由第四章所討論的眾多方法中，經過使用消耗方程式(1)、(2)的 判別之後，我們找出最佳的正定方法對 4 個變數所產生的相關係數矩 陣。但是這個最佳的正定方法，是否能如同 4 個變數時一樣可以用在 其他多於 4 個變數的多變數矩陣呢?這就是在這個章節中，我們要去 探討的問題。
接著下來，我們將分別以 10 個變數及 35 個變數循序漸進的來探 討，在第四章所探討出幾個較好的方法，在多變數的相關係數矩陣 中，能否依舊有不錯的表現。
5-1 10 個變數的相關係數矩陣
在第四章所探討的幾個方法中，我們挑取方法(一) 、方法(二) 、 方法(七) 、方法(十)等四個方法。然後我們依然使用消耗方程式(1)、
(2)來判定正定化方法的好壞，消耗方程式(1)的值越小越好，消耗方 程式(2)的值越大越好。
我們使用隨機的方式，任意的產生一個固定的 10 乘 10 的相關係 數矩陣 S，其中共有 45 個不同的相關係數。程式的運算中，每一次 運算皆會有些許的變動，我們認為這對結果可能會有影響，故需加入 考慮。在這我們設定些許變動值我們分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數 值代。
些許變動的值，分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數值代入程式中，其 產生出的消耗方程式的值如附表(五) 。
附表(五) 10 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的值 0.01 0.1 0.3 0.5 方法(一) 消耗方程式(1) 17.3399 19.1042 19.1042 22.4742 方法(一) 消耗方程式(2) 9.8123 11.1360 11.1360 14.6624 方法(二) 消耗方程式(1) 13.27 13.5 14.4 15.9127 方法(二) 消耗方程式(2) 9.2709 9.3820 9.2435 9.7793 方法(七) 消耗方程式(1) 16.3327 16.6837 16.4976 15.4606 方法(七) 消耗方程式(2) 0.3835 8.8990 9.4908 8.7972 方法(十) 消耗方程式(1) 15.8207 15.7765 16.6799 16.2277 方法(十) 消耗方程式(2) 9.6328 9.5908 9.9211 9.4681 附表(五)
將附表(五)中的消耗方程式(1)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-1)
1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3
1 0個 變 數
方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(1)
0 . 0 1
0 . 1
0 . 3 0 . 5
Figure(5-1)附表(五)以不同數帶入與各方法消耗方程式(1)值
將附表(五)中的消耗方程式(2)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-2)
1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
0 5 1 0 1 5
1 0個 變 數
方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(2)
0 . 0 1 0 . 1
0 . 3 0 . 5
Figure(5-2)附表(五)以不同數帶入與各方法消耗方程式(2)值
由 Figure(5-1)及 Figure(5-2)兩圖中，方法(十)似乎不是將此相關係數 矩陣正定化最佳的方法，這是否意味著在四個變數相關係數矩陣有不 錯表現的方法(十)，在較多變數的相關係數矩陣中無法消耗最少且達 到不錯正定化程度。仔細研究附表(五)中的數據，似乎方法(二)在這 有不錯的表現，因為方法(二)的變動相關係數的方法是從絕對值大的 相關係數開始變化的，若是方法(十)真的是一個不錯的最佳化方法的 話，而方法(二)又有不錯的表現時，那我們推斷有可能在此相關係數 矩陣中的許多相關係數的絕對值可能都太小，因而造成方法(二)比其 他方法佔優勢的地方。那麼我們就設計另一所有的相關係數都很大的
相關係數矩陣，再用以上的方法去分析，看看結果是否相同。
R=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1 5
. 0 38 . 0 47 . 0 56 . 0 75 . 0 65 . 0 82 . 0 73 . 0 99 . 0
5 . 0 1
39 . 0 48 . 0 57 . 0 76 . 0 66 . 0 83 . 0 74 . 0 98 . 0
38 . 0 39 . 0 1 49 . 0 58 . 0 77 . 0 67 . 0 84 . 0 75 . 0 97 . 0
47 . 0 48 . 0 49 . 0 1 59 . 0 78 . 0 68 . 0 85 . 0 76 . 0 96 . 0
