坐标系与参数方程

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坐标系与参数方程

普通高中课程标准实验教科书

湖南教育出版社

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选修－

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普通高中课程标准实验教科书 数 学

4 4

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坐标系与参数方程

普通高中课程标准实验教科书

选 修 4-4

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主 !! 编 ! 张 景 中 ! 黄 楚 芳 执行主编 ! 李 尚 志

本册主编 ! 王 树 禾

编 !! 委 ! 郑 志 明 ! 查 建 国 蒋 星 耀

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坐标系种种和美丽曲线的数学描述

!!大自然恩赐我们众多漂亮的图形^!人类在生活^"生产与科学研 究当中又创造了不少美妙的曲线#!"世纪以前^!数学家们梦寐以求 用代数的方法来描述与定量研讨形形色色的曲线# 人真不愧为万物 之灵^!我们的前人如笛卡儿^"费马等杰出数学家^!创立解析几何^! 建立平面与空间的直角坐标系^!使得几何学代数化的理想得以实现#

坐标系是现代数学活动的舞台^!但有的曲线在直角坐标系中不便于 解析表达^!另类坐标系应运而生^!主要有^!平面^"极坐标系和^!空间^"

柱坐标系与球坐标系# 对于给定的几何对象^#选择适合于它的坐标 系是至关重要的事^#选得不好^#会使研究工作别扭繁琐^$选得好^# 则使研究工作简洁顺利#

我们已经知道^#在直角坐标系当中^#用有序的两个实数表示平 面上点的位置^#用有序的三个实数表示空间点的位置^#进而有平面 曲线的方程和空间曲线的方程#

除平面直角坐标系与空间直角坐标系之外^#是否还有其他坐标 系呢^% 有# 本书重点讲授极坐标系^#也讲到空间的柱坐标系和球坐 标系# 采用不同几何意义的参照物^#可以建立各种坐标系^$不同的 坐标系有各自的优缺点^#极坐标可以把一些曲线表达得十分简洁^# 给某些曲线的表达与研究带来诸多方便#

有些平面曲线的方程可以在平面直角坐标系中写成动点的纵坐 标!是动点横坐标"的函数或称曲线的普通方程# 但也存在大量的 美丽而有用的曲线^#它们的方程不便于甚至不可能写成普通方程^# 可以通过一种叫作参数的中介而写成方程组^#如果把这种参数记成

#^#则曲线的方程组形如

"$!^!"#^#

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这种方程组就是曲线的参数方程#

参数方程是描述曲线的重要工具之一^#参数方程描写曲线有许 多方便之处^#我们将采用参数方程来讨论许多有用又有趣的重要 曲线#

本课程的重点是极坐标和曲线的参数方程#

通过本课程的学习^#不仅使我们尽情感受数学的艺术性^#欣赏 那些奇妙的曲线及其方程^#而且还会强化我们在实践中应用数学的 意识和解决问题的能力#希望同学们从各种坐标系与参数方程的建 立当中领会发散思维与创新思维的重要性^#提高数形结合的观念和 技巧^#在数学园地上^#不仅是欣赏者^#而且努力使自己成为耕耘者 和收获者#

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目 ! 录

第!^章!^坐标系

"

!!!"!!坐标系的作用

"

!!!"#!平面直角坐标系中的伸缩变换

"

!!!"%!极坐标系

"

!!!"$!极坐标与平面直角坐标的互化

"

! 阅读与思考 ! 一些重要平面曲线的极坐标方程 "

!!!"'!柱坐标系

"

!!!")!球坐标系

"

!! 习题!!

"

数学文化 ! 数学家阿基米德和他的螺线 "

"

!!#"!!从抛物运动谈起

"

!!#"#!直线的参数方程

"

!!#"%!圆锥曲线的参数方程

"

!!#"$!平摆线及其参数方程

"

!!#"'!渐开线及其参数方程

"

!! 习题!"

"

! 阅读与思考 ! 美丽曲线种种 "

! 数学实验 ! 用计算机和教具绘制展现各种曲线 "

数学文化 ! 数学家卡丹和帕斯卡 "

课程总结报告参考题

"

附!^{录 !}

数学词汇中英文对照表 "

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笛卡儿企图通过坐标系给几何引进新方 法， 他的成就远远超出他的期望． 坐标系是数 学中的双刃剑， 使得几何的目的可以通过代 数达到， 反过来， 给代数以几何解释． 坐标系 使代数同几何结成伴侣， 它们互相吸取新鲜 的活力， 以快速的步伐走向完善．

——

—拉格朗日

第 章

坐标系

１

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"

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!!如何刻画一个图形 的位置和形状是几何学 的重要内容#

! "!!

