鋼筋混凝土短柱之耐震剪力強度評估

鋼筋混凝土短柱之耐震剪力強度評估

呂文堯^1,* 游新旺² 黃淑敏¹

1中國科技大學室內設計系

2中國科技大學土木與防災設計系

摘 要

本文建議一簡化分析方法來評估在地震所引致之反覆剪力作用下鋼筋混 凝土短柱之剪力強度。本文將所建議之分析方法及 Moretti 和 Tassios 之全桁架 模式與已有之鋼筋混凝土短柱之反覆剪力試驗資料詳加比對。研究結果顯示，

本文所建議的簡化分析方法及 Moretti 和 Tassios 之全桁架模式皆能精確地預測 鋼筋混凝土短柱之剪力強度。

關鍵詞：鋼筋混凝土，短柱，剪力強度，壓－拉桿。

SHEAR STRENGTH PREDICTIONS FOR REINFORCED CONCRETE SHORT COLUMNS SUBJECTED TO SEISMIC LOADS

Wen-Yao Lu^1,* Hsin-Wan Yu² Shu-Min Huang¹

1Department of Interior Design China University of Technology Taipei, Taiwan 116, R.O.C.

2Department of Civil Engineering and Hazard Mitigation Design China University of Technology

Taipei, Taiwan 116, R.O.C.

Key Words: reinforced concrete, short columns, shear strength, strut-and-tie.

ABSTRACT

A simplified method for determining the shear strength of reinforced concrete short columns subjected to cyclic shear is proposed in this study.

The shear strength predicted by both the proposed simplified method and the Global Truss model of Moretti and Tassios are compared with the available experimental data of short columns subjected to cyclic shear.

The comparisons show that both the proposed simplified method and the Global Truss model of Moretti and Tassios can accurately predict the shear strength of short columns subjected to cyclic shear.

一、前 言

一般在垂直載重作用下，房屋結構之鋼筋混凝土柱是

被賦予承受軸壓力與彎矩功能為主之結構桿件。鋼筋混凝 土柱之鋼筋主要是由縱向主鋼筋及固定縱向主鋼筋之橫箍 筋所組成，由於混凝土之抗壓強度不差，而鋼筋之抗壓強

*通訊作者：呂文堯，e-mail: luwenyao@cute.edu.tw

Corresponding author: Wen-Yao Lu, e-mail: luwenyao@cute.edu.tw

圖1 1999年臺灣921地震典型之短柱剪力破壞

度及抗拉強度又都很高，故一個設計良好之鋼筋混凝土柱 通常會具有足夠之抗壓強度及抗彎強度，其安全傳遞垂直 載重及彎矩之能力應毋庸置疑。惟結構設計時在同一層樓 中鋼筋混凝土柱之有效長度原為樓層之淨高度，然而在施 工後常常因窗台與柱相連接而使得柱之有效長度大大地縮 短，此種因開高窗而形同被囚禁之鋼筋混凝土短柱現象，

在地震力作用下，短柱實際承受的剪力會比柱原設計剪力 大得多。鋼筋混凝土短柱之剪力強度主要是源自於混凝土 及橫箍筋之貢獻。值得注意的是，混凝土之抗剪強度遠低 於其抗壓強度，一旦在地震力作用下，若鋼筋混凝土短柱 之抗剪強度不足以抵抗地震所引致之水平剪力，則其將 產生脆性之剪力破壞，此即一般所熟知之短柱效應破壞 (圖 1)。1999 年臺灣地區 921 集集大地震及希臘雅典地震 有很多建築物及橋梁因短柱效應破壞，造成相當重大之災 害。故評估鋼筋混凝土短柱之耐震剪力強度確為一重要之 課題。

