中 華 大 學
碩 士 論 文
題目:具分數微分阻尼達芬方程式之電路實現 Electronic circuits of the fractionally
damped Duffing equation
系 所 別:機 械 與 工 程 研 究 所 學號姓名:E 0 9 5 0 8 0 0 8 沈泳志
指導教授:許 隆 結 博 士
中 華 民 國 九 十 八 年 四 月
摘 摘 摘 摘 要 要 要 要
分數微分及其應用在過去二、三十年已有驚人的進展。近年 來分數微分阻尼系統的振動現象也引起許多學者投入其研究。本 論文以電路模擬研究具分數微分阻尼的達芬方程式受周期外力下 的響應。首先,設計線形單元電路來達成所需的分數階數,經電 路模擬,驗證了分數微分阻尼系統的渾沌行為,並且與數值模擬 分析互相比較,驗證其正確性。
關鍵字:阻尼,渾沌,達芬方程式,電路實驗
Abstract
Theories of fractional derivatives and their applications have surprising progress in the past twenty or thirty years. The vibration phenomenon of fractionally damped system also attracts a lot of researches in recent years. This thesis investigates the dynamics of fractionally damped Duffing equation subject to periodic forces by using electronic circuit. The electronic circuits corresponds to fractional derivatives are designed. The results show the validity of chaos in fractionally damped system. The outputs of electronic circuits are also compared to numerical simulations to verify the validity of results.
Keywords:
Fractional derivatives, Damping, Chaos, Duffing equation, Electronic circuit
誌 誌 誌
誌 謝 謝 謝 謝
在校進修了快接近三年的時間,說短不短,說長不長。而學 習到的不只是知識,更重要的是態度。態度是非常重要的學習歷 練,不管學習知識多高,如果沒有好的態度以及學習精神一切都 是惘然。
首先,必須感謝的是我的恩師,許隆結博士以及師伯陳俊宏 博士。老師百忙之中,不厭其煩的教導讓學生感受獲益良多,對 於老師指導,學生永不忘懷,會秉持著學習以及應有態度來面對 未來。
再者也感謝口試委員陳鎮憲博士、朱朝煌博士。感謝對於我 的論文提出需要改進的地方使本論文能夠更加的完善。
接著感謝學弟們的幫忙打氣加油,才能讓我能夠更有意志力 來完成此階段過程。
最後感謝我的爸媽以及新婚的老婆默默的支持與鼓勵,讓我 能夠無後顧之憂的來完成此階段學業。
目 目 目 目 錄 錄 錄 錄
摘 要... i
Abstract ... ii
誌 謝... iii
目 錄... iv
圖 目 錄... vi
符號說明... vii
第一章 緒論...1
1.1 研究動機...1
1.2 文獻回顧...2
1.3 研究目的...3
1.4 研究方法...3
第二章 分數微分導數和達芬方程式 ...6
第三章 電路模擬實作 ...8
第四章 結果與討論 ...12
第五章 結論...14
參考文獻...15
圖...18
圖 圖 圖
圖 目目目 錄目 錄錄錄
[圖一] 加法器電路...4
[圖二] 乘法器電路...4
[圖三] 積分器電路...5
[圖四] 分數階 q s 1 的線形單元電路實現形式...9
[圖五] 分數階 10.9 s 的線形單元電路實現形式 ...9
[圖六] 達芬方程電路圖...18
[圖七] 當α1,α2,α3=1.0 時,(a)數值模擬相圖,(b)電路模擬相圖(c) 時間歷程...19
[圖八] 當α1 =0.1,α2 =0.9,α3 =1.0時電路圖 ...20
