題目：共變數矩陣正定化之研究

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：共變數矩陣正定化之研究

Statistic Analysis On Making a Positive Definite Covariance Matrix

系 所 別：電機工程學系碩士班電子電路組 學號姓名：8801526 林育均

指導教授：陳竹一 博士

中華民國 九十 年 七 月

誌 謝

本論文能順利完成，首先要感謝我的母親這些年來對我的支持以 及指導教授 陳竹一老師在我就讀研究所這兩年來的諄諄教誨，使我 可以順利的完成學業，並在專業的領域上收益良多。

另外要特別感謝莊挑崇經理、牟慶聰經理及王志湖老師在口試期 間所給予的建議與指導。

同時也要感謝人助、生勳、育興、星團、家慶、壽榮、宏志、健 忠、等同學陪伴我走過兩年的研究所生涯，並提供寶貴的意見。也要 感謝宗皇、坤庭、東鑫、威州等學弟在口試期間的幫助。

最後僅將本論文獻給支持我的家人以及愛護我的老師、同學及朋 友們。

林育均 謹致 中華民國九十年七月於新竹

摘要

本篇論文主要是探討如何能盡量變動最少相關係數的 值，就能使得相關係數矩陣達到正定化，而且相關係數矩陣 正定化的性質，比較不會因變動相關係數而失去正定的性 質。本篇論文藉著兩個消耗方程式，去作為判別的依據，希 望藉此找到較符合我們所需求的正定化方法。

本篇論文從 3 個變數開始討論，4 個變數，10 個變數，

到 35 個變數為止，找到了一個不錯的正定化方法。

Abstract

The outline of this paper is how can we make the covariance matrix positively and cost a little of covariances.

And the positively property of the covariance matrix will not change to negative because change the covariances.

We use two cost function to differentiate what method is the best and what method is worst.

This paper is talk about from 3 variables，4variables，

10variables，untial 35 Variables，and we find a nice method on making a positive definite covariance matrix.

目 錄

中文摘要.………..Ⅰ 英文摘要………..Ⅱ 誌謝………..Ⅲ 目錄…..………….………...Ⅳ 圖目錄………..Ⅶ 表目錄………...Ⅸ

第一章 簡介……….……….1

第二章 相關定理………..2

2-1 名詞介紹……….………...…..2

2-1-1 平均數………..2

2-1-2 變異數………..2

2-1-3 標準差………..2

2-1-4 相關係數………..2

2-2 以實際例子表示之 … … … . . 3

2-3 資料的標準化 … … … . . 4

第三章 相關係數矩陣..………..………..6

3-1 判定式... … … … . . 6

3-2 相關係數矩陣之特徵值. … … … . … … … … . … ..7

第四章 相關係數矩陣之正定化…….……… 9

4-1 消耗方程式 … … … . 9

4-1-1 看達到目的程度的消耗方程式………...10

4-2 多種正定化的方法 … … … ...11

4-2-1 方法(一)………....11

4-2-2 方法(二)………..…….12

4-2-3 方法(三)…………..………...13

4-2-4 方法(四)…………..………..…...13

4-2-5 方法(五)………..…….14

4-2-6 方法(六)………..….15

4-2-7 方法(七)………..…….16

4-2-8 方法(八)………..….16

4-2-9 方法(九)………..….17

4-2-10 多數量試驗………..…………..18

4-2-10-1 達到正定化過程的分析…………...18

4-2-10-2 達到正定化程度的分析………..….19

4-3 方法改進與研討……..………...19

4-3-1 改進方法………..………19

4-3-2 方法(十)………..….20

4-3-3 討論………..………22

第五章 多變數相關係數矩陣之正定化………...23

5-1 10 個變數的相關係數矩陣 … … … . . … … … 2 3 5-2 35 個變數的相關係數矩陣……….…………29

第六章 結論………..…...32

參考文獻.………..……33

附表(一)3 變數相關係數矩陣的相關係數與特徵值之關係..34

附表(二)九種方法的消耗方程式(一)的值之比較……..…...35

附表(四)十種方法的消耗方程式(一)的值之比較…..……...36

圖 目 錄

圖 4-1 方法(一)最小特徵值與消耗方程式(1)之關係……....11

圖 4-2 方法(一)正定化後六個相關係數個別的變化量…....11

圖 4-3 方法(二)正定化後六個相關係數個別的變化量…...12

圖 4-4 方法(二)最小特徵值與消耗方程式(1)之關係…….…11

圖 4-5 方法(三)正定化後六個相關係數個別的變化量….…13

圖 4-6 方法(四)正定化後六個相關係數個別的變化量….…14

圖 4-7 方法(五)正定化後六個相關係數個別的變化量….…15

圖 4-8 方法(六)正定化後六個相關係數個別的變化量…….15

圖 4-9 方法(七)最小特徵值與消耗方程式(1)之關係 … … .. … 16

圖 4-10 方法(七)正定化後六個相關係數個別的變化量 … ...16

圖 4-11 方法(八)正定化後六個相關係數個別的變化量 … ...17

圖 4-12 方法(十)正定化後六個相關係數個別的變化量 … ...20

圖 4-13 方法(十)正定化後六個相關係數個別的變化量 … ...20

圖 5-1 附表(五)以不同數帶入與各方法消耗方程式(1)的值 24

圖 5-2 附表(五)以不同數帶入與各方法消耗方程式(2)的值 25

圖 5-3 附表(六)以不同數帶入與各方法消耗方程式(1)的值 27

圖 5-4 附表(六)以不同數帶入與各方法消耗方程式(2)的值 27

圖 5-5 附表(七)以不同數帶入與各方法消耗方程式(1)的值 30

圖 5-6 附表(六)以不同數帶入與各方法消耗方程式(2)的值 30

表 目 錄

附表(一)3 變數相關係數矩陣的相關係數與特徵值之關係.34 附表(二) 九種方法的消耗方程式(一)的值之比較……….…35 附表(三)十種方法消耗方程式(1)消耗方程式(2)個別的值...21 附表(四)十種方法的消耗方程式(一)的值之比較……..…...36 附表(五)10 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的 值………..….24