Wakabayashi和 Minami [1]對鋼筋混凝土柱進行反覆 剪力試驗，其研究結果顯示柱承受之軸壓力愈高，則其剪 力強度也愈高[1]。2004 年邱耀正等人[2]在其含開口牆構 架實驗中，發現其中有兩支含高牆試體 (圖 2) 呈現短柱剪 力破壞之現象[2]。Moretti 和 Tassios [3, 4]對 8 支全尺寸 之鋼筋混凝土柱進行反覆剪力試驗，試體之試驗裝置如 圖 3 所示，Moretti 和 Tassios [3]並提出全桁架模式 (global truss model) 來模擬短柱之反覆剪力行為。Moretti 和 Tassios [3, 4]指出柱承受反覆剪力作用，其破壞模式主要和 其剪力比值αs有關。對於αs≤ 2 之短柱，其在水平剪力與 彎矩聯合作用下，破壞模式基本上為剪力破壞[3, 4]，其中 αs之定義如下：

s 2

M L

Vh h

α = ≈ (1)

式中，M 及 V 分別為柱所承受之彎矩及剪力，L 及 h 分別 為柱之長度及深度。

鋼筋混凝土短柱之試驗觀察顯示[2-4]，在反覆水平 剪力作用下，柱會產生雙向之對角裂縫 (即俗稱之 X 形

圖2 邱耀正等人[2]發現含高牆剛架試體發生短柱破壞 時裂縫示意圖

reaction frame

hydraulic jack

double action actuator

reaction floor column

specimen

圖3 Moretti和Tassios [3, 4]短柱試體加載示意圖 (本 圖直接摘錄自Moretti和Tassios [3])

裂縫)，此對角裂縫形成後由於裂縫之間的混凝土仍可構成 壓桿而傳遞對角壓力，故鋼筋混凝土短柱開裂後並不會立 即破壞[2-4]，惟對角裂縫形成後因為混凝土裂縫面並不平 整，故而造成裂縫間之壓桿截面積會有大小不齊之情況。

在固定之對角壓力作用下，較小的壓桿截面積會提前終止 其對角壓力強度的發展，導致混凝土之抗壓強度及勁度均 明顯降低之行為，此即開裂後鋼筋混凝土之軟化現象。本 研究根據軟化壓拉桿模型[5-16]，提出一簡化分析方法來計 算反覆剪力作用下鋼筋混凝土短柱之剪力。此軟化壓拉桿 模型對於鋼筋混凝土構件具有相當豐富之應用實績。舉凡 對於鋼筋混凝土梁柱接頭[5, 6]、鋼筋混凝土深梁[7-9]、鋼 筋混凝土托架[10-12]、鋼筋混凝土剪力牆[13]及鋼筋混凝 土開榫梁[14-16]等，軟化壓拉桿模型皆能得到相當不錯的 剪力強度預測精度。

(c) (b)

(a)

(d) V C

M V V

N M

V

L

L/2

2 M =VL

2 M =VL

T

z = h − 2x/3

z = h − 2x/3

L

2 V

C V

T V

3

4 T

C

T

C N

1 1

2

x x

圖4 鋼筋混凝土短柱承受地震所引致水平剪力之受力狀 況：(a) 承受反覆水平剪力之對稱短柱；(b) 剪力 圖；(c) 彎矩圖；(d) 傳力路徑及破壞時裂縫分佈圖

本研究首先將介紹鋼筋混凝土短柱剪力強度之分析 程序，然後再報告試驗值和分析值之比較結果。藉著鋼筋 混凝土短柱試體剪力強度試驗值和分析值之比對，本研究 擬探討所建議分析方法之精確性，Moretti 和 Tassios 之全 桁架模式[3]也在本文研討之列。

二、鋼筋混凝土短柱剪力強度之簡易分析方法

為了探討地震力所引致之反覆剪力對鋼筋混凝土短 柱之剪力強度行為，首先應了解短柱在反覆水平剪力作用 下之受力狀況。如圖 4 所示，在水平剪力作用下鋼筋混凝 土短柱於對角方向上將產生斜裂縫，其與鋼筋混凝土梁柱 接頭[4, 5]、鋼筋混凝土深梁[7-9]、鋼筋混凝土托架[10-12]

及鋼筋混凝土梁開榫端[14-16]類似，短柱在對角斜裂縫產 生後並不會立即破壞，其對角斜裂縫之間的混凝土即構成 所謂的對角壓桿，外作用剪力即可藉著對角壓桿的抗壓力 而有效的傳遞，故其伴隨而來的破壞模式，即包括了對角 斜裂縫間之混凝土遭到壓碎的對角壓力破壞。

