行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究
研究成果報告(精簡版)
計 畫 類 別 ： 個別型 計 畫 編 號 ： NSC 98-2221-E-006-044- 執 行 期 間 ： 98 年 08 月 01 日至 99 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立成功大學機械工程學系（所） 計 畫 主 持 人 ： 黃金沺 計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理人員：吳智勛 碩士班研究生-兼任助理人員：蘇培志 碩士班研究生-兼任助理人員：張耿賓 報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 公 開 資 訊 ： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 99 年 10 月 31 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫
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■ 成 果 報 告
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□期中進度報告
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應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究
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應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究
應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究
計畫類別：個別型計畫 □整合型計畫
計畫編號：NSC 98-2221-E-006-044
執行期間：98 年 8 月 1 日至 99 年 7 月 31 日
執行機構及系所：國立成功大學機械工程學系
計畫主持人：黃金沺，國立成功大學機械工程學系教授
計畫參與人員：吳智勛、蘇培志、張耿賓
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：■精簡報告 □完整報告
本計畫除繳交成果報告外，另須繳交以下出國心得報告：
□赴國外出差或研習心得報告
□赴大陸地區出差或研習心得報告
出席國際學術會議心得報告
□國際合作研究計畫國外研究報告
處理方式：除列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢
□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢
中 華 民 國 99 年 7 月 31 日
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應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究
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應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究
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計畫編號：NSC 98-2221-E-006-044
執行期限：98 年 8 月 1 日至 99 年 7 月 31 日
主持人：黃金沺，國立成功大學機械工程學系教授
計畫參與人員：吳智勛、蘇培志、張耿賓
中文摘要 中文摘要 中文摘要 中文摘要 本計畫將以線幾何學為基礎，探討其 在運動學之應用，進行有限位移螺旋及其 螺旋系統之線集合展現及應用之研究。線 幾何學是研究空間中各種型態之直線集合 的學問，而目前已知的瞬時運動螺旋的線 幾何理論，提供了研究螺旋系統之簡明有 效方法。本計畫將提供剛體有限位移問題 中，線幾何與螺旋理論之基礎關係，目標 為為建立線幾何理論來詮釋點位移之螺旋 與螺旋系統，引入線集合的交集概念，並 且將此一位移問題所對應之線集合進行空 間幾何與數學解析之展現，再進行各種線 集合之型態分類。 關鍵詞：線幾何學、運動學、機構分析、 螺旋理論 AbstractThis project investigates Grassmann line geometry and its applications in kinematics and mechanism analysis. We begin with the investigation of the relation between finite displacement screws and line geometry. The research is then extended to the analysis of spatial mechanisms. Line geometry studies linear sets of lines in space, and it has been successfully used in instantaneous kinematics and in the study of singular configurations of parallel mechanisms. This project takes a
different direction by employing line
