作答注意事項

(1)

111學年度學科能力測驗試題

數學B考科

作答注意事項

考試時間：100分鐘作答方式：

˙選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答題卷」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。

˙除題目另有規定外，非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答題卷」上作答；更正時，可以使用修正液（帶）。

˙考生須依上述規定劃記或作答，若未依規定而導致答案難以辨識或評閱時，恐將影響成績並損及權益。

˙答題卷每人一張，不得要求增補。

˙選填題考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若答案格式是，而依題意計算出來的答案是，則考生必須分別在答題卷上

的第18-1 列的與第 18-2 列的劃記，如：

例：若答案格式是，而答案是時，則考生必須分別在答題卷的第 19-1 列

的與第 19-2 列的劃記，如：

選擇（填）題計分方式：

˙單選題：每題有ⁿ個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

˙多選題：每題有ⁿ個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得該題全部的分數；答錯k 個選項者，得該題ⁿ ²^k

n

 的分數；但得分低於零分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

˙選填題每題有ⁿ個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。

※試題中參考的附圖均為示意圖，試題後附有參考公式及數值。

3 8

7 50

 3

18-2 18-1

8

 7

19-1 19-2 50 18-1

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

18-2

19-1

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

19-2

(2)

第壹部分、選擇（填）題（占85分）一、單選題（占 35 分）

說明：第1 題至第 7 題，每題 5 分。

1. 試問有多少個整數x滿足2 x  x 10？

(1) 13 個 (2) 14 個 (3) 15 個 (4) 16 個 (5) 無窮多個

2. 某燈會布置變色閃燈，每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變換：藍-白- 紅-白-藍-白-紅-白-藍-白-紅-白…，每四次一循環，其中藍光每次持續 5 秒，白光每次持續 2 秒，而紅光每次持續 6 秒。假設換燈號的時間極短可被忽略，試選出啟動後第 99 至101 秒之間的燈號。

(1) 皆為藍燈 (2) 皆為白燈 (3) 皆為紅燈

(4) 先亮藍燈再亮白燈 (5) 先亮白燈再亮紅燈

3. 有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 1,2,3,4,5,6,7,8。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰的兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在 3 號大廈不設立基地台的情況下，有多少種設立基地台的選取方法？

(1) 12 (2) 13 (3) 20 (4)30 (5)35

4. 在坐標平面上，已知向量 1 ⁵ log , 10

PQ



 5  ^ ，其中點P的坐標為 1 ⁵ log , 2

2

  

 

 。試選出正確的選項。

(1) 點 Q 在第一象限 (2) 點 Q 在第二象限 (3) 點 Q 在第三象限 (4) 點 Q 在第四象限 (5) 點 Q 位於坐標軸上

(3)

5. 設矩陣 1 1 1 1 A  

   ，若 ⁷ 3 a b A A

c d

 

   

 ，則a b c d   之值為下列哪一個選項？

(1)  8 (2) 5 (3) 5 (4) 8 (5) 10

6. 假設地球為一半徑r的球體，有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動，抵達北極點時移動所經過的弧線之長度為 7

12r。試問哪一個選項最可能是甲地的位置？

(1) 東經75 、北緯 15 (2) 東經30 、南緯 75 (3) 東經75 、南緯 15

(4) 西經30 、北緯 75 (5) 西經15 、南緯 30

7. 畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：

一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。

二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致。

三、空間直線上的任四個相異點的K值，和畫紙所畫的四個點之K 值必須相同，其中 K值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點P P P P ，如下圖。 ₁, , ,₂ ₃ ₄

其所對應的K值定義為

1 4 2 3

1 3 2 4

P P P P K P P P P

 

 ^。

今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點Q Q Q Q₁, ₂, ,₃ ₄ 描繪在畫紙上，其中Q Q₁ ₂=Q Q₂ ₃=Q Q₃ ₄。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？

(1) 1, 2, 4, 8 (2) 3, 4, 6, 9 (3) 1, 5, 8, 9 (4) 1, 2, 4, 9 (5) 1, 7, 9, 10

(4)

二、多選題（占

2 5

分）

8. 有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 1 的圓盤靶子，其圓心分別為(2, 2)、 (4,6) 與 (8,1)。玩家選定一正數a，並按下按鈕後，發射台將向點(1, )a 方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（削過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。

(1) 雷射光束落在通過原點且斜率為a的直線上 (2) 若 3

a ，則雷射光束會擊中圓心為 (4,6) 的圓盤靶子 2 (3) 玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子 (4) 玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子

(5) 玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為 (8,1) 的圓盤靶子，則 16 a63

9. 設 f x( ) 2 x³3x ，下列關於函數1 y f x( )的圖形之描述，試選出正確的選項。

(1) y f x( )的圖形通過點(1,0)

(2) y f x( )的圖形與x軸只有一個交點 (3) 點 (1,0) 是 y f x( )的圖形之對稱中心

(4) y f x( )的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 y3x 3 (5) y3x³6x²2x的圖形可由y f x( )的圖形經適當平移得到

10. 甲、乙兩班各有 40 位同學參加某次數學考試（總分為 100 分），考試後甲、乙兩班分別以y₁0.8x₁20和y₂0.75x₂25的方式來調整分數，其中x₁,x 分別代表甲、乙兩班的原₂ 始考試分數，y₁,y 分別代表甲、乙兩班調整後的分數。已知調整後兩班的平均分數均₂ 為60 分，調整後的標準差分別為 16 分和 15 分。試選出正確的選項。

