通訊作者：單維彰，e-mail：[email protected]
收稿：2020 年 11 月 27 日；接受刊登：2021 年 2 月 17 日。
臺灣數學教師，42（1），1-16
doi: 10.6610/TJMT.202104_42(1).0001
符號語言學作為數學的教學進路初探—以負數 的概念模型譬喻為例
陳玉芬1 單維彰2
1國立中央大學學習與教學研究所
2國立中央大學師資培育中心
符號語言學（semiotics）對負數的學習相當具有可借鑑之處。就像「快樂樂音」
與「3 − (−2) 」都有著讀音與意義上的困擾；又像語言的學習常使用重覆性替換，
以習得語彙的意義，對照於負數的學習常進行程序性操作，以強化概念的習得；
或者像語言學習者須觀察單字在前後文脈絡中的位置，以解讀該字的適當意義，
對照於負數加減的初學者必須從算式中解讀「−」號的正確意涵，以執行正確的 程序。此外，負數在生活情境中提出的「正反」或「上下」等比喻，常忽略了負 數本身的符號特質，如「負號」的單元運算意涵，相對於「減號」的二元運算意 涵，是兩種本質不同的概念。本文參照符號語言「在組合關係與聚合關係中強調 脈絡關連性」的學習特性，發現負數的符號表徵與符號語言有著思維上的類比性，
並認為藉由結構性的「概念模型」譬喻，可作為從直觀數學到形式數學的過渡橋 樑，促進學習者建立數學結構與形式意義之間的關連性，進而讓學習者能夠具體 理解負數。這是一項探索性研究（exploratory research），意圖闡明負數在數學思 維中的複雜性和概念的豐富性，同時藉由「概念模型」譬喻分析負數相關的教與 學。
關鍵詞：負數、符號語言學、概念模型、譬喻
壹、 前言
語言溝通是每個人皆具備的生活能力。以英語為例，它是一種國際上通用的自然語 言，而數學是一種精確描述數量形的人造語言。雖然二者都可「視」為一種語言，但它 們卻是二種完全不同的學科語言（Leshem & Markovits, 2013）。前者是自然語言，它會 因為國家、地域、種族的不同而有所不同，但學習者只要身處其境，有著相同社會脈絡，
就能自然地習得該種語言（Li & Wang, 2013）。後者是人造語言，它是由人類刻意發展 出來的，因為要與跨文化的他人溝通，而且還有特定的功能目的，所以它強調形式、邏 輯與精準。這些特質使得數學語言相對濃縮與精練，甚至每一組符號句式都有更深層的 意義。這就是數學本身給予的數學語言障礙，也是造成部分數學學習者的學習障礙。顯 然在數學這門 「語言」上，許多人是較無法與生俱備「語感」又能與他人溝通無礙的。
縱然如此，英語、數學二者之間仍存在著語言、文化、思維等不同形式的直接關係（Li
& Wang, 2013; Whorf, 1956），例如 Whorf 認為語言不是只有字詞和發音的集合，它可透 過字詞的字尾組合關係，歸納不同形式的發音模式；類似地，算式中的「−」號，隨著 位置不同，其讀音與運算的意義亦皆不同，如「−2 − 3」。Li 與 Wang 也指出人類大腦探 索這二種語言之間的傳遞方式，其關鍵在於兩種語言的思維模式（thinking pattern）具有 相似性，也就是說這兩種語言皆使用概念結構來處理所接收的語言訊息。
自然語言的特徵之一，就是經過時間長河的蘊釀，它們都是在所處的社會環境脈絡 與不同時空交織所發展出來的語言。有其特定性，比方說，英語、法語、華語等。但縱 然語言有所不同，瑞士語言學家索緒爾（Ferdinand de Saussure, 1857-1913）認為各種語 言系統內的各個元素彼此的關連性是相通的。他以橫向的組合關係（syntagmatic relation）
與縱向的聚合關係（paradigmatic relation）說明語言學習的關連性。所謂橫向的組合關 係是指對語意的了解，可從前後語境（co-text）確立語感的正確度，另一個縱向的聚合 關係可以用來確認語法使用的正確度。索緒爾認為語言的學習在某種程度上是從一起出 現的元素中覺察其產生的意義。就好像一個交通號誌紅燈亮起，所有的用路人都知道要 停下，這時紅燈不只是一個符號的形式，同時更賦予了要停下的意義。所以索緒爾認為，
