槡 ( !

即炸弹从投出到落地耗时为

槡

^{!(.$弹着点为}

"&!# !.

槡

^{( !}

即炸弹向前沿水平方向运行了^!#

槡

^{!(.才落地爆炸$}

由'解得^%&_!^"

#

!代入$&%

!(%^!消去参数^%得

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"!!!"

$&(

!!^!#

"^!' (

(是顶点在原点^#的抛物线方程^$

! "!!

^{直线的参数方程}

过"#$平面上定点^&#""#!$^##!与^"轴正向夹角为!的直线

"9*+/#/如何用参数方程来表达^*

!!角!的始边是在"

轴上向" 轴正向的射 线^!按逆时针方向转至 直线^/$

几何问题多以角度 为参数建立参数方程^! 也可用别的变量为参数$

向量&"#& 的长度

&#&

" 随^& 点的变 化而变化^!是一个变 量^!我们把它记成% '

设& ""!$#是这条直线上的动点^!见图^{! "!}过^&作与$轴 平行的直线^/%!过^&#作与^"轴平行的直线^/!!/%与^/!交于⁰点^'由 于

图! "

!&^"#&&#&^"1#&"#

&""!$#1""#!$^##

&""1"#!$1$^##$

于是^!当"'"^#时^!

!!!!!"1"^#& &^"#& '()!!

$1$^#& &^"#& )*+!$

取向量的长度^&"#& 为参数^!得直线^/上从^&#向右行的射线的参数 方程为

"&"#8 &^"#& '()!!

$&$^#8 &^"#& )*+!

#

$

% '

!

同理可得直线^/上从^&#向左行的射线的参数方程为

"&"#1 &^"#& '()!!

$&$#1 &^"#& )*+!

#

$

% '

令^{&"#& &% !}最后得直线^/的参数方程为

"&"#8%'()!!

$&$^#8%)*+!

#

$

% $

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"!!!:

其中!& #!& # !%& 1;!8;# " #!%是参数^$ 由于

"1"#&%'()!!

$1$^#&%)*+!

#

$

% $

所以

$1$^#

"1"#&)*+!

'()!&-5+!!""&"##!

$1$^#&-5+!""1"##'

令^-5+!&1!则得直线的点斜式方程

$1$^#&1""1"##! "

其中1& 1;!8;" #$

直线的参数方程的建立途径不是唯一的^$ 我们知道^!如果非零

图! :

向量^{0" "+!,#}与直线^/平行^!设^""#!

$^##是^/上任意取定的一点^{! "}"!$#是直 线^/上的动点^!见图^{! :$} 则向量^""1

"#!$1$^##与向量^"+!,#平行是点^""!

$#在直线^/上的充要条件^!即

"1"#

+ &$1$^#

, '

令上式的值为^%!则得直线的参数方程^"以^%为参数^#(

!!!!!!!!!!

"&"#8+%!

$&$#8,%

#

$

% !%& 1;!8;" #' $

由$得

"1"#&+%!!!$1$^#&,%!

于是

,""1"##&+,%&+"$1$##!

$1$^#&,

+""1"##' %

记₊^,&1!则得到的就是一条直线的点斜式方程^$

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"!!!<

! "$!

^{圆锥曲线的参数方程}

#'圆的参数方程'

设曲线^-是以^&#""#!$^##为中心⁾以2'#为半径的圆^"'*0'9/#!

则^-上任取的一点& ""!$#与^&#""#!$^##的距离是^2!见图^{! <$}

!!圆也是一种圆锥曲 线^"'(+*')/'-*(+#!是一 个正圆锥表面与水平截 面截得的圆锥曲线^!是 一种特殊的椭圆^"长短 轴等长者^#'

图! <

过^&#""#!$^##作直线^/与^"轴平行^! 连接^&#&!则^&#&&2'过^&作&3 (/!

3为垂足^'设^&#& 与^"轴正向夹角为!!

则由正弦函数与余弦函数定义得

&#3

2 &'()!!!&3

2 &)*+!'

又^&#3&"1"#!&3&$1$^#!于是

"1"#

2 &'()!!!!$1$^#

2 &)*+!'

最后得圆^-的参数方程为

"&"#82'()!!

$&$^#82)*+!

#

$

% '

"!& #!!& # !!# 为参数^# !

由^{)*+!!8'()!!&%!}则得

"1"#

"

2

#

!

8$1$#

"

2

#

!