在广袤无垠的平面上^!你可以把圆规张开^!使其两脚相距

!$%&!画一个圆^#但若问这个圆在哪里^!你可以指着它说就在这 里^!"这里^#是哪里呢^$ 很不精确^# 如果我们在此平面上取定以圆规 固定的一脚为原点的平面直角坐标系^%'()*+,-)./%00.123)*/+4+5

*/&&!则可用方程

!^"6"^"7!$$ !

精确地代数地表达出它是一个圆心在坐标原点^!半径为^!$%&的圆^! 见图^{! !#}

有了坐标系^!不仅使几何图形的位置得以精确描绘^!而且可以 使曲线的形象用代数方程来表达^#

图! !

有了坐标系^!我们可以把单位圆内的点组成的集合^$!简洁地写成

$!7 '%!!" "!& ^"6"^"#!()

把由半径为^!与^"的两个圆心在原点的同心圆围成的环形内部的点组

成的点集^$"简洁地写成

$"7 '%!!" "!#!& ^"6"^"#8(#

有了坐标系^!才能写出曲线等几何图形的代数表达式^!进而通 过对这个代数方程的研究^!得出该曲线的几何性质^# 例如我们写一 个方程

"7!^"68!69! "

正因为有了坐标系^!我们说这个方程^"代表一条抛物线^%见图! "&!

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图! "

而且^!由代数的恒等变形得

" 7!^"68!69 7%!6"&^"6!!

从而知^!$7;"时!"最小^!最小值是"^$7!!即此抛物线最低点在

%;"!!&!对称轴为^!7;"!抛物线开口向上等几何性质^# 上述几 何性质^!是有了坐标系之后^!借助代数的方法得到的^!反过来^!这 种在坐标系中代数地对几何的研究^!又反馈给代数^!使我们凭借图

! "这种坐标系中的图象与^!轴无交点^!推断方程

!!有了坐标系^!实现 了几何代数化和代数几 何化^!使代数与几何双 双受益#

!^"68!697$

无实数根等代数结论^#

坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物^# 我们知道^!一条直 线上的点的位置可以用一个实数来标志^!例如在^!轴上^!我们容易 指出^!7!这个点在何处⁾在平面上的点的位置要用两个有序实数!!

"组成的有序数组^%!!"&来确定⁾空间中的点则需用三个有序实数

!!"!#组成的有序数组^%!!"!#&来确定^#

例如问一架直升机的位置现在在哪里^!我们发现它在东经^!"$<!

北纬^89<!距地面^!$$$&!可以用三个数组成的有序数组^%"_:#!# 8!

!$$$&把直升飞机的位置确定^#

又例如问你家吊在天花板上的灯泡位置在哪里^!我们测出它距 地板"&!距东墙"&!距南墙^"#9&!约定用有序三数组^%"#9!"!

"&来标志灯的位置^!以地板上的东南角^%为原点^!向北为^!轴

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正向^!向西为"轴正向^!向上为^&轴正向^!则建立了空间直角坐标 系%!"&)空间中的点^%例如吊灯^&与有序数组^%!!"!&&一一对 应^!例如上面的吊灯位置为^%!!"!&&7 %"#9!"!"&! %"#9!"!

"&就是吊灯的坐标^#

有了坐标系^!才使代数与几何学相结合^!使这两门重要学科都 受益^!从而双双获得长足进步^!创造了解析几何等现代几何学⁾有 了坐标系才能通过解析表达式深入研究函数^!进而促进了微积分等 现代数学的创生与发展^#

我们必须掌握各种坐标系对点的位置的表述规则^!进而科学地 研究各种曲线等几何对象的数学性质^!通过坐标系中函数图象直观 地与数学地分析^!得出各种函数的重要性质^#

! "#!

伸缩变换我们其实已经不止一次地遇到过^!例如"7+23"!的图 象就是把^"7+23!的图象平行于^!轴压缩成原来的一半形成的^!见 图^{! :#}

图! :

其中实线是"7+23"!的图象^!虚线是"7+23!的图象^#

曲线"7+23"!上的任意一点^{'( %!(!"(&!}都是曲线"7+23!