要理解一種語言，不僅僅是把它視為一種形式，更要能捕捉那形式與意義之間的關連。
若用語言理論來理解數學語言，則它的語言是符號、概念、定義以及定理，我們可 以說它是一種世界的共同語言。正因為是共通的語言，所以它需要有著大家可以共同遵 循的規範或共同認可的表達方式，因此它需要刻意學習。Hiebert 與 Carpenter（1992）
認為：理解數學就是理解數學脈絡下所使用的數學符號語言。而維高斯基（Vygotsky, 1896- 1934）的符號學習理論，其核心思想正是符號語言學（semiotics）與中介（mediation）
的概念，Albert、Corea 與 Macadino（2012）更認為維高斯基的符號學習理論非常適用於 詮釋數學的學習情境，因為數學的概念形成過程不可或缺的一部分就是涉及符號
（symbol）的使用，如數學符號 𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ，它們都是傳達概念的符號。理解數學知識就 是能夠獲得這些知識的內在表徵，而這些有結構性的內在表徵需要透過外部表徵連結而 習得。所以不論語言學習或數學學習，所強調的就是概念本身的關連性，才能讓習得的 概念根深蒂固。
「負數」是學生邁入國中學習階段遇到的第一個新檻（Fuadiah, Suryadi & Turmudi, 2017），負號亦是七年級階段要學習的新符號。國內教科書中負數教學順序通常是：認識 負數在生活上的應用，諸如氣溫、方向或進退等二分法概念；然後有相反數、數線概念 進入數的大小比較；接著就是正、負數的四則運算（洪有情，2020；陳宜良、單維彰、
洪萬生、袁媛，2005）。負數教學研究也有很多都是嘗試將負數歸因於某種有意義性的行 為，以解決負數的合理性問題（Altiparmak & Özdoan, 2010）。然而學生在學習負數時，
還需要調適由自然數擴充到含負整數、負分數、負小數等更大範圍的數的概念學習（林 保平，2005；Altiparmak & Özdoan, 2010）。「−」號本身同時具備兩種概念，即「負號」
的單元運算（unary operation）概念，以及「減號」的二元運算（binary operation）概念
（Vlassis, 2004; Vlassis, 2008; Bofferding, 2014）。例如「−2」讀作負二，此時的「−」號 是負號，它指涉的是−2的屬性：包括它小於 0，在數線的位置落於原點的左側二單位長 處；負號也是單元運算符號，表達−2與 2 的「相反義」，此概念具有幾種心相（亦即「譬 喻」的方式），包括它們在數線上彼此對稱於原點（symmetry），或者它們彼此是對原點 的鏡射（indication of inversion）。相對而言，「2 − 3」讀作二減三，此時的「−」號是減 號，它指涉的是從第一個運算元2 扣除（下降）第二個運算元 3。
本文的目的即在於透過對「符號語言」學習的理解與掌握，運用「符號語言」學習 中的聚合關係與組合關係的脈絡關連性，連結負數的多元性概念，並以「概念模型」譬 喻進行負數的策略性教學，提出學習「負數」時相關的概念思維，以及一個可以呈現學 習者對於負數概念具體理解的方法。
貳、 文獻探討
一、符號語言學
衛友賢（Wible, 2005）對於瑞士語言學家索緒爾（Ferdinand de Saussure, 1857-1913）
將語言視為一種關連性的系統，有著完整的描述，茲引用於下（Wible, 2005, p. 29／陳玉 芬、單維彰譯）：
索緒爾以其深刻的想法，給幽微難解的抽象化語言概念─朗格（langue）─提供一套可理解的說 明。朗格不將語言視為字詞和發音的集合，而將它視為關係的系統。朗格是結構主義的語言觀 點，此觀點認為語言是一個系統，在此系統中，每個元素只能透過它與包含它的更大結構內之 其他元素的關係而獲得理解。索緒爾主張這個範圍更廣闊的符號系統理應成為獨立的研究對 象，而他稱此研究領域為符號學（semiology）。他隨後認為語言學（linguistics）作為一種特殊 符號系統的研究，理應被視為符號學的一個次領域。