如圖 4 所示，長度為 L 且鋼筋為對稱配置之鋼筋混凝 土短柱，其承受因地震所引致之水平剪力 V，此地震所引 致之水平剪力必定成對出現，亦即當柱頂受到向右之水平 剪力 V 時則柱底必受到向左之水平剪力 V，為了平衡此對

水平剪力所造成之順時鐘方向彎矩，圖 4(a) 中柱之上、下 兩端會各自提供一逆時鐘方向之固定彎矩M=VL 2。反 之，當柱頂承受向左之水平剪力 V 時，柱底必受到向右之 水平剪力 V，為了平衡此對水平剪力所造成之逆時鐘方向 彎矩，圖 4(a) 中柱之上、下兩端會各自提供一順時鐘方向 之固定彎矩M =VL2。柱承受之剪力如圖 4(b) 所示，而 圖 4(c) 則為柱之彎矩圖。

為了滿足內、外力之平衡，鋼筋混凝土短柱之撓曲抗 拉鋼筋提供一撓曲抗拉力 (T)，混凝土則承受一撓曲壓力 (C)。如圖 4(d) 所示，當柱頂承受向右之水平剪力 V 時，

由於節點 1 有混凝土撓曲壓力 C 向下作用，如此會導致對 角壓力沿著 1→2 方向傳遞，而在垂直於 1→2 之方向上會 有拉力作用，一旦拉力超過混凝土之抗拉強度，將導致在 平行於 1→2 之方向上混凝土會有對角裂縫產生。圖 4(d) 中，當柱頂承受向左之水平剪力 V 時，由於節點 3 有混凝 土撓曲壓力 C 向下作用，如此會導致對角壓力沿著 3→4 方向傳遞，而在垂直於 3→4 之方向上會有拉力作用，會導 致沿著 3→4 之方向上混凝土有對角裂縫產生。實驗之觀察 顯示[2-4]，短柱在反覆水平剪力作用下產生雙向之對角裂 縫 (圖 4(d))，由於裂縫之間的混凝土仍可構成壓桿而有效 地傳遞對角壓力，故短柱在對角開裂後並不會立即破壞 [2-4]，此種短柱最常見之破壞模式為對角方向混凝土擠碎 所造成之對角壓力破壞。

如圖 5 所示，本文建議之軟化壓拉桿模型包括對角、

水平和垂直等三種機制[8]。對角機制 (圖 5(a)) 係由一傾斜 角為θ之對角壓桿所構成，對角壓桿之傾斜角θ可計算如 式 (2)：

tan 1 z

θ= ^{−  }  L (2)

其中，z 為對角壓桿之水平投影長度其可計算如式 (3)：

2 3

z= −h x ( 3 )

式中，撓曲壓力區深度 x 可根據 Paulay 和 Priestley [17]對 彈性柱之簡易評估方法計算如式 (4)：

(0.25 0.85 )

g c

x N h

= + A f

′ (4)

式中，N 為作用在柱之軸壓力，Ag為柱之總截面積，fc′ 為 混凝土之抗壓強度。

本研究假設混凝土主壓應力之方向與對角壓桿之方 向相同，其主壓應力方向之傾斜角亦為θ。而對角壓桿之 有效截面積 Astr可定義如式 (5)：

str s s

A = × (5) a b

其中，bs為對角壓桿之寬度，其可取為柱之寬度。如圖 5(a) 所示，壓桿之端部支承效應緣自鋼筋混凝土柱之撓曲壓力

圖5 短柱之抗剪機制

區深度及水平剪力之承載鈑寬度。對角壓桿之深度 as可取 為如式 (6)：

2 2

s b

a = x +a ( 6 )

如圖 5(b)，水平機制由一個水平拉桿和二個平壓桿所 構成。水平拉桿係由水平剪力鋼筋所組成。由於中央部份 之水平剪力鋼筋抗拉效果最好，上下兩端水平鋼筋之效果 遞減。所以在計算水平拉桿之有效截面積時，中央二分之 一部份是以 100%之比例計算，而上下兩端部份則以 50%