上唯一的一个相应的点^{' %}!!"&沿^!轴平移变成的^!!(!"(与^!!

"之间满足关系式

!(7!

"!!

"(7"

$

%

& #

!

!!"7+23!平行于!

轴压缩或拉伸后^!振幅 不变^!但其周期会发生 变化#

!!伸缩变换是!%"平 面到自身的一一对应的 映射^!把!%"平面上的 每个点^%!!"&变成与 之对应的点^%!(!"(&#

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例如"7+23"!上的点^'(

% &

% &

而成的^#

考虑函数"7"+23!!它的图象则是由"7+23!的图象平行于"

轴拉伸^"倍变成的^!见图^{! 8#}

图! 8

曲线"7"+23!上的任意一点^{'( %!}(!"(&都是曲线"7+23!

上唯一的一个相应的点^{' %}!!"&沿"轴平移变成的^!!(!"(与^!!

"之间满足关系式

!(7!!

"(7""

$

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& # "

!!"7+23!平行于"

轴拉伸或压缩后^!其周 期不变^!但振幅会发生 变化#

一般地^!变换公式

!(7!!

"(7)" %)'$

$

%

& &! $

把^!%"平面上的点^%!!"&变换成^!%"平面上的一点^%!(!"(&! 这种变换称为平行于"轴的伸缩变换^%(/3=*>/3)31+>0.*/3)(*/.5 3)*/&# 当)'!时是拉伸过程!$#)#!时是压缩过程^!所以名符其

实称为伸缩变换^#

相似地^!变换公式

!(7*! %*'$&!

"(7"

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把!%"平面上的点^%!!"&变换成!%"平面上的一点^%!(!"(&!

这种变换称为平行于^!轴的伸缩变换^!当*'!时是拉伸过程^!$#*

#!时是压缩过程^#

在伸缩变换过程中^!原点是不动点^!即原点^%$!$&变成原点

%$!$&)当^)7!!*7!时^!公式$与%表达的伸缩变换下每点都是 不动点^!即每点变成自身⁾除此之外^!即)(!!或*(!时^!除原点 外^!每点都移动了位置^!图形发生了伸缩^#

伸缩变换^$把直线变成直线^!事实上^!设已知直线

"7)$!6+

在变换$之下^!此直线变成直线

!!有时称伸缩变换为

"压缩变换^#!把拉伸视 为广义的压缩#$也称 为向着!轴压缩变换^!

%也称为向着"轴的压 缩变换#

!!伸缩变换把平行直 线变成平行直线#

!

)"(7)$!(6+!!!"(7))$!(6+)#

截距与斜率都扩大了⁾倍^# 同理伸缩变换^%把直线变成直线^# 例!!已知正方形,-.$!,!-!.!$的坐标分别是^%"!"&!

%;"!"&! %;"! ;"&!%"! ;"&!问在伸缩变换^!(7!!

"(7!

"

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& "与

!(7!

"!!

"(7

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的作用下^!正方形^,-.$分别变成什么图形^$ 解!按变换

!(7!!

"(7!

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图! 9

计算!, !!% " 7 "!& % "&变成^{,( !}%(!"( 7 "!& % ! !-& %!!" 7&

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. !!% " 7. ;"!& % ;"&变成^{.( !}%(!"( 7&

;"!

% ;! ! $& %!!" 7 "!& % ;"&变成

$( !%(!"( 7 "!& % ;! !& 由于直线变成直线^! 正方形^,-.$ 变成矩形^,(-(.($(!见图

! 9#

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同理^!在变换

!(7!

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作用下^!正方形^,-.$变成矩形^,/-/./$/# 见图^{! 9#} 所得图形是 正方形^"压扁^#了一半形成的^!面积是原来正方形的一半^#

例#!在伸缩变换

!(7"!!

"(7

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与伸缩变换

!(7!!

"(7"

$

%

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作用下^!单位圆变成什么图形^$ 解!在伸缩变换^!(7"!!

"(7

$

%

& " 的作用下^!单位圆^!"6"^"7!变成

!!伸缩变换把圆变成 圆或椭圆#

!!由于伸缩变换是可 逆的^!其逆变换也是伸 缩变换^!所以伸缩变换 把椭圆变成圆或椭圆#

图! ?

