非均質土體上淺基礎傾斜量與差異沉陷量之估計方法

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國立臺灣大學工學院土木工程學系碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering National Taiwan University

Master Thesis

非均質土體上淺基礎

傾斜量與差異沉陷量之估計方法 Tilt and differential settlement estimation

of shallow foundations on a spatially variable soil mass

黃銘麒

Ming-Chi Huang

指導教授：卿建業博士 Advisor: Ching, Jian-Ye, Ph.D.

中華民國 106 年 12 月

December, 2017

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誌謝

感謝指導教授卿建業老師這兩年半以來的教導與包容，感謝毓港學長在研究上的各種強力協助，感謝研究室的各位學長姐、同學與學弟妹。

感謝我的家人，尤其是我的父母。感謝社團的朋友們，還有我的女朋友。

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中文摘要

在大地工程中面對的材料往往是自然產生而非均質的。但實務上為求方便，

許多計算皆是建立在均質假設上，因此要如何簡便而又不失準確性的找出能代表非均質性質的單一數值便十分重要。

Vanmarcke (1977) 表示，具空間變異性的土壤性質可視為隨機場。考慮水平與鉛直方向具有相同關聯性長度的土體，Ching and Hu (2017) 使用有限元素分析提出 pseudo incremental energy model，以加權幾何平均來估計受到均勻沉陷量的剛性淺基礎「感受到的」土體的等效楊氏模數。對於向上連接著柱的淺基礎來說，

由於受到上部結構的約束，均勻沉陷而不會傾斜的假設是合理的，而此時除了沉陷量之外，差異沉陷量也是必須考量的；相對的，在筏式基礎的情形中，則應假設淺基礎能有傾斜發生。本研究建立在 pseudo incremental energy model 上，試圖估計出淺基礎的差異沉陷量與傾斜量，考慮到筏式基礎的傾斜與兩相鄰淺基礎的差異沉陷之間的相似性，本研究會先尋找差異沉陷量的估計方式，再判斷估計之差異沉陷量是否與傾斜量有明確的關係，能做簡單修正後當作傾斜量的估計。

結果發現，兩個受到相同荷載的等寬剛性不傾斜淺基礎，其間的差異沉陷量可以用兩基礎在「只有自己基礎上的荷載存在時」各自的沉陷量的差值來估計，

即便沒有考慮另一個荷載造成的影響而不能準確的代表各自真正的沉陷量，其差值能很有效的估計差異沉陷量。本研究並發現，運用此方法估計兩基礎相鄰時的差異沉陷量，其值的 2.581 倍即大約是單一基礎的傾斜量。

關鍵字：隨機場、空間變異性、有限元素分析、楊氏模數、淺基礎

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Abstract

The materials we face in geotechnical engineering are often resulting from natural process, and thus heterogeneous. However, for the purpose of convenience, many calculations are based on homogeneity hypothesis. So it is important to have a representative estimate of the value.

To estimate effective Young’s modulus, Ching and Hu (2017) introduced the pseudo incremental energy model to calculate the weights and the weighted geometric average Young’s modulus. Based on their result, this study focus on the tilt and differential settlement. Due to the similarity, the two values might have strong relation or similar estimation process.

As a result, one can estimate the settlement of a shallow foundation caused only by the load on it by pseudo incremental energy model, and the difference between the two values would be almost the same as the differential settlement when both the loads exist.

Also, by viewing as two foundations, the tilt of foundation can be estimated by the differential settlement times 2.581.

Keyword: random field, spatial variability, finite element analysis, Young’s modulus, shallow foundation.

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符號表

第二章

cov 共變異數 covariance

COV 變異係數 coefficient of variance

Ewg 楊氏模數之加權幾何平均 weighted geometric average Young’s modulus PDF 機率密度函數 probability density function

QExp 二次指數模型 squared exponential model SExp 一次指數模型 single exponential model Δε 應變增量，應變變化量 strain increment

Δσ 應力增量，應力變化量 stress increment

ΔU 擬能量增量 pseudo incremental energy

ΔUⁿ 正規化之擬能量增量 normalized pseudo incremental energy Δτ 剪應力增量，剪應力變化量 shear stress increment

δ 關聯性長度 scale of fluctuation

μ 平均值 mean

ρ 自關聯性 autocorrelation

σ 標準偏差，標準差 standard deviation

σ² 變異數 variance

第三章

A 觀察沉陷量的基礎

A 情境：僅施加觀察沉陷量基礎上的荷載

AB 情境：施加兩基礎上的荷載

Ai 情境：最後才施加觀察沉陷量基礎上的荷載時

(6)

B 非觀察沉陷量的基礎 (另一基礎)

B 情境：僅施加非觀察沉陷量基礎上的荷載

B 基礎寬度

Bi 情境：最後才施加非觀察沉陷量基礎上的荷載時

CF2 鉛垂向集中載重

COV 變異係數 coefficient of variance dis 兩基礎中心間距

E 楊氏模數 Young’s modulus

LR 情境：施加兩基礎上的荷載

LR0 情境：僅施加左基礎上的荷載

LRi 情境：已施加左基礎上的荷載時，再施加右基礎上的荷載

RFEM 隨機有限元素分析法 random finite element method

RL0 情境：僅施加右基礎上的荷載

RLi 情境：已施加右基礎上的荷載時，再施加左基礎上的荷載

SExp 一次指數模型 single exponential model

t 土體厚度與基礎寬度之比值

w 基礎中心至邊界距離與基礎寬度之比值

Δε 應變增量，應變變化量 strain increment Δσ 應力增量，應力變化量 stress increment δ 關聯性長度 scale of fluctuation

μ 平均值 mean

ν 柏松比 Poisson’s ratio

ρ 自關聯性函數 autocorrelation function

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第四章

U2_d 差異沉陷量 differential settlement U2_L 左基礎鉛垂方向位移量 (沉陷量)

U2_L_CFR 僅右荷載存在時左基礎之鉛垂方向位移量 (沉陷量) U2_R 右基礎鉛垂方向位移量 (沉陷量)

U2_R_CFL 僅左荷載存在時右基礎之鉛垂方向位移量 (沉陷量)

(8)

圖目錄

圖 2.1 平均值μ、標準偏差 σ 與變異係數 COV 的效果 (δ = 5) ... 4

圖 2.2 關聯性長度δ 的效果 (μ = 10 , COV = 0.2)... 4

圖 2.3 一次指數模型 SExp 和二次指數模型 QExp ... 6

圖 3.1 研究流程圖 ... 13

圖 3.2 差異沉陷研究用雙基礎模型示意圖 ... 14

圖 3.3 差異沉陷研究用雙基礎模型 (t = 1.5, dis = 1.5) ... 14

圖 3.4 荷載造成所在基礎沉陷量的檢驗模型示意圖 ... 17

圖 3.5 荷載造成別處基礎沉陷量的檢驗模型示意圖 ... 18

圖 3.6 兩段式估計方法：第一種思路示意圖 ... 19

圖 3.7 兩段式估計方法：第二種思路示意圖 ... 20

圖 3.8 傾斜量研究用模型示意圖 ... 23

圖 3.9 傾斜量研究用模型示意圖 (t = 1) ... 23

圖 4.1 Fenton and Griffiths (2002) 建議的測試結果 (t = 1, dis = 10) ... 26

圖 4.2 Fenton and Griffiths (2002) 建議的測試結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 26

