Rick Schoen, Yamabe 問題與正質量定理
鄭日新
今年 (2000) 五月中, 史丹佛大學的 Rick Schoen 教授來台, 我們做了一個專 訪 (見本期另文)。 為了讓大家對他的工作有 些瞭解, 本文嘗試介紹他在 Yamabe 問題方 面的工作。
在早期, 度量的保角變換在曲面理論裡 扮演重要的角色。 譬如說, 複分析單值化定理 (uniformization theorem) 的一個結論是 每一曲面都有一常曲率的保角度量。 這對曲 面的同胚類提供了一個標準模型, 把拓樸問 題轉化為微分幾何的問題。
推廣到高維度時, 因為曲率張量有極多 獨立分量, 同時度量的保角變換只容許選擇 一個未知函數, 很清楚辦不到有常曲率的保 角度量。 但如果只要求純量曲率 (scalar cur- vature) 為常數, 則我們是在找一個未知函 數滿足一個條件。 這就是所謂的 Yamabe 問 題。
Yamabe 問題: 令 (M, g) 表一維數大 於或等於 3 的閉 (緊緻無邊) 黎曼流形。 找一 個保角於 g 的度量, 使其純量曲率為常數。
在 1960 年, H. Yamabe [17] 試圖 用變分及橢圓偏微分方程的辦法解決這個問
題。 他宣稱證明了上述命題。 不幸地, 於 1968 年, Neil Trudinger [15] 發現他的證明有錯。
Trudinger 能修補 Yamabe 的證明, 但對流 形須有限制條件。 為了瞭解這個限制條件, 讓 我們描述一下 Yamabe 的作法。
任何保角於 g 的度量可以寫成 ˜g = ϕp−2g, 這裡 p = 2n/(n − 2), n = dim M。
如果用 ˜S 及 S 分別表 ˜g 及 g 的純量曲率, 他們之間轉換關係如下:
S = ϕ˜ 1−p(a∆ϕ + Sϕ)
這裡 a = 4(n−1)/(n−2)。 所以 ˜g = ϕp−2g 有常純量曲率λ 若且唯若 ϕ 滿足 Yamabe 方程:
ϕ = λϕp−1, 這裡= a∆ + S. (1) 這是一種非線性固有值問題。 這種方程 的解析性質與指數 p 的值強烈相關: 當 p = 2 時, 方程只是的線性固有值問題。 當 p 接 近 2 時, 它的解析行為頗類似於線性的情況。
當 p 很大時, 奠基於線性理論的方法完全不 能用。 在 Yamabe 方程裡的 p(= 2n/(n − 2)) 正好是臨界值, 比它小方程容易解, 比它
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大方程無解。 這說明了 Yamabe 問題解析上 的複雜性。
Yamabe 觀察方程 (1) 是下列泛函的 Euler-Lagrange 方程:
Q(˜g) =
Z
M
SdVe ˜g/(
Z
MdVg˜)2/p. 這裡 ˜g 是保角於 g 的度量。 為了瞭解這點, 觀察 Q(˜g) = Q(ϕp−2g) = Qg(ϕ)。 這裡
Qg(ϕ) = E(ϕ)/kϕkp 2, E(ϕ) =
Z
M(a| ▽ ϕ|2+ Sϕ2)dVg, kϕkp= (
Z
M|ϕ|pdVg)1/p. 然後用部分積分, 我們計算
(d/dt)Qg(ϕ+tψ)
t=0
= (2/kϕkp 2)
Z
M(a∆ϕ+Sϕ
−kϕkp−pE(ϕ)ϕp−1)ψdVg. 所以 ϕ 是 Qg 的一個臨界點若且唯若 ϕ 滿 足 λ = E(ϕ)/kϕkpp
的 Yamabe 方程。
因為 H¨older 不等式, |RMSϕ2| 小於 (RMϕp)2/p 的倍數, 所以 Qg (以及 Q ) 有 下界。 我們令
λ(M)=inf{Q(˜g) : ˜g 保角於 g}
=inf{Qg(ϕ) : ϕ 是 M上正圓滑函數}
這個常數 λ(M) 是 (M, g) 保角類的一個不 變量, 叫 Yamabe 不變量。 它的值對 Yam- abe 問題的分析是緊要的。
Trudinger 對 Yamabe 的證明所做的 修正僅適用於 λ(M) ≤ 0 的情況。 事實上, 他證明有一個正常數 α(M), 當 λ(M) <
α(M) 時, 證明有效。 很容易證明 λ(M) ≤ λ(Sn)。 這裡 Sn表帶標準度量的 n 維球。 在 1976 年, Thierry Aubin [4] 證明 α(M) = λ(Sn), 推廣了 Trudinger 的結果。 於是我 們有下述定理:
定理甲 (Yamabe, Trudinger, Aubin):
假如閉黎曼流形 M 滿足 λ(M) < λ(Sn), 則 Yamabe 問題可解。
這個結果把從分析證明的焦點轉移到瞭 解幾何不變量 λ(M) 的問題。 證明 λ(M) <
λ(Sn) 的明顯作法是找“檢驗函數” ϕ 使 Qg(ϕ) < λ(Sn)。 Aubin [4] 小心研究在正 規座標下的局部幾何, 在許多情況下, 成功地 構造了這樣的檢驗函數而證明了下述定理:
定理乙 (Aubin): 假如 M 的維數 n ≥ 6, 並且不是局部保角平坦, 則 λ(M) <
λ(Sn)。
剩餘的情況變得困難, 因為局部保角 幾何無法提供足夠訊息以得到 λ(M) <
λ(Sn)。 這些情況須要構造廣域的檢驗函數。
Rick Schoen [10] 在 1984 年做到了這件事。
他的定理使 Yamabe 問題完全解決。