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!(^"

"^"6"(^"

!7!#

变成的图形是长半轴为^"!短半轴为

!的椭圆^!见图^{! ?#}

图! @

在伸缩变换^!(7!!

"(7"

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& "的作用下^!单位圆变成椭圆

% &!(^"6% &"(^"

"^" 7!#

见图^{! @#}

因为伸缩变换把直线变成直线^!所以伸缩变换 把多边形变成边数一致的多边形⁾伸缩变换不能实 现曲线段与直线段的互变^!例如它不能把圆变成正方形^#

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! "$!

为确定平面上点的位置^!平面直角坐标系不是唯一的平面坐标 系^!有时^!用一种叫作极坐标^%B0().%00.123)*/&的平面坐标来描 述点的位置和某种轨迹更为方便^# 例如甲问乙^*张庄在哪里^$ 乙 答^*在从我们站的这里向东北^9C&的地方^# 乙回答的就是张庄的 极坐标^#

在平面内取一定点^%!%点叫作极点⁾从^%起引一条射线^%!!

这条从极点起的射线^%!叫作极轴⁾选定长度单位^%例如C&&!再选 定角度的正方向^%逆时针转角为正向^&!这种取定了极点⁺极轴⁺长 度单位与角度正向的坐标系统叫作极坐标系^# 对于平面上的一个点

'!连接极点^%与^{' !}线段^%' 之长_$叫作^' 点的极径^%或矢径⁺ 或向径^&!极轴^%!为始边按逆时针转到^%' 的角%叫作^' 点的极角^! 有序数对^%$!%&叫作^'点的极坐标^# 例如上面的张庄其极坐标为

9!#

% &

图! A

当^'在极点^%时^!它的极径_$7$!极角%可以取任何实数^# 在极坐标中^!若无特殊声明!$是非负实数!$) $!6D, &!

%) ;D!6D% &#

当$'$!%) $!", #&时^!平面上的点与极坐标一一对应^#

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极坐标有诸多长处^!下面我们会重点来讨论^!但它也有它的缺 点^!例如它并不像平面直角坐标系那样^!能建立与平面上的点的一 一对应^# 事实上^!对给定的$与^%!由极坐标^%$!%&可以唯一地确 定一个点^'!但是反过来^!平面上给定一点^!却可以写出这个点的 无数多个极坐标^#根据点的极坐标^%_$!%&的定义^!对于给定的点^! 它的极径_$是唯一确定的^!但极角却可以有无穷多种^!如果我们写出 了它的极坐标^%_$!%&^!则^%_$!%6"0#&也是这个点的极坐标^!其中

0是任意整数^#当^0'$时^!%6"0#表示从该点起绕极点^%逆时针转 动了⁰圈又回到原处^!0#$时^!%6"0#表示从该点起绕极点^%顺时 针转动了⁰圈又回到原处^#

!!一些环绕一点旋转 的点的轨迹用极坐标方 程来表示一般会比较 简便^#

在极坐标系中^!许多曲线的方程变得十分简洁^!而且几何形象 也表达得十分明确^# 所谓曲线¹的极坐标方程是指¹上的动点的极 坐标的极径与极角满足的方程_$72%&%或_{3 $!}^% % 7$#^&

%!&过极点直线的极坐标方程^#

在平面直角坐标系中^!当直线斜率存在时^!过原点^%的直线方 程形如

"7)!!

其中⁾是实数^!叫作斜率^#)7*)3%!%是此直线与^%!轴的夹角^!这 个角是多大^!一般从⁾上不易看出来^!需要计算^).%*)3)# 但在极坐 标中^!我们取^%!轴正半轴为极轴^!则过极点^%的射线方程写成

%7%$ %%$) $!", # &&#

如果我们允许极径取负值^!约定_{' $!}^% %^&关于极点对称点^'(的 极坐标写成_{'( ;$!}^% %#^& 于是过原点与^!轴夹角为%^$的直线^*的极 坐标方程为

**%7%$# !

图! E

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如图^{! E}中与^!轴夹角为^?$<

% &

%7# :#

%"&圆心在极点的圆的极坐标方程是

$74^$! "

其中^4$是圆的半径^#

%:&圆心在极轴^!过极点的圆的极坐标方程^#

!!方程_$74^$的含义 是动点的向径恒为4$!