這說明索緒爾認為語言是一種結構系統，在人們意識深處的語言結構，共通於所有 人類使用的語言，不管他所用的是哪一種語言。在語言系統之中，各個符號指示（sign）
是相互關連並具有意義，而意義必須要有共識，這就是一種認知層面。Wible（2005）認 為索緒爾的符號不是指某事或某物，它是形式（form）與意義（meaning）之間的一種關 係。索緒爾將符號分成二個概念：符號具（signifier）以及符號徵（signified），如圖 1。
圖1 的上層是具體的，或是可聽到、可看到的信號，又稱為所指物（signifier），例如字 符「犬」或它語音；圖1 的下層是所指物的心靈意象或意義（signified），而這是一個抽 象的概念，例如「狗」的意象或概念。所謂的「符號指示」正是這二者之間的一種關連 性，一旦產生聯結就不會分開了。這樣的關係強調的是語言的學習著重在符號與抽象之 間的「關連性」。即應辨識此符號指示所具備的意義，而此意義要形成共識才能交流，也 才能繼續學習進而提升認知層面，這是語言本身具有的結構性。
圖1 符號（sign）的形式與意義關連性
接著，索緒爾提出應該如何學習一種語言的方法。他認為語言中抽象層次的概念學 習是極其複雜的，他以二種具體的面向，分別是橫向的組合關係，與縱向的聚合關係來 做說明（林信華，1999）。所謂橫向的組合關係是指對語意的了解，可以從前後語境（co- text）確立語感的正確度。因為索緒爾認為一個單詞的意義，在某種程度上是從與單詞一 起出現的元素中衍生出來的，它們可以靠著彼此的出現覺察其產生的意義；也就是說這 符號的排列順序是有意義的，或者說這符號的意義是與其他相關符號的前後關連所產生 的。例如，僅看「−」符號並不能決定它的意義，但是將它放在「3 − 2」或「−2」的排 列裡，就有明確的意義了。Cruse（1986）也提到，一個詞彙的意義都應在適當的脈絡且 符合語法的語義情境中來解讀。對應到負數的學習過程，小學剛畢業的學生看到「3 − 2」
就像「狗吠火車」那樣地自然，可是「2 − 3」就像「火車吠狗」那樣地唐突。
索緒爾提出的另一個面向則是縱向的聚合關係，它可以用來確認語法的正確度。例 如將「3 − （ − 2）」的第一個符號「−」換成「+、×、÷」都是合法的，可是第二個符 號「−」卻只能換成「+」而不能換成「×、÷」。而語言學習即在於語言特質上尋找符號 或樣式之間關連性，在學習策略上強調語境（橫向脈絡）及語法（縱向脈絡）的雙向脈 絡。
此外Whorf（1956）亦認為在英語的字彙學習中，應透過觀察 cat、lip 或 pig、lamb 或noise、horse 等這些字尾發音是有聲或無聲，進而去理解為何字尾加上 s 後的讀音會 轉成不同的 s 或 z 或 iz，甚至像 leaf、wife 字尾加上 s 要變形。此即所謂的「樣式符號 表示式（pattern-symbolic expressions）」，說明語言的學習，也是要透過觀察、分析與演 繹。對應到負數的學習，就是提倡以觀察實境中的大量的例子當作學習的起點，而不鼓 勵以定義和規則、公式當作學習的進路。
除此之外，索緒爾亦認為符號具有「任意性」（arbitrary），就好比「玫瑰不叫玫瑰，
依然芬芳」。同樣地，在我們約定俗成地學習使用一個「−」號代表數學上的負號時，它 只是作為溝通的符號，然而當我們使用「負號」或「減號」來指稱某個概念意義時，它 是具有一些我們能指認的必要特性。
總結而言，語言符號雖然不等於數學，但的確與數學的學習方式有相似之處，值得 用來作為數學教學進路的參照。
二、數學的符號語言學習
維高斯基（1962）認為符號語言學就是「符號指示」或其他工具在溝通過程中的一
種研究。Albert 等人（2012）亦指出，整合一個概念形成的過程，包含許多「符號指示」