附表(六)10 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的 值(對照)………..……….……….26

附表(七)35 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的

值………..……….29

第一章 簡介

在以往電路分析的過程中，元件與元件間彼此的相關性經常的被 當作彼此不相關。但是為了良率的提昇，把元件間的相關性於電路的 設計與分析時考慮進去，已是個在電路設計分析時的重要問題。

在眾多錯綜複雜的相關性中，想要不假任何方法，隨意地挑出一組元 件間的相關係數，能使電路達到較佳的狀況，或許有點兒困難，甚至 得靠些運氣。

本篇論文中，我們利用元件間的共變數及個別變異數所構成的共變 數矩陣，經過統計學上的資料標準化處理後，產生相關係數矩陣，

接著我們對此相關係數矩陣作正定化的動作。顯而易見的，有非常多 組的相關係數能使此相關係數矩陣達成正定的目標，進而更可發現許 多不同的方法皆能使此相關係數矩陣達到正定，比較各種方法的優 劣，並於其中找到一種最佳的方法，使得對此相關係數矩陣之正定 化，達到最好之效果。

第二章 相關定理

此論文中，皆使用多變量分析的觀念，欲了解多變量分析，首先 要認識一些相關的關鍵字。如平均數(mean) 、變異數(variance) 、標 準差(standard deviation) 、相關係數(correlation coefficient)等。

2-1 名詞介紹

2-1-1

平均數(mean): [1]

是資料的中心值，換句話說就是要求資料的中心數值。

2-1-2

變異數(variance):

是指各個資料本身與平均值的變異程度的意思，變異數的值越 大，變異也就越大。

2-1-3

標準差(standard deviation):

為了與原數值同單位，故將變異數取平方根，這個數值就叫標準 差。

2-1-4

相關係數(correlation coefficient):

泛指兩物件間的相關程度，相關係數值在-1 和 1 之間，當值越接 近-1(完全負相關)或 1(完全正相關)時，表示相關性越大;越接近 0 的 相關性就越低，定義為

) )(

(其一變數之標準差 另一變數之標準差 兩變數之共變數

[2]

2-2 以實際的例子表示之:

變數 樣本

X

₁

X

₂

1 X

₁₁

X

₂₁

2 X

₁₂

X

₂₂

3 X

₁₃

X

₂₃

平均值: X₁ =

3 X X

X₁₁

+

₁₂

+

₁₃

X₂ =

3 X X

X₂₁

+

₂₂

+

₂₃

變異數: X₁的變異數 S₁²=

1 3

) (

) (

)

( _{11 1} ² _{12 1} ² _{13 1} ²

−

− +

− +

− X X X X X

X

X₂的變異數 S²₂=

1 3

) (

) (

)

( _{21 2} ² _{22 2} ² _{23 2} ²

−

− +

− +

− X X X X X

X

標準差: X₁的標準差 S₁=

S

₁²

X₂的標準差 S₂=

S

₂² 共變數:

X₁和 X2的共變數

S₁₂= [( )( ) ( )( ) ( )( )]

1 3

1

2 23 1 13 2

22 1 12 2

21 1

11

X X X X X X X X X X X

X − − + − − + − −

−

相關係數: X₁和 X₂的相關係數γ₁₂=

2 1

12

S S

S

∗

⇒

S₁₂=S₁

∗

S₂γ₁₂

共變數矩陣: X1和 X2的共變數矩陣為

_



 





的變異數 的共變數

和

的共變數 和

的變異數

2 2

1

2 1 1

X X

X

X X

X

=

_



 





2 2 12

12 2 1

S S

S

S

2-3 資料的標準化:

為了在處理多個變數時，不會因眾變數的平均值或變異數相差 太大而導致混亂，也有可能因眾變數的單位不同而難以去比較，因此 要將資料標準化。

所謂資料的標準化處理，是指將多個變數，皆將它們個別的平均 值換成 0、變異數則換成 1。

以一個 3 變數，3 相關係數矩陣 R 為例:

R=

 







 







1 1 1

23 13

23 12

13 12

P P

P P

P P

，3 變數的標準差分別為 Q₁、Q₂、Q₃

共變數矩陣=Γ

∗

R

∗

Γ=

 







 







3 2 1

0 0

0 0

0 0

Q Q Q

 







 







1 1 1

23 13

23 12

13 12

P P

P P

P P

 







 







3 2 1

0 0

0 0

0 0

Q Q Q

=

 







 







2 3 23

3 2 13 3 1

23 3 2 2

2 12

2 1

13 3 1 12 2 1 2

1

Q P

Q Q P Q Q

P Q Q Q

P Q Q

P Q Q P Q Q Q

經過平均值換成 0、變異數則換成 1 的標準化之後，

共變數矩陣=

 







 







1 1 1

23 13

23 12

13 12

P P

P P

P P

假使 R 相關係數矩陣是正定，即此相關係數矩陣所有的 Eigenvalues 皆大於 0，如此便可確保此相關係數矩陣中，所有的相關係數皆彼此

的合理存在。彼此間並無因不協調，而導致相關係數矩陣產生非正定 性質的相關係數存在。

因此，為了要使得相關係數矩陣中所有的相關係數能彼此間合理 的存在，將相關係數矩陣正定化是一項必須的手續步驟。

第三章 相關係數矩陣

相關係數矩陣，是藉由多組變數間互相的相關係數所構成，故相 關係數矩陣的性質與各相關係數間的關係密不可分。變動其中一個相 關係數，便會影響到其他的相關係數間的關係，這麼變動一個相關係 數的小步驟，可能對相關係數矩陣本身的性質影響不大，但是也有可 能會對相關係數矩陣的性質影響非常大，甚至有可能到牽一髮而動全 身的地步。相關係數的個數從一個到十個百個 … 到無限多個，如此複 雜的關係，要去分析相關係數矩陣的性質實在有點困難。所以，我們 從較為簡單的相關係數矩陣開始分析。

