O10 O9 O8 O7 O6
O5 O4 O3
O2
O1
O
6 2
8 E 45°
D C
B A
110 學年度數學科高一升高二暑假作業
※請將解題過程詳列書寫於竹中數學作業簿，於任課老師指定時間繳交※
1. 如圖一﹐△ABC中﹐ADBC﹐已知AB20﹐sin 3
B5﹐sin 12
C 13﹐求BC ？
2. 圖二是由四個全等的直角三角形與一個小正方形所排成的一個大正方形，若直角三角形中較 小的銳角為θ，大正方形的面積為1，小正方形的面積為
25
1 ，求cos3θ－sin3θ的值？
3. 某人想要測量一座山的高度 PQ ，於是先在A處測得山頂P點的仰角為22°，然後繼續往山 的方向，前進200公尺到達B點，並測得該處對P點的仰角為31°，則可計算出山的高度約 為幾公尺（取整數）？（sin22°＝0.37，tan22°＝0.41，sin31°＝0.52，tan31°＝0.61）
圖一 圖二 圖三 圖四 4. 設
1﹑
2﹑
3﹑
4分別為第一﹑第二﹑第三﹑第四象限角﹐且都介於0與 360之間﹒已知1 2 3 4
cos cos cos cos 1
3﹐請問下列哪些選項是正確的﹖
(1)145 (2) 1 2 180 (3)cos 3 1
3 (4)sin 4 2 2
3 (5)
4
3 90 5. 如上圖四，在半徑為 1 的大圓(圓心為 O )內放入 10 個半徑相同而與大圓相切的小圓(依逆時針方向，圓心依序為O O1, 2 ,,O10)，且相鄰的兩個小圓相切。今以 O 為極點，OO 射線1
為極軸建立極座標系，求O 的極座標。 ( 已知 5 sin18 5 1 4
)
6. 設tan 170
﹐試以 a 表示 cos190 ﹒
a7. △ ABC 中﹐AB ﹐15 AC ﹐10 BC20﹐且AD平分A﹐交BC 於D﹐求AD﹒ 8. 如右圖，圓內接四邊形 ABCD 中，兩對角線AC BD, 互相垂直
於E，ABC ，45 AB8 ,BC6 2。 (1) 求圓的半徑R。 (2) 承(1)，求四邊形 ABCD 的面積。
9. 已知 a 為公差是n 1的等差數列﹐且a a1, 1a a2, 4 三數構成一個等比數列﹐則數列a5 a 之n 第三項a 的值為 。 3
10. 計算 1×2×3＋2×3×4＋……＋20×21×22 的值。
11. 試求級數 32 2 5 2 2 72 2 2 22 21 2 2 2 412 2
1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 20
n
n
的和。
12. 機器人在平面坐標上行走﹐如右圖﹐從原點開始﹐第一次往右上 1 步﹐
第二次往右下2 步﹐第三.次往左下3 步﹐第四次往左上 4 步﹐第五次 往右上5 步﹐以此類推…﹒求走第 20 次後，停留的坐.標。
13. 以數學歸納法證明對所有的自然數n，28n+1－24n的個位數字都是6。
14. 若一數列 a 定義為：n 1
1
1
7 3
n n
a
a a
，則a 的個位數不可能出現下列 n 哪個數字？ (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4
15. 選秀節目「無敵星光大道」中有甲、乙兩組進行團體PK賽，甲組30人之平均成績為60分，
乙組20人之平均成績為75分，標準差為5分，若兩組合併計算後標準差為10分，則甲組30 人之標準差為幾分?