的使用，其目的就是為了模擬人類內在思維的行為，然後形成人腦中一個新的對應聯結
（Ghassemzadeh, 2005）。其具體陳述如下（Albert et al., 2012, p.7／陳玉芬、單維彰譯）：
人們藉由「符號指示」導引與控制其思維運作的大方向，並藉此引出問題的解決方案。一開始，
符號的角色僅是與其他人產生外在社會聯結的媒介，也就是作用於人與人之間的心理互動。然 而，到了後來「符號指示」成為影響自我思維活動的媒介。
也就是說我們可以透過「符號指示」的譬喻，理解內在的思維，甚至形成不可逆的抽象 概念，也就是維高斯基所指產生質變功能。
維高斯基認為人類心智在學習過程中的改變，是可以觀察的。Albert 等人（2012）
即以此理論對照於數學的學習，並舉幼童學習為例：即使幼童已能數數 1、2、3、…、
10，這樣的行為表現也許是透過模仿，並不表示他們已學會「數」的概念；但是當他們 對著某些對象能夠依序數數並正確回答數量時，則顯示他們理解了數的有序性與量的概 念，也就表示習得「數」的關係性了，此時才表示他們學會了「數」的概念。就好像在 負數的學習過程中，學習者總能將「負負得正」琅琅上口，此表現也許源自於模仿，未 必表示真正理解負號的關係性，所以才會發生類似 (−3) + (−5) = (+8) 的謬誤。
這也正是使用「符號指示」表徵來彰顯智能發展樣貌的契機：因為我們無法控制或 看見個人的智能，所以透過這些譬喻的表徵，讓思維被看見。維高斯基（Vygotsky, 1978）
認為當個人使用推論的工具傳達他自己的內在想法時，其「符號指示」是有所譬喻的，
他認為透過具體的工具表徵所傳達的意義，可以映射其內心的思維。這與索緒爾認為如 何理解一種語言的理論是不謀而合的，兩者皆認為概念的形成不能僅僅被視為一種形式，
更要能捕捉那形式與意義之間的關連。亦如Skemp（1976）在闡述的形式與意義之間的 關連性中，引入「關係性理解」此術語。他認為關係性理解就是一種質性觀察，它是可 以促進自我成長的有機體，就像一棵延伸其根的樹木，可以探索新的領域並尋找營養。
借用語言之類比的數學學習理論，還有Hiebert 與 Lefevre（1986）認為數學知識可 分為程序性知識（procedural knowledge）與概念性知識（conceptual knowledge），且「概 念知識的每一個單位，絕不可能是孤立的資訊片段」（洪萬生，2003）。此論述與 Skemp
（1976）闡述的形式與意義之間的關連性亦是不謀而合的，說明數學概念的學習實應著 重於概念間的關連性。
綜合上述，透過對語言的認識，再對照於數學自身精簡語言的特質，可以理解在數 學學習時，不論是為了表達從學習活動中發展出的新概念而引進的新符號，或是擴充舊 符號的意義使其延伸至新的概念，或是為舊符號釐清過去不需分辨的概念差異，識別文 本脈絡及發展適當概念的連結譬喻，都有助於對此數學主題的理解。
三、「概念模型」譬喻表徵
「模型」（model）是數學教育中常常使用的一個術語，它被荷蘭的真實數學教育
（realistic mathematics eduction，簡稱 RME）詮釋為：「模型在真實或可想像之真實、非 形式理解、系統性的形式理解之間，扮演橋樑的角色」（van den Heuvel-Panhuizen, 2003, p.13／陳玉芬、單維彰譯）。本文所指的「概念模型」是作為抽象數學概念之表徵的具體 物或可想像的物件。例如直尺是正數的概念模型，數線是將正數與負數整合在一起的概 念模型。而「譬喻」（metaphor）則是在模型上對應抽象概念所做的具體描述（Ernest, 2010）。 此外，當我們在數線上標示負數時，數線僅為概念模型，但是當我們使用數線上的移動 作為加減運算的譬喻時，或者當我們使用 3 與 −3 在數線上對稱於 0 的關係作為「相 反數」之譬喻時，數線本身也成為一種譬喻。