我們考慮一個由 3 組變數，相互之間產生 3 個相關係數所組合成

的相關係數矩陣 R=

 







 







1 1 1

23 13

23 12

13 12

P P

P P

P P

我們可如此考慮，3 個相關係數一次固定一個相關係數，而另一個相 關係數則從-1 變化到 1，然後透過因正定性質而衍伸出 3 個相關係數 的關係，去找到第 3 個相關係數的最佳範圍，如此我們便可以得到使 相關係數矩陣達到正定化的最佳相關係數值。

3-1 判定式

利用矩陣正定的性質，我們可以導出一個能正確的找出 3 個相

關係數間關係的式子，但是此式子僅僅適用於 3 個相關係數間的關 係，並不適用於其他非 3 個相關係數間的關係。

反推回去，為了要使相關係數矩陣保持正定，故相關係數矩陣的行 列式值必須恆大於 0。

| R | > 0

⇒

1 - P₁₂² - P₁₃² - P²₂₃ +2 P₁₂P₁₃P₂₃ > 0 (1) [3]

由上式，任意固定其中兩相關係數，必定可以找到第三個相關係數最 佳的值。如此，三個相關係數皆能找到使矩陣正定化的最佳值。

3-2 相關係數矩陣之特徵值

利用矩陣正定的性質，我們可以知道的是，一矩陣為正定的話，

此矩陣的特徵值(Eigenvalues)必定皆大於零。我們即可利用此一正定 的性質，去調整相關係數矩陣中的相關係數，以得到最佳的相關係數 值。此外，值得注意的一點是，由 n 個變數彼此關係所構成的相關係 數矩陣，此相關係數矩陣的特徵值之總和為 n。

我們以一個例子來看相關係數與特徵值之間的關係

相關係數矩陣 R=

 







 







1 1 1

23 13

23 12

13 12

P P

P P

P P

我們假設 P₁₂、P₁₃、P₂₃等相關係數，任取兩個相關係數，分別只以 0.9、0.5、0、-0.5、-0.9 這五個數值去代，然後再以(1)式為判別式，

去找第三個相關係數之最佳值，再以這些相關係數代回相關係數矩 陣，去求相關係數矩陣的特徵值。其結果為附表(一) 。

仔細觀察，我們可以發現當相關係數的值越靠近 0 的時候，所得到 特徵值的平均，也就會越靠近 1。

也就是說，當 R=

 







 







1 0 0

0 1 0

0 0 1

時，所得的特徵值分別為 1、1、1。此項結

果，給了我們一個重要的提示，那就是: 若是這一組相關係數所求出 的特徵值，最大的特徵值與最小的特徵值差距越大的話，那表示若是 稍微改變其中某一個相關係數時，那麼就有可能會使得最小的特徵值 轉變為負值，如此便會破壞此矩陣的正定性質。為了能使相關係數矩 陣的正定性能穩定下來，最好的方法即是每一個特徵值都能接近其特 徵值的平均，那麼相關係數矩陣的正定性就能較為強韌，比較不會因 為因其某一相關係數改變，而使得相關係數矩陣的正定性改變。要使 每一特徵值都盡量接近所有特徵值的平均，那麼最好的表現即是當所 有的相關係數都為 0 的時候，如此所得的特徵值全部為 1，完全等於 特徵值的平均。此外，若是最小的特徵值的值越大，即變動相關係數，

而使得相關係數矩陣的正定性質改變的可能性越低。

第四章 相關係數矩陣之正定化

將相關係數矩陣正定化有許多不同的方法，各方法達到相關係數 矩陣正定化的目的各有不同，我們可依據我們所考慮的條件，去選擇 最適當的正定化方法。在本章節中，我們首先依我們較注重之條件去 訂定所謂的消耗方程式(Cost Function) ，接著再以 9 種方法去分析一 個由 4 個變數彼此間所產生的相關係數構成的相關係數矩陣，其中共 有六個不同的相關係數。然後，我們再以消耗方程式(Cost Function) 當成判別的標準，去判定各種方法的優劣。

假設 R=

 

 





 

 





1 1 1 1

34 24 14

34 23

13

24 23 12

14 13 12

P P P

P P

P

P P P

P P P

4-1 消耗方程式

(Cost Function)

在這裡我們考慮，當改變相關係數而使得相關係數矩陣最後趨向 正定，其中各相關係數最後的變動量，這是看最後達到目的的過程。

另外，我們還要考慮當相關係數矩陣最後達到正定後，是否每一特徵 值都盡量接近所有特徵值的平均，以此確保相關係數矩陣正定性的強 韌，這是看最後達到目的的程度。

由以上之說法，我們便可依達到目的的過程及達到目的的程度，

寫下 2 個消耗方程式。藉由這 2 個消耗方程式，我們可以判定我們所

提出的 9 種方法，何者較優、何者較劣。

4-1-1 看達到目的的過程的消耗方程式

主要在計算每一個相關係數，在達到相關係數矩陣正定化之 後，所總共變動的總和。

消耗方程式(1) C₁=絕對值的總和(經正定化後各相關係數個別的值- 原始各相關係數個別的值)

在這個消耗方程式中，判定最後求出的值越大的話，表示要使相關係 數矩陣達到正定，要變動相關係數的值必須越大，這在電路的設計上 是較為不好的。

4-1-2 看達到目的的程度的消耗方程式

主要在計算每一個特徵值，在原始的時候，與所有特徵值平均的 差距的總和，以及在達到相關係數正定化之後，每一個特徵值與所有 特徵值平均的差距的總和，前後兩項總和的差再取絕對值，這項值代 表原先相關係數矩陣的各個特徵值與所有特徵值的平均值的差，經過 正定化後，再將每一個特徵值與所有特徵值平均的差距的總和，兩項 總和的差距，即代表經正定化而將特徵值與特徵值平均之距離拉近的 程度，這個值越大越好，就代表將各特徵值與特徵值平均的差，經由