geometry in finite kinematics.
In this project, we will develop the relation between the screw theory of finite
kinematics and line geometry. The goal is to establish the foundation for studying finite
screw systems pertaining to point
displacements by using line geometry. We will employ the concept of the intersection of linear line sets (line varieties) and use linear algebra as well as spatial analytical geometry in our research.
Keywords: Line Geometry, Kinematics, Mechanism Analysis, Screw Theory
1.緒論緒論緒論 緒論 空間中之直線，經由線性組合可形成 特殊幾何外觀之線集合。線集合與螺旋系 統在組成的方式上，非常類似，其各自由 獨立直線與基底螺旋經線性組合而得。經 由剛體質點於瞬時運動之速度指向，可建 構出瞬時運動螺旋所對應的線集合Linear Line Complex (LLC)。同時，應用互逆運 算與線集合的交集原理，可以得到螺旋系 統所對應之各式線集合。所以，直線與線 集合可視為螺旋之建構元素。 本計畫研究點位移與線位移，得到了 法 向 面 (Nullplane) 與 螺 旋 向 量 場 (Helicoidal Vector Field) 之存在定義。藉由 法向面上之線叢 (Pencil of Lines)，建構出 有限位移螺旋所對應之LLC，也証實其具 有線性性質。同時，應用線幾何學的交集 理論，研究不完全指定位移下之有限位移 螺旋系統所對應的線集合。 在點的有限位移方面，法向面位於對 應點之中點，其指向相同於對應點之指
向。空間中所有法向面上的線叢形成了 LLC，此螺旋向量場之螺距為沿螺旋軸的 二分之一位移量除以二分之一旋轉量的正 切值。二組對應點與一組對應點之不完全 指 定 位 移 所 對 應 的 線 集 合 分 別 是 Congruence和線叢。 在線的有限位移方面，法向面位於對 應線之交會點，其指向相同於對應線之內 角平分線方向。空間中所有法向面上的線 叢形成了LLC，此螺旋向量場之螺距為沿 螺旋軸位移量除以旋轉量的正弦值。單一 組對應線之不完全指定位移所對應的線集 合是為一個Regulus。 將線幾何學應用於剛體位移之求解問 題：三組對應點所對應到的三個線集合， 提供了五條線性獨立直線，可合成出位移 螺旋及其大小。二組對應線所對應到的二 個線集合，同樣地提供了五條線性獨立直 線以合成出位移螺旋。在引用了最佳化 LLC求解法及誤差評估準則後，以直線為 位置參考之過指定位移亦得以求解。 本計畫証明，點與線之有限位移於其 特定的螺距定義下，可使其位移螺旋具有 線性性質，進而可由交集法得到有限位移 螺旋系統對應之線集合。 2.點位移之線幾何研究點位移之線幾何研究點位移之線幾何研究 點位移之線幾何研究 瞬時運動及其螺旋之線性性質，與相 對應之LLC，甚至是LLC間之交集，己經 具有相當成熟的研究成果。而有限位移及 其螺旋，仍有待更進一步的討論與確認。 本計畫探討點之有限螺旋位移情況中，是 否具有如同瞬時運動螺旋般的線性性質。 2.1 點之點之點之有限點之有限有限螺旋位移的有限螺旋位移的螺旋位移的 LLC 螺旋位移的 若是以空間中任意一點M x y z 做為( , , ) 對應點{A1,A2}之中點，則通過 M 且指向 為A A1 2 之平面
α
，如圖1，其法向量n 為 α 1 2 1 1 2 tan 2 tan 2 2 A A y x d α = = φ − φ − n i j k (1) 若是以齊次坐標方式 ( , , ,X Y Z W 表示) 通過M x y z w 之平面( , , , )α
的方程式，可得 到 1 1 : (2 tan ) (2 tan ) 2 2 0 X y Y x Zwd Wzdα
φ
−φ
− + = (2) 依據線幾何學理論，空間中所有位於 法向面的線叢會形成LLC，且此線叢必交 會於法向面上之唯一點。參考圖1，我們 可在α
平面上取任意一點 ( , , , )A a b c w ， A 之坐標必須滿足(2)式，可得到關係式 1 1 ( 2 tan ) (2 tan ) 2 2 y a x b zdw c wd φ φ − + − = − (3) 1 Aφ
d S 2 A x y z Mα
α n 圖1 位於α
平面上且通過中點 M 之線叢 其中a, b 為任意常數。法向面上之線 叢，是為通過 ( , , , )A a b c w 與M x y z w 之( , , , ) 所有直線。將 A 與 M 代入蒲律克坐標式得 到點位移LLC ( , )L q q′ 其中： 1 a x q w − = 2 b y q w − = 3 2 1 2( ) tan 2 ay bx q dwφ
− = 1 3 1 ( ) 2 ( ) tan 2 dw y b z y ay bx q dwφ
− + − ′ = (4)2 3 1 ( ) 2 ( ) tan 2 dw a x z x bx ay q dw
φ