之比例計算[8]。

如圖 5(c)，垂直機制係由一個垂直拉桿和二個陡壓桿 所組成。垂直拉桿是由垂直剪力鋼筋所構成。垂直拉桿有 效截面積之估算方法，亦採計中央二分之一部份之百分之 一百的垂直剪力鋼筋量，而左右兩端的垂直剪力鋼筋則以 50%之比例計算[8]。

Hwang 和 Lee [18]採用水平拉桿指標及垂直拉桿指 標，來評估水平機制及垂直機制所造成之強度放大效益。

根據 Hwang 和 Lee [18]，混凝土短柱之對角壓力強度可定 義為式 (7)：

( 1)

d h v c str

C = K +K − ζ ′f A ( 7 )

其中，Cd為鋼筋混凝土短柱之對角壓力強度，Kh及 Kv分

別為水平及垂直拉桿指標[18]，ζ為混凝土軟化係數。水平 拉桿指標可定義為式 (8) [18]：

1 ( 1) ^{th yh}

h h h

h

K K A f K

= + − F ≤ ( 8 )

其中，

2

1 1 0.2( )

h

h h

K ^≈ − γ +γ ( 9 )

2tan -1

, but 0 1

h 3 h

γ = θ ≤γ ≤ ( 1 0 )

( ) cos

h h h c str

F = ×γ Kζf A′ × θ ( 1 1 )

其中，Kh為彈性水平拉桿指標，Fh為水平拉桿之平 衡拉力值，Ath為水平拉桿之截面積，fyh為水平剪力鋼筋之 降伏應力，γh係當垂直機制不參與作用時，水平拉桿所承 擔之水平剪力比例。

垂直拉桿指標可定義為式 (12) [18]：

1 ( 1) ^{tv yv}

v v v

v

K K A f K

= + − F ≤ ( 1 2 )

其中，

2

1 1 0.2( )

v

v v

K ^≈ − γ +γ ( 1 3 )

2cot -1

, but 0 1

v 3 v

γ = θ ≤ ≤ ( 1 4 ) γ

( ) sin

v v v c str

F = ×γ Kζf A′ × θ ( 1 5 )

其中，Kv為彈性垂直拉桿指標，Fv為垂直拉桿之平 衡拉力值，Atv為垂直拉桿之截面積，fyv為垂直剪力鋼筋之 降伏應力，γ^v係當水平機制不參與作用時，垂直拉桿所承 擔之垂直剪力比例。

軟化係數ζ可近似簡化[18]如式 (16)：

3.35 0.52 (MPa)

fc

ζ = ≤

′ (16)

鋼筋混凝土短柱之反覆剪力強度即可定義為式 (17)：

calc dcos

V =C θ ( 1 7 )

三、結果與討論

以本研究所建議之簡易分析方法及 Moretti 和 Tassios [3]之全桁架模式作為分析工具來預測邱耀正等人[2]兩支

表一 鋼筋混凝土雙曲率短柱剪力強度之試驗資料

作者 試體編號 短柱尺寸 b × h × L (mm) 柱箍筋 柱縱向主鋼筋 備註

HFWL 300 × 300× 600 D10@150 mm 8-D19 承受反覆剪力之含高牆構架 邱耀正等人[2]

HFWH 300 × 300× 600 D10@150 mm 8-D19 承受反覆剪力之含高牆構架 1 250 × 250× 500 3 D8@50 mm 8-D14 承受反覆剪力及軸壓力之短柱 2 250 × 250× 500 3 D8@50 mm 8-D14 承受反覆剪力及軸壓力之短柱 3 250 × 250× 500 3 D8@50 mm 8-D20 承受反覆剪力及軸壓力之短柱 4 250 × 250× 500 3 D10@50 mm 8-D20 承受反覆剪力及軸壓力之短柱 5 250 × 250× 500 3 D8@50 mm 8-D12 承受反覆剪力及軸壓力之短柱 6 250 × 250× 500 3 D8@50 mm 8-D14 承受反覆剪力及軸壓力之短柱 Moretti和