先計算 CF=所有特徵值的平均值與原始相關係數矩陣各特徵值的差 之絕對值總和

再計算 NF=所有特徵值的平均值與經正定化後的相關係數矩陣各特 徵值的差之絕對值總和

消耗方程式(2) C₂= (CF-NF)的絕對值

4-2 多種正定化的方法

我們運用一個想法，就是若把最小的特徵值改變至大於零的話，

其他的特徵值也必定會大於零，如此一來我們只要把焦點集中在最小 的特徵值上即可。我們使用 9 種方法去分析:

4-2-1 方法(一)

由 P₁₂、P₁₃、P₁₄、P₂₃、P₂₄、P₃₄的順序，依序朝 0 作相關係數 的些許變化，直到所有的特徵值都大於零。變化的值若設定的越大，

則達到所有的特徵值都大於零的目標，也就越快。

Figure(4-1)及 Figure(4-2)是作些許變動 0.01 所得到的

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

Total variable cost 最小Eigenvalue的值

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

6 v a r i a b l e s

variables cost

Figure(4-1)方法(一)最小特徵值與消耗方程式(1)之關係 Figure(4-2)方法(一)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-1)表現的是，當最小特徵值從負值被逼近至大於零的過程 中，消耗方程式(1)所消耗的值為 1.05。

Figure(4-2)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₁₂這個相關係數改變量最大。

4-2-2 方法(二)

將相關係數矩陣中的六個相關係數，經排序後，由最大的開始朝 0 作些許變化，直到所有的特徵值都大於零。變化的值若設定的越大，

則達到所有的特徵值都大於零的目標，也就越快。

Figure(4-3)及 Figure(4-4)是作些許變動 0.01 所得到的

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

6 variables

variables cost

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

Total variable cost 最小Eigenvalue的值

Figure(4-3)方法(二)正定化後六個相關係數個別的變化量 Figure(4-4)方法(二)最小特徵值與消耗方程式(1)之關係

Figure(4-3)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₁₂這個相關係數改變量最大。

Figure(4-4)表現的是，當最小特徵值從負值被逼近至大於零的過程 中，消耗方程式(1)所消耗的值為 1.1。

4-2-3 方法(三)

將相關係數矩陣中的六個相關係數一次任取 3 個，固定其中任 2 個相關係數，帶公式去找第 3 個相關係數的最佳範圍,然後將此範圍 取 mean 的值，當作第 3 個相關係數的最佳值。這樣 C6 取 3,共有 20 種關係，每一個相關係數會有 2 個最佳值,再將這 2 個最佳值取 mean 當作新的相關係數值，這樣六個相關係數都會找到最佳值。 [4]

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6

1 1.05 1 . 1 1.15

1 . 2 1.25

1 . 3 1.35

6 variables

variables cost

Figure(4-5)方法(三)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-5)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₂₄、P₃₄這兩個相關係數改變同為最大。

4-2-4 方法(四)

將相關係數矩陣中的六個相關係數一次任取 3 個， 固定其中任 2 個相關係數，帶公式去找第 3 個相關係數的最佳範圍，然後將此範 圍取 max 的值，當作第 3 個相關係數的最佳值，這樣 C6 取 3，共有

20 種關係，每一個相關係數會有 2 個最佳值,再將這 2 個最佳值取 mean 當作新的相關係數值，這樣六個相關係數都會找到最佳值。

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6

0.28 0.29 0 . 3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37

6 variables

variables cost

Figure(4-6)方法(四)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-6)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₂₄這個相關係數改變最大。

4-2-5 方法(五)

將相關係數矩陣中的六個相關係數一次任取 3 個，固定其中任 2 個相關係數，帶公式去找第 3 個相關係數的最佳範圍，然後將此範圍 取 min 的值，當作第 3 個相關係數的最佳值，這樣 C6 取 3，共有 20 種關係，每一個相關係數會有 2 個最佳值，再將這 2 個最佳值取 mean 當作新的相關係數值，這樣六個相關係數都會找到最佳值。

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 1.3

1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7

6 variables

variables cost

Figure(4-7)方法(五)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-7)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，因為 P₁₂改變量太大，故圖中無法顯示出來。

4-2-6 方法(六)

將相關係數矩陣中的六個相關係數一次任取 3 個，固定其中任 2 個相關係數，帶公式去找第 3 個相關係數的最佳範圍，然後將此範圍 取 max 的值及 min 的值，兩值的 mean，當作第 3 個相關係數的最佳 值，這樣 C6 取 3，共有 20 種關係，每一個相關係數會有 2 個最佳值，

再將這 2 個最佳值取 mean 當作新的相關係數值，這樣六個相關係數 都會找到最佳值。

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6

1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2 2 . 1 2 . 2

6 v a r i a b l e s

variables cost

Figure(4-8)方法(六)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-8)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₁₂這個相關係數改變最大。

4-2-7 方法(七)

先將相關係數矩陣中的六個相關係數依次個別些許變動，看何者 會使最小特徵值變動最大，再去改變這個影響最小特徵值最大的相關 係數，週而復始，直到最小特徵值變為正為止。

Figure(4-9)及 Figure(4-10)是作些許變動 0.01 所得到的

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

- 0 . 4 5 -0.4 - 0 . 3 5 -0.3 - 0 . 2 5 -0.2 - 0 . 1 5 -0.1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5

T o t a l v a r i a b l e c o s t 最小Eigenvalue的值

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

變數的位置

Variables cost

Figure(4-9)方法(七)最小特徵值與消耗方程式(1)之關係 Figure(4-10)方法(七)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-9)表現的是，當最小特徵值從負值被逼近至大於零的過程 中，消耗方程式(1)所消耗的值為 0.76。

Figure(4-10)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₁₄這個相關係數改變最大。

4-2-8 方法(八)