圖 4.5 Fenton and Griffiths (2002) 建議的測試結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 27

圖 4.7 pseudo incremental energy model 的檢驗結果 (t = 1, dis = 10) ... 28

圖 4.8 pseudo incremental energy model 的檢驗結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 28

(11)

圖 4.11 pseudo incremental energy model 的檢驗結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 29

圖 4.13 估計遠處外力之影響：方法 B 與方法 A 的比較 (t = 1, dis = 10) ... 31

圖 4.14 估計遠處外力之影響：方法 B 與方法 A 的比較 (t = 1, dis = 1.5) ... 31

圖 4.17 估計遠處外力之影響：方法 B 與方法 A 的比較 (t = 10, dis = 1.5) ... 32

圖 4.19 遠處外力之影響：左右之間的比較 ... 33

圖 4.20 方法 A_x_x 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 35

圖 4.21 方法 A_x_x 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 35

圖 4.24 方法 A_x_x 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 36

圖 4.26 方法 A_A_A 的估計結果 (t = 1, dis = 10)... 38

圖 4.27 方法 A_A_A 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5)... 38

圖 4.30 方法 A_A_A 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5)... 39

圖 4.32 方法 A_B_B 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 41

圖 4.33 方法 A_B_B 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 41

(12)

圖 4.36 方法 A_B_B 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 42

圖 4.38 方法 A_Bi_Bi 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 44

圖 4.39 方法 A_Bi_Bi 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 44

圖 4.42 方法 A_Bi_Bi 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 45

圖 4.44 方法 A_B_A 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 47

圖 4.45 方法 A_B_A 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 47

圖 4.48 方法 A_B_A 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 48

圖 4.50 方法 Ai_B_Ai 的估計結果 (t = 1, dis = 10)... 50

圖 4.51 方法 Ai_B_Ai 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5)... 50

圖 4.54 方法 Ai_B_Ai 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5)... 51

圖 4.56 方法 A_A_Ai 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 53

圖 4.57 方法 A_A_Ai 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 53

圖 4.60 方法 A_A_Ai 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 54

(13)

圖 4.62 方法 A_A_Bi 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 56

圖 4.63 方法 A_A_Bi 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 56

圖 4.66 方法 A_A_Bi 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 57

圖 4.68 方法 A_B_Ai 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 59

圖 4.69 方法 A_B_Ai 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 59

圖 4.72 方法 A_B_Ai 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 60

圖 4.74 方法 A_B_Bi 的估計結果 (t = 1, dis = 10) ... 62

圖 4.75 方法 A_B_Bi 的估計結果 (t = 1, dis = 1.5) ... 62

圖 4.78 方法 A_B_Bi 的估計結果 (t = 10, dis = 1.5) ... 63

圖 4.80 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 1, δ = 1; x 軸為 dis).... 65

圖 4.83 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 1, δ = 10; x 軸為 dis).. 66 圖 4.84 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 1, δ = 100; x 軸為 dis) 66 圖 4.85 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 1, δ = 1000; x 軸為 dis)

(14)

... 66

圖 4.86 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 10, δ = 1; x 軸為 dis).. 67

圖 4.89 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 10, δ = 10; x 軸為 dis) 68 圖 4.90 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 10, δ = 100; x 軸為 dis) ... 68

圖 4.91 差異沉陷量 95%信賴區間 - 來源是否第一種 (t = 10, δ = 1000; x 軸為 dis) ... 68

圖 4.92 差異沉陷量 95%信賴區間 - 依來源區分 (t = 1, δ = 1; x 軸為 dis)... 69

圖 4.102 差異沉陷量 95%信賴區間 - 依來源區分 (t = 10, δ = 100; x 軸為 dis).... 72

圖 4.103 差異沉陷量 95%信賴區間 - 依來源區分 (t = 10, δ = 1000; x 軸為 dis).. 72

圖 4.104 傾斜量估計結果 (t = 1) ... 73

圖 4.105 傾斜量估計結果 (t = 1.5) ... 73

圖 4.106 傾斜量估計結果 (t = 2) ... 74

圖 4.107 傾斜量估計結果 (t = 2.5) ... 74

(15)

圖 4.108 傾斜量估計結果 (t = 3) ... 74

圖 4.109 傾斜量估計結果 (t = 5) ... 74

圖 4.110 傾斜量估計結果 (t = 8) ... 74

圖 4.111 傾斜量估計結果 (t = 10) ... 74

圖 4.112 傾斜量估計結果 (t = 15) ... 75

圖 4.113 傾斜量估計結果 (t = 20) ... 75

圖 4.114 傾斜量估計結果 ... 75

圖 4.115 Betti’s theorem 之檢證 ... 76

(16)

表目錄

表 2.1 一次指數模型與二次指數模型時之σ n 2、σ mn 2 (Jha and Ching, 2013) ... 8

表 2.2 變異數折減因子 (Variance reduction factor) (Jha and Ching, 2013) ... 10

表 3.1 差異沉陷研究中用以產生應力應變分布之列表 ... 16

表 3.2 應力應變增量來源列表 ... 21

表 3.3 估計方式統整 ... 22

表 4.1 方法 A_x_x 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 34

表 4.2 方法 A_A_A 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 37

表 4.3 方法 A_B_B 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 40

表 4.4 方法 A_Bi_Bi 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 43

表 4.5 方法 A_B_A 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 46

表 4.6 方法 Ai_B_Ai 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 49

表 4.7 方法 A_A_Ai 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 52

表 4.8 方法 A_A_Bi 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 55

表 4.9 方法 A_B_Ai 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 58

表 4.10 方法 A_B_Bi 對三種沉陷量來源的估計說明 ... 61

表 A.1 (a) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 1) ... 79

表 A.1 (b) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 1.5) ... 80

表 A.1 (c) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 2) ... 81

表 A.1 (d) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 2.5) ... 82

表 A.1 (e) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 3) ... 83

表 A.1 (f) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 5) ... 84

表 A.1 (g) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 8) ... 85

(17)

表 A.1 (h) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 10) ... 86

表 A.1 (i) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 15) ... 87

表 A.1 (j) 方法 A_x_x 與五種兩段式方法的成果比較 (t = 20) ... 88

表 A.2 (a) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 1) ... 89

表 A.2 (b) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 1.5) ... 90

表 A.2 (c) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 2) ... 91

表 A.2 (d) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 2.5) ... 92

表 A.2 (e) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 3) ... 93

表 A.2 (f) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 5) ... 94

表 A.2 (g) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 8) ... 95

表 A.2 (h) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 10) ... 96

表 A.2 (i) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 15) ... 97

表 A.2 (j) 方法 A_x_x 與四種三段式方法的成果比較 (t = 20) ... 98

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第一章緒論

1.1 研究背景

在大地工程的實務上時常會用到均質假設，認定同一個土層或某一個範圍內的土壤具有相同性質，以方便進行後續計算分析。然而現實中，我們面對的往往是非均質且難以精確掌握各處性質的材質，在這種情形下要繼續使用均質假設，

