高效能大地工程有限元素分析之研究(I)

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行政院國家科學委員會專題研究計畫期中進度報告

高效能大地工程有限元素分析之研究(1/3)

計畫類別：個別型計畫

計畫編號： NSC94-2211-E-011-010-

執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日執行單位：國立臺灣科技大學營建工程系

計畫主持人：謝佑明

計畫參與人員：潘茂森

報告類型：精簡報告

處理方式：本計畫可公開查詢

中華民國 95 年 6 月 1 日

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中文摘要

本研究主要在開發改進大地工程的有限元素分析步驟，在此稱為「階段性網格重置有限元素分析」。使用單一網格考慮多階段有限元素之分析時需包含多個不同的幾何形狀之邊界，使網格的產生需要通過所有階段的幾何邊界而造成網格產生十分困難而必須使用相當微小的分割，因此產生大量的自由度量並需要龐大的計算能力才能求解。

此新方法主要在改善多階段變動幾何形狀網格的產生，而降低自由度量，減少不必要的計算資源浪費，並可模擬工程於時間上的連續性，應用於三向度有限元素分析上，更能減少因龐大自由度量所需的時間。本報告中以一大地工程開挖為例，並與ABAQUS 有限元素分析軟體配合實現此分析步驟，並比較了此方法與用傳統分析方法分析之結果，證明了此方法之正確性。本研究並開發一後處理程式以追蹤各階段特定節點應力及位移變化之結果。

關鍵詞: 有限元素分析、階段性網格重置、內插、變動最小平方法

英文摘要

This work proposes an innovative application of remeshing technique for finite element analysis in geotechnical engineering applications. Traditionally, finite element analyses for geotechnical engineering problems (which typically involve changing geometries) require the finite element mesh to be created to consider all possible geometrical boundaries (soil stratification, staged excavation, etc.). As a result, very fine discretization of finite element meshes is required for problems with complicated geometries in order to incorporate all possible geometrical conditions, and consumes large amount of computational resources.

The new procedure that is proposed in this work uses different finite element meshes to represent different stages of construction, thus very few geometrical boundaries need to be incorporated in each mesh. As a result, a reduction of number of degrees of freedom and computational resources can be achieved. In this report, a comparison between the proposed new procedure and the tradition procedure is made, and we have proved that the new procedure can yield necessary accuracy in engineering applications. Additionally, a new post-processing software is developed in order to keep track of displacements between different stages of construction based on the proposed procedure.

Keywords: finite element analysis, remeshing technique, interpolation, moving least square

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II 目錄

中文摘要... I 目錄...II 表目錄... III 圖目錄... IV

前言及背景... 1

階段性網格重置有限元素分析... 1

分析步驟... 2

解映射方法... 3

程式架構... 4

案例分析結果與討論... 4

結論與討論... 7

參考文獻... 7

計畫成果自評... 9

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表目錄

表1、三種不同內插方法均勻與亂數點位之誤差比較... 4

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IV 圖目錄

圖1、一二向度深開挖施工順序及單一網格所需通過之幾何形狀邊界... 2

圖2、(a)~(e)為使用多重網格所需考慮之不同階段開挖之幾何形狀邊界... 2

圖3、階段性網格重置有限元素分析步驟... 3

圖4、三種內插方法之效能比較... 4

圖5、程式架構圖... 5

圖6、深開挖分析模型... 5

圖7、開挖第四階段整體應力場比較... 5

圖8、A-A 斷面上各階段應力分佈與新舊計算方式之差異... 6

圖9、新方法 B-B 及 C-C 斷面各階段位移變化和第四階段新舊方法之差異性 ... 6

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前言及背景

人口密集的都會區裡，建築物林立，新建工程與鄰近建築物或設施之距離往往十分有限，而在施工過程中難免對於鄰房及鄰近設施有所影響，此影響必須在工程開始前進行評估，並透過成功的工程設計以確保在施工的過程中以及完工後不致影響鄰近設施的服務性與安全性。

傳統大地工程分析方法如極限平衡法(limit equilibrium)著重於穩定性分析，並透過安全係數的方式以克服土壤性質之不確定性以及考慮對鄰近設施的影響。此設計方式並非直接地考慮深開挖工程對於鄰近設施的影響，而安全係數的選擇主要仰賴過去工程經驗而無法以依客觀而合乎物理原則的方法決定，因此可能造成過度設計，付出不必要的成本；亦有設計不足的可能，使鄰近設施受損，而必須付出額外的成本。