Lakoff 與 Núñez（2000）認為譬喻涉及兩個領域：「來源域」（source domain）和「目 標域」（target domain），如圖 2。Lakoff 與 Johnson（2003／周世箴譯，2006）認為在符 號語言學習中，隱喻就是一種思維現象，是指通過一個事物來理解和體驗另一個事物，
是一個從來源域到目標域的映射，亦即在原有意義的基礎上通過隱喻思維獲取不同的擴 展意義。也可以說譬喻是詮釋一種符號或模型與概念之間的相關性，使之與個人內在無 法看見的思維做連結。
圖2 教師與學生運用譬喻的相對性
以「2 − (−3)」的算式為例來說明，因為教師已經具備負數運算的知識，所以「2 − (−3)＝2 + 3 = 5」即為教師的數學知識來源域；當她／他企圖為此運算設計一套譬喻，
用來幫助學生理解此運算程序，這套譬喻就是她／他的目標域。假設教師的設計是將
「2 − (−3)」譬喻為「從數線上 2 的位置朝箭頭的反方向（即向左）後退 3 格」，則此 譬喻式的行動規則，成為學生所接收的訊息，而它成為學生學習負數運算的來源域。根 據此來源域，學生得知運算結果是 5，但是學習的目標並非習得那一套譬喻，而是透過 譬喻而最終理解「2 − (−3)＝2 + 3 = 5 」，所以它就是學生的目標域。值得注意的是，
學生透過譬喻之來源域獲致的理解（也就是學生的目標域），未必等同於教師的來源域
（假設那是正確知識）。所以教師要設計活動，讓學生有機會再透過譬喻而作更多往返 映射的表達；如此的循環表徵，即可檢視其教學譬喻是否有效。Kilhamn（2011）認為，
如果來源域與目標域之間的映射關係無法形成，譬喻就不存在。
Damerow（2007）亦提出透過「來源域」和「目標域」的譬喻教學，可以讓思維看 得見，並將此種譬喻表徵分成二個不同層次，第一層次就是操作一種藉由符號或是轉換 規則組成的模型的具體物件，使之可作為表徵真實的抽象物件行為。最基本的形式就是 具體物的識別（identification），比如透過使用詞彙或符號指示進行命名活動，其至做分 類。又如在「數數」方面，是可以利用具體物與實際的真實數字概念作一一對映。像伸 出手指數到 5 （符號或文字），那麼手指就是具體的真實物件，它對應到 5 這個表徵的 抽象物件。亦即他們用數數到 5 （真實的動作）與手指（真實物件）將 5（抽象的物 件）連結了。再來觀察 5 + 2 = 7 此式子，因為仍只是將手指數相加，所以它仍屬於第 一層次表徵，將之對照於負數教學，在數線上做前進或後退的動作，相當於以具體物與 負數的加減法做譬喻，所以負數的加或減的概念屬於第一層次表徵。或是 −(3) = −3、
−(−3) = 3、+(−3) = −3 或 −(+3) = −3 等的反轉指示，都可透過數線操作（真實動 作）及「負即相反」口訣完成負號化簡的性質，都屬於第一層的表徵理解後的抽象物件。
第二層次（或更高階）則是以「心智模型」（mental models）的譬喻來表徵。它們也 是由符號或由符號和轉換規則組成的模型所組成，然而此「心智模型」則是透過自己的 想法並針對真實物件作抽象思考後，表徵出個人的反思抽象思維。舉例來說，針對 5 這 個數字本身的特質描述，比方說：√5、52、− 5 等，則屬於後設認知本質的抽象物件
（√5、52、− 5）與抽象物件 5 的連結，因為此時的 5 並未具有數手指的意義，所以 說已經從另一個數學物件及想法中抽離而建立新的知識概念結構，此為具有第二層次表 徵能力。同樣的以負號「−」為例，2 − (−3) = 2 + 3 = 5 的減法運算，若是仍在數線上 操作，則仍為第一層次表達，若是建立在內心思維的運作而不是數線上的操作，則屬於 第二層後設認知的抽象物件連結，而−(𝑎𝑎) = −𝑎𝑎、−(−𝑎𝑎) = 𝑎𝑎 的抽象操作亦然。
也就是說，第一層次與第二層次表徵的最大不同，在於模型譬喻表徵的不同。前者 利用具體物表徵內在的抽象思維，後者則利用抽象模型表徵所對應的後設認知的抽象思 維。所以，一個物件若是透過具體物操作，進而連結至抽象概念屬於第一層次表徵；若 是透過比較、對應、組合與重覆的反思動作所建構，或數學的證明、數學的結構以及形 式化邏輯數學概念都屬於第二層次的後設認知抽象物件。