就必須有可靠的方式找出具有代表性的材料性質。

考慮水平與鉛直方向具有相同關聯性長度的土體，Ching and Hu (2017) 以淺基礎下方土體的楊氏模數為主題提出了 pseudo incremental energy model，以加權幾何平均來估計受到均勻沉陷量的剛性淺基礎「感受到的」土體的等效楊氏模數。

這項研究中對淺基礎做了兩個假設：剛性且不會傾斜。

相對於土壤，淺基礎的構成材質具有較大的楊氏模數，只要直徑或邊長不會過於龐大，是可以視為剛性物體的，而當淺基礎的直徑或邊長相當大時，就應該將其視為可變形的。

不會傾斜的假設在一些情形下也會是合理的，例如向上連接著柱、支撐著巨大上部結構的多個較小的基礎，這種情形下各個基礎會強烈地受到上部結構的約束，不易有傾斜的狀況，而此時除了沉陷量之外，差異沉陷量也是必須考量的；

相對的，在筏式基礎的情形中，則應假設淺基礎能有傾斜發生。

1.2 研究目的與方法

本研究建立在 pseudo incremental energy model 上，試圖估計出淺基礎的差異沉陷量與傾斜量，考慮到筏式基礎的傾斜與兩相鄰淺基礎的差異沉陷之間的相似性，本研究會先尋找差異沉陷量的估計方式，再判斷估計之差異沉陷量是否與傾斜量有明確的關係，能做簡單修正後當作傾斜量的估計。

(19)

1.3 本文內容

本文內容主要包含：

第一章緒論

說明本研究之目的，並簡述研究方法

第二章文獻回顧

介紹在本研究中會引用到或者有相關的前人研究成果

第三章研究方法

詳細說明研究方法與過程

第四章結果分析與比較

統整本研究成果，經分析後以圖表或數字顯示，以得出結論

第五章結論與建議

總結本研究之成果，並提出未來研究的可能方向

(20)

第二章文獻回顧

2.1 隨機變數、隨機過程與隨機場

Vanmarcke (1984) 於書中表示，若將隨機變數(random variable)比擬為一次實驗的結果，那麼隨機過程(ramdom process, stochastic process)便是在不同時間進行這樣的實驗、從而得出一組依時間排列的多次實驗結果，而隨機場(random field) 則是在不同的空間位置進行同樣的實驗、從而得出一組照空間位置排列的多次實驗結果。無論是隨機過程或隨機場，都可以是連續或離散的。Vanmarcke 並表示，

具空間變異性的土壤性質可視為隨機場。

2.2 空間變異性

土壤性質的不確定性主要可分為三類：空間變異性(inherent variability, spatial variability)、量測誤差(measurement error)與轉換誤差(transformation error)，其中空間變異性來自於土壤自然的非均質性(heterogeneity)。Vanmarcke (1977) 表示，在描述土壤的空間變異性時，除了平均值(mean, μ)之外還有兩個參數是必須的，分別是標準偏差(standard deviation, σ)和關聯性長度(scale of fluctuation, δ)。

平均值與標準偏差是統計學上常用的指標。平均值可以反映統計對象的一般水準，平均值越大則整體而言有越大的數值；標準偏差則反映統計對象的分散程度，標準偏差越大則越容易有偏離平均值的數值。另外，在平均值大於零的狀況下，也能用除以平均值而達到無因次化的變異係數(coefficient of variance, COV)代替標準偏差，如果說標準偏差以統計對象的單位來計量分散程度，那麼變異係數就是以平均值來計量分散程度。圖 2.1 將這三者對於統計對象的效果以視覺的方式呈現。

(21)

圖 2.1 平均值μ、標準偏差 σ 與變異係數 COV 的效果 (δ = 5)

關聯性長度代表著具有較強烈相關性的範圍，用來描述土壤性質在空間中分布的特性：距離越近的兩個地點，一般來說會有越相似的土壤性質。關聯性長度越大，則要在空間中找到性質有一定差距的兩點，平均而言會需要越大的間距。

圖 2.2 將關聯性長度的效果以視覺的方式呈現。

圖 2.2 關聯性長度δ 的效果 (μ = 10 , COV = 0.2)

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2.3 穩態過程、自關聯性函數與關聯性長度

穩態過程(stationary process)，或稱為平穩過程、穩態隨機過程(stationary stochastic process)等，是一種特殊的隨機過程。根據定義，在隨機過程中任取連續任意數量(即一段時間內)的變數，無關乎所取變數組合的起點(即起始時間)，相同數量(即相同時間長度)的組合皆有相同的聯合機率分布，因而該聯合機率分布不是時間的函數，則此隨機過程為穩態隨機過程。在只取一變數、即時間長度為零的情形下，上述定義也須成立，此時聯合機率分布簡化為機率分布，則可知平穩過程的機率密度函數(probability density function, PDF)在任意時間點皆相同、平均值與標準差亦然，而皆與時間點無關。此外，任兩變數間的共變異數(covariance, cov) 僅會是兩變數時間差距的函數，而與兩變數實際取於何時無關。又，若變數是依照空間位置排列，則在符合上開條件的情形下，此隨機場為穩態隨機場。

自關聯性函數(autocorrelation function)，指的是在同一個隨機過程或同一個隨機場中兩變數的關聯性(correlation, Pearson’s correlation coefficient)，若以 X 代表某個隨機過程或隨機場，在其中選擇兩變數 X t與 X s、分別具有平均值μ t與μ s、標準差σ ^t與σ ^s，則自關聯性ρ 為

s t

s s t t s

t s

t

X E X X

X

σ σ

µ µ

σ

ρ = ^cov[ σ ^, ^] = ^[( ⁻ ⁾⁽ ⁻ ^)]

(式 2.1) 可知自關聯性(autocorrelation, ρ)是時間(或空間位置) t 和 s 的函數。而在穩態隨機過程或穩態隨機場當中，在各個時間點或空間位置上皆有相同的期望值與標準差，

且共變異數 cov 僅是時間差距或空間差距的函數，並將 s 改寫為 t+k，則

cov[ , ] [( )(

₂

)]

σ

µ µ

σ

ρ = σ = ⁻

⁺

⁻

+

+ t t k

k t t

k t

t

X E X X

X

(式 2.2)

如 2.1 節所說，關聯性長度代表著「此距離內具有較強烈的相關性」，可認為自關聯性為關聯性長度的函數。Vanmarcke(1977, 1984)也曾提到兩個常見的自關聯

(23)

性函數模型：一次指數模型(single exponential model, SExp)和二次指數模型(squared exponential model, QExp)，他們在一維情形下分別有下列函數型式：