有限元素法(finite element method)為目前廣泛應用於各領域之研究分析的數值方法，大地工程常需面對複雜的幾何形狀、材料性質的變異性、材料的非線性行為等等，有限元素法均可合理地考量這些特性，並可由分析的結果得到完整的變位場(displacement field)與應力場( stress field )等相關資訊；但目前無論學術界或是業界所廣泛使用的有限元素分析多為使用平面應變假設之二向度分析，但由於實際工程問題多為三向度的問題，二向度之有限元素分析必須對實際工程問題做出工程判斷或是利用經驗以決定適當的二向度幾何形狀、

支撐勁度或施工順序等等。而這些判斷或經驗也降低了有限元素分析方法的嚴謹性與可靠性。因此最完整、所需假設最少的分析方式乃採用三向度有限元素分析。然而大地工程的三向度有限元素模型具有大量的自由度，因此需要冗長的計算時間。

根據經驗，深開挖分析上側向邊界使用開挖深度的5~10 倍距離為一適當的距離，因此若一深開挖工程為30 米深，則有限元素模型必須在側向上跨越 300~600 米的距離；若所考量的工程為隧道開挖，則有限元素模型之隧道向長度可能為數百米至千米，因此大地工程之有限元素模型需涵括廣大的範圍。而工程分析上所需考慮的工程行為與工程設施相對微小，如前例，一30 米之深開挖可能假設 5 至 10 階段進行數值模型的開挖，則每一階段僅為3 至 6 米，而所用來支撐的連續壁系統可能僅有 0.3 米至 1 米的厚度，因此，相對於有限元素分析網格所涵括的範圍，其所需描述的工程行為與設施極為微小。因此，大地工程之有限元素模型實際上需跨越多個長度尺度，而造成三向度有限元素分析，由於所需求解的自由度數量極為龐大，即使進行線彈性分析亦需要冗長的計算時間，而大地工程問題之非線性更使得計算時間成倍數成長。因此三向度有限元素分析無論國內外都極少被應用於大地工程研究或案例分析上，而文獻中少數所能看到的三向度有限元素分析常使用及為粗糙的網格，而降低了其分析結果之準確性與可靠性。

階段性網格重置有限元素分析

階段性網格重置有限元素分析法為本研究中所提出的新分析模式，此分析方法主要的概念乃根據不同階段開挖的幾何形狀，產生不同的網格元素進行有限元素分析，並將分析完成的結果，以內插的方式將計算結果 (應力、應變、位移等…) 分別以解映射 (solution mapping) 到下一階段所產生新網格元素的節點或積分點上，此種新分析模式同等於模擬工程在時間上的連續性。本研究之困難在於找出適當且高效率的解映射方式，由於所欲解決的問題不同，可能最適當的內插方法也會有所不同，因此本研究將評估不同的解映射方式。

圖為一以平面應變假設進行之深開挖分析模型示意圖，圖中之數字表示開挖順序。目前實務上傳統的大地工程有限元素分析，是將所有不同階段的幾何形狀盡納入單一有限元

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2

素網格中，並在分析不同階段時將對應於被挖除材料的有限元素移除。如圖之深開挖，此開挖分成五個階段完成，以傳統有限元素分析時，網格的產生須包括所有階段的幾何形狀，

且必須沿著所有階段的幾何形狀邊緣，如沿著圖中所有的線條產生網格分割

(discretization)，因為在進行計算時，事實上真正需要細微切割的部份為靠近開挖的網格部份，距離開挖較遠處所需之網格分割可較為粗糙而且不會影響到所得數值解的準確性，因此本研究所提出的階段性網格重置有限元素分析法乃改變此部份的分析流程而提出一新的分析流程。

以圖1 之一二向度深開挖施工順序為例，階段性網格重置有限元素分析法所需考慮的開挖步驟之幾何形狀如圖2 步驟(a)~步驟(e)所示，分別表示此開挖的五個階段，而在進行有限元素分析時，我們根據步驟(a)階段的幾何形狀產生此階段的有限元素網格，之後根據傳統的有限元素分析模式，進行數值分析，最後取得第一階段分析結果，若第一階段結果順利求得，則此時我們將根據第二階段幾何形狀，先產生第二階段有限元素網格，利用解映射的方式，將第一階段所得結果內插到第二階段的元素節點或積分點上，如此依序求解有限元素分析、解映射，直到開挖完成或有限元素分析無法平衡為止。