參、 負數之「概念模型」譬喻舉例
本文指涉的「概念模型」即為一種表徵，也是溝通工具，用來作為由具體物轉化至 抽象概念間的橋樑。在此模型上執行的活動，以及活動後獲致的理解，若與學習目標知 識有所關連或對應，則是一組譬喻。以負數的教學為例，本文欲以數線上（相對於原點）
的對稱關係，以及數線上的前後移動，並搭配「負」與「相反」在詞語經驗上的類比性，
作為初學者建立負數及其運算知識的一組「概念模型」譬喻。前文已經在圖2 之後略述 此概念模型，此處將其整理於表1。
表1
負數知識與概念模型之「譬喻」舉例對照表
教師來源域（數學知識）／學生目標域 教師目標域（概念模型）／學生來源域
加（+）號 二元運算／朝數線箭頭方向前進或後退
減（−）號 二元運算／朝數線箭頭相反方向前進或後退
正（+）號／性質符號可省略 性質符號（正的）／前進（順指示方向）
負（−）號 性質符號（負的）／後退(逆指示方向)
「朝向數線箭頭方向前進」 加一正數，如：2 + 3 = 5
「朝向數線箭頭方向後退」 加一負數，如：2 + (−3) = −1
「朝向數線箭頭相反方向前進」 減一正數，如：2 − 3 = −1
「朝向數線箭頭相反方向後退」 減一負數，如：2 − (−3) = 5
「負」非「減」 單元運算與二元運算之間概念的差異。
如：−2 − 3可以正確讀出「負 2 減 3」
「負」就是「相反」 能理解有反轉的指示，如：−(−3) = 3
「減」是「加相反」 完成二元運算的化簡，
如：2 − (−3) = 2 + 3 = 5
在學習負數概念時，對於「負」的詮釋是學生重要的認知發展。在我國課程中，初 學負數的7 年級學生，抽象思維能力尚未強健，但日常語言經驗已經相當豐富，因此本 研究試圖以語言的類比作為設計譬喻的主要方法。例如「『負』即『相反』」就是一種話 語的譬喻，用來提醒學生，當「−」號的讀音是「負」時，它就具有將某種性質做「相 反」或「反轉」的功能。
最基本的譬喻式教學例子是負數在數線上的位置，此處強調的是學習者可以應用既 有的「相反」經驗，以類比的方式理解一個新概念，如圖3。
圖3 說明「負」就是「相反」的概念譬喻
借鑑於符號語言的抽象概念學習方式，可應用橫向的「組合關係」與縱向的「聚合 關係」，作為負數教學的策略。舉例而言，運用縱向語法結構的替換進行程序性操作，如 圖4，可確認新概念的習得，並藉由觀察歸納進行負號化簡。
圖4 負號單元運算的聚合關係舉例
此外在負數教學中，「−」號也具有二元運算的概念，如同符號語言中的多義詞必須 透過語境中的脈絡與形式連結。比方說，「3 − (−2)」其讀音的不同，即連結著「−」號 概念上的差異。如圖5 中的 式讀作三減負二，但是 式卻讀作負三減二，透過這 樣的語境察覺「−」號的不同意義，它不僅是一種書寫的語言，也是溝通的語言。當書 寫的「−」號讀作「負」時，它是性質符號，讀作「減」時，即轉換為運算符號，因此 有「『負』非『減』」的提示語，即用來提示這兩種不同的概念。透過橫向的語境脈絡組 合關係，說明在符號語言的學習中可作為提供另一類型的脈絡學習。
圖5 負號二元運算的組合關係舉例
接著，圖 5 中 式的 −3 + 2 與 式的 −2 + 3 ，雖然數字互換，非但其值不 同，同時牽涉有號數的交換律。正如同前文所提「狗吠火車」與「火車吠狗」其情境脈 絡上的合理或荒謬性。像這些的橫向組合（聚合關係）不僅呼應其自然情境脈絡，而這 些「概念模型」譬喻，更是維高斯基提出的「中介概念」，他認為「中介概念」是形成概 念的不可或缺的過程。
數學語言之所以複雜，部份原因是因為除了在符號閱讀上造成障礙之外，數學本身 的性質，亦有其特殊性（Larsen, 2012）。在本研究中，將「減」譬喻為朝向數線箭頭的 相反方向（參見表1），「正」譬喻為前進，「負」譬喻為倒退。例如 −1 − 2 就是從 −1 的位置開始，朝向數線箭頭的相反方向前進 2 格，到達 −3 的位置，連結−1 − 2 = −3 的抽象概念，如圖6（左）；而 −3 − (−3) 則是從 −3 的位置，朝向數線箭頭的相反方 向後退 3 格，到達 0 的位置，連結 −3 − (−3) = 0 的抽象概念，如圖 6（右）。