− + − ′ = 3 2 bx ay q w − ′ = 可發現上式之q3項與q3′ 項滿足了線性一階 約束條件 3 3 (( ) / tan ) 0 2 2 d q q φ ′ + = (5) (5)約束式中隱含了點位移之螺距定義為 ( / 2) / tan( / 2) p= d φ (6) 2.2 點點點點之有限之有限之有限之有限位移螺旋與其位移螺旋與其位移螺旋與其LLC之位移螺旋與其 之之線性關之線性關線性關線性關 係 係 係 係的驗証的驗証的驗証的驗証 螺旋之線性性質，可經由螺旋系統的 成立或是由LLC之存在來檢驗之。最主要 之方法，即是檢視螺旋與其LLC L 之互逆 條件是否成立 0 = S L (7) 考慮以(6)式為沿z軸位移螺旋之螺距 定義，重新得到位移螺旋 S 為 (0, 0,1, 0, 0, ( ) /(tan )) 2 2 d φ = S (8) 令齊次坐標中之w= ，將(4)式之點1 位移LLC L 與位移螺旋 S 進行(7)式之互逆 運算 2 ( ) ( ) 1 tan 2 1 2( ) tan 2 ( ) 0 d bx ay ay bx d φ φ ′ ′ = ⋅ + ⋅ = − + − = SL c q c q (9) 螺 距 定 義 p=( / 2) / tan( / 2)d φ ， 可 使 得點之位移螺旋 S 與其LLC L 形成互逆， 也就驗証了 S 與 L 於點位移中具有線性性 質。點之有限位移螺旋與瞬時運動螺旋同 樣具有線性性質，可以進行線性組合，並 且形成螺旋系統。 2.3 以以以以LLC求解點位移螺旋求解點位移螺旋求解點位移螺旋求解點位移螺旋 以點為參考之剛體位移情況，必須要 具備不共線之三指定點，方可指定剛體之 位置。如圖2所示，剛體自Σ 位置位移至1 2 Σ 位置。 A , B , C 為剛體上不共線之三指 定點，於此位移之中，我們可有三組對應 點{A1,A2}、{B1,B2}及{C1,C2}。在這三 組對應點各自的中點MA,MB,MC的法向 面α
A,α
B,α
C上，各存在有一個線叢，而 這 三 個 線 叢 必 定 屬 於 此 有 限 位 移 之 LLC L 。所以，只要自α
A,α
B,α
C平面上取得 足夠的直線資訊，便可合成出此位移之螺 旋。 於圖2中，法向面上的線叢，即為由α
平面上之任二條直線，以線性組合構 成。在實務上，我們只需自α
A,α
B,α
C三 個法向面平面上，任意取出五條直線。再 令位移螺旋S=( ,c c c c c1 2, , ,3 1′ ′2,1)(五個未知 數)，引用互逆關係之線性代數式 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 4 1 2 3 1 2 3 2 5 1 2 3 1 2 3 3 ( , , , , , ) ( , , , , , ) 1 ( , , , , , ) 0 ( , , , , , ) ( , , , , , ) c q q q q q q c q q q q q q q q q q q q c q q q q q q c q q q q q q c ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ L L S L L L L (10) 便可輕易的解出位移螺旋 S 。要注意 的是，一個法向面上，最多只能取出二條 直線。待 S 求出之後，可再令其之c =1進 行單位化而得到單位螺旋 S 1 2 3 1 2 1 1 ( ,c c c c c, , ,′ ′,1) = = ⋅ ⋅ S S c c c c (11) 2.4 二參考點之不完全指定位移的二參考點之不完全指定位移的二參考點之不完全指定位移的二參考點之不完全指定位移的LLC交交交交 集 集 集 集 以點做為剛體參考的位移問題中，三 點可完全指定剛體之位置，稱之為完全指 定位移。若是以二點或是一點做為剛體之 位置參考，則將無法完全指定剛體之位 置，稱之為不完全指定位移，其所形成的 螺旋系統，也應有相對應的線集合。 考慮此二指定點之不完全指定位移， 如圖3示。剛體上之二指定點P1,R1位移至 2 P ,R2，已知此為一個二階有限位移螺旋 系統。此二階螺旋系統對應之線集合，即為S ,B1 SB2之LLC L 與1 L 的交集，即為所2
有同時通過L12,L 之線集合，是為一個M
Linear Line Congruence，如圖4所示。若是 以法向面的觀點，也可以得到相同的結 果，此位移之二階螺旋系統所對應的線集 合，即為所有對應點之法向面上之線叢， 也就是位於L 直線上之所有M
α
平面上之 線叢。因為所有的α
平面會均交會於直線 12 L ， 所 以 ， 所 有 的 線 叢 為 所 有 通 過 M L ,L 之直線集合。12 φ d S 2 A 2 B 2 C 1 A 1 B 1 C A α B α C α C M A M B M 圖2 以點位移之LLC求解位移螺旋 1 P 1 R 2 P 2 R R α 12 L A M 1 A 2 A P M 1 L 2 L M L 1 B S P α αA R M 2 B S 圖3 指定剛體上二點之不完全指定位移 1 P 1 R 2 P 2 R 12 L 1 A 2 A 1 L 2 L R α M L 1 B S P α A α 2 B S 圖4 點位移之二階螺旋系統所對應之線集 合 2.5 一參考點之不完全指定位移的一參考點之不完全指定位移的一參考點之不完全指定位移的一參考點之不完全指定位移的LLC之之之之 交集 交集 交集 交集 如圖5所示，剛體上有一指定之參考 點A1位移至A2，符合此位移之螺旋為一個 四階的螺旋系統 1 2 3 4 1 B l B m B n B x = + + + S S S S S (11) 其中SB1為A1指向A2之純平移螺旋， 2 B S ,SB3,SB4為通過中點 M 且分別平行於 固 定 坐 標 系 統x,y,z軸 之 純 旋 轉 螺 旋 ， [ , , ]l m n 為任意指向之單位向量，x為任意 數值且表示{SB2,SB3,SB4}合成螺旋之旋轉 量。 此四階螺旋系統所對應之線集合，即 為 四 個 基 底 螺 旋SB1,SB2,SB3,SB4 之LLC 1, 2, 3, 4 L L L L 的交集。SB2,SB3,SB4之三個 LLC L L L 的交集為所有通過 M 之直2, 3, 4 線，如圖6所示。S