[圖九] 當α1 =0.1,α2 =0.9,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程...21
[圖十] 當α1 =0.2,α2 =0.8,α3 =1.0時電路圖...22
[圖十一] 當α1 =0.2,α2 =0.8,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程...23
[圖十二] 當α1 =0.3,α2 =0.7,α3 =1.0時電路圖...24
[圖十三] 當α1 =0.3,α2 =0.7,α3 =1.0時,(a)數值模擬相圖,(b)電路 模擬相圖(c)時間歷程 ...25
[圖十四] 當α1 =0.4,α2 =0.6,α3 =1.0時電路圖...26 [圖十五] 當α1 =0.4,α2 =0.6,α3 =1.0時,(a)數值模擬相圖,(b)電路
模擬相圖(c)時間歷程 ...27
[圖十六] 當α1 =0.5,α2 =0.5,α3 =1.0時電路圖 ...28
[圖十七] 當α1 =0.5,α2 =0.5,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程...29
[圖十八] 當α1 =0.6,α2 =0.4,α3 =1.0時電路圖...30
[圖十九] 當α1 =0.6,α2 =0.4,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程...31
[圖二十] 當α1 =0.7,α2 =0.3,α3 =1.0時電路圖...32
[圖二十一] 當α1 =0.7,α2 =0.3,α3 =1.0時,(a)數值模擬相圖,(b)電 路模擬相圖(c)時間歷程 ...33
[圖二十二] 當α1 =0.8,α2 =0.2,α3 =1.0時電路圖...34
[圖二十三] 當α1 =0.8,α2 =0.2,α3 =1.0,(a)電路模擬相圖(b)時間歷 程...35
[圖二十四] 當α1 =0.9,α2 =0.1,α3 =1.0時電路圖 ...36
[圖二十五] 當α1 =0.9,α2 =0.1,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷 程...37
符號說明 符號說明 符號說明 符號說明
C: 阻尼係數
D: Caputo 分數微分之導數 fsin(ωt): 週期外力
K:彈簧線性常數
J: Riemann-Liouville 積分運算 M: 質量
Γ: gamma 函數 α: 分數微度
µ: 非線性彈簧係數 上標
m: 常微分中整數微分度
α: Caputo 分數微分中分數微分度
第一章 第一章 第一章
第一章 緒論 緒論 緒論 緒論
1.1 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機
達芬方程式(Duffing equation)是一個著名的非線性方程式,
它廣泛存在於自然界,如物理、工程、機械,甚至在生化的問題上 都可以看到其蹤跡。此方程式最早在於 1918 年由德國電子工程師達 芬在研究彈簧受迫振動時所建立。有關達芬方程式的研究成果陸陸 續續發表,Moon 和 Holmes [1]討論過修正的達芬方程式(modified Duffing equation),即為系統的線性剛度項為一個負數,此方程式 也可以用來描述挫屈樑與平板的動力行為。另外,Hayashi [2]亦研 究 過 類 似 的 達 芬 振 子 , 稱 為 似 達 芬 振 子 (Duffing-like oscillator)。Ueda [3]利用龐加萊截面圖畫出達芬振子的奇異吸引 子,此為所謂日本吸引子或叫上田吸引子。
分數階微分是整數階微分的推廣,利用分數階微分可以更準確 地描述渾沌系統的動力學特性,以及反應系統呈現的工程物理現 象,從而促進了分數階渾沌的研究。
分數微分應用已經延伸到眾多領域,例如,黏彈、電路、熱傳、
電化學、動力學、聚合物理與控制等等 [4,5]。就如同 Miller 與 Ross 學者 [6]所指出「分數微分應用在各個領域」。 實際上,在工 程應用中,已顯示系統用分數微分模式會優於整數微分模式。國內
在此領域的研究,除了戈正銘教授 [7]、陳献庚教授、陳俊宏教授 之外,鮮少有看到相關成果。並且國外在此領域研究,只著重於分 數微分系統的階數(order)到底低到何種程度仍可以展現渾沌運 動。然而在數學工程上已有相當突破,但在實際物理意義上需再進 一步突破。
1.
1.
1.