Tassios [3, 4]

7 250 × 250× 1000 3 D8@50 mm 8-D14 承受反覆剪力及軸壓力之短柱

表二 鋼筋混凝土雙曲率短柱剪力強度之測試比對

V_test/V_calc 作者 試體編號 αs

f_c′ MPa

N kN

ρ⁺

% f_y MPa

A_th mm²

f_yh MPa

V_test

kN 建議方法 全桁架模式[3]

HFWL 1 25.3 0 2.53 489.3 427.8 428.1 378.7 1.01 0.94 邱耀正等人[2]

HFWH 1 27.9 0 2.53 489.3 427.8 428.1 392.4 1.00 0.91 1 1 36 670 2 480 1130.25 300 330 1.07 0.94 2 1 48 1800 2 480 1130.25 300 410 1.08 1.08 3 1 39 720 4 415 1130.25 300 360 1.08 0.88

4 1 35 654 4 415 1766 305 360 1.20 0.88

5 1 35 654 2 390 1130.25 300 340 1.13 0.97 Moretti和

Tassios [3, 4]

6 1 39 730 4 480 1130.25 300 400 1.19 0.93

7 2 38 720 2 480 2260.5 300 200 1.17 1.00

AVG 1.10 0.95

COV 0.07 0.07

呈現短柱剪力破壞之含高牆剛架試體 (圖 2) 及 Moretti 和 Tassios [3, 4]之 7 支鋼筋混凝土短柱 (圖 3) 之剪力強度。

藉著實驗數據和分析值之比對，本研究擬探討不同分析方 法對預測鋼筋混凝土短柱剪力強度之精確度。邱耀正等人 [2]之試體，其短柱尺寸 b × h × L 及配筋狀況如表一所示，

圖 2 顯示試體只承受反覆水平剪力而無軸壓力。Moretti 和 Tassios [3, 4]之 7 支鋼筋混凝土短柱試體其短柱尺寸 b × h × L 及配筋狀況如表一所示，Moretti 和 Tassios [3, 4]之試體在 固定軸壓力下，施加反覆水平剪力，其加載裝置如圖 3 所 示。如圖 2 及圖 3 所示，邱耀正等人[2]及 Moretti 和 Tassios [3, 4]之試體皆為雙曲率短柱試體。

如表二所示，上述 9 支短柱試體包含了不同之混凝 土抗壓強度(fc′ = 25.3 MPa 至 48 MPa)，不同之縱向鋼筋 比 (ρ ^{= 2%}至 4%) 及不同之柱軸壓力 (N = 0 至 1800 kN)。

本研究在表二中定義強度比值，其為剪力強度測試值除以 剪力強度之分析值 (Vtest/V_calc)，此一數值可以幫助了解分 析方法之精確度。由表二可見，以本研究所建議之簡易分 析方法，分析所得強度比值之平均數為 1.10 而變異係數為 0.07；Moretti 和 Tassios [3]之全桁架模式分析所得強度比 值之平均數為 0.95 而變異係數為 0.07。由此可見，就強度

比值之變異係數而言，採用本研究所建議之簡易分析方法 及 Moretti 和 Tassios [3]之全桁架模式計算雙曲率短柱之剪 力強度，其皆能獲得不錯之預測精度。由表二可見，本研 究所建議之簡易分析方法，其大致都能對雙曲率短柱做出 保守之剪力強度預測，惟 Moretti 和 Tassios [3]之全桁架模 式對於雙曲率短柱之反覆剪力強度預測，則有略偏於不保 守之情形 (表二)。

此外，Moretti 和 Tassios [3]之全桁架模式係採用塑性 理論，其分析時必須撰寫電腦分析程式，計算較複雜。反 之，根據本研究所建議之簡易分析方法，工程師可以利用 很簡單之計算器，不需任何迭代程序即可迅速算得鋼筋混 凝土短柱之剪力強度。