是个常数⁾而方程中_$

74$无极角%!表示%

可以任意变化^!当向径

$是常数^!极角任意时^! 即动点保持与%点等距 地转动^!这正是圆规在 画圆#

图! !$

在图^{! !$}中画的是过极点^!其中心在极 轴的圆^!设其半径为^4$#

设此圆上任取的一点^'的极坐标为^%_$!

%&!由于^%, 是直径^!所以*%', 7E$<!

于是

%'

%,7%0+%!!! $"4$7%0+%#

从而得_$与%满足的方程为

$7"4$%0+%# $

方程$即^%:&中所说圆的极坐标方程^#

%8&阿基米德螺线的极坐标方程^#

一个动点^'随时间的增加绕定点^%逆^%或顺^&时针匀速绕动^!同 时离^%点越来越远^!它远离^%点的直线距离也是匀速增长的^# 如果 把^%点定为极坐标的极点^!' 与^%点的直线距离就是向径_$!转角 就是极角%!由于_$与%的增大都是匀速的^!设_$的增速为5!%的转 速为^&!因为$的增加与^%的增加所用的时间是一致的^!设开始时^! 动点在极点^!则时间⁶为

!!!!!!!67$57%

& %5!&($&!

!!!!!!!$75

&%#

一般地^!将上式写成

$7!% %!($&# %

%是上述动点所描曲线的极坐标方程^!见图^{! !!#}

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图^{! !!}画的是!'$的情形^!如果!#$!则绕动按顺时针进行^!

!'$与!#$的图象关于"轴对称^#

图! !!!$7% :

%式表达的曲线叫作阿基米德螺线^%+B2.)(%-.F/&!由于它向径

图! !"

的扩张与转角的变化皆为等速的^!所以也称其为等速 螺线^#

!!从阿基米德螺线的 极坐标方程中^!你感受 到极坐标的长处了吗^$

%关于阿基米德和他的 螺线^!请参看本章结尾 的数学文化#&

利用等速螺线的性质^!可以制成把匀速转动转化 成匀速直线运动的机械凸轮装置^!见图^{! !"#} 图中曲 线^,.--与^,$--是对称的^!都是等速螺线上的一段曲 线^!分别对应!'$与!#$!凸轮由^,经^.匀角速转 到^-时^!从动杆匀速上推^!继而匀速下降^!往复运动 不已^# 其中^%是极点^!1是此机构的传动轴^#

! "%!

在平面上的同一个点^!它的平面直角坐标^%!!"&与极坐标^%_$!

%&之间有什么样的换算公式^$ 同一条曲线^!它在平面直角坐标系中 的方程为"72% &! 或^{3 !!%} " 7$!^& 在极坐标系中的方程为$7'%&% !

如果知道其中它的一种方程^!如何换算出另一种方程呢^$

我们把极轴与平面直角坐标系!%"的^!正半轴重合^!且两种坐标系 取相同的长度单位^!设^{7 !!%} "^&是平面上的任一点^!见图^{! !:#}则

!7$%0+%!

"7$+23%

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图! !:

从!可得

$7 !槡^"6"^"!

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!与"是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标^%!!"&与 其极坐标^%_$!%&之间的换算公式^#

用坐标间的换算公式!与"!可以对同一曲线的平面直角坐标 系中的方程与极坐标系中的方程进行互化^#

例!!在平面直角坐标系中^!把曲线的方程^!"6"^";"8!7$化

成极坐标系中的方程^#

解!把!7$%0+%!"7$+23% %$($&代入方程^!"6"^";"8!7$得

$%0+

% %&^"6 $+% 23%&^";"8$%0+%7$!

$^"%%0+^"%6+23^"% ;"& 8$%0+%7$!

$;"8%0+%7$!

$7"8%0+%# $

方程$我们在前面得出过^!它是圆心在极轴上^!半径为^8!过极

点的圆的极坐标方程^# 事实上由^!"6"^";"8!7$得

!^";"8!68

% ^"&6"^"78^"!

%!;8&^"6"^"78^"# %

容易看出!%恰为中心在^%8!$&!半径为⁸的圆在平面直角坐 标系中的方程^!此圆过极点^!圆心在极轴上#!!