SExp:

2 )

exp(

) (

z

z z

ρ ∆ = − δ ^∆

(式 2.3)

Qexp:

( ) )

exp(

)

(

₂

2

z

z z

δ

ρ ∆ = − π ^∆

(式 2.4)

其中Δz 表示在 z 方向的距離、δ z表示在 z 方向的關聯性長度。而在二維情形下，

兩者的函數型式稍微修改如下：

SExp:

2 2 )

exp(

) , (

z x

z z x

x δ δ

ρ ∆ − ^∆

−

=

∆

(式 2.5)

Qexp:

( ) ( ) )

exp(

)

(

₂

2

2 2

z x

z z x

δ π δ

ρ π ∆ − ^∆

−

=

∆

(式 2.6)

其中Δx 表示在 x 方向的距離、δ x表示在 x 方向的關聯性長度、Δz 表示在 z 方向的距離、δ ^z表示在 z 方向的關聯性長度。一次指數模型和二次指數模型的主要差別在於自關聯性隨距離的變化情形不同，以一維情形為例，兩者的函數圖形如圖 2.3 所示。

圖 2.3 一次指數模型 SExp 和二次指數模型 QExp

(24)

2.4 隨機場模擬與離散化

模擬隨機場的方法並不只一種，且各有優缺點，這裡僅簡單介紹本研究使用的、由 Jha and Ching (2013) 提出的方法：以傅立葉級數法 (Fourier series method) 模擬穩態高斯隨機場 (stationary Gaussian random field)。

首先，在長度 L 以內，期望值為 0、變異數為σ 的一維連續穩態高斯隨機場

W(x)可表達為











 



 

 + 

=

∑

^∞

−∞

= n

n

n L

x n b i

i a x

W 2 π

exp ) (

Re )

( (式 2.7)

其中 Re[.]為複數的實部；a n與 b n為獨立的高斯隨機變數，期望值皆為 0、變異數皆為σ n 2：

∫

−



 



= ^/² 

2 /

2

2 2

exp ) 1 ^L (

L

n d

L n i

L σ ρ τ πτ τ

σ (式 2.8)

而在長 Lx、寬 Lz範圍內，期望值為 0、變異數為σ 的二維連續穩態高斯隨機場 W(x,z)則表達為















 



 +

+

=

∑ ∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

m n = x z

mn

mn L

z n i L

x m b i

i a z

x

W 2 π 2 π

exp ) (

Re ) ,

( (式

2.9)

其中 a mn與 b mn為獨立的高斯隨機變數，期望值皆為 0、變異數皆為σ mn 2：

∫ ∫

− − 

 



 +

=

2 /

2

2 2 2

exp ) , 1 ^z (

z x

x

L

z L

L

x z

z x

x z

x

mn d d

L n i L m i L

L σ ρ τ τ πτ πτ τ τ

σ (式 2.10)

若自關聯性函數ρ(τ)、ρ(τ^x, τ^z) 使用一次指數模型或二次指數模型，則σ ⁿ²、σ ^mn² 可進一步計算，如表 2.1 所示 [擷取自 Jha and Ching (2013)]。

(25)

表 2.1 一次指數模型與二次指數模型時之σ n 2、σ mn 2 (Jha and Ching, 2013)

接著，由於σ ⁿ²、σ ^mn²之値下降的很快，故其實並不需要從 m 或 n 為 - ∞ 加總至 ∞。Jha and Ching 提出，一維時只須要加總到

σ

_n²/

σ

² =10⁻⁵ 即可，由此可得出關於 n 的範圍條件為：

⁵

2 2 2 2

2

/ 10 1

) 1 )(

exp(

1

1 = ₋



 



 +

−

= −

q n

q q

n n

π σ

σ (式 2.11)

其中 q = L / δ。而二維時也有類似條件，可寫為：

5 2 2

2

5 2 2

2

/ 10 1

) 1 )(

exp(

1 1

/ 10 1

) 1 )(

exp(

1 1

−

=



 



 +

−

=



 



 +

−

z n z z

x m x x

q n

q q

q m

q q

π

π (式 2.12)

其中 qx = Lx / δx，qz = Lz / δz。

再來，由於傅立葉級數是週期性的，因此在模擬的範圍兩邊界之間會有不合理的高相關性。為了解決這個問題，Jha and Ching 認為可以先模擬比所需範圍要更大的隨機場，再只取所需範圍就好，並建議這個較大的模擬範圍為所需範圍加上 4 倍的關聯性長度，即：一維時建議模擬範圍 LE = L + 4δ，二維時建議模擬範

(26)

圍則為 LxE = Lx + 4δx與 LzE = Lz + 4δz。

最後，由於有限元素分析中無法放入連續變化的材料參數，每個小元素中皆須為均質，故還須對連續的隨機場做區域的空間平均。為了因應各種需求，Jha and Ching 給出了矩形元素、不等間距矩形元素、非矩形元素的空間平均，以及沿著線段的線平均。由於本研究只用到二維隨機場的矩形元素，故這邊僅列出此情形下二維離散化穩態高斯隨機場 WD(x,z)之計算方式：

z

zE z zE

n

x

xE x xE

m

mn mn mn

m

m m

n

n n

n m mn zE

xE D

nD

L D n L

z n z i

v

mD

L D m L

x m x i

u

ib a c

z v x u L c

z L x W

E

E E

E

) / sin(

) / 2 ) exp(

(

) / sin(

) / 2 ) exp(

(

) ( ) ( Re

) , (

*

2

π π

π

=

= +

=











= 

∑ ∑

−

= =−

(式 2.13)

使用一次指數模型時，a mn與 b mn的變異數σ mn 2為：

_



 



 +

−

 −



 



 +

−

= ² − ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2

/ 1

) 1 )(

exp(

1 /

1

) 1 )(

exp(

1

zE n zE xE

m xE zE

xE

mn n q

q q

m q q

q π π

σ σ (式 2.14)

使用二次指數模型時，a mn與 b mn的變異數σ ^mn²為：

_



 



  −



 



= ²  − ₂ ² ₂ ²

2 exp exp

zE xE

mn q

n q

m q

q

π π

σ σ (式 2.15)

其中 qxE = LxE / δx，qzE = LzE / δz。

通過式 2.13 至式 2.15，可以建立出期望值為 0 的穩態高斯隨機場，若需要期望值不為 0 的穩態高斯隨機場，則將整個隨機場加上指定的期望值便可。

由於土壤的楊氏模數不會有負值，而高斯隨機場可能模擬出負的數值，為了使模擬結果符合這項條件，本研究選擇以穩態對數常態隨機場(stationary lognormal random field)來模擬楊氏模數的分布。原則上，只要掌握對數常態分布的期望值、

變異係數與高斯分布的期望值、標準差之間的關係，就能先以上述方式產生對應的穩態常態隨機場，接著只要對此隨機場中各個元素位置的數值取自然指數便可

得到穩態對數常態隨機場。期望值為μ、變異係數為 COV、自關聯性函數為一次

(27)