將相關係數矩陣中的六個相關係數一次任取 3 個，固定其中任 2 相關係數，帶公式去找第 3 個相關係數的最佳範圍，然後看原來的相

關係數與此範圍 max 的值及 min 的值何者距離較近，然後就以較近 的值當作第 3 個相關係數的最佳值，這樣 C6 取 3，共有 20 種關係，

每一個相關係數會有 2 個最佳值，再將這 2 個最佳值取 mean 當作新 的相關係數值，這樣六個相關係數都會找到最佳值。

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6

0.45 0 . 5 0.55

0 . 6 0.65

0 . 7 0.75

0 . 8 0.85

0 . 9

6 variables

variables cost

Figure(4-11)方法(八)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-11)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₁₃這個相關係數改變最大。

4-2-9 方法(九)

將相關係數矩陣中的六個相關係數隨機變動，直到所有特徵值變 為正為止。由於是由程式隨機變動，這樣的方法所得之結果極度的不 穩定，結果時好時壞，好的時候很好、壞的時候很壞，這種時好時壞 極度不穩定的方法，充其量只能當一個對照組的方法。

所有相關係數皆守"當相關係數為正時，即變化都為逐漸遞減至 0，當

相關係數為負時，即變化都為逐漸遞增至 0"，如此便能保證所有相關 係數所變動的路徑必與變動的距離相同。

4-2-10 多數量的試驗

以一個例子去驗證以上 9 種方法誰優誰劣，或許並沒有說服力，

故我們考慮在初始狀態時，每一個相關係數都可能為正或負，這樣六 個不同的相關係數就可能有 64 種組合。以上 9 種方法分別以這 64 種 組合去試驗，然後去分析看是否結果依然相同，其結果為附表(二) 。

4-2-10-1 達到正定化過程的分析

由附表(二)的結果看來，經過這 64 個相關係數矩陣的試驗後，

方法(七) 消耗方程式(1)的結果似乎總是消耗最少的，而方法(五) 消 耗方程式(1)的結果總是消耗最多的。

接著，以最小特徵值上升的梯度為判定優劣的標準來作比較，即 看最小特徵值上升 0.1 時，所有相關係數所變動的絕對值總和為消耗

方程式(3) ，再以這個消耗方程式(3)消耗的程度，去當作判定這 9 種方法優劣之依據。

得到之結果依然是方法(七) 消耗方程式(3)的結果似乎總是消耗最少 的，而方法(五) 消耗方程式(3)的結果總是消耗最多的。

4-2-10-2 達到正定化程度的分析

要看達到正定化的程度，那就要比較消耗方程式(2)數值的大小了。

所得之結果為，方法(七)的結果消耗方程式(2)值幾乎總為最小，其他 的方法互有勝負，找不出一個優劣排序，但可以確定的事就是，方法 (七)達到目的的程度是最不好的。

4-3 方法改進與研討

使用方法(七)來使相關係數矩陣正定化，相關係數的消耗總是最 少，但是正定化後正定性質的韌性卻為最差的。若是使用方法(二)來 使相關係數矩陣正定化，相關係數的消耗略比方法(七)為多一些，但 是正定化後正定性質的韌性卻為不錯，在 9 種方法比較起來幾乎都佔 中間的位置。

方法(七)主要變動的條件，是使最小的特徵值變化最大的相關係 數改變，最主要使得達到正定化，消耗最小，此方法使得相關係數不 輕易變動，一變動就變動使最小的特徵值變化最大的相關係數。而方 法(二)主要變動的條件，是使絕對值最大的相關係數變化，最主要的 是可得到與特徵值平均較為相近的特徵值。

4-3-1 改進方法

由 4-3 節我們可以知道，使用方法(七)來使相關係數矩陣正定 化，相關係數的消耗總是最少，但是正定化後正定性質的韌性卻為最

差的。若是使用方法(二)來使相關係數矩陣正定化，正定化後正定性 質的韌性卻為不錯。於是我們便想創造出一種方法，若是將方法(七) 以及方法(二)結合成另一方法，想利用方法(二)的優點去彌補方法(七) 的缺點，看看能否找到另一更好的正定化的方法。就定這個由兩種方 法所結合而成的方法為方法(十) 。

4-3-2 方法(十)

先將相關係數矩陣中的六個相關係數依次個別些許變動，看何者 會使最小特徵值變動最大，然後再將六個相關係數的絕對值作大小排 序，看看使最小特徵值變動最大的相關係數是否和絕對值最大的相關 係數同一個，如相同的話就改變這個相關係數，如不相同就改變絕對 值最大的那個相關係數，週而復始，直到最小特徵值變為正為止。

Figure(4-12)及 Figure(4-13)是作些許變動 0.01 所得到的

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

Total variable cost 最小Eigenvalue的值

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

變 數 的位置

Variables cost

Figure(4-12)方法(十)最小特徵值與消耗方程式(1)之關係 Figure(4-13)方法(十)正定化後六個相關係數個別的變化量

Figure(4-12)表現的是，當最小特徵值從負值被逼近至大於零的過程 中，消耗方程式(1)所消耗的值為 0.86。

Figure(4-13)表現的是，當此相關係數矩陣被正定化後，六個相關係數 個別的變化量，可以看出 P₃₄這個相關係數改變最大。

在這裡列出使用 10 種方法去正定化這個相關係數矩陣後，10 種方法 個別的消耗方程式(1)及消耗方程式(2)的值。

附表(三) 十種方法消耗方程式(1)及消耗方程式(2)個別的值 消耗方程式(1) 消耗方程式(2) 方法(一) 1.05 0.9646 方法(二) 1.1 1.0708 方法(三) 2.5850 1.2895 方法(四) 4.6870 0.3185 方法(五) 2.250 2.2081 方法(六) 2.4723 2.2509 方法(七) 0.7600 0.4342 方法(八) 0.3813 0.3497 方法(九) 2.0029 1.9976 方法(十) 0.86 1.2345

附表(三)