&'()^!!8)*+^!!&%!

""1"##^!8 "$1$^##^!&2^!' "

得出的"正是此圆的普通方程^$

!!避免多值性是参数 方程的又一优点'参数 方程"&#"%#

$&$"%

+

#中的_#"^%#

与_$"%#都是%的单值连 续函数$

!'椭圆的参数方程'

设^-是一个椭圆^!其标准方程为

"^! +^!8$^!

,^!&%' $

其中^+!,是两个正数^!分别是长半轴与短半轴之长^$ 由$得

"^!

+^!&%1$^!

,^!' %

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"!!!=

由%知

"

+ )%!

!!一个量的绝对值不 超过%!一定可以找到 一个角_#!使得此量写 成'()#或)*+#!以

'()#为多用^!因为当_#

& #!^&#^'时^!'()#取遍

&1%!%'上一切值^$

所以我们可以假设

"

+&'()#!#& #!!& #$# &

把&代入%得

'()^!#8$^!

,^!&%!!$^!

,^!&)*+^!#!!$

,&)*+#$

于是得椭圆的参数方程

"&+'()#!

$&,)*+#

#

$

% '! "#& #!!& # !## 为参数^# '

当^+&,时^!椭圆变成圆心在原点^!半径为⁺的圆^!这时^'式 变成

"&+'()#!

$&+)*+#

#

$

% !!#& #!!& #$# (

这正是圆心为^""#!$^##& "#!##!半径^2&+时^!参数方程^!的特 殊情形^!即圆心在原点的圆的参数方程^$

!!这个例题是希腊数 学家鲍克勒斯^">$?0('97)!

:%#,:3<#提出并解决 的一个数学史上的名题$

图! =

例!一条动直线上取定三个点^4!

5!6!其中^4!5两点分别在一个直角 的两边上滑动^'求⁶点的轨迹^$

解!把直角的两边视为^"正半轴与

$正半轴^!直线上的两点⁵与⁴分别在

"轴上与$轴上滑动^!见图^{! =!}设

46&+!56&,$

设⁶点坐标为^""!$#!*#54&#!则

"&+'()#!

$&,)*+#

#

$

% '

"#为参数^# ) )恰为椭圆^"₊^!!8$^!

,^!&%的参数方程^!即⁶点的轨迹是以⁺与^,为半轴 的一个椭圆^$

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"!!!@

相似地可以证明^!当⁶点在⁴⁵ 线段之外时^!6点的轨迹仍是 椭圆^$

请同学们自己证明⁽ 椭圆规上^& 点不 在线段45上时!&点 的轨迹仍是椭圆$

根据上述例题的结论^!可以如下制作一个画椭圆的所谓^-椭圆规^.(

图! @

在十字形金属^"或木^#板上做两条互 相垂直的槽^!在一条直尺上钉上两个小 钉子⁴与^5!它们可分别在纵横槽中滑 动^!在直尺上任取定一个与^4!5两点 相异的点^{& !}在^& 点挖一个孔^!孔中 插入铅笔^!使直尺转动一周^!则画出一 个椭圆^!见图^{! @$}

$'双曲线的参数方程'

从双曲线的标准方程

"^! +^!1$^!

,^!&% *

可以看出^"₊!^!&%8$^!

,^!+%!于是₊^" +%!故可以把₊^"写成

"

+& %

'()#!#& #!!& # '#

代入*得

$

,&-5+#$

从而得出双曲线的参数方程

"& + '()#^!

$&,-5+#

#

$

% '

!! "#^&&#!!##!#为参数^#

!!一个量绝对值不小 于%!则可找到一个角 度_#!使得此量写成

% '()#$

同一曲线的参数方 程未必唯一^!例如双曲 线^"₊!^!1$^!

,^!&%的参数方 程^!还有

"&+/^%8/^1%

! &+'A%!

$&,/^%1/^1%

! &,)A%

#

$

% ^!

!%&"1;!8;#$

其中'A%&/^%8/^1%

! !叫

作双曲余弦^/

)A%&/^%1/^1%

! !叫

作双曲正弦$

%'抛物线的参数方程'

抛物线^",505B(95#的标准方程为

$^!&!7"!

令^$&%!%作参数^!则得抛物线的参数方程如下⁽

"&%

!7%^!!

$&%

#

$

% !

%&"1;!8;#'

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"!!!3

! "%!