2 1

3 4

5

圖1、一二向度深開挖施工順序及單一網格所需通過之幾何形狀邊界

圖2、(a)~(e)為使用多重網格所需考慮之不同階段開挖之幾何形狀邊界

分析步驟

本研究採用一泛用型之有限元素分析軟體ABAQUS 為基礎進行標準有限元素分析，並自行開發使用者模組以自動化新的分析流程。整體分析步驟如圖3 所示，主要分成 ABAQUS 和My Program 兩個部份，以及 ABAQUS 產生的輸出檔案，動線編號 1~16 為分析步驟的先後順序以下稱step1~step16，從 step1 開始進入 ABAQUS 初始階段分析，此部份需建立初始模型，建立相關參數，之後進行第一階段分析；分析完後經由step2 透過有限元素計算結果之輸出檔案計算下一階段模型之初始應力場；並由step3 根據第一階段分析完的模型幾何外觀，建立下一階段模型網格；網格建立後由step4 產生.inp 網格模型輸出檔；step5 送出第二階段模型進行有限元素分析，並將第一階段結束時之應力狀態映射到第二階段積分點上，目前之實行乃由有限元素分析程式經由step6 呼叫 Sigini.lib 中的函式；由 step7 呼叫

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內插函式庫MyLib.lib；並由 step8 讀取上一階段輸出檔案中之應力資訊；經由 step9 回到 MyLib.lib 這個內插函式庫裡進行解映射運算；再透過 step10 回傳計算完的結果給

Sigini.lib；最終透過 step11 回傳有限元素分析程式下一階段某點的解映射後應力値。如此重複step6~ step11，解映射完所有點，之後進行下一階段分析，分析完後經由 step12 決定是否有下一階段分析，如果有則由step13 產生下一階段之輸出檔，並由 step14 根據前一階段幾何模型外觀建立下一階段模型網格，如此重複step4~step14，直到所有階段開挖步驟結束，由step15 產生輸出相關檔案，並由 step16 結束整個分析步驟。

ABAQUS ABAQUS

My Program

*.fil 2

*.inp 4

1

n ABAQUS

13 15

3

16 12

*.inp

*.fil

5

MyLib.lib

Sigini.lib

7 8

6 9

10

11 14

圖3、階段性網格重置有限元素分析步驟

解映射方法

解映射所使用的內插方式對於階段性網格重置 (remeshing) 有限元素分析中之分析結果具有一定的影響，文獻中所提出許多的內插方法(Maron and Lopez, 1991; Nayroles et al.

1992; Hu and Randolph, 1998; Krysl and Belytschko, 2001; Li et al., 2004; Lekien and Marsden, 2005; 李政達 2002; 朱峻平 2003)，其中以 Inverse Distance Algorithm (IDA)、Least Square (LS)、及 Moving Least Square (MLS) 等三種方法較適合不規則點位之內插。藉由本研究所開發出來的程式進行三種方法的二維度與三維度內插比較，分別以一已知函數輸出已知點與其函數值，之後產生未知點位並對已知點進行內插動作，其誤差的評估方式為內插後結果減去精確解取絕對値，在此並分別對均勻產生點位與亂數產生點位進行比較，其二維與三維函數假設如下：

二維：

f x y

₂( , ) sin(=

x y

+ )，三維：

f x y z

₃( , , )=

x

²+

y

²+ ，

z

² , , 2

x y z

2

π π

− ≤ ≤

最大誤差表示方式：

Error = abs(各點位內插結果–各點位精確解)

Max Error = L∞-Norm (Error) (即找出所有誤差中之最大值)

最大誤差結果分別如下表所示，其中LS 與 MLS 所採用的基底函數為三階：

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4

表1、三種不同內插方法均勻與亂數點位之誤差比較

已知點 100 2500 8100 100 2500 8100 1000 3375 8000 1000 3375 8000

內差點 400 3600 10000 400 3600 10000 1331 4096 9261 1331 4096 9261

IDA 1.40E-01 2.58E-02 1.42E-02 3.40E-01 1.02E-01 5.41E-02 5.11E-01 2.94E-01 2.14E-01 5.08E-01 3.40E-01 1.98E-01 LS 2.27E-01 3.69E-01 3.87E-01 2.28E-01 3.60E-01 3.90E-01 7.48E-01 7.14E-01 7.02E-01 4.94E-01 5.27E-01 5.85E-01 MLS 2.46E-02 3.60E-05 3.32E-06 2.05E-02 8.82E-05 8.75E-06 3.75E-01 1.63E-01 1.07E-01 2.58E-01 1.14E-01 8.09E-02

2D IDA & LS & MLS Error 3D IDA & LS & MLS Error

均勻資料點分佈亂數資料點分佈均勻資料點分佈亂數資料點分佈

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

0 5000 10000 15000 20000 25000

Nodes

Times (sec.)