由附表(三)中，我們可以看到方法(十)乃是由方法(七)及方法(二)組合 而成的，方法(十)的消耗方程式(1)的值為 0.86 只比方法(七)的消耗方 程式(1)的值 0.76，多了 0.1 而已，卻也比方法(二) 消耗方程式(1)的 值為 1.1 小多了。但是，方法(十)的消耗方程式(2)的值為 1.2345 卻比 方法(七)的消耗方程式(2)的值 0.4342 大了許多，也比方法(二) 消耗 方程式(2)的值為 1.0708 大。

這或許只是一個特例而已，但是可以用其他不同的例子去比較看 看，是否方法(十)應用在其他的例子上依然為最好的。將附表(二)中 的例子一一用方法(十)去正定化，將結果紀錄在附表(四)中。

4-3-2 討論

於附表(四)中，紀錄方法(十)與前面 9 種方法何者正定化消耗的 比較多何者正定化消耗的比較少。很明顯的可以看到，方法(七)的消 耗方程式(1)總是消耗很少的，但是方法(七)的消耗方程式(2)卻也總是 值為最小的，而方法(十) 的消耗方程式(1)的值幾乎都差方法(七)的消 耗方程式(1)的值一點點而已。但是，方法(十)的消耗方程式(2)的值幾 乎都比方法(七)的消耗方程式(2)的值大許多，這麼平均起來，方法(十) 的正定化方法的確優於方法(七)的正定化方法。方法(十) 的消耗方程 式(1)大多小於其他方法的消耗方程式(1) ，方法(十)的消耗方程式(2)

第五章 多變數相關係數矩陣之正定化

由第四章所討論的眾多方法中，經過使用消耗方程式(1)、(2)的 判別之後，我們找出最佳的正定方法對 4 個變數所產生的相關係數矩 陣。但是這個最佳的正定方法，是否能如同 4 個變數時一樣可以用在 其他多於 4 個變數的多變數矩陣呢?這就是在這個章節中，我們要去 探討的問題。

接著下來，我們將分別以 10 個變數及 35 個變數循序漸進的來探 討，在第四章所探討出幾個較好的方法，在多變數的相關係數矩陣 中，能否依舊有不錯的表現。

5-1 10 個變數的相關係數矩陣

在第四章所探討的幾個方法中，我們挑取方法(一) 、方法(二) 、 方法(七) 、方法(十)等四個方法。然後我們依然使用消耗方程式(1)、

(2)來判定正定化方法的好壞，消耗方程式(1)的值越小越好，消耗方 程式(2)的值越大越好。

我們使用隨機的方式，任意的產生一個固定的 10 乘 10 的相關係 數矩陣 S，其中共有 45 個不同的相關係數。程式的運算中，每一次 運算皆會有些許的變動，我們認為這對結果可能會有影響，故需加入 考慮。在這我們設定些許變動值我們分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數 值代。

些許變動的值，分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數值代入程式中，其 產生出的消耗方程式的值如附表(五) 。

附表(五) 10 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的值 0.01 0.1 0.3 0.5 方法(一) 消耗方程式(1) 17.3399 19.1042 19.1042 22.4742 方法(一) 消耗方程式(2) 9.8123 11.1360 11.1360 14.6624 方法(二) 消耗方程式(1) 13.27 13.5 14.4 15.9127 方法(二) 消耗方程式(2) 9.2709 9.3820 9.2435 9.7793 方法(七) 消耗方程式(1) 16.3327 16.6837 16.4976 15.4606 方法(七) 消耗方程式(2) 0.3835 8.8990 9.4908 8.7972 方法(十) 消耗方程式(1) 15.8207 15.7765 16.6799 16.2277 方法(十) 消耗方程式(2) 9.6328 9.5908 9.9211 9.4681 附表(五)

將附表(五)中的消耗方程式(1)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-1)

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4

1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3

1 0個 變 數

方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(1)

0 . 0 1

0 . 1

0 . 3 0 . 5

Figure(5-1)附表(五)以不同數帶入與各方法消耗方程式(1)值

將附表(五)中的消耗方程式(2)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-2)

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4

0 5 1 0 1 5

1 0個 變 數

方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(2)

0 . 0 1 0 . 1

0 . 3 0 . 5

Figure(5-2)附表(五)以不同數帶入與各方法消耗方程式(2)值

由 Figure(5-1)及 Figure(5-2)兩圖中，方法(十)似乎不是將此相關係數 矩陣正定化最佳的方法，這是否意味著在四個變數相關係數矩陣有不 錯表現的方法(十)，在較多變數的相關係數矩陣中無法消耗最少且達 到不錯正定化程度。仔細研究附表(五)中的數據，似乎方法(二)在這 有不錯的表現，因為方法(二)的變動相關係數的方法是從絕對值大的 相關係數開始變化的，若是方法(十)真的是一個不錯的最佳化方法的 話，而方法(二)又有不錯的表現時，那我們推斷有可能在此相關係數 矩陣中的許多相關係數的絕對值可能都太小，因而造成方法(二)比其 他方法佔優勢的地方。那麼我們就設計另一所有的相關係數都很大的

相關係數矩陣，再用以上的方法去分析，看看結果是否相同。

R=

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 





−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

1 5

. 0 38 . 0 47 . 0 56 . 0 75 . 0 65 . 0 82 . 0 73 . 0 99 . 0

5 . 0 1

39 . 0 48 . 0 57 . 0 76 . 0 66 . 0 83 . 0 74 . 0 98 . 0

38 . 0 39 . 0 1 49 . 0 58 . 0 77 . 0 67 . 0 84 . 0 75 . 0 97 . 0

47 . 0 48 . 0 49 . 0 1 59 . 0 78 . 0 68 . 0 85 . 0 76 . 0 96 . 0

56 . 0 57 . 0 58 . 0 59 . 0 1 79 . 0 69 . 0 86 . 0 78 . 0 95 . 0

75 . 0 76 . 0 77 . 0 78 . 0 79 . 0 1

88 . 0 87 . 0 99 . 0 94 . 0

65 . 0 66 . 0 67 . 0 68 . 0 69 . 0 88 . 0 1

88 . 0 79 . 0 93 . 0

82 . 0 83 . 0 84 . 0 85 . 0 86 . 0 87 . 0 88 . 0 1 89 . 0 92 . 0

73 . 0 74 . 0 75 . 0 76 . 0 78 . 0 99 . 0 79 . 0 89 . 0 1 91 . 0

99 . 0 98 . 0 97 . 0 96 . 0 95 . 0 94 . 0 93 . 0 92 . 0 91 . 0 1

些許變動的值，分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數值代入程式中，其產 生出的消耗方程式的值如附表(六) 。