^{平摆线及其参数方程}

一个圆沿此圆所在的平面内一直线滚动^!圆周上某个点^& 运动 的轨迹称为平摆线^",/+C7974'70./#!也称为旋轮线^'若滚圆直径为

8&!+!则图^{! 3}中的曲线^{&&, %&!&"&-:}就是平摆线的^-一拱^.$

!!数学史上研究旋轮 线^"'D'9(*C#的第一人是 法国天才数学家帕斯卡

"?5)'59!%=!",%==!#!

他称旋轮线是^-几何学 中的美人^."-A/A/9/+(E F/(4/-0D#G由于它有许

多初等几何难以解决的 问题^!被%@世纪数学家 戏称为^-争吵的祸根^.

"-A/5,,9/(EC*)'(0C#$

图! 3

平摆线的普通方程^{* "}"!$ #&#很难直接求得^!我们来推导它 的参数方程^$

!!把自行车外胎上贴 上一小块黄色胶带^!开 始时让这块胶带在地平 面上^!再慢慢沿直线推 自行车前进^!盯住这块 胶带^!看它在空中画出 一条什么曲线'也可以 制作如图! 3所示的 教具来观察旋轮线的形 成过程$有条件的可以 用计算机软件来演示旋 轮线的生成过程$

在直角坐标系"#$中^!设圆与^"轴切于原点^#!这时圆上的切 点为^&!设此圆沿^"轴的正向向前滚动^!动点^&的坐标为^""!$#$

图! 2

当圆滚动过圆心角!之 后^!圆心移到⁵ 点^!圆 与^"轴切于⁴ 点^!见图

! 2$ 这时^& 点已升至

"轴上方^'作&9(#"!

9为垂足^/连接^54!作&6(54!垂足为^6$于是线段^#4之长等 于弧^&40之长^'取^!的单位为弧度^!则^&点的坐标^""!$#满足

"&#9&#4194'

而^#4之长等于^&40之长^!&40之长为^+!!其中⁺是圆的半径^!故

#4&+!!94&&6&+)*+!!于是得

"&+!1+)*+!$

容易看出

$&9&&46&45165&+165!

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"!!!2

而^65&+'()!!于是得

$&+1+'()!$

最后得平摆线的参数方程为

"&+"!1)*+!#!

$&+"%1'()!

#

$

% #!"!&"1;!8;#!!为参数^#

其中参数!是过圆周上点^& 的半径与过圆与^"轴切点的半径的夹角^$

!!意大利大科学家伽 利略"H59*9/*!%<=:,

%=:!#曾建议用平摆线 的一拱来修筑拱桥的桥 洞$我国古建筑赵州桥 的桥洞也近似成平摆 线形$

圆滚动一周时^!&点由原点先是上升^!后是下降再落在^"轴上^!

&点滚过的水平距离为^!+#!这时^!& 点画出的曲线叫作平摆线的 一拱^$

当#&&!#!:#'时^!则产生平摆线的第二拱^$ 圆不停地滚动^! 圆心角每转过!#!&点则描绘出一拱^/如果此圆从原点出发向左滚^! 则会产生双向无穷多拱的整条平摆线^$每拱的最高点为滚圆直径^!+ 那么高^$

! "&!

^{渐开线及其参数方程}

在一个固定的圆盘的圆周上缠绕着一条无弹性的柔顺细线^!在 此细线的外端系上一支铅笔^!把此线拉紧保持与此圆相切地逐渐展 开^!铅笔画出的曲线称为此圆周的渐开线^"F05C7599D(,/+7,'70./#!

此圆称为渐开线的基圆^!见图^{! %#'}

!!显然^!渐开线也可 以视为直线在圆上滚动 时^!直线上指定点的 轨迹$

下面我们建立圆的渐开线的参数方程^$

设渐开线的基圆中心为平面直角坐标系"#$的坐标原点^#!基 圆半径为^2!细线的外端初始在⁴点^!4点是正半^"轴与基圆交点^! 见图^{! %%$}

设& ""!$ #是此圆渐开线上的一个动点^!5& 是基圆的切线^!

5为切点^!连接#5!*4#5以^#4为始边!*4#5&!!我们设定!