(1) 甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數

(2) 甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高 (3) 甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高

(4) 若甲班 A 同學調整後的分數比乙班 B 同學調整後的分數高，則 A 同學的原始分數比B 同學的原始分數高

(5) 若甲班調整後不及格（小於 60 分）的人數比乙班調整後不及格的人數多，則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多

(5)

11. 考慮坐標平面上的點O(0,0)、A、B、C、D、E、F、G，如下圖所示：

其中B點、C 與D點、E與F點、G 與A點依序在一、二、三、四象限內。若



v 為坐標平面上的向量，且滿足

 

v OA 0及

 

v OB 0，則



v 與下列哪些向量的內積一定小於0？ (1) OC



(2) OD



(3) OE



(4) OF



(5) OG



12. 設 , ,a b c 都是非零的實數，且二次方程式ax²bx c  的兩根都落在 1 和 3 之間。試選0 出兩根必定都落在4 和 5 之間的方程式。

(1) a x( 2)²b x( 2)  c 0 (2) a x( 2)²b x( 2)  c 0 (3) a x(2 7)²b x(2 7)  c 0 (4) ( 7)² ( 7) 0

2 2

x x

a  b    c (5) a x(3 11)²b x(3 11)  c 0

三、選填題（占 2 5 分）

13. 若x y, 為兩正實數，且滿足

1

3 2 1

x y

  及 2 logy ，則1 ² 10

x y 

○

^13-1

○

^{13-2 。}

D E

C y

B

x F G

O A

(6)

14. 坐標平面上有一個半徑為 7 的圓，其圓心為O 點。已知圓上有 ,A B 兩點，且 AB ，則8 內積OA OB

 

 

_○

14-1

○

^{14-2 。}

15. 根據某國對失蹤輕航機的調查得知：失蹤輕航機中有 70%後來會被找到，在被找到的輕航機當中，有60%裝設緊急定位傳送器；而沒被找到的失蹤輕航機當中，則有 90%未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀時發送訊號，讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤，若已知該機有裝設緊急定位傳送器，則它會被找到的機率為

○

^15-1

○

^15-2

○

^15-3

○

^15-4 ^{。（化為最簡分數）}

16. 袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 10 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球被抽中的機率相等），若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 1

15，皆為綠色的機率為 2

9，則從袋中隨

機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為

○

^16-1

○

^16-2

○

^16-3

○

^16-4 ^{。（化為最簡分數）}

17. 有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學，畢業後老師邀聚餐，餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快，照相時不想相鄰，而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側，則可能的排列方式共有

○

^17-1

○

^17-2

○

^{17-3 種。}

(7)

第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）

說明︰本部分共有1 題組，每一子題配分標於題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。

選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

18-20 題為題組

瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔身，而塔身的長度稱為塔高，塔身與鉛直虛線的夾角 稱為該塔的傾斜度（ 0  90），又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。

根據上述資料，試回答下列問題。

18. 已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比，其傾斜度達到18 ，此傾斜度換算成弳（或弧度）為下列哪一個選項？（單選題，5 分）

(1) 36

 (2)

18

 (3)

20

 (4)

10

 (5)

8



19. 中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔，它們的塔高分別為 48、19 與57（公尺），偏移距離分別為2.3、2.3與 4（公尺），塔的傾斜度分別記為₁、₂ 與

3 。試比較₁、₂與₃三數的大小關係。（非選擇題，4 分）

20. 假設有塔高相等的兩座鐵塔，它們的傾斜度 ， 分別滿足 1

sin  與5 7 sin 25。已知兩座鐵塔的偏移距離相差 20 公尺，試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。

（非選擇題，6 分）

塔身

塔基水平線偏移距離鉛直線

塔頂

(8)

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a，公差為 d 的等差數列前n項之和為 (2 ( 1) ) 2 n a n d S   

首項為 a，公比為 r r( 1)的等比數列前 n項之和為 (1 ) 1 a rn

S r

 



2. ABC的正弦定理： 2 sin sin sin

a b c

A B C  R （ R為 ABC外接圓半徑）

ABC的餘弦定理： c²a²b²2 cosab C

3. 一維數據 X x x: , , ,₁ ₂ ， x_n

算術平均數 _X 1(x₁ x₂ x_n)

 n    

標準差 _X ¹[(x₁ _X)² (x₂ _X)² (x_n _X) ]² ¹[(x₁² x₂² x_n²) n _X²]

n n

   ^  ^^   ^ ^^  

4. 二維數據 ( , ) : ( , ),( , ), ,( , )X Y x y₁ ₁ x y₂ ₂  x y_n _n ，

相關係數 _{X Y}_, ⁽ ¹ ^X⁾⁽ ¹ ^Y^{) (} ² ^X⁾⁽ ² ^Y⁾ ⁽ ⁿ ^X⁾⁽ ⁿ ^Y⁾

X Y

x y x y x y

r n

     

 

        

 

迴歸直線（最適合直線）方程式 _Y _{X Y}_, ^Y ( _X)

X

y  r  x 

   

5. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,    3.142

6. 對數值： log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 5 0.6990, log 7 0.8451   