附表(六) 10 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的值(對照) 0.01 0.1 0.3 0.5 方法(一) 消耗方程式(1) 29.06 29.36 33.48 34.02 方法(一) 消耗方程式(2) 14.4712 14.6196 17.0204 17.5345 方法(二) 消耗方程式(1) 29.06 29.36 33.48 34.02 方法(二) 消耗方程式(2) 12.0877 11.9489 13.1527 14.2628 方法(七) 消耗方程式(1) 25.0100 25.51 26.41 27.67 方法(七) 消耗方程式(2) 11.1117 12.0951 11.2573 12.4969 方法(十) 消耗方程式(1) 25.01 25.51 26.41 27.67 方法(十) 消耗方程式(2) 11.1390 11.3847 12.072 12.8475 附表(六)

將附表(六)中的消耗方程式(1)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-3)

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 2 5

2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5

1 0個 變 數

方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(1)

0.01

0 . 1 0 . 3

0 . 5

Figure(5-3)附表(六)以不同數代入與各方法消耗方程式(1)值

將附表(六)中的消耗方程式(2)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-4)

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8

1 0個 變 數

方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(2)

0 . 0 1

0 . 1 0 . 3

0 . 5

Figure(5-4)附表(六)以不同數代入與各方法消耗方程式(2)值

由 Figure(5-3)及 Figure(5-4)兩圖中，我們可以明顯的看到，方法(十) 消耗方程式(1)的值的確比方法(二)消耗方程式(1)的值要小，方法(十) 消耗方程式(2)的值雖然沒有比方法(二)消耗方程式(2)的值大，但是卻 也相去不遠。

S=

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 





−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

1 1493 . 0 5816 . 0 3314 . 0 1876 . 0 8055 . 0 0453 . 0 6260 . 0 4528 . 0 5168 . 0

1493 . 0 1 1054 . 0 8553 . 0 0672 . 0 7415 . 0 2421 . 0 7480 . 0 8842 . 0 9317 . 0

5816 . 0 1054 . 0 1 1053 . 0 1199 . 0 7727 . 0 5162 . 0 6046 . 0 5780 . 0 7659 . 0

3314 . 0 8553 . 0 1053 . 0 1 8993 . 0 9087 . 0 3347 . 0 3668 . 0 5288 . 0 2018 . 0

1876 . 0 0672 . 0 1199 . 0 8993 . 0 1 2915 . 0 1768 . 0 4595 . 0 4625 . 0 4887 . 0

8055 . 0 7415 . 0 7727 . 0 9087 . 0 2915 . 0 1 4369 . 0 2904 . 0 8223 . 0 9819 . 0

0453 . 0 2421 . 0 5162 . 0 3347 . 0 1768 . 0 4369 . 0 1 1111 . 0 9978 . 0 4372 . 0

6260 . 0 7480 . 0 6046 . 0 3668 . 0 4595 . 0 2904 . 0 1111 . 0 1 7423 . 0 7428 . 0

4528 . 0 8842 . 0 5780 . 0 5288 . 0 4625 . 0 8223 . 0 9978 . 0 7423 . 0 1 09 . 0

5168 . 0 9317 . 0 7659 . 0 2018 . 0 4887 . 0 9819 . 0 4372 . 0 7428 . 0 09 . 0 1

S 為原先隨機產生的 10 乘 10 的相關係數矩陣。

S 中 45 個相關係數絕對值的和為 22.5057，而 R 中 45 個相關係數絕 對值的和為 34.02。

所以，我們的推斷是正確的。相關係數矩陣中的許多相關係數的 絕對值若是太小的話，使用方法(二)所得的結果有可能會優於方法(十) 所得之結果。故使用方法(十)去正定化多變數矩陣時，還是有機會成 為最佳的正定化方法，只不過要考量相關係數矩陣本身相關係數的絕 對值總和大小，依據相關係數矩陣的相關係數的絕對值總和大小，去 判定用方法(二)的正定方法，或者是用方法(十) 的正定方法來使相關 係數矩陣正定。

5-2 35 個變數的相關係數矩陣

經過 10 個變數的相關係數矩陣的印證後，我們得到方法(十) 的 正定方法，在相關係數矩陣的相關係數的絕對值總和較大時，依然是 一個不錯的正定化方法。在這節中，我們就想要試驗看看，在 35 個 變數的相關係數矩陣裡，方法(十)是否在相關係數矩陣的相關係數的 絕對值總和較大時，仍舊為較好的正定化方法。

我們使用隨機的方式，任意的產生一個固定的 35 乘 35 的相關係數 矩陣 X，利用四種方法、方法(一) 、方法(二) 、方法(七) 、方法(十) 去正定化此矩陣 X。

些許變動的值，分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數值代入程式中，其產 生出的消耗方程式的值如附表(七) 。

附表(七) 35 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的值 0.01 0.1 0.3 0.5 方法(一) 消耗方程式(1) 264.223 265.9183 287.4341 289.9178 方法(一) 消耗方程式(2) 81.2069 82.0002 94.6506 97.2461 方法(二) 消耗方程式(1) 246.2026 236.9 246.2026 255.8268 方法(二) 消耗方程式(2) 79.9248 81.2116 79.9248 80.3403 方法(七) 消耗方程式(1) 258.8330 268.2589 259.5812 259.4578 方法(七) 消耗方程式(2) 80.0312 82.3791 82.0777 80.1791 方法(十) 消耗方程式(1) 262.3473 247.2262 252.6727 261.7807 方法(十) 消耗方程式(2) 81.2763 81.6528 80.2218 81.9581 附表(七)