1.2222 文獻回顧文獻回顧文獻回顧文獻回顧
在 1963 年,大氣科學家 Lorenz 在具有三個二因次非線性獨立 項的普通微分方程上,發現了渾沌現象,成為非線性科學研究的熱 門話題,從此便有許多學者不斷的投入心力去研究探討渾沌現象的 理論研究和應用。
目前科學界對於渾沌的研究有動力系統的渾沌分析、建構新的自 治(autonomous)渾沌系統渾沌控制、渾沌同步化及分數微分的渾沌 動力分析等。分數微分的渾沌動力分析則是本論文所著重的研究重 點方向。近幾年國外已有許多學者將渾沌的研究觸角及於分數微分 系統(Fractional order systems) ,並已證實分數微分系統確實存 在渾沌行為且系統階數可以低於 3 [8-14]。在國內對於分數微分結 合渾沌分析的研究方面,Chen 等人[15]與 Ge 等人 [16]研究具分數 微分的Van der pol 系統並分析其渾沌現象,Sheu 等人[17]研究具
分數微分的Chen-Lee 系統並分析其渾沌現象。
1.3 研究目的 研究目的 研究目的 研究目的
本論文將分數微分以及渾沌觀念引入達芬方程式中,探討其分 數微度之阻尼對系統動力行為影響並作分析,並觀察是否有渾沌或 週期行為產生。因系統的阻尼材料為黏彈性質,故阻尼有記憶效果,
並且若以整數微分是無法達到描述這種現象。在上述文獻中,對於 渾沌系統之研究,仍以數值分析的方法去模擬驗證,然而以電路實 現的方法去模擬驗證,仍有待探討。因此本篇論文採用電路模擬軟 體(Multisim),以電路模擬之方法來研究具微分阻尼的達芬方程式,
並將電路模擬結果和文獻去做比對驗證其可行性。
1.4 研究方法 研究方法 研究方法 研究方法
本論文亦將使用 Multisim 電路模擬軟體來研究具微分阻尼的達 芬方程式,本論文利用下列兩種電路的接法來做為加法器和積分器 以及用類比乘法器-AD633 來做為論文中的乘法器。
加法器:
加法器中利用到總和放大器,總和放大器是一種由運算放大器 與電阻所組成之電路,如[圖一]所示。它可以結合不同的輸入值,
產生出一個輸出值,其中v1,v2,v3與v0的關係式如下:
+ +
−
=
33 2
2 1
1
0
v
R v R
R v R R
v R
f f f[圖一] 加法器電路
類比乘法器-AD633:
在此篇論文中我們所使用的乘法器為 AD633,如[圖二]所示。
其特性為輸出值是兩輸入值相乘的十分之一倍,其關係式如下:
V Y W
ZX
0
10
∆
×
= ∆
=
[圖二]乘法器電路
積分器:
積分器是由運算放大器、電阻和電容所組成的電路,如[圖三]
所示。假定一個帶負回饋的運算放大器,此時其關係式如下:
R t t v
i
in in( ) )
( =
當輸出電壓經過電容器在接回運算放的器的輸入端,可表示為 下式:
) ( )
( t v t v
o= −
C∫
−
=
t ino
v t dt
t RC
v 1
0( )
) (
[圖三] 積分器電路
第 第 第
第二 二 二 二章 章 章 章 分數微分導數和達芬 分數微分導數和達芬 分數微分導數和達芬 分數微分導數和達芬方程 方程 方程 方程式 式 式 式
達芬方程式(Duffing equation)不僅可用來描述機械振動,亦 可表示電路行為。在周期外力作用下,且當阻尼力與速度成正比時,
達芬方程可表示為 :
2
3
2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] sin( )
d d
M x t C x t Kx t x t f t
dt + dt + +
µ
=ω
(2-1)其中 x(t)為位移量、M 為質量、C 為阻尼系數、K 為線性彈簧常 數、μ為非線性彈簧常數,fsin(ωt)是週期振動項且 f 和ω皆為常 數。
對於具有黏彈性質的物體,其阻尼力與位移量的分數微分可成 正比。首先,本文引進分數微分的概念。
分數微分的定義如下 :
( )
m ( )m( ), 0,
D y x
α= J
−αy x
α>
(2-2)m=[ ]α 是比 α大且最接近的整數,
y
( )m 代表一般常微分中 y 對 x 的m 次導數。此外,1 0
( ) 1 ( ) ( ) ( )