16. 一組數據 X﹕x1﹐x2﹐…﹐xn之算術平均數為8﹐標準差為 5 。 設多項式f (x) (x1 x)2 (x2 x)2 … (xn x)2 20x2 ax b﹐試求
(1) x1 x2 … xn的值。 (2) x12 x22 … xn2 的值。 (3) f (x)的最小值。
17. 數學老師調查6名學生複習數學的時數x與數學成績y，如下表所示，試求：
(1)時數x與數學成績y的相關係數。
(2)數學成績y對時數x的迴歸直線。
(3)承上題，假設小豬同學在這次期末考中，複習數學8 小時，則可預測小豬的數學成績為何？
18. 設有 4 筆數據
x y 依次為i, i
1, 2 、
a,3 、
b,1 、
5,c ，i1, 2,3, 4。若a 和 b 的算術平均 數等於3，且 y 對 x 的迴歸直線為y2x2，求實數c 的值。
19. 設A＝｛x｜x3－7x－6＜0，x為整數｝，B＝｛x｜x2＋x－6＜0，x為整數｝，求A∩B。
20. AABBCCDE共八個字母排成一列，問相同字母不相鄰的方法數有幾種？
21. (1)在 1 到 1000 的自然數中，不是2的倍數且不是5的倍數的數共有幾個？
(2)承上題，這些數的總和是多少？
x(小時) 3 5 4 7 5 6 y(分) 50 70 70 90 60 80
x y
O
22. 已知一組 16 位元的二進位碼位元組，每個位元皆為 0 和 1，規定第一個位元和最後一個位 元都不可以是0，和此組位元組裏不可有兩個連續的位元為 0 且不可有三個連續的位元為 1，
請問滿足條件的位元組有多少種？
23. 普悠瑪列車共 14 節車廂﹐為提升服務品質﹐指定 4 節車廂設置自助咖啡機。若設置自助咖 啡機的4 節車廂兩兩不相鄰﹐且第 8 節貴賓車廂必定要設置﹐請問共有多少種設置方法？
24. 從 0﹐1﹐2﹐2﹐3﹐3﹐3﹐4﹐5﹐5 中﹐任意取三個數字排成三位數﹐請問這些三位數有多 少個是3 的倍數？
25. 將甲、乙、丙、…等七個人分到 A、B、C 三個班，其中兩人到 A 班，三人到 B 班，兩人到 C 班，且甲與乙要在同一班，請問分法共有幾種？
26. 已知a為實數，且
6
2 2
x
x＋a 的展開式中，常數項為2160，求a 的值。
27. 設多項式 f (x) x100 2x2 5x 1 除以(x 1)2的餘式為ax b﹐求 a b 的值。
28. 若
! 12
! 0
1 ＋
! 10
! 2
1 ＋
! 8
! 4
1 ＋
! 6
! 6
1 ＋
! 4
! 8
1 ＋
! 2
! 10
1 ＋
! 0
! 12
1 ＝
! 12
k ，請問實數k等於多少？
29. 有四個問題 1 , 2 , 3 , 4 與四個答案 A , B , C , D 作一對一之配合題。某生瞎答，求恰答對一 題的機率。
30. 鞋櫃中有同樣式同大小的黑鞋 3 雙、紅鞋 2 雙，今任取 4 隻，求此 4 隻恰成 2 雙的機率。
31. 投擲三顆公正的骰子，求點數和為 9 之機率。
32. 財神刮刮樂彩卷每張 100 元，中獎金額及機率如下：頭獎 10 萬元，機率 0.01%，二獎 2 萬 元，機率0.06%，三獎 1000 元，機率 5%，四獎 200 元，機率 10%，今小花購買一張刮刮樂，
請問小花獲利期望值為多少元。
33. 抽獎遊戲中，參加者自箱中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者可得消費 券，其金額分別為(抽得藍色球者) 2000 元、(抽得紅色球者) 1000 元。箱中已置有 2 顆藍 色球及5 顆紅色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單位希望參加者所得消費券金 額的期望值為300 元，請問主辦單位應於箱內再置入多少顆其他顏色的球？
34. 甲、乙兩人比賽，7 戰中先勝 4 場者為勝，甲、乙兩人實力相當，每場比賽無平手，現已比 賽4 場，甲贏 3 場輸 1 場，因故無法繼續，此場比賽獎金共 30 萬元，請問甲應分多少元才 公平？
參考解答：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.(1)
21 125
37 250 (2)(3) 3 5 ,144 2
1 1
a
3 6 2 5
8(2) 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
28 3 或 52 53130
7
40 ( 20,0) 略 (3) 2 15
16.(1) 16.(2) 16. (3) 17.(1) 17. (2) 17. (3) 18. 19.
160 1380 100
10
9 y＝9x＋25 97 10 {0，1}
20. 21.(1) 21.(2) 22. 23. 24. 25. 26.
2220 400 200000 49 91 49 50 3或－3
27. 28. 29 30 31 32 33 34
199 2048 1 3
23 105
25
216 8 23 262500