IDA LS MLS

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

0 5000 10000 15000 20000 25000

Nodes

Times (sec.)

IDA LS MLSbg

(左) 三種內插方法之效能；(右) MLS + 背景網格加速圖4、三種內插方法之效能比較

由上表1 可發現 IDA 與 MLS 在二維和三維及均勻和亂數產生點位中，其最大誤差隨著取樣點位的增加而有減少的趨勢，且MLS 的縮減幅度最大；而 LS 在二維及三維亂數點時均有變大的趨勢，其誤差來源主要在邊界的地方，當點位越多時，LS 需考慮更多的點位，而造成過度描述的誤差。由圖4(左)使用三種方法計算不同點數內插的時間，其中以 LS 為最快的內插方式，其次為IDA 和 MLS，圖 4(右)為使用背景網格技巧 (李政達 2002、朱峻平 2003) 加速之 MLS (在此稱 MLSbg)。在計算 22100 內差點時，其時間從原本的 125 秒減少到2.5 秒左右，從誤差及效能兩方面看，LS 計算時間雖短，但其誤差會因內插數量的增加而增加；IDA 雖其誤差隨著取樣點數的增加而有減少的趨勢，但其計算時間需較久，且誤差縮減的趨勢遜於MLS，因此本研究採用 MLS 作為解映射的方法。

程式架構

程式架構分成三個主要部份，MyLib.lib、Sigini.lib、與後處理程式，其中前兩個包裝為函式庫(圖 3)。Sigini.lib 主要為提供 ABAQUS 呼叫自行撰寫的內插程式 MyLib.lib 的中繼介面，MyLib.lib 中則包含以 C++與物件導向技術開發之讀檔函式以讀取有限元素分析之輸出檔、內插類別、權重計算類別以及點搜尋類別。後處理程式用來處理階段性網格重置有限元素分析中，不同階段特定點位的位移追蹤及應力線輸出，作為和傳統分析方式的差異性評估，程式主要架構如圖5。

案例分析結果與討論

本研究方法以一開挖模型評估所提出之新分析程序，此模型分五階段開挖，每階段開挖3 米，擋土牆貫入深度 30 米，厚度 1.1 米，土壤參數 γ = 1.5 t/m3，E = 5000 t/m2，υ = 0.49，

c = 4.35t/m2，土壤組成律模式假設為完全彈塑性模式，並以莫爾－庫倫降伏準則進行不排

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水分析，混凝土參數γ = 2.4 t/m3，E = 2.51E+6 t/m2，υ = 0.33，模型如圖 6 所示：

(a) MyLib.lib 函式庫架構 (b) 後處理程式架構圖5、程式架構圖

圖6、深開挖分析模型

(a)新方法剪應力場 (b)舊方法剪應力場 (c)新方法圍壓應力場 (d)舊方法圍壓應力場圖7、開挖第四階段整體應力場比較

圖7 為模型分析完成後，第四階段新舊方法之剪應力與圍壓應力之分佈狀況 (此模型於第五階段發生破壞而無法達到力平衡狀態，故使用第四階段的應力場比較之)。從圖中可發現使用階段網格重置的分析方式，其整體應力場與舊方法相近。我們再觀看圖6 中 A-A 斷面各階段的應力值(圖 8)，其應力曲線相當近似，相對誤差幾乎都在-5%~10%間，其中圖 8(d)中有幾點差異量異常的大，是因為其値微小，在計算相對差異時被過度放大，而造成此異常，其新舊兩方式的應力分佈曲線還是很貼近的。圖9 為各階段新方法在 B-B 斷面和 C-C

A

A B

C

C B

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6

斷面的變化，並以舊方法第四階段分析結果進行比較，如圖9 所示，新舊方法第四階段的位移相當近似，且其第四階段兩方法相對差異量都在-1%~2.5%之間，差異不大。根據這些斷面的應力場及位移可證明階段性網格重置有限元素分析有合理的分析結果。