J z x
β xx t
βz t dt β
= − −
Γ
∫
(2-3)方程式(2-3)為 Riemann-Liouville 積分運算,其中β>0, Γ(β) 為
Gama 函數。
因此,具分數微分阻尼受迫達芬方程(the fractionally damped Duffing equation),可用下面方程式(2-4)來表示 :
[ ]
2 3
2 ( ) ( ) ( ) ( ) sin( )
M d x t CD x t Kx t x t f t
dt
α
µ ω
+ + + = (2-4)
上面達芬方程式可改寫成:
(2-5)
+
−
−
−
=
=
=
−
) sin
1 (
31 1
2 3
1
3 2 1
2 1
t f
x Kx
M Cx x
D
x x D
x x D
ϖ µ
α α
第三章 第三章 第三章
第三章 電路模擬實作 電路模擬實作 電路模擬實作 電路模擬實作
3.1 分數階微分與其近似值 分數階微分與其近似值 分數階微分與其近似值 分數階微分與其近似值
分數階微分常用的為 Riemann-Liouville 的積分運算[18, 19],數 學式如下:
∫
− − +−
= Γ n t q n
n
q q
t d f dt
d q n dt
t f d
0 1
) (
) ( )
( 1 )
( τ
τ
τ (3-1)
式中,Γ(•)為伽馬函數,n−1<q<n,q 為分數,n 為整數。利用拉普 拉斯轉換將(3-1)式改寫如下:
{ }
0 1
0
1
1 ( )
) ) (
(
=
−
=
−
−
−
∑
−
−
=
t n
k
k q
k q k q
q q
dt t f s d
t f L dt s
t f
L d (3-2)
當函數 f(t)的初始值為 0 時,可將方程式(3-2)改寫為
{
( )}
)
( s L f t dt
t f
L d q q
q
=
(3-3)
目前,實施分數微分積分運算的求解方法有多種,但工程上常用
的是時域與複頻域轉換法。通過求解複頻域的 q
s
1 ,得到複頻域的展
開形式,再將複頻形式轉化為時域形式進行數值求解,在此介紹一
種波德圖形逼近法來確定 q
s
1 的展開式。
以q=0.1~0.9的 q
s
1 展開式。在此採用近似誤差為 2 dB 的 q
s
1 展開
式[18-20]。當q=0.9時
) 4 . 359 )(
154 . 2 )(
01292 . 0 (
) 4 . 215 )(
292 . 1 ( 2675 . 2 1
9 .
0 + + +
+
≈ +
s s
s
s s
s (3-4)
3.2 分數階線形單元電路實現 分數階線形單元電路實現 分數階線形單元電路實現 分數階線形單元電路實現
根據文獻[19]可得一線形單元電路來實現 q 從 0.1 到 0.9 的 q
s
1 展
開式,如[圖四]所示。
[圖四] 分數階 q
s
1 的線形單元電路實現形式。
[圖四]中A 與 B 之間的等效電路的複頻域表示式為
( )
1 1 3 3 1 13 2
2 2 1
1 1
+ + + +
+ + + +
=
n n
n
C sR
R C
sR R C
sR R C
sR s R
F K (3-5) 式中 n 為 q 從 0.1 到 0.9 的 q
s
1 展開式分母中 s 的最高階。
從文獻[13]可知,當q=0.9, n=3,線形單元電路如[圖五]所示
[圖五] 分數階 10.9
s 的線形單元電路實現形式。
可由方程式(3-5)得知為:
( )
1 1 3 3 13 2
2 2 1
1 1
+ + + +
= +
C sR
R C
sR R C
sR s R
F (3-6) 將方程式(3-4,3-6)互相比較可得:
01292 . ) 0 1(
1 1
C =
R (3-7)
154 . ) 2 1(
2 2
C =
R (3-8)
4 . ) 359 1(
3 3
C =
R (3-9)
2675 . 1 2
1 1
3 2
1
= +
+ C C
C (3-10)
0 . ) 631 (
( ) (
3 2 1 3 2 1 3 2
1 + + =
C C C R R R R R
R (3-11)