为圆的渐开线的参数方程的参数^$由圆的渐开线的定义^!5& 与⁴⁵⁰等 长^!450的长度是^2!!!以弧度为单位^$

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:!!!#

图! %# 图! %%

!!在运动场上拿一根 跳高的横杆紧贴在铅球 投掷圈上^!在地面上拨 动这一横杆^!看它的端 点画出一条什么曲线^* 或用微机软件演示渐开

线的生成过程^$ 作&:(#"!56(#"!&9(56!垂足分别为^:!6!9三点^! 由于^5&是切线^!故&5(#5!于是*&59&*4#5&!!进而可得

!!!!"&#: &#686:

&#689&

&2'()!85& )*+!'

而5&&45&2⁰ !!故得

!!!!"&2'()!82!)*+!$ !

!!!!$&:&&69 &65195

&2)*+!15& '()*&59'

而5&&45&2⁰ !!*&59&!!故得

$&2)*+!12!'()!$ "

由^!与^"!我们得出圆渐开线的参数方程是

"&2"'()!8!)*+!#!

$&2")*+!1!'()!#

#

$

% $

"!为参数^# $

图! %!

只要从计算器上求得^'()!与^)*+!的值^!则可通过^8)1)I得 出渐开线上一点^""!$#的位置^!如此^!对不同的^!值^!可以画出此 渐开线上的许多点^!进而可以描绘其草图^!由此我们可以体会到渐 开线参数方程的优越性^!而从$已很

难推导出渐开线的形如$&)""#的普 通方程了^$

由渐开线定义^!关于同一个基圆^! 存在两条渐开线^!两者关于^"轴对称^! 见图^{! %!$}

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:!!!%

!! 习 题 ^!!

%$把下列参数方程化成普通方程^!其中^%是参数⁽

"%#

"&"%8+%!

$&$%8,%

#$

% ^/!!!!!!!!!"!# "&!7%^!!

$&!7%

#$

% ^!

"7'##'

!$把下列普通方程化成参数方程⁽

"%#设"&+-5+!!!为参数^!写出"$&+^!的参数方程^/

"!#设$&,-5+!!!为参数^!写出^"₊^!_!1$^!

,^!&%的参数方程^/

""#设"&%8!'()!!!为参数^!写出^%@"!1%="$8:$^!1":"8%=$8%"&#的参 数方程^$

"$把下列参数方程化成普通方程^"其中^%与#是参数^#!并说明各表示什么曲线⁽

"%#

"&"1!%!

$&1%1:%

#$

% ^{/!!!! "!#}

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$&")*+#

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"&<'()#8!!

$&!)*+#

#$

% 1"$

:$设弹道的参数方程为

!!!!!!!!!!!

"&!#%'()%!

$&!#%)*+%1%

!(%^!

#

$

% ^$

"%为参数^#

"%#当发射角^%&_"^#时^!写出弹道的普通方程和射程^/

"!#设^!#是常数!%是变量^!证明%&#

:时^!射程最大$

<$已知弹道的参数方程为

!!!!!!!!!!!

"&!#%'()%!

$&!#%)*+%1%

!(%^!

#

$

% ^$

"%为参数^#

"%#求炮弹从发射到落地的时间^/

"!#求炮弹的最大高度^$

=$画出下列参数方程的图象草图⁽

"%#

"&"%1<!

$&%^"1%

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"%为参数^{# "}!#

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"!为参数#! ":#

"&%1)*+%!

$&%1'()%

#$

% '

"%为参数^#

@$写出^:"!8$^!&%=的参数方程^$

3$ "%#写出过点& "%!<#!倾斜角为^#_"的直线的参数方程^/

"!#利用^"%#中的参数方程求^"%#中直线与直线"1$1! "&#槡 的交点到^&点的 距离^/

""#求^"%#中直线与圆^"!8$^!&%=的两个交点到^&的距离的和与积$

2$动点^&做等速直线运动^!它在^"轴与$轴方向的分速度分别为²和^%!!运动开 始时^!点^&位于^4"%!%#!求点^&轨迹的参数方程^$

%#$如图^{! %"!#5}是曲柄^!长为^2!绕^#点转动^!45是连杆^!&是⁴⁵上一点^!

&4&+!&5&,'当⁴点在^#"上做往返运动时^!点⁵绕^#点做圆周运动^! 求点^&的轨迹的参数方程^$

图! %"

%%$如图! %:!#4是定圆直径^!长!+!直线^#5与圆交于^&%!和过⁴点的切线 交于5!&&%(#4!&5.#4!&&%与^&5交于^{& !}以^#为原点^!#4为^"

轴正半轴^!求动点^&轨迹的参数方程^$

图! %:

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在文檔中 坐标系与参数方程 (頁 39-73)