四、單曲率短柱剪力強度計算例

本研究所建議之簡易分析方法除了可精確計算雙曲 率鋼筋混凝土短柱之剪力強度 (表二) 外，其應該也可適 用在非雙曲率鋼筋混凝土短柱之剪力強度計算。圖 6 為鍾 豐旭和張國鎮[19]在國家地震中心所測試之 BMRS 試體，

其為承受反覆剪力及軸壓力之單曲率短柱試體。以下將說

N Vtest

1750 mm

7-#3 600 mm 750 mm

32-#6

圖6 BMRS短柱試體[19]

明如何以本研究所建議之簡易分析方法，來分析 BMRS 試 體 (圖 6) 之剪力強度，此處只有展示重點計算結果，例行 運算過程將省略不寫。

－材料性質

混凝土 fc′ = 16.7 MPa

鋼筋 #7 fy = 441 MPa，#6 fy = 421 MPa，#3 fy = 412 MPa

－測試值

軸壓力 N = 799 kN，水平剪力 Vtest = 713 kN

－混凝土對角壓桿

Astr = 153000 mm²，θ=70
，ζ =0.52

－水平拉桿

γ^{h = 1.0}，K_h=1.667，F = 758 kNh ，Kh = 1.27

－垂直拉桿

γ^{v = 0}，K_v=1.0，Fv= 0 kN，Kv = 1.0

－剪力強度之分析值 Vcalc = 577 kN

－強度比值 Vtest/Vcalc = 1.24

綜合上述，本研究所建議之簡易分析方法亦可適用在 單曲率鋼筋混凝土短柱之剪力強度計算。

五、結 論

針對承受反覆剪力作用之鋼筋混凝土短柱，本文根據 壓拉桿模型建議一剪力強度之簡易分析方法。基於本文研 究所得茲作下列結論。

1. 採用本研究所建議之簡易分析方法及 Moretti 和 Tassios

[3]之全桁架模式，計算反覆剪力作用之雙曲率鋼筋混凝 土短柱之剪力強度，皆能獲得不錯之預測精度。

2. Moretti和 Tassios [3]援用塑性理論，其分析時必須撰寫 電腦分析程式，計算較複雜。根據本研究所建議之簡易 分析方法，工程師可以很簡單地算得鋼筋混凝土短柱之 剪力強度。

3. 本研究所建議之簡易分析方法亦可適用在單曲率鋼筋 混凝土短柱之剪力強度計算。

符號索引

A_g 柱之總截面積 a_s 對角壓桿之深度 A_st 柱之縱向主鋼筋面積 A_str 對角壓桿之有效截面積 A_th 水平拉桿之截面積 A_tv 垂直拉桿之截面積 b 柱之寬度

b_s 對角壓桿之寬度 C 混凝土承受之撓曲壓力

C_d 鋼筋混凝土短柱之對角壓力強度 d 有效深度

f_c′ 混凝土之抗壓強度 F h 水平拉桿之平衡拉力值 F v 垂直拉桿之平衡拉力值 f_y 縱向鋼筋之降伏應力 f_yh 水平剪力鋼筋之降伏應力 f_yv 垂直剪力鋼筋之降伏應力

h 柱深度

K_h 水平拉桿指標 Kh 彈性水平拉桿指標 K_v 垂直拉桿指標 K v 彈性垂直拉桿指標

L 柱長度

M 柱承受之彎矩 N 作用在柱之軸壓力 T 縱向鋼筋之撓曲抗拉力 V 柱承受之水平剪力 V_calc 剪力強度計算值 V_test 剪力強度試驗值 x 撓曲壓力區深度

z 對角壓桿之水平投影長度

αs 係數

γh 係當垂直機制不參與作用時，水平拉桿所承擔之 水平剪力比例

γv 係當水平機制不參與作用時，垂直拉桿所承擔之 垂直剪力比例

ρ 柱之縱向主鋼筋比

θ 對角壓桿之傾斜角 ζ 軟化係數

參考文獻

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2011年 09 月 07 日 收稿 2011年 09 月 19 日 初審 2012年 06 月 11 日 複審 2012年 12 月 13 日 接受