B1為一純平移之螺旋， 其LLC為所有垂直於S
B1軸之直線，如圖7 所示。所以，SB1,SB2,SB3,SB4四個基底螺 旋之LLC交集即為圖6與圖7的交集，是為 一過 M 且垂直於A1,A2連線之線叢，如圖8 所示。而此結果，預期的相同於對應點 {A1,A2}之中點 M 上之法向面的線叢。1 A M A2 4 B S 3 B S 2 B S 1 B S x y z 圖5 一組對應點之四階螺旋系統 1 A A2 x y z M 圖6 SB2,SB3,SB4之LLC交集為通過 M 之 所有直線 1 A A2 x y z 圖7 SB1之LLC為所有垂直於SB1之直線 1 A A2 x y z M 圖8 SB1,SB2,SB3,SB4之LLC交集為法向面 上之線叢 3. 線線線線位移之線幾何研究位移之線幾何研究位移之線幾何研究位移之線幾何研究 點 位 移 之 有 限 位 移 螺 旋 具 有 線 性 性 質，並且擁有相對應之 LLC。本計畫之主 要目的，即在於探討直線之有限螺旋位移 情況中，是否具有如同瞬時運動螺旋般的 線性性質。 3.1 線線線線有限有限有限有限位移螺旋之位移螺旋之位移螺旋之位移螺旋之LLC Bottema 與 Roth (1979) 首先提出了線 位移螺旋之LLC。參考圖9之直線位移問 題，空間中任意一點 R 可為對應線{I1,I2} 之交會點。所有通過 R ，並且垂直於I 與1 2 I 之直線 N ，形成了一個
∞
3數量直線的 線集合，是為線位移的LLC。 直 線 N 通 過 { I1 , I2 } 交 會 點 ( , , , ) R x y z w ，並且其指向可由I 與1 I 之指2 向經向量外積運算而得，將直線 N 表示成 蒲律克坐標式可得到 2 1 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) q dyw q dxw q x y w q x y y dxzw q x y x dyzw q d x y wφ
φ
φ
= − = = − + ′ = − + − ′ = + − ′ = + (12) 可以看出上式中之q3項與q′3項之間， 具有一個線性約束條件 3 3sin 0 q d+q′φ
= (13) 觀察上式而得到線位移螺旋之螺距定義應 為 / sindφ
。 直線 N 與其上的 R 點具有一對一對應 之關係，若是已知空間中任意一直線 N 之 坐標為( ,
q q q q q q
1 2,
3, ,
1′ ′
2,
3′
)
，則 R 點可表 示成 2 2 2 3 1 3 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) R x y z w q q q q q q q q q q = ′ − ′ ′ − ′ + (14) 我們提出了一個創新的論點：線位移 之位移螺旋的LLC如同瞬時運動及點位移 之LLC相同，具有對應的螺旋向量場及法 向面。於線位移螺旋的週遭，所有法向面 上的線叢形成了線位移LLC L 。而其法向 面的位置為通過 R 點，指向同於對應線 {I1,I2}之內角平分線方向。圖10顯示了線位移之對應線{I1,I2}、 交會點 R 及法向面
β
的關係。β
平面的指 向n ，可由β I 坐標式1 (4-7)之指向與I 坐標2 式(4-8)之指向q( ,q q q1 2, 3)項次相加運算而 得到(此處需以單位向量進行運算) sin sin y x dw β = − φ + φ + n i j k (15) 同時可求得，通過 ( , , , )R x y z w 點且指 向為n 之法向面β β方程式為 1 2 3 4 0 U X +U Y+U Z+U W = 1 sin U = −yφ
2 sin U =xφ
3 U =dw 4 U = −dz (16) 1 A φ d S 1, 2, B A R 2 B 1 I 2 I γ N x y z 圖9 直線位移之LLC的構成 1 A φ d S R 2 B 1 I 2 I N P β β n x y z 圖10 線位移LLC與其法向面之關係 接下來，我們試著採用法向面β平面 上的線叢來建構線位移的LLC。如圖10所 示，β平面上任意一點 P 的坐標可表示成 sin sin ( , ,ay bx dz) P a b dw φ− φ+ = (17) 其中a,b 為任意常數。β平面上的線 叢，即為所有可能之 P 點與 R 點之連線， 其蒲律克坐標式為 1 2 3 1 2 2 2 3 ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) sin x q a w y q b w ay bx q dw dz y bw ay bx y q dw dz x aw ay bx x q dw bx ay q wφ
φ
φ
= − = − − = − + − ′ = − + − + ′ = − ′ = (18) 觀察其q3項次與q′3項次間之關係，可 看出上式仍然具有 3 3 ( ) sin sin ( )( ) ( )(sin ) 0 ay bx q d q d dw bx ay wφ
φ
φ
− ′ + = − + = (19) 之 線 性關 係， 是為LLC的線 性約 束條 件 式。所以，由以上的討論得知，在對應線 {I1,I2}具有交會點 R 之情況下，所有通過 R 且指向為I1,I 內角平分線之法向面2β
及 其上的線叢，亦構成了線位移之LLC。 3.2 線位移螺旋與其線位移螺旋與其線位移螺旋與其線位移螺旋與其LLC之互逆關係的驗之互逆關係的驗之互逆關係的驗之互逆關係的驗 証 証 証 証 檢 視 螺 旋 與 其 LLC 之 互 逆 條 件 S L=0，假設有一線位移螺旋 S ，其 位置為沿著z軸，且具有平移量 d 及旋轉量φ
。現在以(4-25)式之p=d/ sinφ