定理丙 (Schoen): 假如 M 的維數是 3, 4, 或 5, 或者假如 M 是局部保角平坦, 則 λ(M) < λ(Sn) 除非 M 保角等價於標準球 Sn。
Schoen 的證明引入兩個重要的新想法。
第一, 他看出算子的 Green 函數扮演緊要 角色, 事實上, 他的檢驗函數就是奇異點圓滑 化後的 Green 函數。 第二, 他發現與廣義相 對論中正質量定理的非預期相關性。 而他與
丘成桐在那時剛剛證明了正質量定理的 3及4 維情況。 事實上, 定理丙須要 n 維的正質量 定理, Schoen 在 [10] 一文中宣佈了這個結 果。
Yamabe 問題的解決在非線性偏微分 方程理論的發展上劃下了里程碑。 有臨界 p 值的半線性方程 (1) 在許多場合產生, 並且 長久以來被分析學家研究。 這是第一次這樣 的方程問題完全被解決。
Yamabe 問題的後續發展與影響有許 多不同層面。 分析方面預給純量曲率的問題, 奇異解的行為等等都被廣泛研究, 國內林 長壽院士, 陳俊全教授運用所謂“moving plane”的方法也參與了這方面的研究, 並獲 致深入的結果。 幾何方面轉到所謂柯西黎曼 流形上的一個類比問題。 David Jerison 和 John M. Lee 做到了類似定理甲和乙的結 論, 有趣的是對低維柯西黎曼流形並不知道 有無相應的正質量定理 (甚或質量的定義)。
不過 Abbas Bahri [6] 在八零年代末期與 其合作者 H. Brezis, J. M. Coron 運用所 謂“critical points at Infinity”的方法, 避 開了正質量定理, 也獲得 Yamabe 問題的完 全解決。 到九零年代, 他的學生 N. Garnara [7] 應用他的方法到 CR Yamabe 問題, 解 決了 3 維的情況, 同時 N. Abdelmoula 和 R. Ya¯acoub [5] 也處理了其他情況。
以下我們將討論正質量定理。 我們叫一 個黎曼流形 N 漸近平坦 (階τ > 0) 假如有 一個分解 N = N0∪ N∞ (N0 緊緻) 及一個 可微同胚: N∞→ Rn− BR(R > 0, BR 是 半徑為 R 的 n 維球) 使對在 N∞ 上引出的
座標系 {xi}, 當 ρ = |x| → ∞ 時, 度量 gij
滿足下列條件: (Dk 表 xk 方向偏微分) gij= δij + O(ρ−τ) Dkgij= O(ρ−τ −1) DkDlgij= O(ρ−τ −2).
在廣義相對論中, 類空 (spacelike) 三 維流形被要求是漸近平坦的。 著名的例子是 Schwarzschild 度量, 它表示一個質量 m 的 靜態點粒子的重力場。 當限制於一定時間的 三維空間時, 它是階 1 漸近平坦, 在適當座標 下, 有如下形式:
gij = (1 + mρ−1)δij+ O(ρ−2).
我們現在可以對漸近平坦黎曼流形定義它的 (ADM) 質量如下:
m(g) = lim
R→∞ω−1
Z
SR(Digij−Djgii)Dj⌋dx (2) (假如極限存在)。 這裡 ω 是 n − 1 維單位球 面的體積, dx 是 n 維體積元。 可以證明這定 義與漸近座標 {xi} 的選取無關 ([8]), 而只 依賴度量 g。
在 1960年, Arnowitt, Deser, 和 Mis- ner [1], [2], [3] 對孤立重力系統做了細節 的研究。 他們採用 Hamiltonian 力學的觀 點, 即是說, 選擇一個類空超曲面作為起始 (三維) 曲面, 而把愛因斯坦方程寫成此起始 (三維) 曲面的演化方程。 經過部分積分, 他 們發現了一個守恆量, 這守恆量正是 (2) 式 中的積分。 很容易驗證對 Schwarzschild 空 時 (spacetime), m(g) = m。 所以他們下結 論: 這守恆量 m(g) 應該就是孤立系統的“總 質量”。
因此 Arnowitt, Deser, 和 Misner 就 猜想對一個物理空時裡的類空超曲面所量度 的質量 m(g) 應該是非負的, 而且為0只當空 時是“空”的。 在真實的物理空時模型裡, 能動 量張量必須滿足某個正性條件, 透過愛因斯 坦方程, 這條件轉為曲率張量的正性條件。 特 別對時間分離的空時 N × R, 條件等價於要 求 N 的純量曲率 (代表局部質量密度) 非負。
下列是 ADM 猜想之一:
正質量猜想: 假設 (N, g) 是一個漸近 平坦的三維流形, 並且具有非負純量曲率, 則 m(g) ≥ 0; 又“=0” 若且唯若 (N, g) 等距 同構於帶標準歐氏度量的 R3。
事實上, Arnowitt, Deser, 和 Misner 發現 m(g) 只是代表總能動量的守恆向量的 第一個分量。 假如系統從遠距離看行為像相 對論性的點粒子, 則這個能動量向量就應該 是類時的。 他們猜想的一般形式叫正能量猜 想。 這個一般性猜想基本上等價於上述正質 量猜想 ([13]) 。
在 4維黎曼流形上, (2) 的積分也出現在 物理中。 Stephen Hawking 在其重力量子 化的歐氏作法中建議用漸近平坦的 4 維黎曼 流形取代空時流形, 然後量子化它的度量。 在 這過程中, 我們發現 Einstein-Hilbert 作用 量 A(g)(-純量曲率的積分) 必須被下列作用 量取代:
B(g) = A(g) + m(g).