將附表(七)中的消耗方程式(1)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-5)

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4

2 3 0 2 4 0 2 5 0 2 6 0 2 7 0 2 8 0 2 9 0

方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(1)

0 . 0 1 0 . 1

0 . 3 0 . 5

Figure(5-5)附表(七)以不同數代入與各方法消耗方程式(1)值

將附表(七)中的消耗方程式(2)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-6)

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4

7 8 8 0 8 2 8 4 8 6 8 8 9 0 9 2 9 4 9 6 9 8

方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(2)

0 . 0 1 0 . 1

0 . 3 0 . 5

由

Figure(5-5)及 Figure(5-6)兩圖中，我們可以明顯的看到，方 法(十)消耗方程式(1)的值比方法(二)消耗方程式(1)的值要大，而方法 (十)消耗方程式(2)的值皆比方法(二)消耗方程式(2)的值為大。

而此相關係數矩陣的相關係數的絕對值總和為 289.9170，若是相關係 數矩陣的相關係數的絕對值總和大於 289.9170，則有可能使用方法 (十) 的正定方法，而得到最佳的正定化方法。當然，也有可能相關 係數矩陣的相關係數的絕對值總和大於 289.9170 時，使用方法(十) 的正定方法未必是最佳的，此時若使用其他的方法，反而可能會得到 最佳的結果，但是值得肯定的是，當相關係數矩陣的相關係數的絕對 值總和很大時，使用方法(十)去正定化多變數矩陣時，還是有機會成 為最佳的正定化方法。

第六章 結論

在相關係數矩陣中正定化過程中，我們希望各相關係數盡量不要 改變，因為改變的越多越大，就代表我們一組一組變數間的相關係數 需要改變的越多越大。如此一來，我們在電路的設計上，所要變動的 地方也就越多。因此一個不需變動很多相關係數值，就能使相關係數 矩陣正定化的方法，也就非常地重要了。

在本篇論文中，我們比較了 10 種正定化的方法，也找出了一個方 法在 4 個變數的相關係數矩陣中能變動最少，就能使相關係數矩陣正 定。雖然這個方法應用在較多變數的相關係數矩陣中，在相關係數矩 陣的相關係數的絕對值總和不大時，所得之結果並不如使用在 4 個變 數的相關係數矩陣中那樣的顯著。但是，相關係數矩陣的相關係數的 絕對值總和很大時，我們提供的方法依然能有不錯的表現。這樣在更 多變數的相關係數矩陣之正定化上，我們仍然可以使用此方法去使這 個矩陣正定化。

參考文獻:

[1] 張素梅，”統計學(上)”，三民出版社，1997 年 2 月

[2] 張輝煌，”實用多變量分析”，建興出版社，1998 年 5 月

[3] http://www.gsu.edu/~mkteer/npdmatri.html，”Not Positive Definite Matrices—Causes and Cures” ，June 11,1997

[4] 張輝煌，”數量化與評價要訣”，建興出版社，1991 年 5 月

附表(一) 3 變數相關係數矩陣相關係數與特徵值之間的關係

相關係 數 P12

相關係 數 P23

相關係 數 P13

特徵值 1

特徵值 2

特徵值 3

各相關 係數與 0 之距 離的總 和

各特徵 值與平 均值之 距離的 總和 0.9 0.9 0.81 0.0693 0.1900 2.7407 2.61 3.4814 0.9 0.5 0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598 0.9 0 0 0.1 1.9 1 0.9 1.8 0.9 -0.5 -0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598 0.9 -0.9 -0.81 0.0693 0.1900 2.7407 2.61 3.4814 0.5 0.9 0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598 0.5 0.5 0.25 0.4069 0.75 1.8431 1.25 1.6862 0.5 0 0 0.5 1.5 1 0.5 1 0.5 -0.5 -0.25 0.4069 0.75 1.8431 1.25 1.6862 0.5 -0.9 -0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598

0 0.9 0 0.1 1.9 1 0.9 1.8 0 0.5 0 0.5 1.5 1 0.5 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 -0.5 0 0.5 1.5 1 0.5 1 0 -0.9 0 0.1 1.9 1 0.9 1.8 -0.5 0.9 -0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598 -0.5 0.5 -0.25 0.4069 0.75 1.8431 1.25 1.6862 -0.5 0 0 0.5 1.5 1 0.5 1 -0.5 -0.5 0.25 0.4069 0.75 1.8431 1.25 1.6862 -0.5 -0.9 0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598 -0.9 0.9 -0.81 0.0693 0.1900 2.7407 2.61 3.4814 -0.9 0.5 -0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598 -0.9 0 0 0.1 1.9 1 0.9 1.8 -0.9 -0.5 0.4 0.0927 0.6774 2.2299 1.8 2.4598 -0.9 -0.9 0.81 0.0693 0.1900 2.7407 2.61 3.4814

附表(一)

附表(二) 九種方法消耗方程式(一)值之比較

方法 (一)

方法 (二)

方法 (三)

方法 (四)

方法 (五)

方法 (六)

方法 (七)

方法 (八)

方法 (九)

消耗最 少

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

62 次

0 次

0 次

消耗第 二少

5 次

57 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

消耗第 三少

57 次

5 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

消耗第 四少

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

0 次

62 次

0 次

消耗第 五少

0 次

0 次

55 次

0 次

0 次

7 次

0 次

0 次

0 次

消耗第 六少

0 次

0 次

7 次

0 次

0 次

54 次

0 次

0 次

1 次

消耗第 七少

0 次

0 次

0 次

5 次

0 次

1 次

0 次

0 次

56 次

消耗第 八少

0 次

0 次

0 次

56 次

1 次

0 次

0 次

0 次

5 次

消耗最 多

0 次

0 次

0 次

1 次

61 次

0 次

0 次

0 次

0 次

附表(二)