圖6 「減」與「正」、「負」在數線上移動的譬喻
正如同Usiskin（2015）所指出知識理解概念是一種多元性維度的理解，當負數的二 元運算表徵為 3 − (−2) 時，除了在數線上的譬喻之外，它必須發展某種字詞（word）
或話語（discourse）或物件來描述「負數」的複雜關係，以進行抽象代數的運算。此時 使用「『減』是『加相反』」的譬喻，使得3 − (−2) = 3 + 2 = 5，使其同化至舊經驗上，
進而讓這些字詞可以影響他們對「負數」理解的變化。
而這樣的概念模型譬喻，在負數教學過程中亦可透過數線觀察，提供學習者反思「比
0 還小的數」的存在性，而圖 7 的數線模式可作為一種進階表徵，代表了正負數是由左 至右有序的遞增，且自起點0 開始分割為正數與負數，這也恰當表徵了 0 作為中性數的 特性。
圖7 連續數線及中性數 0 的說明
此外，在這樣的譬喻中，可以提出對於0 的二種數學結構關連性。其一，0 是絕對 的，因為在0 以下的數絕對是負的；其二，0 是相對的，因為可以數線任一點做為起點 0，且具有二個相反的方向。而透過 0 − (−3) ，觀察學習者是否可以理解就是 0 + 3 = +3，這可以說明學習者是否已從具體操作（減相反數就是加），提升至抽象思維進而理 解 0 的存在與負數之間的大小關係。這些教學策略都是可運用樣式規律的觀察理解其 間的關連性。
肆、 結論
負數學習不僅針對其負號情境描述學習，學生若仍未意識負數與自然數間的差異，
或是未理解負數已是一種擴張的／人為的觀念與工具，那麼其思考層次仍將停留在自然 數的概念。概念性的高層次思考是有必要教學的，本文的探討焦點即在符號語言的認識 下，強調負數的知識關連性概念。
以負數為例，可以討論的關連性有三。其一是單元運算符號的概念，即「負號」代 表的是此數字本身的性質符號，含有相反的意義，例如 −(−3) = 3 不過就是「相反再 相反就還原」，亦好像「以0 為中心，從 3 的位置鏡射再鏡射」就又回到原來的位置。
其二是透過「『負』非『減』」的提示語，強化二元運算符號的概念，即加是朝向數 線箭頭方向前進或後退，而減是朝向數線箭頭相反方向前進或後退，此二者概念是奠基 於正數加減法的舊經驗上。而數的正負屬性（性質符號）則透過正負對稱性指示進入整 數的擴張，因此在負數的算式化簡時，則以「『減』是『加相反』」的譬喻，讓學習者開 始進行抽象性連結的運算學習。
其三是「負的相反義（反轉指示）」，亦即任一個負號的數都在該數的相反位置，在 此關連概念中，更能在數線上具體理解比 0 小的數存在性；亦能將 0 為中性數的性質
概念化，甚至可以抽象至任何一個點皆可做為一個起始點，並找出任一數的相對位置。
這樣的數學結構性概念一旦形成，它就如許多建構數學思想的積木（block）一樣可以堆 疊而上，那麼當我們形成這樣的瞬間跳躍時，就表示已從操作性概念遷移到結構性概念，
而這樣的跳躍一旦形成，即代表知識已往上積累，而且可望長期保留。
本研究旨在運用譬喻層次的學習即話語（discourse）的轉化，說明善用符號語言的 特性，讓負數性質對應自然語言（中文）的譬喻，作為從直觀數學到形式數學的過渡，
並提供學習者以話語表達數學概念的學習情境。透過概念模型的譬喻，期望協助學習者 理解並內化數學的結構，以此提供負數教學的另一種策略，也作為未來進行實徵研究之 理論基礎。
誌謝
感謝兩位審查委員的建設性意見，使本文大幅聚焦。本研究受科技部109 年度專題 研究計畫「數學識讀文本研究—以發展七年級的閱讀文本策略為例」補助（MOST 109- 2511-H-008-002）。
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