56 . 0 57 . 0 58 . 0 59 . 0 1 79 . 0 69 . 0 86 . 0 78 . 0 95 . 0
75 . 0 76 . 0 77 . 0 78 . 0 79 . 0 1
88 . 0 87 . 0 99 . 0 94 . 0
65 . 0 66 . 0 67 . 0 68 . 0 69 . 0 88 . 0 1
88 . 0 79 . 0 93 . 0
82 . 0 83 . 0 84 . 0 85 . 0 86 . 0 87 . 0 88 . 0 1 89 . 0 92 . 0
73 . 0 74 . 0 75 . 0 76 . 0 78 . 0 99 . 0 79 . 0 89 . 0 1 91 . 0
99 . 0 98 . 0 97 . 0 96 . 0 95 . 0 94 . 0 93 . 0 92 . 0 91 . 0 1
些許變動的值，分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數值代入程式中，其產 生出的消耗方程式的值如附表(六) 。
附表(六) 10 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的值(對照) 0.01 0.1 0.3 0.5 方法(一) 消耗方程式(1) 29.06 29.36 33.48 34.02 方法(一) 消耗方程式(2) 14.4712 14.6196 17.0204 17.5345 方法(二) 消耗方程式(1) 29.06 29.36 33.48 34.02 方法(二) 消耗方程式(2) 12.0877 11.9489 13.1527 14.2628 方法(七) 消耗方程式(1) 25.0100 25.51 26.41 27.67 方法(七) 消耗方程式(2) 11.1117 12.0951 11.2573 12.4969 方法(十) 消耗方程式(1) 25.01 25.51 26.41 27.67 方法(十) 消耗方程式(2) 11.1390 11.3847 12.072 12.8475 附表(六)
將附表(六)中的消耗方程式(1)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-3)
1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 2 5
2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5
1 0個 變 數
方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(1)
0.01
0 . 1 0 . 3
0 . 5
Figure(5-3)附表(六)以不同數代入與各方法消耗方程式(1)值
將附表(六)中的消耗方程式(2)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-4)
1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8
1 0個 變 數
方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(2)
0 . 0 1
0 . 1 0 . 3
0 . 5
Figure(5-4)附表(六)以不同數代入與各方法消耗方程式(2)值
由 Figure(5-3)及 Figure(5-4)兩圖中，我們可以明顯的看到，方法(十) 消耗方程式(1)的值的確比方法(二)消耗方程式(1)的值要小，方法(十) 消耗方程式(2)的值雖然沒有比方法(二)消耗方程式(2)的值大，但是卻 也相去不遠。
S=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1 1493 . 0 5816 . 0 3314 . 0 1876 . 0 8055 . 0 0453 . 0 6260 . 0 4528 . 0 5168 . 0
1493 . 0 1 1054 . 0 8553 . 0 0672 . 0 7415 . 0 2421 . 0 7480 . 0 8842 . 0 9317 . 0
5816 . 0 1054 . 0 1 1053 . 0 1199 . 0 7727 . 0 5162 . 0 6046 . 0 5780 . 0 7659 . 0
3314 . 0 8553 . 0 1053 . 0 1 8993 . 0 9087 . 0 3347 . 0 3668 . 0 5288 . 0 2018 . 0
1876 . 0 0672 . 0 1199 . 0 8993 . 0 1 2915 . 0 1768 . 0 4595 . 0 4625 . 0 4887 . 0
8055 . 0 7415 . 0 7727 . 0 9087 . 0 2915 . 0 1 4369 . 0 2904 . 0 8223 . 0 9819 . 0