从例^!我们看到^!通过公式!可以把曲线的直角坐标方程化成极 坐标方程^#

例#!已知曲线的极坐标方程$7 9:

!;9%0+%!求此曲线的直角坐

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!!!!:

标方程^!其中⁹与:是正的常数^# 解!方程_$7!;9%^9:_0+%写成

$79$%0+%69:# &

把_!7$%0+%与_{$7 !}槡^"6"^"代入&!得

!^"6"

槡 ^{"79!6% :#&}

两端平方得

!^"6"^"79^"%!^"6":!6:^"&79^"!^"6":9^"!69^":^"!

!;9

% ^"&!^"6"^";":9^"!;9^":^"7$# ' '即此曲线的直角坐标方程^#

下面对⁹的不同取值方程'表示何种曲线进行分析^#

%!&$#9#!时^!!;9"'$!由'得

$7%!;9^"&!^"6"^";":9^"!;9^":^"

7!^"6 !

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即$#9#!时^!'式表示一个椭圆^#

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即^97!时^!'式表示一条抛物线^#

%:&9'!时^!9";!'$!于是由^'得

$7;%9^";!&!^"6"^";":9^"!;9^":^"

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(^"7!#

其中(^"7"^"%9^";! #& 这时方程'表示双曲线^# 由上述分析可知^!极坐标方程

:7 9:

!;9%0+% %9'$!:'$&

是椭圆⁺抛物线与双曲线这三种圆锥曲线的统一的极坐标方程^#

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阅读与思考

一些重要平面曲线的极坐标方程

!!对数螺线!

图! !#

满足极坐标方程

!$"%^#" !"#"&"

的平面曲线叫作对数螺线^#其图象如图

! !#所示^!

!!正是运用了极坐标 方程^#才能简捷地得出 对数螺线的几何性质^'

!!玫瑰线的极坐标方 程提供了分析绘画玫瑰 线的极大方便'

对数螺线的最重要的性质是所谓

$等比性^%&从极点出发的任一射线^$%与 对数螺线的交点列^!从^$点向外排列^# 动点的出发点为^!_!#" $ "#^" ! & ""

'#%()#%(!#%&#%!#%)#'

则线段长序列

'#$%()#$%(!#$%&#$%!#$%)#' !

是以^%)#"为公比的等比数列^'

事实上^#任取整数^&#则

$%&$"%^{# #!*)&""}#!$%&*!$"%^{# #!*)!&*!"""}#

其中^#是射线^$%与极轴的夹角^#于是

$%&*!

$%& $"%^{# #!*)!&*!"""}

"%^{# #!*)&""} $%^)#"'

即^%)#"是序列!的公比^'

沿此螺线顺时针转动时^#趋于极点^$'

"!玫瑰线^!+,-%./+0%"!

!!"玫瑰线!$"-12)"的图象如图^{! !"}所示^!

考虑"# &#

(

)

₍

₎

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!!!!3

!$"-12)"

图! !"

算出_!&$"-12)"^&# &#( " #) 当"^&$"

#时#!^&

$"-12"

)$"#!^&$"是!的最大值^' 又因!$

"-12)"的值在

₍

₎

₍

₎

#对称的^#如图^{! !}_{3#!! "& $!}

! "

&!所以在第一象限玫瑰线_!$"-¹²⁾"的第

图! !3

一瓣是关于^"$"_#这一射线对称的图形^#且 与^'#(轴相切于^$点^'

考虑"# "

)#

(

) ! "

)$

&#!! "" $"-12)"$&#当"# "

)#

!

"

!!"" $"-12)"$&'

按我们前面关于极坐标的规定^#当_!$&时^#以^!!#""为极坐 标的点) !#! ""的位置应如下确定^&设^*点的极坐标为!%!%#

""#作射线^$*#使得^&'$*$"#在^$*的反向延长线上取一点^{) #} 使得_%$)%$%!%'

!$".,-)"

图! !4

由上述规定^#我们对"# "

)#

(

)

再由^-12)"的周期是^"#第一瓣旋转^"得第三瓣^#第四瓣旋转^"

得第二瓣^' 于是画出图^{! !"'}

!)"玫瑰线_!$".^,-)"的图象如图^{! !4} 所示^!