為此線位 移螺旋之螺距定義，可得到線位移螺旋 S 之坐標式為 (0, 0,1, 0, 0, / sin )dφ
= S (20)令齊次坐標中之w= ，並將1 (18)式， 其為線位移螺旋 S 之LLC L 表示式，之 L ( , )q q 與線位移螺旋 ( , )′ S c c 進行內乘積′ 運算 S L = ⋅c q′+ ⋅c q′ 2 2 2 2 ( ( )) ( ) sin ( ( ) sin ) 0 d d x y x y
φ
φ
= + + − + = (21) 明顯地，採用了 Dimentberg (1968) 及 Huang 與 Wang (2003) 的 螺 距 定 義 / sin p=dφ
，可使得線位移螺旋 S 與 L 形 成互逆，也就驗証了 S 與 L 於線位移中具 有線性性質。 3.3 一般化線位移所對應之線集合一般化線位移所對應之線集合一般化線位移所對應之線集合一般化線位移所對應之線集合 我們已經知道一般化直線位移之三階 螺旋系統之基底螺旋SB1、SB2及SB3，其 螺旋系統為 1 B1 2 B2 3 B3 a a a = + + S S S S (22) 其中a為任意常數，SB為此螺旋系統之基 底螺旋。如圖11所示，直線{Q ,1 Q }2 為此 一般化位移之對應線，其之間的夾角為 θ，距離為t。在{Q ,1 Q }2 之中建立一合適 的移動坐標系統Σ1，其x軸與y軸重合於 {Q ,1 Q }2 的外角平分線與內角平分線，而z 軸當然地會重合於{Q ,1 Q }2 的公垂線。ρ 為SB3至y軸之距離。 此處我們便以SB1、SB2及SB3的LLC 進行交集，探討其結果。如圖11所示，首 先依據SB1、SB2、SB3螺旋之型式，訂立 其LLC之型態，討論如下： 1. SB1之LLC：SB1為一沿z軸，旋轉量θ與 平 移 量t 之 螺 旋 ， 其 螺 距 為 一 有 限 數 值，是為一般化螺旋。其LLC是為以螺 旋向量場圍繞z軸之法向面上之所有線 叢。 2. SB2之LLC：SB2為純旋轉180 且無平移 量之螺旋，這使得其螺距值為零，得到 了一個退化型式的LLC，是為所有通過 y軸之直線。 3. SB3 之 LLC ： SB3 之 平 移 量 為 2 cot( / 2) d = − ρ θ 式 之 有 限 值 ， 同 時 旋 轉量為180 ，這使得螺距為 2 cot 2 sin sin(180 ) d pθ
ρ
φ
− = = → ∞ (23) z x y 1 Q 2 Q t θ ρ 1 B S 2 B S 3 B S 圖11 一般化直線位移之三階螺旋系統 以一個簡潔的三階螺旋系統展現 我們發現SB3之螺距值為 ∞ ，這使得 其行為相同於純平移之螺旋，其LLC退化 成為所有平行於y軸之直線。 1 B S 與SB2之LLC交集，如圖12所示， 1 B S LLC包含了所有圍繞於z軸螺旋向量場 中法向面上的線叢，而這些直線同時也要 通過y軸(符合SB2LLC之要求)。接著與SB3 之LLC再進行交集。如圖13所示，SB2之 LLC為所有指向垂直於y軸之直線，所以其 與線集合交集之結果所有垂直於y軸的直 線，稱之為線集合 ℜ 。形成了一個外觀如 直紋曲面之線集合Regulus ℜ ，如圖14所 示。 若 同 樣 以LLC之 交 集 原 理 來 進 行 討 論，使用LLC的蒲律克坐標式進行交集運 算。可得到此三個基底螺旋之LLC交集為 線集合Regulus ℜ ，其蒲律克坐標式為1 2 3 2 1 2 3 0 sin sin 0 q t q q y q y q q ty
θ
θ
= − = = − ′ = − ′ = ′ = (24) z x y 1 Q 2 Q 1 B S 2 B S 3 B S 圖12 一般化線位移之三階螺旋系統及其 LLC z x y 1 Q 2 Q n 1 B S 2 B S 3 B S 圖13 一般化線位移螺旋系統之SB1、SB2 之LLC交集 z 2 Q θ y x t 1 Q 圖14 一般化線位移螺旋系統所對應的線 集合Regulus ℜ 現在就 ℜ 的特性，進行討論： 1. 觀 察 ℜ 的方程式(24)， 可 發 現 對 應 線 {Q ,1 Q }2 已經決定了唯一的θ 與t，而 唯一的自由變數 y ，使得 ℜ 具有 1 ∞ 數 量直線。 2. ℜ 中之任意三條直線的線性組合，仍屬 於 ℜ 。Regulus ℜ 可以以三條線性獨立 直線組合而成。 1 1 2 2 3 3, a a a = + + ∈ ℜ L L L L L (25) 0 ′ ⋅ = q q (26) 其中a為任意常數。 3. 觀察 ℜ 的方程式(24)，可發現其具有三 個線性約束條件 3 ( ) 3 0 sin t q q θ ′ + = (27) 2 0 q = (28) 2 0 q′ = (29) (27)式即為基底螺旋S LLCB1 的線性約 束式，包含了其螺距之定義。(28)式指 出了所 有之直 線指 向 均垂直 於y軸指 向 。(29)式 說 明 了 所 有 的 直 線 通 過y 軸。上列三個線性約束方程式，說明 了ℜ
是一個Linear Line Regulus。如圖15所示，當對應線{Q ,1 Q }2 極度 接近之時，也就
t