5474 . ) 496 (
) (
3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 2 1 1 1 3
3 3 1 1 1 2 2 2 3
+ = +
+
+ +
C C C R R R C R R C R R C R R
C R R C R R C R R
(3-12)
經過計算得
Ω
= M
R1 62.840 ,R2 =0.2500MΩ,R3 =0.0025MΩ。
F
C1=1.232µ ,C2 =1.8400µF,C3 =1.100µF。
同理,當 q 取其他值時,得到分數階 q
s
1 線形單元電路中的電阻
值、電容值分別如表 1、表 2 所示[19]。
表 1 分數階 q
s
1 線形單元電路中的電阻值。
q n R1(MΩ) R2(MΩ) R3(MΩ) R4(MΩ) R5(MΩ) R6(MΩ)
0.1 3 0.636 0.3815 0.5672
0.2 4 1.130 0.6070 0.3500 0.425
0.3 5 2.050 0.9380 0.4830 0.262 0.2498
0.4 6 3.744 1.3920 0.6310 0.294 0.1430 0.106 0.5 6 6.824 1.9440 0.7440 0.296 0.1230 0.068 0.6 6 12.330 2.4480 0.7380 0.233 0.0754 0.030 0.7 6 21.900 2.6000 0.5260 0.113 0.0246 0.006 0.8 5 37.850 1.7540 0.1700 0.017 0.0018
0.9 3 62.840 0.2500 0.0025
表 2 分數階 q
s
1 線形單元電路中的電容值。
q n C1(µF) C2(µF) C3(µF) C4(µF) C5(µF) C6(µF)
0.1 3 15.720 0.1572 0.0006335
0.2 4 27.990 2.9300 0.285 0.0132 0.3 5 22.640 5.5200 1.200 0.2460 0.029
0.4 6 15.020 5.9260 1.920 0.6050 0.183 0.036 0.5 6 9.246 5.1450 2.129 0.8480 0.324 0.925 0.6 6 5.527 4.0850 1.990 0.9260 0.420 0.156 0.7 6 3.284 3.1390 1.700 0.8860 0.454 0.207 0.8 5 1.980 2.4000 1.390 0.7800 0.420
0.9 3 1.232 1.8400 1.100
第四章 第四章 第四章
第四章 結果與討論 結果與討論 結果與討論 結果與討論
本節著重在不同的微度 α 對系統的影響,首先固定系統參數 M=1.0,C=0.4,K=-1.0,f=0.4,ω=1.0,µ=1.0,以及將 α 的範 圍定義在 0 與 1 之間。在 α=1.0 時,系統可視為整數微分的達芬方 程式,此時系統產生渾沌運動,運用電路模擬[圖六]所示來呈現渾 沌運動現象[圖七]中(b)所示,在電路模擬的過程中,為了要觀察系 統在穩態時的動力行為,希望能將系統的暫態行為消除,因此將前 面週期捨棄,取後面週期。本文利用電路模擬(Multisim)來模擬整數 微分的達芬方程式,在相同的參數下其結果與[圖七]中(a)數值模擬 相圖相當吻合,也證明本論文採用的電路模擬方法可以精確模擬分 數微分非線性多項方程式的渾沌現象。
當α1 =0.1,α2 =0.9,α3 =1.0時,運用電路模擬[圖八] 所示呈現週 期相軌跡圖[圖九]、α1 =0.2,α2 =0.8,α3 =1.0時,運用電路模擬[圖十]
所示呈現週期相軌跡圖[圖十一],此為運用方程式(2-4)展現週期運 動。
當α1 =0.3,α2 =0.7,α3 =1.0時電路模擬[圖十二] 所示呈現週期相 軌跡圖[圖十三] 中(b)所示,在相同的參數下其結果與[圖十三]中(a) 數值模擬相圖相當吻合,此為運用方程式(2-4)展現週期運動。
當α1 =0.4,α2 =0.6,α3 =1.0時,運用電路模擬[圖十四]所示,其相