指數模型的穩態對數常態隨機場，其對應之穩態高斯隨機場的期望值λ 與標準差 η 為：

; ln(1 )

1

ln ²

2 COV

COV

+

 =









= +µ η

λ (式 2.15)

然而這個做法會使得離散化時，本應在對數常態隨機場中以算數平均的方式計算的區域空間平均，變成在高斯隨機場中以算數平均的方式計算，此做法經過自然指數轉換到對數常態隨機場時，實際上代表著在對數常態隨機場中以幾何平均的方式計算區域空間平均，這部分會造成模擬出來的對數常態隨機場有著比預

期更小的期望值，故此處還需要將模擬結果乘上修正係數α：

₂ ₂ ₂ ⁽¹ ⁾^/² ² ⁽¹ ⁾^/²

2

2 2 2

2 (1 )

)]

[exp(

) 2 / exp(

) 2 /

exp( _x _z _x _z

V

z x

Γ Γ

− Γ

Γ

− = +

Γ = Γ +

= + η

η λ

η

α λ (式 2.16)

其中Γ^x²、Γ^z²分別是對元素尺寸 Dx、Dz的變異數折減因子，計算方式參照表 2.2 所列 [擷取自 Jha and Ching (2013)]。

表 2.2 變異數折減因子 (Variance reduction factor) (Jha and Ching, 2013)

(28)

2.5 等效楊氏模數

等效楊氏模數 (effective Young’s modulus) 可以理解為「一地工結構物實際感受到土體的楊氏模數」。以淺基礎為例，在楊氏模數非均質的土體上受荷載所致之鉛直沉陷量，必定也能在某個楊氏模數為均質的土體上、而其他條件皆不變的情形下發生，此時稱該均質的楊氏模數為等效楊氏模數。

承受荷載而鉛直沉陷的淺基礎在二維模型中，當鉛垂向的關聯性長度與水平向的關聯性長度相同時，Fenton and Griffiths (2002) 建議以基礎正下方土體的楊氏模數幾何平均當作等效楊氏模數的估計值，平均範圍的深度至觸及岩盤為止，但不應超過 10 倍基礎寬度。Ching and Hu (2017) 則提出 pseudo incremental energy model 來估計此時的等效楊氏模數，步驟如下：

1. 執行一次均質的有限元素分析，以荷載所致的應力、應變變化量計算ΔU：

∆ U = ∆ σ

_x

∆ ε

_x

+ ∆ σ

_z

∆ ε

_z

+ 2 ∆ τ

_xz

∆ ε

_xz (式 2.16) 再將ΔU 除以 ΔU 的總和，以得到總和為 1 的 ΔUn；

2. 以ΔUⁿ作為權重，計算楊氏模數之加權幾何平均 Ewg：

∑

−

×

∆

= ^m

i

i i

n

wg U E

E

1

, ln( )

)

ln( (式 2.17)

其中 Ei 指第 i 個元素的楊氏模數，ΔUn, i指第 i 個元素的權重ΔUn。

Ching and Hu 認為，ΔU 的分布能代表各處土壤元素受到不同比例的驅動，並證實了這種作法有非常好的效果。

由於差異沉陷量為兩基礎沉陷量的差距，故本研究在估計差異沉陷量的作法為估計出兩個沉陷量並取其差值，而為了得到沉陷量估計值，本研究將採取上述方式先估計出等效楊氏模數，再以估計之等效楊氏模數找出指定條件下之位移。

(29)

第三章研究方法

本研究由差異沉陷量與傾斜量兩個部分構成，首先會針對兩個剛性、不傾斜淺基礎間差異沉陷量進行研究，在得出可接受的估計方式後，以該方式估計兩基礎相鄰時之差異沉陷量，並與單一基礎時的傾斜量進行比較。

在兩個主題當中，都需先進行數值模擬，再檢驗各種可能的估計方式是否有效。由於 pseudo incremental energy model 會用到均質情形的模擬結果，在數值模擬階段就會需要先想好估計方式，並且依照估計方式的需求做均質模擬。

數值模擬的過程，基本上與前人所用方法大致相同，先針對問題設計模型，

並於有限元素分析軟體 Abaqus 建立範本檔案，接著在 Matlab 編寫能改寫 Abaqus 範本檔案中各項設定的指令，並將改寫、執行分析、結果輸出與儲存寫為迴圈，

以建立大量的隨機有限元素分析成果、pseudo incremental energy model 所需的應力應變分布、及均質情形下不同楊氏模數對應的沉陷量。

考慮的估計方式須依照 Fenton and Griffiths (2002) 建議或 pseudo incremental energy model 的理論進行推想，務求該估計方式於不傾斜之單一剛性基礎沉陷問題能夠回歸到 Fenton and Griffiths (2002) 的建議方式或 pseudo incremental energy model。

流程如圖 3.1 所示，詳細說明依照順序列於各節當中。

(30)

圖 3.1 研究流程圖

(31)

3.1 差異沉陷研究之數值模擬

3.1.1 模型

探討差異沉陷，需要用到兩個淺基礎，這邊僅先討論兩基礎大小相等並受到相同荷載之情形，模型示意圖如圖 3.2 及圖 3.3 所示。

圖 3.2 差異沉陷研究用雙基礎模型示意圖

圖 3.3 差異沉陷研究用雙基礎模型 (t = 1.5, dis = 1.5)

基礎以 discrete rigid wire 設置，寬度 B 為 2 公尺；土體則以 deformable shell 設置，尺寸皆設定為基礎寬度的數倍，分別以 dis 表示兩基礎中心間距倍數、w 的一半表示基礎中心至邊界距離倍數、和 t 表示土體厚度倍數。其中 dis 與 t 為探討因素，皆有 1、1.5、2、2.5、3、5、8、10、15、20 等十個數值，期望能找出在不

(32)

同土厚、不同間距下皆適用之估計方法；而 w 則是為了消除邊界效應，在單一基礎的情形下進行測試，取 w 為 40 時整個土體的表面各節點位移情形與 w 為 40 時差異不大，故認定取 w 為 40 時已可消除邊界效應。兩者元素邊長皆為 0.2 公尺，

基礎元素類型為 R2D2 (兩個節點的二維 linear rigid link，用於平面應力或平面應變狀態)，土體則設為平面應變且降積分的 CPE4R (四個節點、平面應變、降積分的 bilinear 四邊形)。兩者之間並設定為粗糙、不可滑動、可分離的接觸型式。

材料參數方面，由於基礎設置為剛體，且不占有體積，故無設定；土體則設定了彈性與密度，在均質情形下分別採用楊氏模數 E 為 20,000 kN/m³、柏松比ν 為 0.3、密度為 2 t/m³。

荷載 CF2 以均布載重 300 乘上基礎寬度 B 而得，單位為 kN，設定重力所需的重力加速度採用 9.81 m/s²，並且以 edit keyword 的方式設定自重造成的應力分布為初始條件；關於邊界條件，於土體左右兩側限制水平位移、於土體底部限制水平與鉛垂兩方向的位移，並為了確保 pseudo incremental energy model 的適用性，限制兩基礎皆不能傾斜旋轉。

