽水井後瞬間在抽水井內混合 (mixing)。

由於均質二維徑向收斂流場數學模式考慮等向、均質且厚度均一之侷限含水 層，其滲流流速可以圓柱座標系統描述為

V A

= − r ···· (3.27) 其中

2 A Q

π φb

= [L T ] ²

Q 為抽水量 [L T ] ³

b為含水層厚度（aquifer thickness）[ L ] φ為有效孔隙率 [-]

r 為距抽水井之距離 [ L ]

根據上述假設，則二維移流－延散方程式（3.15）式在圓柱座標可表示為

2

1 1

L T

C C C C

rD D V

t r r r r θ θ r

∂∂ = ∂∂ ⎛⎜⎝ ∂∂ ⎞⎟⎠+ ∂∂ ⎛⎜⎝ ∂∂ ⎞⎟⎠− ∂∂ ·· (3.28)

式中

C為 t 時刻（ r ,θ ）處之溶質濃度 [M L ] ³

D 為縱向延散係數（longitudinal dispersion coefficient）[L L T ] ²

D 為側向延散係數（transverse dispersion coefficient）[T L T ] ²

本模式忽略分子擴散效應，因此（3.28）式中D 與_L D 可視為滲流流速之線性_T 函數，如下所示：

L L

D =α V · (3.29a)

T T

D =α V · (3.29b) 式中

αL為縱向延散度 [ L ] αT為側向延散度 [ L ]

尺度延散度模式所考量之縱向與側向延散度隨自注入井之溶質傳輸距離呈線 性增加，其關係式如下所示：

( )

,

L L S eL rL r

α =α = − · (3.30a)

( )

,

T T S eT rL r

α =α = − · (3.30b) 式中

,

αL S為尺度縱向延散度（scale-dependent longitudinal dispersivity）[ L ]

,

αT S為尺度側向延散度（scale-dependent transverse dispersivity）[ L ] e 為縱向延散尺度比例因子（longitudinal scale-proportional factor）[-] L

e 為側向延散尺度比例因子（transverse scale-proportional factor）[-] T

r 為注入井與抽水井之距離 [ L ] L

r 為距抽水井之距離 [ L ]

將（3.27）、（3.29）與（3.30）式代入（3.28）式加以整理，可得下式：

( )

( )

( )

2 3 2

1 _L

L T

L L

A e

e A e A

C C C C

r r r r

t r r r θ r r

∂ = − ∂ + − ∂ + − ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ·· (3.31)

假設試驗進行前，含水層中無任何溶質存在，因此含水層初始追蹤劑濃度以 下式表示：

(

)

C r θ t= = · (3.32) 由於假設追蹤劑進入抽水井後瞬間在抽水井內混合，因此抽水井和其周圍含 水層交界面上之濃度梯度為零，故抽水井與含水層交界面之邊界條件，可表示為

(

)

W

C r t

at r r r

θ

∂ = =

∂ · (3.33) 追蹤劑傳輸過程之空間分佈對稱於注入井與抽水井之連線（θ =0與θ π= ），

基於數學上之便利性可只考慮上半平面，因此注入井邊界溶質傳輸之邊界條件可 表示為

( ) ( )

, , 0 0

C tI

C r t π δ θ π

θ θ π δ

⎧ − < <

= ⎨⎪

< < −

⎪⎩ · (3.34) 其中

( )

C tI 為注入井孔中與受移流現象傳輸至下游窄小區域（數倍注入井直徑）之 溶質濃度 [M L ] ³

δ 為徑角度（aperture angle）[-]，定義為δ α= r rI L，α 為流線進出注入井之 扭曲因子（distortion factor），如圖 3.5 所示。

圖 3.5 注入井邊界條件俯視圖（Zlotnik and Logan, 1996）

注入井追蹤劑初始濃度為

(

)

I

I I

C t M C

πr h

= = = · (3.35) 其中

M 為注入追蹤劑質量 [ M ]

hI = 為注入井混合長度（mixing length）[ L ] b 流出注入井之追縱劑濃度滿足質量守恆

( ) ( )