0453 . 0 2421 . 0 5162 . 0 3347 . 0 1768 . 0 4369 . 0 1 1111 . 0 9978 . 0 4372 . 0
6260 . 0 7480 . 0 6046 . 0 3668 . 0 4595 . 0 2904 . 0 1111 . 0 1 7423 . 0 7428 . 0
4528 . 0 8842 . 0 5780 . 0 5288 . 0 4625 . 0 8223 . 0 9978 . 0 7423 . 0 1 09 . 0
5168 . 0 9317 . 0 7659 . 0 2018 . 0 4887 . 0 9819 . 0 4372 . 0 7428 . 0 09 . 0 1
S 為原先隨機產生的 10 乘 10 的相關係數矩陣。
S 中 45 個相關係數絕對值的和為 22.5057，而 R 中 45 個相關係數絕 對值的和為 34.02。
所以，我們的推斷是正確的。相關係數矩陣中的許多相關係數的 絕對值若是太小的話，使用方法(二)所得的結果有可能會優於方法(十) 所得之結果。故使用方法(十)去正定化多變數矩陣時，還是有機會成 為最佳的正定化方法，只不過要考量相關係數矩陣本身相關係數的絕 對值總和大小，依據相關係數矩陣的相關係數的絕對值總和大小，去 判定用方法(二)的正定方法，或者是用方法(十) 的正定方法來使相關 係數矩陣正定。
5-2 35 個變數的相關係數矩陣
經過 10 個變數的相關係數矩陣的印證後，我們得到方法(十) 的 正定方法，在相關係數矩陣的相關係數的絕對值總和較大時，依然是 一個不錯的正定化方法。在這節中，我們就想要試驗看看，在 35 個 變數的相關係數矩陣裡，方法(十)是否在相關係數矩陣的相關係數的 絕對值總和較大時，仍舊為較好的正定化方法。
我們使用隨機的方式，任意的產生一個固定的 35 乘 35 的相關係數 矩陣 X，利用四種方法、方法(一) 、方法(二) 、方法(七) 、方法(十) 去正定化此矩陣 X。
些許變動的值，分別以 0.01、0.1、0.3、0.5 等數值代入程式中，其產 生出的消耗方程式的值如附表(七) 。
附表(七) 35 變數相關係數矩陣以 4 數代入所得消耗方程式的值 0.01 0.1 0.3 0.5 方法(一) 消耗方程式(1) 264.223 265.9183 287.4341 289.9178 方法(一) 消耗方程式(2) 81.2069 82.0002 94.6506 97.2461 方法(二) 消耗方程式(1) 246.2026 236.9 246.2026 255.8268 方法(二) 消耗方程式(2) 79.9248 81.2116 79.9248 80.3403 方法(七) 消耗方程式(1) 258.8330 268.2589 259.5812 259.4578 方法(七) 消耗方程式(2) 80.0312 82.3791 82.0777 80.1791 方法(十) 消耗方程式(1) 262.3473 247.2262 252.6727 261.7807 方法(十) 消耗方程式(2) 81.2763 81.6528 80.2218 81.9581 附表(七)
將附表(七)中的消耗方程式(1)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-5)
1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
2 3 0 2 4 0 2 5 0 2 6 0 2 7 0 2 8 0 2 9 0
方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(1)
0 . 0 1 0 . 1
0 . 3 0 . 5
Figure(5-5)附表(七)以不同數代入與各方法消耗方程式(1)值
將附表(七)中的消耗方程式(2)值與各方法畫成二維圖形 Figure(5-6)
1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
7 8 8 0 8 2 8 4 8 6 8 8 9 0 9 2 9 4 9 6 9 8
方 法(一 ) 方 法(二 ) 方 法(八 ) 方 法(十 ) 消耗方程式(2)
0 . 0 1 0 . 1
0 . 3 0 . 5
由
Figure(5-5)及 Figure(5-6)兩圖中，我們可以明顯的看到，方 法(十)消耗方程式(1)的值比方法(二)消耗方程式(1)的值要大，而方法 (十)消耗方程式(2)的值皆比方法(二)消耗方程式(2)的值為大。而此相關係數矩陣的相關係數的絕對值總和為 289.9170，若是相關係 數矩陣的相關係數的絕對值總和大於 289.9170，則有可能使用方法 (十) 的正定方法，而得到最佳的正定化方法。當然，也有可能相關 係數矩陣的相關係數的絕對值總和大於 289.9170 時，使用方法(十) 的正定方法未必是最佳的，此時若使用其他的方法，反而可能會得到 最佳的結果，但是值得肯定的是，當相關係數矩陣的相關係數的絕對 值總和很大時，使用方法(十)去正定化多變數矩陣時，還是有機會成 為最佳的正定化方法。