在不同的估計方法中，可能會需要用到不同條件所產生的應力、應變、位移結果，不同之處於 3.2 節說明。

3.1.2 隨機場

本研究接續前人研究，僅討論彈性情形的沉陷量，故在隨機有限元素分析法 (random finite element method, RFEM) 中，僅以隨機場模擬的方式產生楊氏模數的分布，柏松比與密度則維持與均質情形相同的定值。

為使楊氏模數不會出現負值，採用對數常態分布 (Lognormal distribution)，並設定其期望值μ 為 20,000、變異係數 COV 為 1；自關聯性函數 ρ 採用一次指數模型 SExp，關聯性長度δ 僅討論水平向與鉛垂向相等的情形，取 1、2、5、10、100、

1,000 六個數值，每種 t、dis、δ 組合各產生 10 個樣本，總計 6,000 個樣本。

(33)

3.2 差異沉陷之估計方法

差異沉陷即為兩基礎沉陷量之差值。在遵從 Fenton and Griffiths (2002)的建議時，只需要知道楊氏模數隨機場，在將指定範圍的楊氏模數作幾何平均後，以該平均值為楊氏模數作均質有限元素分析，得到的沉陷量結果即為沉陷量估計值。

而在使用 pseudo incremental energy model 時，估計沉陷量需要用到均質情形

下的應力分布與應變分布，在計算ΔUn、估出等效楊氏模數後，同樣進行均質有

限元素分析以得出估計值。由於此問題中有兩個分別施加於兩基礎上之荷載，狀況較為複雜，故將嘗試多種不同條件下產生之應力、應變分布，以找出最佳的估計方式，本研究中所用到之應力、應變分布來源模型條件如表 3.1 所列。需注意的是，根據 pseudo incremental energy model，應力、應變皆需先扣除僅有自重平衡時

之應力、應變，得到的應力變化分布Δσ、應變變化分布 Δε 才能用來計算權重。

表 3.1 差異沉陷研究中用以產生應力應變分布之列表

名稱條件說明

LR 左右兩基礎皆受力。

LR0 僅左基礎受力，不施加右基礎的荷載。

RL0 僅右基礎受力，不施加左基礎的荷載。

LRi 左基礎已受力時，再施加右基礎的荷載所造成影響，

為 LR 與 LR0 的差。

RLi 右基礎已受力時，再施加左基礎的荷載所造成影響，

為 LR 與 RL0 的差。

又因探討情形眾多，為求效率，在估出等效楊氏模數後不進行均質有限元素分析，改為事先做數種不同楊氏模數的均質分析，再於估出等效楊氏模數後進行內插以得出估計之沉陷量。此處均質分析採用的楊氏模數為 1,000 至 100,000，每 1,000 分析一次，共採用 100 個楊氏模數。

(34)

3.2.1 荷載對施加對象的影響

Ching and Hu (2017) 提出 pseudo incremental energy model 的研究當中，基礎是置於土體上方正中間的位置，而用於差異沉陷研究的模型當中，兩基礎皆非位於正中間，故對此差異是否會有影響進行檢驗。檢驗方式為：只施加左基礎上的荷載時，以 pseudo incremental energy model 估計左基礎沉陷量，另外在只施加右基礎上的荷載時，估計右基礎沉陷量，並與此二種條件下隨機有限元素分析 (RFEM) 之結果比較；又由於研究主題為差異沉陷，雖然只施加左基礎荷載、與只施加右基礎荷載的條件並不會同時出現，此處仍希望這兩個估計值的差值能準確估計兩個 RFEM 結果差值，故一併進行比較。

而在 Fenton and Griffiths (2002) 的建議中，並沒有要求基礎置於土體上方正中間的位置，即使 Ching and Hu (2017) 曾驗證 pseudo incremental energy model 能較準確地估計沉陷量，哪個方法對兩個估計值的差值表現的更好則仍未知，故也進行相同的比較。

此外，在兩基礎間距較遠時，可以合理的認為兩外力不會影響較遠的基礎，

故在檢驗完成後，也將上述的估計與兩外力並存時 RFEM 之結果進行比較，做為最初的兩種差異沉陷量估計方式，之後與其他估計方式進行比較。

圖 3.4 荷載造成所在基礎沉陷量的檢驗模型示意圖

(35)

3.2.2 荷載對別處基礎的影響

如 3.2.1 節所說，在兩基礎間距較遠時，可以合理的認為兩外力不會影響較遠的基礎，而當兩基礎相當靠近時，兩外力皆會影響較遠的基礎。由於 Ching and Hu (2017) 的研究當中並沒有做出「施加於淺基礎的外力對另一個淺基礎造成的沉陷量」這樣的成果，故在此對 pseudo incremental energy model 是否仍能適用進行第二次的檢驗。

Ching and Hu (2017) 認為，當以淺基礎沉陷量為標的時，需要考慮的是該基礎「實際感受到」的楊氏模數，並提出以均質情形下於該基礎上施加荷載造成的應力、應變分布做為權重的計算依據，能夠有效的估算出非均質情形下於該基礎上施加荷載時的沉陷量；而在這次的檢驗中，荷載並非施加於探討沉陷量的基礎上，故分歧出兩種產生應力、應變分布的均質分析條件：其一是假定外力影響才是主導因素，將荷載維持施加在另一個基礎上，以此產生的應力、應變分布能計算出正確的權重；另一則是假定觀察標的才是主導因素，將荷載施加在探討沉陷量的基礎上，以此產生的應力、應變分布才能計算出正確的權重。以 A 表示觀察沉陷量的基礎，B 表示非觀察沉陷量的、施加荷載的基礎，將此兩種方式依序命名為 B 與 A，分別代表「荷載僅施於非探討沉陷量之淺基礎時」與「荷載僅施於探討沉陷量之淺基礎時」兩種計算應力、應變分布之條件。

圖 3.5 荷載造成別處基礎沉陷量的檢驗模型示意圖

(36)

3.2.3 兩段式估計方法

如 3.2.2 節所說，當兩基礎相當靠近時，兩外力皆會影響較遠的基礎。由於本研究是在線性彈性的條件下，我們可以將兩個荷載視為有先後順序的，依此思路可以得到兩種順序：先施加在探討沉陷量基礎上的荷載、或先施加在另一基礎上的荷載，不管是哪一種順序，都應該需要估算兩個等效楊氏模數、內插出兩個沉陷量值，再行加總。

依照第一種思路「先施加在探討沉陷量基礎上的力，再施加另一基礎上的荷載」來估計沉陷量，則第一階段的等效楊氏模數可以依照 3.2.1 節的結果決定如何估算，而此等效楊氏模數可用來內插出「只有觀察基礎上的力施加時」之沉陷量；