Mises Stress Lines

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

stress depth new_exca1_mises

old_exca1_mises new_exca2_mises old_exca2_mises new_exca3_mises old_exca3_mises new_exca4_mises old_exca4_mises

Pressure Stress Lines

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

-5 15 35 55

stress

depth

new_exca1_pressure old_exca1_pressure new_exca2_pressure old_exca2_pressure new_exca3_pressure old_exca3_pressure new_exca4_pressure old_exca4_pressure

(a) 剪應力分佈 (b) 圍壓應力分佈

Mises Offest

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

-1.5% -1.0% -0.5% 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0%

Offeset

depth

exca1 exca2 exca3 exca4

Pressure Offset

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

-5.0% 0.0% 5.0% 10.0% 15.0% 20.0%

Offset

depth

exca1 exca2 exca3 exca4

(c) 剪應力之相對差異 (d) 圍壓應力之相對差異

圖8、A-A 斷面上各階段應力分佈與新舊計算方式之差異

Gr o u n d

-0. 045 -0. 04 -0. 035 -0. 03 -0. 025 -0. 02 -0. 015 -0. 01 -0. 005 0

-100 -95 -90 -85 -80 -75 -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25

new_step0 new_step1 new_step2 new_step3 new_step4 old_step4

Wall-Righ t

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0

-25 -24.99 -24.98 -24.97 -24.96 -24.95 -24.94

new_step0 new_step1 new_step2 new_step3 new_step4 old_wall

(a) C-C 斷面位移變 (b) B-B 斷面位移變化

Exca4 Wall-err

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

-1.50% -1.00% -0.50% 0.00% 0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00%

err

Exca4 Ground-err

-1.50%

-1.00%

-0.50%

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30

err

(c)第四階段 C-C 斷面位移之差異 (d) 第四階段 B-B 斷面位移之差異圖9、新方法 B-B 及 C-C 斷面各階段位移變化和第四階段新舊方法之差異性

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結論與討論

• 本研究根據網格重置 (remeshing) 的概念發展出適用於大地工程問題之有限元素分析程序，此新的分析程序可大幅降低具複雜幾何形狀之有限網格之建立。

• 本研究回顧了多種內插方法，對選取其中適用於不規則取樣、內插點的三種方法：IDA、

LS、與 MLS 進行詳細的誤差與效能評估，評估結果認為 MLS 為應用於網格重置的最理想方式。同時並使用物件導向技巧開發了一泛用的類別，可用以實行不同的內插方式，並提供一致 (consistent) 的介面供其它程式使用各種不同的內插方法。

• 由於此新分析方法將多階段開挖分解為多個分析模型進行計算，因此需另行開發一後處理程式以展現計算成果。

• 本研究亦發展了與有限元素分析軟體 ABAQUS 結合之技術以實現本研究所提出之分析程序。同時，本研究根據一假設案例比較舊有方法與本研究提出之新程序比較其求得之應力場與位移場。結果發現整體趨勢完全一致，而誤差方面由所選取的斷面上得知位移量相對差異小於2.5%，而應力相對差異則小於 10%。

• 由於有限元素法計算所求得之應力位於積分點上，並以 weak formulation 以滿足力平衡條件，因此不同的網格分割將得到不同的應力值，也因此計算結果之應力值有較大的差異是可以預期的。而與原始分析方法之間的位移差異小於2.5%應屬於合理的差異。

• 本研究預計在第一期結束之前將針對: 1) MLS 內插效能之改進；2) 新分析程序能得到網格複雜度之降低；以及3) 三維分析效能進行完整之探討。

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計畫成果自評

本計畫截至目前為止與原計畫第一年預期成果大致相符，目前已完成解映射之適用性評估，並正在開發原型分析系統，並額外開發了後處理分析軟體以便利此方法計算結果之整理與詮解。然而在平行化有限元素分析方法進度稍嫌落後，METIS 函式庫已可被利用於子領域之分解，然而發現利用METIS 分解之子領域加入模型特性可能有相當的難度，因此接下來可能開發一軟體先利用METIS 進行子領域分解，之後再輔以人工方式對於分割出來之子領域進行調整。

本研究之研究成果預計將能產生兩篇SCI 級之期刊論文，並具有實際之應用價值，可應用於具複雜幾何狀之大地工程問題分析，並有效地降低有限元素模型之分析時間。

高效能大地工程有限元素分析之研究(I)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

高效能大地工程有限元素分析之研究(1/3)

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行政院國家科學委員會專題研究計畫期中進度報告