趨近於零之時，可看 出Regulus ℜ 退化成為β 平面上之線叢 與γ 平面上，所有與z軸平行之直線。 如欲以三條直線組合出此退化型 ℜ ， 則 必 須 在β 平 面 上 選 取 任 意 二 條 直 線，同時在γ 平面上選取任意一條直 線，方可合成出全部的 ℜ 。 y γ 2 Q 1 Q x β 圖15 當對應線{Q ,1 Q }2 無窮接近時所對 應之線集合 ℜ 3.4 二條非平行直線指定剛體位置之有限二條非平行直線指定剛體位置之有限二條非平行直線指定剛體位置之有限二條非平行直線指定剛體位置之有限 位移 位移 位移 位移 如圖16所示，在此對應線位移問題之 中，存在著唯一的位移螺旋 S ，引導著剛 體由Σ1位置移動至Σ2。螺旋 S 的週遭，當 然地也存在著唯一的LLC L ，我們即可利 用 L 與 S 的互逆條件，進而解出此位移之 螺旋。 對應線{A ,1 A }2 提供了一個Regulus A ℜ ， 同 時 ， 對 應 線B ,1 B2 提 供 了 另 一 Regulus ℜB，而此二個Regulus必定同屬於 此位移螺旋 S 所對應之LLC L 。ℜA與ℜB 各由三條線性獨立直線所組成，我們只要 利 用 這 六 條 線 性 獨 立 直 線 1, 2, 3, , 6 L L L … L ，經由互逆的原理，便可 合成出此位移之螺旋 S 。 0 i = S L , i=1, 2,3,..., 6 (30) 上式可整理成一線性代數方程式，令 1 2 3 1 2 3 ( ,c c c c c c, , ,′ ′ ′, ) = S ，則可寫成 , 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 1 2 3 1 2 3 1 5 1 2 3 1 2 3 2 6 1 2 3 1 2 3 3 ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) q q q q q q c q q q q q q c q q q q q q c q q q q q q c q q q q q q c q q q q q q c ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ L L L L L L 0 (31) 五 個 獨 立 變 數 即 可 指 定 唯 一 的 螺 旋 S ，所以(31)式為一個過拘束方程式，無 法 求 解 。 此 時 重 新 指 定 1 2 3 1 2 ( ,c c c c c, , ,′ ′,1) = S ，取ℜA中之任意三條 直線與ℜB中任意二條直線，(31)式可重新 寫成 , 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 4 1 2 3 1 2 3 2 5 1 2 3 1 2 3 3 ( , , , , , ) ( , , , , , ) 1 ( , , , , , ) 0 ( , , , , , ) ( , , , , , ) c q q q q q q c q q q q q q q q q q q q c q q q q q q c q q q q q q c ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ L L L L L (32) 當S( ,c c c c c1 2, , ,3 1′ ′2,1)被 解 出 之 後 ， 可 進一步的將c=( ,c c c1 2, 3)進行單位化，得到 單位螺旋 S 。 完 整 的 有 限 位 移 ， 尚 包 括 螺 旋 之 大 小。我們可取得對應線{A ,1 A }2 與 S 軸之 中垂線交點，即可得到此位移之平移量。 如圖16所示，直線A1與S
軸之中垂線交 S 軸於P1，直線A2與 S 軸之中垂線交 S 軸於 2 P ，則P1至P2的距離即為此位移螺旋之大 小，旋轉量亦可由螺距關係式 p=d/ sinφ 求 得 。 至 此 ， 螺 旋 S 及其大小已完全解 得。 3.5 二組對應線二組對應線二組對應線二組對應線，，，其中一組具有交會點之，其中一組具有交會點之其中一組具有交會點之其中一組具有交會點之 有限位移 有限位移 有限位移 有限位移 如 圖17所 示 ， 剛 體 其 上 有 二 對 應 線 A,B ，並且自Σ1位置移動至Σ2位置。對 應 線{A ,1 A }2 交 會 於空 間中 之 一點 I ， A ℜ 會成為一退化型式之Regulus。若以三 條直線並採用線性組合方式得到ℜA，則 必須在β平面上選取任意二條直線及γ 平 面上選取任意一條直線。自ℜA取出之直線，必須避免其直線 間產生相依之情況。所以，五條直線之選 取方法，可整理成表1。 表1 選取任意直線之要領 Regulus ℜ A Regulus ℜ B β平面上之任意二條直線 γ 平面上之任意一條直線 任意二條直線 β平面上之任意二條直線 任意三條直線 β平面上之任意一條直線 γ 平面上之任意一條直線 任意三條直線 γ 平面上之任意二條直線 任意三條直線 B ℜ x y z A ℜ φ d 2 P 1 P 2 A 2 B 2 Σ 1 Σ 1 B A1 S 圖16 以二非平行直線所指定之剛體位移 問題 x y z A ℜ φ d 2 A 2 B 1 B 1 A S γ β 2 Σ 1 Σ I 圖17 其中一組對應線具有交會點之剛體 位移 3.6 二組對應線形成同坐標之二組對應線形成同坐標之二組對應線形成同坐標之二組對應線形成同坐標之Regulus 考慮如圖18中之特殊情況，剛體上之 二條參考直線 A,B ，位移後所得到的二組 對應線{A ,1 A }2 及{B1,B2}，形成了以y軸 為鏡向的配置。此二組對應線{A ,1 A }2 及 {B1,B2}，具有共同的內角平分線及外角 平分線。明顯地，這是剛體繞y軸進行純 旋轉180 之位移。 x 1 B 1 A A t Position 1 y B θ A θ 2 A 2 B z Position 2 B t 圖18 二組對應線之Regulus位於同一移動 坐標系 此即為Regulus ℜA與ℜB位於同一個 坐標系統之中的情況，其又可分為二種情 況： A ℜ 與ℜB互為同族Regulus 完全相同的ℜA與ℜB，其二者最多只能提 供三條線性獨立直線。這使得我們無法取 得足夠的五條線性獨立直線，也無法合成 出位移螺旋。但是，實際上，確實存在有 一純旋轉180 的位移螺旋，可使剛體進行 圖18中的位移。 A ℜ 與ℜB不為同族Regulus 對應線{A ,1 A }2 及{B1,B2}並不滿足同族 Regulus關係式。也就是 , sin A sin B A B t t