( )

2 _{I L I I I} dC t^I r b V r C t r h

α φ π dt

− = · (3.36)

由於追蹤劑濃度值C為連續且對稱於抽水井與注入井中心點之連線，故θ 方向之邊 界條件為

(

)

C r t 0 θ

∂ =

∂ · (3.37)

(

)

C r π t 0 θ

∂ =

∂ · (3.38)

將（3.31）式予以無因次化改寫為（3.39）式，其無因次化參數如表 3.1 所示

( ) ^{( ) ( ) ( )}

2 2

2 2 2

2

2 1

1 1

1 WD

T D

D

L D L

D D D D

e r

r C C C C

e r e

t r r r

r θ

∂ = − ∂ + − ∂ + − ∂

∂ ∂ ∂ ∂

− ·· (3.39)

則（3.32）式至（3.38）式之初始條件與邊界條件經無因次化後可改寫為

(

)

C r θ = · (3.40)

(

)

D WD

D

C r t

at r r r

θ

∂ = =

∂ · (3.41)

( ) ( )

, ,

0 0

I D

D D

C r t C t π δ θ π

θ θ π δ

⎧ − < <

= ⎨⎪

< < −

⎪⎩ · (3.42)

(

)

I D

C t = =C · (3.43)

( )

( )

I D I

D

C t dC t μ dt

− = · (3.44)

(

)

C r t θ

∂ =

∂ · (3.45)

(

)

C r π t θ

∂ =

∂ · (3.46)

將無因次之控制方程式（3.39）式配合初始條件與邊界條件（3.40）式至（3.46）

式以 Laplace transform finite difference 數值方法求解，可獲得二維徑向收斂流場追 蹤劑之濃度分佈。

表 3.1 無因次化參數表（Zlotnik and Longan, 1996）

無因次化參數 無因次化公式

時間

(

)

D

L W

t Qt

b r r

=π φ

− 徑向距離

D L

r r

= r

抽水井半徑 ^W

WD L

r r

= r 注入井混合（mixing）因子

(

)

I

I L W

r r h h r r μ ⁼ φ −

第四章 類神經網路 4.1 類神經網路概述

類神經網路又稱為人工神經網路，其概念是模仿人類大腦神經網路系統的運 作方式，針對人類的神經系統運作機制，簡化模擬、建構資訊處理系統，以數學 的方式建立模式，以達到如同人類大腦般具有學習、回想及歸納之能力。類神經 網路也能將大量的訊息壓縮於有限的網路參數中，對龐大訊息的分布儲存、影像 及語言等訊息的處理、平行分布的容錯性，及複雜不確定性問題的可適性等具有 強大的能力。

4.1.1 生物神經元

人類大腦中約有數百億個神經元（neuron）或稱神經細胞，每個神經元又與其 他數千個神經元連結，形成複雜的神經網路系統，人類推理與思考活動即依靠此 複雜系統運作所產生。根據神經生理學研究指出：單一神經元主要負責接收且處 理 傳 入 的 訊 息 ， 並 將 處 理 後 的 訊 息 傳 出 。 生 物 神 經 元 構 造 主 要 包 含 ： 突 觸