!5"玫瑰线!$"-125"的图象如图^{! !6} 所示⁷

!#"玫瑰线_!$".^,-5"的图象如图^{! !8} 所示⁷

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!!!!4

!$"-125"

图! !6

!$".,-5"

图! !8

!""玫瑰线_!$"-^12#₅"的图象如图^{! )&}所示⁷

!!熟悉的正弦函数或 余弦函数在极坐标中起 着举足轻重的作用⁺美 丽复杂的玫瑰线们在极 坐标系中的方程只是简 单的正弦或余弦函数式

!$"-12#"或_!$".,-#"7

!3"玫瑰线_!$"-¹²⁶"的图象如图^{! )!}所示^'

!$"-12# 5"

图! )&

!$"-126"

图! )!

#7心脏线7

图! ))

极坐标方程_!$"!^!*.,-""!"'&"表 示的曲线叫作心脏线^#图^{! ))'}

考虑直径为^"的圆^#此圆过极点^$#

一条直径在^$'轴上^#点^*在此圆周上^# 则^$*$".,-"#动点⁾ 的向径%$)%$

"!!*.,-""$"*".,-"$"*%$*%#可见 所谓心脏线^#是满足%$)%$%$*%*"

的动点的轨迹^'

从方程!$"!!*.,-""分析^#心脏线上点的向径的最大值是^)"#

最小值是^&' 由于^.,-"是偶函数^#即^.,-#$.,-!(""#所以心脏线

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!!!!6

关于^$'轴对称^'

$7双纽线7

极坐标方程!⁾$)"⁾.,-)"表示的曲线叫作双纽线^#其中常数"'&!

如图^{! )5}所示^'由于!⁾(&#所以^.,-)"(&#可见双纽线夹在^($

9'两条直线所形成的对顶角内^#关于^$'轴对称^!由于!^{$9 )}槡^"*

.,-)

槡 ^"#所以双纽线上点的向径可取负值^#由我们对!( ! #""

之规定知双纽线关于^$点对称^#形成双纽^!蝴蝶结^"形状^'

图! )5

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!!!!8

! %&!

到圆形体育场去看体操锦标赛^#你坐的位置可以用三个数据来 确定^#一个是座位与赛场中心的水平距离_!#一个是看赛场中点时视 线与向北方向的夹角^"#一个是座位的高度^+#有序三数组^!_!#"#

+"即可唯一确定你的座位^'

一般而言^#若⁾是空间一点#$'(+是空间直角坐标系^#),是

图! )# ) 向'$(平面作垂线的垂足^#以^$为极

点^#以^$'轴为极轴在'$(平面上^),的 极坐标为^!!#""#而⁾点在直角坐标系中 的坐标为^!'#(#+"#则称^!!#"#+"为

)点的柱坐标^!.:;12<%+.,,+<12=>%"#这 种坐标系称为柱坐标系^#见图^{! )#!}给

了柱坐标^!!#"#+"#则可唯一地确定一个点^)' 在柱坐标中^#

!# &#*?( "#"# (?#*?! "#+# (?#*?! "'

由平面直角坐标与极坐标的互化公式^#得空间直角坐标与柱坐 标的互化公式

!!点)的柱坐标中的

!表示)在以+轴为轴 以_!为底面半径的柱面

)上#+$+表示) 点 距'$(平面的距离^!高

!低^"度^"#"表示⁾点 与+轴确定的平面"与 平面'$+的夹角#)点 是柱面*#平面"与平 行于'$(平面高度为+

的平面的公共点' 因为

)在柱面*上^#所以名 曰柱坐标'

!!柱面上的曲线^#可 以考虑用柱坐标方程来 刻画'

'$!.,-"#

($!-12"#

+$+

+ ,

- !

当动点绕定直线旋转时^#用柱坐标刻画动点的位置与轨迹一般 比空间直角坐标系方便一些^'

例!一只蚂蚁沿半径为^!的圆柱面螺旋式地上升^#设空间直角坐 标系的⁺轴即此圆柱的轴^#此蚂蚁在⁺轴方向匀速上升的速度为

-'&#匀速绕⁺轴转动的角速度为$'&#求^.时刻蚂蚁所在的点的 直角坐标与柱坐标^'

解!设开始时^!.$&"蚂蚁在^%!!#&#&"点^#如图^{! )"'.}时 刻^#蚂蚁爬到⁾点^#)点的空间直角坐标为^!'!."#(!."#+!.""#

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)!!!&

图! )"

) 点在'$( 平面的投影为

),!'!."#(!."#&"#于是

'!."$%$),%.,-"#

(!."$%$),%-12"

+ ,

- '

又"$$.#%$),%$!#故

'!."$.,-$.#

(!."$-12$. +

,

- '

于是^.时刻蚂蚁所处的点⁾ 的空间直角坐标为

!'!."#(!."#+!.""$!.,-$.#-12$.#-."' )点的柱坐标为

!!#"#+"$!!#$.#-."'