θ
θ
≠ (33) A ℜ 與ℜB為二個完全相異之Regulus，如圖 19所示，位於相同移動坐標系統中之ℜA 與ℜB，其二者不同之處在於直紋曲面之 扭轉速率不同，但是其二者相交集於一條 直線，也就是重合於x軸之直線。這使得 A ℜ 與 ℜB 無 法 視 為 二 個 完 全 獨 立 的Regulus，我們總共只能自其中取得四條線 性獨立直線，所以仍無法合成出位移螺 旋。所以，在剛體的位移問題中，當指定 剛體位置的二組對應線，具有共同的內角 平分線與外角平分線，也就是位於相同的 移動坐標系統之中，即無法合成出位移螺 旋。 y A ℜ B ℜ z x 圖19 位於同一坐標系中之二非同族 Regulus 4 最佳化最佳化最佳化最佳化LLC演算法演算法演算法演算法 理想情況下，LLC L 中之所有直線與 其對應之螺旋 S 均具有互逆的關係，也就 是S L=0。當提取 L 中之直線Li時，無 法 免 除 於 誤 差 的 產 生 ， 則 必 然 的 會 有 0 i ≠ S L 的 情 況 發 生 。 若 指 定 誤 差 量 i i e = S L ，則最佳化LLC之求解即為求得 i e Σ 為最小值之下的 S 。已知位移所對應之 線集合中，取得了數條直線Li =( ,q q , i i′) 1, 2, , i= … n，首先建立矩陣 , 1 T T n i i i i T T i= i i i i ′ ′ ′ ⋅ ⋅ = ′ ⋅ ⋅
∑
q q q q M q q q q (34) 再指定矩陣 D 為 , 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = D (35) 以下列方程式，取得最小之特徵值λ
min , det(M−λ
D)=0 (36) 在所有的情況之下，所有的三個特徵 值λ
均會為正數。此時以λ
min來解得最佳 化之LLC，即為其對應之螺旋： , (M−λ
minD S)⋅ =0 (37) 上式中的螺旋 S ，仍舊由五個參數所 組 成 ， 所 以 求 解 的 過 程 中 仍 需 假 設 1 2 3 1 2 ( ,c c c c c, , ,′ ′,1) = S 。 解 出 ( , )S c c 之 後 ，′ 可將c單位化而得到單位螺旋 S ，再經由 (2-16)式可得此螺旋之螺距 p 。 如圖20所示，在實際的剛體位移中， 經由儀器測量得到的直線{L1,L2}，為一 組對應線。然而，透過最佳化螺旋 S 將L1 導引至位移終點，必定具有誤差，使得直 線L 無法精確地位移至1 L 位置。假設螺2 旋 S 可將直線L 導引至最接近1 L 位置之2 2 ′ L ，則此時 S 之平移量 d 或旋轉量φ
，是 為 S 之最佳化大小。 我們提出了一個以線偶矩ε
為依據的 誤差評估方法，用以決定最合適之旋轉量φ
。令ε
為二直線間之距離與夾角之正弦 值的乘積。完全重合的二直線，其ε
值必 為零。當L q q2( 2, ′2)與L q′2( 2′,q′2′)之間具有 距離與夾角之時，也就是螺旋導引之位移 具有誤 差之 時，此 時ε
會具有 一特 定數 值： ,ε
=(q q2⋅ ′2′+q2′ ⋅q2′)=asinα
(38) 其中L 與2 L2′之間距離為a，夾角為α
。 定義整體誤差量的評估方程式為∑
ε2： ,∑
ε
2 =∑
(q2⋅q′2′+q′2⋅q2′)2 (39) 當螺旋的旋轉量φ 在最合適的數值之 時，可使得總誤差量∑
ε2達到最小的數值，此時(39)式對φ進行一階微分將會等 於零，也就是 , (∂
∑
ε
2) /∂ =φ
0 (40) 上式即可協助我們求出此位移之最佳 化的旋轉量φ，再透過螺距關係式(4-25)便 可得到最佳化平移量 d 。至此，線位移螺 旋的最佳化大小即被求出。 x y z 1L
2L
2′
L
a
φ
d
α
S
圖20 實際位移與螺旋解答間之誤差 5. 結論結論結論結論 本計畫之目標在於利用線幾何學，証 明有限位移螺旋也具有如同瞬時運動螺旋 般之線性性質，並且將有限位移螺旋之 LLC應用於剛體位移之螺旋合成。在這個 過程之中，我們主要所使用的觀念是：一 個螺旋所對應之唯一LLC，是由空間中所 有的法向面上的線叢所組合而成。只要指 出點位移與線位移之中的法向面的位置與 指向，即可得到相對應之LLC，也就確定 了相關的螺距及線性性質。 在點位移之研究中，我們得到了下列 結果： 1.點位移螺旋之週遭具有螺旋向量場，進 而 得 到 其 適 用 的 螺 距 定 義 為 ( / 2) / tan( / 2) p= d φ 。 2.法向面的位置通過對應點之中點，其指 向相同於對應點位移之指向。 3.所有位於法向面上且通過對應點中點之 直線，形成了一個線叢。空間中所有的線 叢形成了點位移螺旋的LLC。 4.在 二 組 對 應 點 之 不 完 全 指 定 位 移 情 況 下，其二階螺旋系統對應到線集合Linear Line Congruence。 5.在 一 組 對 應 點 之 不 完 全 指 定 位 移 情 況 下，其四階螺旋系統對應到線集合為一個 法向面上的線叢。 6.利用三組對應點之對應線叢，提取其中 的五條直線，可合成出此剛體位移之螺 旋。 在線位移之研究中，我們得到了下列結 果： 1.線位移螺旋之週遭具有螺旋向量場，進 而得到其適用的螺距定義為p=d/ sinφ。 2.法向面的位置通過對應線之交會點，其 指向為對應線之內角分線指向。 3.所有位於法向面上且通過對應線交會點 之直線，形成了一個線叢。空間中所有的 線叢形成了線位移螺旋的LLC。 4.在 一 組 對 應 線 之 不 完 全 指 定 位 移 情 況 下，其三階螺旋系統對應到線集合Linear Line Regulus。 5.利用二組對應線之對應Regulus，提取其 中的五條直線，可合成出此剛體位移之螺 旋。 6. 參考文獻參考文獻參考文獻參考文獻1. Ball, R. S., A Treatise on the Theory of