（synapses）、樹突（dendrites）、細胞核（nucleus）、軸突（axon）等部分，如圖 4.1 所示。

圖4.1 生物神經元構造圖（張斐章、張麗秋，2005）

27

生物神經元處理訊息之流程如下：

1. 由突觸接收其他神經元傳遞之輸入訊息，由於每個神經元對其他神經元之 連結強弱不同，因此對輸入訊息將有強弱不同之增益或抑制反應。

2. 樹突將突觸所接收之訊息傳遞至細胞核。

3. 細胞核將樹突傳入之訊息加以彙整並予以轉化處理為輸出訊息。

4. 由軸突將細胞核處理過後之輸出訊息傳至其他神經元。

4.1.2 人工神經元

如同生物神經網路的架構，類神經網路是由許多人工神經元（artificial neuron）

所組成的網路系統，人工神經元是類神經網路中最基本的訊息處理與傳遞單元。

人工神經元的構造如圖4.2 所示。

圖4.2 人工神經元構造圖

人工神經元處理訊息的流程模擬自生物神經元，主要可分為以下幾個部份：

1. 輸入向量 X（輸入訊息）：模擬其他神經元所傳遞之輸入訊息。

2. 權重向量 W（突觸）：模擬不同神經元間之連結強弱，由於每個神經元對 其他神經元所輸入的訊息具有強弱不同之增益或抑制反應，因此以權重

（weight）值做為模擬。

3. 輸入訊息加總連結∑（細胞核）：各輸入訊息經過權重值加權後，於加總連

結做線性疊加成為輸入訊息加權值總和。

4. 活化函數^{f i}

( )

單一神經元輸出值與輸入值的數學關係式可用下列方程式描述（張斐章、張 麗秋，2005）：

1 n

j ji i j

i

net W X b

=

=

∑

( )

j j

y = f net · (4.1b) 式中

W 為連結第ji i 個輸入訊息與第 j 個人工神經元之權重值 X 為人工神經元第 i 個輸入訊息 i

b 為偏權值 j

net 為第 j 個人工神經元輸入加權值與偏權值總和 j

y 為第 j 個人工神經元之輸出訊息 j

( )

f i 為人工神經元之活化函數

活化函數用以將輸入訊息加權值總和處理成為輸出訊息，常用之活化函數如 圖4.3 所示，有下列四種形式：

1. 門檻值函數 ⎩⎨⎧

<

= ≥

0 if

0

0 if

) 1

( net

net net

f (4.2)

2. 片段線性函數

1 if 0.5

( ) 0.5 if 0.5 0.5

0 if 0.5

net

f net net net

net

≥

⎧⎪

=⎨ + − < <

⎪ ≤ −

⎩

(4.3)

29

3. S 形函數

_net

net e

f _{− ⋅}

= + _α 1 ) 1

( (4.4)

4. 雙曲線函數

f(net)=tanh(net) (4.5)

上述四種活化函數中，門檻值函數與片段線性函數之輸出值範圍為

[ ]

形函數與雙曲線函數之輸出值範圍為

[ ]

[ ]

或

[ ]

-10 -5 0 5 10

0 0.5 1

net (a)

f(net)

-1.5 -0.5 0.5 1.5

0 0.5 1

net (b)

f(net)

-10 -5 0 5 10

0 0.5 1

net (c)

f(net)

-10 -5 0 5 10

-1 -0.5 0 0.5 1

net (d)

f(net)

圖4.3 活化函數(a)門檻值函數(b)片段線性函數(c)S 型函數(d)雙曲線函數

4.1.3 類神經網路架構

類神經網路之架構常以兩種方式分類，一類是依據網路的連結架構進行分 類，另一類則是以學習方式作為分類依據，分述如下：

1. 依網路連結架構分類 a. 前饋式類神經網路

前饋式類神經網路所有神經元訊息傳遞之連結方式均為向前傳遞連結，訊 息傳遞過程皆無向後或側向的傳遞連結。前饋式類神經網路又可分為單層前饋 式網路（single-layer feedforward networks）及多層前饋式網路（multilayer feedforward networks），如圖 4.4 所示，兩者的差別僅在於多層前饋式網路至少 必須含有一層或多層的隱藏層（hidden layer），由於加入一層或是多層的隱藏 層，類神經網路便可處理複雜的高維度非線性問題。

圖 4.4 (a)單層前饋式網路 圖 4.4 (b)多層前饋式網路

b. 反饋式類神經網路（feedback networks）

有別於前饋式類神經網路，反饋式類神經網路至少含有一層反饋迴圈，在 此層的神經元除將訊息向前傳遞進入下一層神經元之外，並將訊息側向傳遞給 同一層其他神經元或回傳至上一層神經元。最典型的方式為將隱藏層或輸出層 神經元輸出值回傳，做為下一階段本身或其他神經元之輸入值。反饋式類神經