當B(g)被考慮為漸近平坦度量上的泛函時, 它的 臨 界 點 滿 足 真 空 時 的 愛 因 斯 坦 方 程。
Gibbons, Hawking, 和 Perry [GHP] 分析
這個作用量 B(g), 並且得到結論說: 假如對 零純量曲率的 g, B(g) ≥ 0, 則它有可能引 導出一個合理的好行為的量子重力理論。 這 使他們有如下猜想:
正作用量猜想: 假設 (N, g) 是一個漸近 平坦的 4 維黎曼流形, 並且其純量曲率為零, 則 B(g) ≥ 0; 又等號成立若且唯若 (N, g) 等距同構於帶標準歐氏度量的 R4。
注意這會是正質量猜想的 4 維版本的一 個簡單結論。
以上的猜想有長的歷史。 在 1960 到 1980 的 20 年之間, 許多物理學家, 數學家得 到了部分結果。 ([16]) 最後, 在1979年, Rick Schoen 和丘成桐解決了問題。 在一系列的文 章中 ([11],[12],[13],[14]), 他們用幾何及偏 微分方程的方法對所有這些猜想給出完整嚴 格的證明。 之後不久, Edward Witten 對正 能量定理給了一個簡單的證明。 他的證明奠 基於對旋量的一個部分積分公式。([16],[9])
(本文主要取材自 John M. Lee 和 Thomas H. Parker 的一篇展示性文章:
The Yamabe Problem, Bull. Amer.
Math. Soc., 17(1987) 37-91, 有興趣知道 更多細節的讀者可以參考)
參考文獻
1. R. Arnowitt, S. Deser, and C. Misner, Canonical variables for general relativ- ity, Phys. Rev. 117(1960), 1595-1602.
2. ——, Energy and the criteria for radi- ation in general relativity, Phys. Rev.
118(1960), 1100-1104.
3. ——, Coordinate invariance and energy expressions in general relativity, Phys.
Rev. 122(1961), 997-1006.
4. T. Aubin, ´Equations differentielles non lin´eaires et probl`eme de Yamabe con- cernant la courbure scalaire, J. Math.
Pures et Appl. 55(1976), 269-296.
5. N. Abdelmoula and R. Ya¯acoub, to ap- pear in Pacific J. Math..
6. A. Bahri, Proof of the Yamabe conjec- ture without the positive mass conjec- ture for locally conformally flat man- ifolds, Nonlinear variational problems and partial differential equations (Isola d’Elba, 1990), 13-43, Pitman Res.
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Tech., Harlow, 1995.
7. N. Garnara, to appear in European J.
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8. J. Lee and T. Parker, The Yamabe Problem, Bull. Amer. Math. Soc., 17(1987) 37-91.
9. T. Parker and C. Taubes, On Witten’s proof of the positive energy theorem, Comm. Math. Phys., 84(1982), 223- 238.
10. R. Schoen, Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature, J. Diff. Geom., 20(1984), 479-495.
11. R. Schoen and S.-T. Yau, On the proof of the positive mass conjecture in gen- eral relativity, Comm. Math. Phys., 65(1979), 45-76.
12. ——, Proof of the positive action con- jecture in quantum relativity, Phys.
Rev. Lett., 42(1979), 547-548.
13. ——, The energy and the linear mo- mentum of space-times in general rela- tivity, Comm. Math. Phys., 79(1981), 47-51.
14. ——, Proof of the positive mass theo- rem II, Comm. Math. Phys., 79(1981), 231- 260.
15. N. Trudinger, Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Ann.
Scuola Norm. Sup. Pisa, 22(1968), 265-274.
16. E. Witten, A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math. Phys., 80(1981), 381-402.
17. H. Yamabe, On a deformation of Rie- mannian structures on compact mani- folds, Osaka Math. J., 12(1960), 21-37.
—本文作者為中央研究院數學研究所研究 員—