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10. Huang, C., Kuo, W., and Ravani, B., “On the Linear Line Complex and Heli-coidal Vector Field Associated with Homologous Lines of a Finite Dis-placement,” Mechanism and Machine
出席國際學術會議心得報告
出席國際學術會議心得報告
出席國際學術會議心得報告
出席國際學術會議心得報告
計畫編號
NSC 98-2221-E-006-044
計畫名稱
應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究
出國人員姓名
服務機關及職
稱
黃金沺，國立成功大學機械工程學系教授
會議時間地點 November 13-19, 2009, 美國彿羅里達州 Lake Buena Vista
會議名稱
2009 年美國機械工程學會國際機械工程年會
發表論文題目 參加年會及蒙特婁設計自動化會議籌備會
一、
參加會議經過
美國機械工程師學會 2009 年國際機械工程年會及展覽在美國彿羅里達州的 Lake Buena Vista 舉行。會場位於彿羅里達州迪士尼世界的天鵝及海豚旅館。自 11 月 13 日至 19 日，為 期一週。我自台北經紐約轉機抵達佛羅里達的奧蘭多市，在參加完會議後搭機離開。期間除 參加主題演講外，並隨大會安排至甘迺迪太空中心參觀。並且參加了大會的展覽活動，獲益 良多。 本次會議中，除了參加年會及參觀大會的展覽以外，另一目的為參加 2010 年蒙特婁設計 自動化會議的籌備會。籌備會會議的主席為佛羅里達理工學院教授 Piere Larochelle，會中對 將在 2010 年 8 月中舉辦的會議做了整體的檢視，由於我擔任的工作為國際參與主席，必須研 擬非美加地區參與者的交通以及簽證問題，並考量非美加地區參與者其他的需求。 甘迺迪太空中心離大會會場約 45 分鐘車程，為美國太空總署的發射中心。本次參觀了 NASA 太空梭的發射與降落的設備，NASA 人員並對整個系統的設計做了簡報。二、
與會心得
大會期間安排許多主題演講，本次最大一場主題演講的題目“Space Exploration:險太空旅程以外，後來並成為太空梭太空人，在演講中他特別強調團隊合作與危機處理的重 要性，他認為這是阿波羅 13 號能夠順利返航的主要因素。 另一個我較有興趣的主題展覽及演講為義大利 Automobili Lamborghini 公司所展出的跑 車，由他們的研發部副總裁 Maurizio Reggiani 介紹研發的過程。其中最特別的是，該跑車大 量使用了高分子複合材料及碳纖維複合材料，使得車子重量減輕，並減少廢氣排放以符合環 保法規，目前 Automobili Lamborghini 公司正大量使用複合材料於車體結構之設計，其設計理 念來自於航太工業。 鑑於以往常有國際論文投稿未能出席發表論文造成會議流程混亂招致許多與會者的報 怨，本次 ASME 2010 年蒙特婁設計自動化會議的籌備會會議中一個引起廣泛討論的話題就是 投稿卻未參加的論文(No Show Papers)。本次籌備會議持別對以往曾有未出席發表論文的投稿 者的安排做一調整，決議將他們特別安排在每一個 Session 的最後一篇論文，以免影響正常論 文發表順序 我也參加機構與機器人學相關的議程：(一)撓性機構(二)機器動力學(三)機器人應用與原 理(四)機構的合成、元件、與應用。本次議程中撓性機構的理論與應用為一大重點，這方面 的研究在過去十年來有很大的進展。撓性機構的進展快速，過去十年來由於微小機構的研發 需要，機構多由材料製程設計，在奈米製程下的機構運動與其材料及結構剛性息息相關。但 是在進入奈米製程之前，撓性機構的理論需先在一般大小的機構上做研究，包括其計算方法 及設計理論。
三、
攜回資料名稱及內容
Proceeding CD-ROM of the 2010 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition
Final Program of the 2010 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition
98 年度專題研究計畫研究成果彙整表
計畫主持人：黃金沺 計畫編號： 98-2221-E-006-044-計畫名稱：應用線幾何學於有限運動學及機構分析之研究 量化 成果項目 實際已達成 數（被接受 或已發表） 預期總達成 數(含實際已 達成數) 本計畫實 際貢獻百 分比 單位 備 註（質 化 說 明：如 數 個 計 畫 共 同 成 果、成 果 列 為 該 期 刊 之 封 面 故 事 ... 等） 期刊論文 0 0 100% 研究報告/技術報告 0 0 100% 研討會論文 1 1 100% 篇 論文著作 專書 0 0 100% 申請中件數 0 0 100% 專利 已獲得件數 0 0 100% 件 件數 0 0 100% 件 技術移轉 權利金 0 0 100% 千元 碩士生 3 3 100% 博士生 0 0 100% 博士後研究員 0 0 100% 國內 參與計畫人力 （本國籍） 專任助理 0 0 100% 人次 期刊論文 1 1 100% 研究報告/技術報告 0 0 100% 研討會論文 1 1 100% 篇 論文著作 專書 0 0 100% 章/本 申請中件數 0 0 100% 專利 已獲得件數 0 0 100% 件 件數 0 0 100% 件 技術移轉 權利金 0 0 100% 千元 碩士生 0 0 100% 博士生 0 0 100% 博士後研究員 0 0 100% 國外 參與計畫人力 （外國籍） 專任助理 0 0 100% 人次其他成果