对于上述例题^#显然采用柱坐标比空间直角坐标更简明更方便^# 而且从柱坐标上可以看出这只蚂蚁每时每刻距轴^$+皆为常数_!$!#

第二个坐标数据"$$.则清楚地表明它在^.时刻已旋转了多大的角 度^#从第三个坐标数据^+$-.清楚地表明它在^.时刻的高度^#这些情 形表明蚂蚁是沿图^{! )"}中的空间等进螺旋线爬行^#所谓等进是指它 等速上升又等速转动^'

! %'!

让我们从地球的经纬度谈起^' 地球近似一个球体^#过南极北极 的直径^/0与英国伦敦格林威治天文台这个点确定的平面#与地球表 面相交形成的圆上含格林威治天文台的半圆叫作^$本初子午线^%#上 述平面#绕地轴^/0旋转所得平面_%与地球表面的交线在南北极间的 弧线叫作子午线^#也叫经线^' 设本初子午线向东的子午线¹是平面_% 形成的##与_%之间的不大于^!6&@的夹角为"^!#则称¹是东经"^!的子 午线^' 同理有西经"⁾的子午线^#&@."⁾.!6&@' 东西经^!6&@是同一条子 午线^#叫作^$国际日期变更线^%#它通过美俄之间的白令海峡^'

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)!!!!

取定地球表面一点^)#过⁾作平面&与赤道平面平行#&与地 球表面的交线叫作纬线^#纬线上一点与地球中心^$所连直线与赤道 平面的夹角'叫作⁾ 点的纬度^#北半球的点的纬度叫作北纬度^#同

图! )3

理有南纬度^' 北极是北纬^8&@#南 极是南纬^8&@'

如果一地点^!例如北京^"所在 的经度为东经^"@!#纬度为北纬

'@!#则说此地的位置为^!东经^"@!# 北纬_'^@!"#事实上应写成^!2#东 经"@!#北纬_'^@!"#其中²是地球的 半径^#见图^{! )3!}

! !) 点在以2为半 径^,中心在原点的球面 上#) 点在) 点与+

轴确定的平面上^#此平 面与'正方向夹角为"#

)点在顶点为原点^#半 顶角为₍的以+轴为轴 的圆锥面上^#)点是上 述球面^,平面与锥面的 公共点^#有序三数组

!2#"#("就是)点的 球坐标^#因为其第一分 量2表示点)在半径为

2的球面上^#所以称

!2#"#("为球坐标'

它是平面极坐标系中添 加了一个角度分量₍而 向空间的推广^#故球坐 标也可称为空间极坐标'

我们看到^#按上述定义的东经

度^,西经度^,南纬度^,北纬度^#取地球半径和一个经度数值^,一个 纬度数值^#可以刻画地球上任何指定点的位置^'

数学家沿用这种经度^,纬度的方法创立了所谓球坐标系^#即把 东西经度^"统一成"# (?#*?! "#把两种纬度统一用(替代#(

# &#( " !) 在图^{! )3}中^#空间中任取一点^)#连接线段^$)#$点 是空间直角坐标系的原点^#过⁾ 作'$(平面的垂线^#垂足是^),#

连接线段^$),#则称^$)的长是⁾ 点的矢径^!向径^"#以^$'轴为始 边逆时针为正的"$&'$),的大小为⁾ 点的^$经度^%#以^$+轴为始 边($&+$) 的大小为⁾ 点的^$纬度^%#称有序三数组^!2#"#("

为点⁾的球坐标^!A=;;.,,+<12=>%"#它与平面极坐标系有相似之处^# 只不过点的位置需要有序三数组来标志^#球坐标比平面上点的极坐 标多了一个角度_(#所以球坐标也称空间极坐标^#其中2#

&#*?

( "#"# (?#*?! "#(# &#( "')

若图^{! )3}中⁾点的直角坐标为^!'#(#+"#则^!'#("是点

),在'$(平面直角坐标系中的坐标^#由平面上的极坐标与直角坐标 的关系知

'$%$),%.,-"$2,.,-"#

($%$),%-12"$2,-12"

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