軌跡圖如[圖十五] 渾沌運動現象(b)所示,以及在相同的參數下其結
果與[圖十五]中(a)數值模擬相圖相當吻合。
當α1 =0.5,α2 =0.5,α3 =1.0,運用電路模擬[圖十六],其相軌跡圖 如[圖十七] 渾沌運動現象(a)所示。
當α1 =0.6,α2 =0.4,α3 =1.0運用電路模擬[圖十八],其相軌跡圖如 [圖十九] 渾沌運動現象(a)所示。
當微度α1 =0.7,α2 =0.3,α3 =1.0時,運用電路模擬[圖二十],此時 渾沌運動消失,但是本文發現此系統產生的第一個週期三行為。因 此本文將α =0.7的相軌跡圖繪出[圖二十一] 中(b)所示,與(a)數值 模擬相圖相當吻合。
當α1 =0.8,α2 =0.2,α3 =1.0時,運用電路模擬[圖二十二],此時又 變成渾沌現象[如圖二十三](a)所示。
當α1 =0.9,α2 =0.1,α3 =1.0時,運用電路模擬[圖二十四],展現週 期運動[如圖二十五](a)所示。
第 第 第
第五 五 五 五章 章 章 章 結論 結論 結論 結論
本文以數值模擬和電路實驗兩方面研究了分數微分渾沌系統,
利用分數微分積分器 α
s
1 單元電路以及分數微分渾沌系統的電路實驗
結構。進行的數值模擬和電路實驗證實,當α =1.0,0.4,0.5,0.6,
0.8 時的數值確實是處於渾沌狀態、α =0.1,0.2,0.3,0.7,0.9 時的數值為週期狀態,近而說明數值模擬相圖與電路實驗相圖一致。
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[圖六] 達芬方程系統電路圖
(a) (b)
(c)
[圖七] 當α1,α2,α3=1.0 時, (a)左圖數值模擬相圖,(b)右圖電路模擬相圖 (c)時間歷程
[圖八] 當α1 =0.1,α2 =0.9,α3 =1.0時電路圖
(a)
(b)
[圖九] 當 α1 =0.1,α2 =0.9,α3 =1.0(a)電路模擬相圖(b)時間歷程
[圖十] 當α1 =0.2,α2 =0.8,α3 =1.0時電路圖
(a)
(b)
[圖十一] 當 α1 =0.2,α2 =0.8,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程
[圖十二] 當α1 =0.3,α2 =0.7,α3 =1.0時電路圖
(a) (b)
(c)
[圖十三] 當α1 =0.3,α2 =0.7,α3 =1.0時,(a)左圖數值模擬相圖,(b)右圖電路模擬相圖 (c)時間歷程
[圖十四] 當α1 =0.4,α2 =0.6,α3 =1.0時電路圖
(a) (b)
(c)
[圖十五] 當α1 =0.4,α2 =0.6,α3 =1.0時,(a)左圖數值模擬相圖,(b)右圖電路模擬相圖 (c)時間歷程
[圖十六] 當α1 =0.5,α2 =0.5,α3 =1.0時電路圖
(a)
(b)
[圖十七] 當 α1 =0.5,α2 =0.5,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程
[圖十八] 當α1 =0.6,α2 =0.4,α3 =1.0時電路圖
(a)
(b)
[圖十九] 當 α1 =0.6,α2 =0.4,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程
[圖二十] 當α1 =0.7,α2 =0.3,α3 =1.0時電路圖
(a) (b)
(c)
[圖二十一] 當α1 =0.7,α2 =0.3,α3 =1.0時,(a)左圖數值模擬相圖,(b)右圖電路模擬相 圖
(c)時間歷程
[圖二十二] 當α1 =0.8,α2 =0.2,α3 =1.0時電路圖
(a)
(b)
[圖二十三] 當α1 =0.8,α2 =0.2,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程
[圖二十四] 當α1 =0.9,α2 =0.1,α3 =1.0時電路圖
(a)
(b)
[圖二十五] 當 α1 =0.9,α2 =0.1,α3 =1.0 (a)電路模擬相圖(b)時間歷程