第二階段的等效楊氏模數則可想到三種可能性：其一是應用了 3.2.2 節的第一種猜想，以「僅施加荷載在另一基礎上而產生的應力、應變分布」來估算權重；其二是應用了 3.2.2 節的第二種猜想，以「僅施加荷載在探討沉陷量的基礎上而產生的應力、應變分布」來估算權重；其三則是考慮到在有先後順序的情形下，後加上的荷載所造成之影響可能會與只加該荷載的情形不同，變為以「已施加荷載在觀察基礎後，再施加荷載在另一基礎上而產生的應力、應變分布改變量」來估算權重。

圖 3.6 兩段式估計方法：第一種思路示意圖

(37)

若依照第二種思路「先施加另一基礎上的力，再施加在探討沉陷量基礎上的荷載」來估計沉陷量，第一階段的等效楊氏模數則依照 3.2.2 節的結果決定如何估算，而此等效楊氏模數可用來內插出「只有另一基礎上的力施加時」觀察基礎之沉陷量；第二階段則與第一種思路不同，僅有兩種可能性：第一種可能性融合了原先的前兩種思路，成為「僅施加荷載在探討沉陷量的基礎上而產生的應力、應變分布」這樣權重估計依據；第二種可能性則是以「已施加荷載在另一基礎後，

再施加荷載在觀察基礎上而產生的應力、應變分布改變量」來估算權重。

圖 3.7 兩段式估計方法：第二種思路示意圖

不管是哪種思路，第一階段的等效楊氏模數皆用來內插得出只有先施加的荷載存在時之沉陷量；在第二階段估算出的等效楊氏模數，通過內插法得出的對象則應稱為沉陷量增量，即兩荷載皆存在時、與只有先施加的荷載存在時，兩階段之間沉陷量的差值。第一階段的沉陷量、與第二階段的沉陷量增量加總，便是估計的沉陷量，兩基礎估計之沉陷量差值即為估計之差異沉陷。

此節中提到之應力、應變分布來源，整理如表 3.2 所示，其中 A 代表觀察沉陷量之基礎，B 代表另一基礎，i 代表後來增加。

(38)

表 3.2 應力應變增量來源列表

名稱條件說明對左、右基礎的代號

LR 左右兩基礎皆受力。 AB AB

LR0 僅左基礎受力，不施加右基礎的荷載。 A B

RL0 僅右基礎受力，不施加左基礎的荷載。 B A

LRi 左基礎已受力時，再施加右基礎的荷載所造成

之影響，為 LR 與 LR0 的差。

Bi Ai

RLi 右基礎已受力時，再施加左基礎的荷載所造成

之影響，為 LR 與 RL0 的差。

Ai Bi

3.2.4 三段式估計方法

與 3.2.3 節不同的想法，兩荷載為同時施加，而任一基礎的沉陷量可分為三個部分：僅施加觀察基礎上的荷載造成之沉陷量、僅施加另一基礎上的荷載造成之沉陷量、以及兩荷載並存才會額外出現的沉陷量。在這種思路下，第一種沉陷量可對應到 3.2.1 節之結果，第二種沉陷量對應到 3.2.2 節之結果，第三種沉陷量則較為麻煩，由於這個效果並非單純由單一荷載造成，且於兩基礎應會有不同的成效，故考慮以 3.2.3 節提過的應力、應變分布來估算，其中會包含三種 3.2.3 提出的方式，故將各種估計方式整理為表 3.3，並統一命名方便後續稱呼。統一命名以底線分隔為三段，依序代表估計上述三種因素造成之沉陷量所用的應力、應變來源，A 代表觀察沉陷量之基礎，B 代表另一基礎，i 代表後來增加，x 則表示不估計該種沉陷量。

(39)

表 3.3 估計方式統整

估計方式出處說明

A_x_x 3.2.1 僅估計施加於觀察基礎上的荷載造成之沉陷量。

A_A_A

3.2.3

先施加觀察基礎上的荷載，再加另一基礎之荷載，

皆由觀察基礎向下位移時對土體之影響決定。

A_B_B 先施加觀察基礎上的荷載，再加另一基礎之荷載，

皆由荷載單獨存在時對土體之影響決定。

A_Bi_Bi 先施加觀察基礎上的荷載，再加另一基礎之荷載，

皆由荷載出現時對土體的影響決定。

A_B_A 先施加另一基礎上的荷載，再加觀察基礎之荷載，

皆由荷載單獨存在時對土體之影響決定。

Ai_B_Ai 先施加另一基礎上的荷載，再加觀察基礎之荷載，

皆由荷載出現時對土體的影響決定。

A_A_Ai

3.2.4

依照 3.2.1、3.2.2 節的考量做法，估計兩荷載對觀察基礎的影響，兩荷載並存才造成的額外沉陷量，則以荷載後來才出現時造成的影響決定。

A_A_Bi A_B_Ai A_B_Bi

如果另一基礎上之荷載對觀察基礎造成的沉陷量，要用觀察基礎荷載向下位移時的應力應變分布來估計，那麼兩荷載並存造成的額外增量應該也是，故方法 A_A_AB、A_A_B 不列入考慮；又兩荷載並存造成的額外增量，對兩基礎不應該認定為必然相同，因此此部分以 AB 估計(即以 LR 估計)者皆不列入考慮，如 A_A_AB、A_B_AB。

(40)

3.3 傾斜量研究之數值模擬

3.3.1 模型

探討傾斜量，僅需用到一個淺基礎，模型示意圖如圖 3.3 所示。

圖 3.8 傾斜量研究用模型示意圖

圖 3.9 傾斜量研究用模型示意圖 (t = 1)

模型細節設定如同 3.1.1 節當中差異沉陷量模型的設定，僅將 dis 去除，並且取消基礎不得傾斜旋轉的條件，傾斜量則定為基礎左右兩端點之沉陷量差距。另外，由於估計方法需要，會依照此模型設定另一個兩相鄰基礎模型，基礎寬度皆為 2 公尺的一半、即 1 公尺寬，且不得傾斜旋轉。

3.3.2 隨機場

此處設定皆與差異沉陷量研究中所用設定相同，詳見 3.1.2 節。

(41)

3.4 傾斜量之估計方法

本研究認為，單一基礎的傾斜量，與將該基礎分為兩等份各自不得傾斜之差異沉陷量，應該有相當大的關連性，故在差異沉陷量的研究完成後，取其中估計成果最佳的方式，估計兩基礎相鄰時之差異沉陷，並與單一基礎在 RFEM 得出之傾斜量進行比較，期望能找出兩者之間的關係。

(42)

第四章結果分析與比較

4.1 差異沉陷估計方法

差異沉陷量研究的觀察標的可分為三個，左基礎沉陷量、右基礎沉陷量、以及差異沉陷量，為了方便視覺上的理解，將以 RFEM 結果為 y、以第三章提及的各種方法算出之估計值為 x 繪製為散布圖，當估計值皆與 RFEM 分析結果相當接近時，散布圖中的各點應分布於 y = x 的直線附近。另外，為了以數字呈現各方法的優劣，也會計算各情形下估計結果的方均根誤差，並針對主要標的差異沉陷量的散布圖，計算通過原點的回歸線斜率。

因考慮的情形有 10 種 t 與 10 種 dis，組合眾多，故僅選擇 t 為 1 或 10，dis 為 10、1.5、1，分別代表土體厚與薄與基礎間距遠、近與相鄰，合計六種組合繪製散布圖，方便建立直觀的判斷，並將誤差與回歸線斜率以表格列於附錄。

4.1.1 荷載對施加對象的影響

首先是針對左基礎荷載對左基礎造成之沉陷量、右基礎荷載對右基礎造成之沉陷量、與兩沉陷量之差距三個結果進行估計，採 Fenton and Griffiths (2002) 建議的估計成果如圖 4.1 至圖 4.6、採用 pseudo incremental energy model 的估計成果如圖 4.7 至 4.12 所示。其中 U2_L 代表左基礎鉛直位移量、U2_R 代表右基礎鉛直位移量，皆以負值表示沉陷；U2_R - U2_L 代表沉陷量差值，正值代表右基礎沉陷較少、兩基礎移動呈逆時針方向；y 軸的 RFEM 代表以隨機有限元素分析得出之結果，x 軸的 predicted 代表估計結果。在這個最基本的條件中可以看出不應繼續採用 Fenton and Griffiths (2002) 的建議作後續的估計，相對的 pseudo incremental energy model 在沉陷量與沉陷量差值皆表現的相當好。

以此處之沉陷量差值估計差異沉陷量之結果，與其他估計方式一併於 4.1.3 節

(43)

呈現，以方便比較。

圖 4.1 Fenton and Griffiths (2002) 建議的測試結果 (t = 1, dis = 10)

圖 4.2 Fenton and Griffiths (2002) 建議的測試結果 (t = 1, dis = 1.5)

(44)

圖 4.5 Fenton and Griffiths (2002) 建議的測試結果 (t = 10, dis = 1.5)

(45)

圖 4.7 pseudo incremental energy model 的檢驗結果 (t = 1, dis = 10)

圖 4.8 pseudo incremental energy model 的檢驗結果 (t = 1, dis = 1.5)

(46)

圖 4.11 pseudo incremental energy model 的檢驗結果 (t = 10, dis = 1.5)

(47)

4.1.2 荷載對別處基礎的影響

能有效估計「施加於淺基礎的外力對另一個淺基礎造成的沉陷量」的方式，

本研究猜想應為下列兩種之一：其一為「外力主宰」，維持荷載施加位置，以此產生的應力、應變分布能計算出正確的權重，代號為 B；另一為「觀察標的主宰」，

使探討沉陷量的基礎鉛直向下位移，以此產生的應力、應變分布才能計算出正確的權重，代號為 A。圖 4.13 至圖 4.18 依估計方式順序呈現各自之成果。

觀察圖 4.13 至圖 4.18 可得知，兩種估計方式得出之成果非常接近，難以判斷孰優孰劣，且相對於沉陷量而言，方均根誤差並不算大。而在 t 為 10 且 dis 為 10 的情形中，可以發現兩方法估計結果的趨勢均大幅偏離 y = x 直線，估計值幾乎皆為 0，此現象於 (t, dis) 組合為 (2.5, 2)、(2.5, 2.5)、(5, 5) 等情形中亦有發生，表示此兩種方法用於此情境中皆有問題。但由於其他多數情形中皆能有不差的表現，

後續估計兩荷載皆存在時仍會保留此兩種估計想法。

另外，在此檢驗過程中，由於對每一個楊氏模數隨機場皆有做「只施加左荷載時觀察右基礎沉陷量」與「只施加右荷載時觀察左基礎沉陷量」之模擬，因此也以散布圖觀察由 RFEM 得出之兩沉陷量之間的相關性，並計算兩者之 Pearson's correlation，如圖 4.19 所示，其中 y 軸為 U2_L_CFR，表示僅右荷載存在時左基礎之位移量，而 x 軸則為 U2_R_CFL，表示僅左荷載存在時右基礎之位移量，皆以負值代表沉陷。可以發現，此兩種沉陷量雖然不完全相等，但有非常高的相關性，

實際上在其他各種土體尺寸時，最低也有 0.7 以上的相關性，最高更是有 0.99 的相關性。這表示在估計差異沉陷量時，或許可以不必太過在意 3.2.4 節中提到的第二種沉陷量「僅施加另一基礎上的荷載造成之沉陷量」所造成之差異沉陷量。

(48)

圖 4.13 估計遠處外力之影響：方法 B 與方法 A 的比較 (t = 1, dis = 10)

圖 4.14 估計遠處外力之影響：方法 B 與方法 A 的比較 (t = 1, dis = 1.5)

(49)

圖 4.17 估計遠處外力之影響：方法 B 與方法 A 的比較 (t = 10, dis = 1.5)

(50)

圖 4.19 遠處外力之影響：左右之間的比較

非均質土體上淺基礎傾斜量與差異沉陷量之估計方法

國立臺灣大學工學院土木工程學系 碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering National Taiwan University

Master Thesis

非均質土體上淺基礎

傾斜量與差異沉陷量之估計方法 Tilt and differential settlement estimation

of shallow foundations on a spatially variable soil mass

黃銘麒

Ming-Chi Huang

指導教授：卿建業 博士 Advisor: Ching, Jian-Ye, Ph.D.

中華民國 106 年 12 月

December, 2017

誌謝

中文摘要

Abstract

符號表

目錄

圖目錄

表目錄

第一章 緒論

1.1 研究背景

1.2 研究目的與方法

1.3 本文內容

第二章 文獻回顧

2.1 隨機變數、隨機過程與隨機場

2.2 空間變異性

2.3 穩態過程、自關聯性函數與關聯性長度

X E X X

X

σ σ

µ µ

σ

ρ = cov[ σ , ] = [( − )( − )]

cov[ , ] [( )(

)]

σ

µ µ

σ

ρ = σ = −

−

X E X X

X

2 )

exp(

) (

z z

ρ ∆ = − δ ∆

( ) )

exp(

)

(

z z

δ

ρ ∆ = − π ∆

2 2 )

exp(

) , (

z z x

x δ δ

ρ ∆ − ∆

−

=

∆

∆

( ) ( ) )

exp(

)

(

z z x

δ π δ

ρ π ∆ − ∆

−

=

∆

2.4 隨機場模擬與離散化

∑

∫

∑ ∑

∫ ∫

σ

國立臺灣大學工學院土木工程學系碩士論文

指導教授：卿建業博士 Advisor: Ching, Jian-Ye, Ph.D.

第一章緒論

第二章文獻回顧

ρ = ^cov[ σ ^, ^] = ^[( ⁻ ⁾⁽ ⁻ ^)]

ρ = σ = ⁻

⁻

ρ ∆ = − δ ^∆

ρ ∆ = − π ^∆

ρ ∆ − ^∆

ρ π ∆ − ^∆

第三章研究方法

第四章結果分析與比較