第七节斯托克斯公式环流量与旋度

(1)

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* 三、环流量与旋度

斯托克斯公式

* 环流量与旋度第七节

一、斯托克斯公式

* 二、空间曲线积分与路径无关的条件

第十一章

(2)

y z

x



O



一、斯托克斯公式

定理 1. 设光滑曲面_的边界 _{是分段光滑曲线} ,

y y x

P x

x Q x z

R z

z P z y

Q y

R d d d d d d



 







 



 



 







 



 



 







 







 ^



_ ^P ^d ^x ^ ^Q ^d ^y ^ ^R^d ^z ⁽ ^{斯托克斯公式} ⁾

个空间域内具有连续一阶偏导数 ,

 侧与  _{的正向符合右手法则} , P,Q, R _在包含 _在内的一的

证

_情形

:

1.  _与平行 z 轴的直线只交于一点 , 设其方程为

y

Dx

y x y

x f

z  ( , ), ( , )



:

n

为确定起见 , 不妨设_取上侧 ( 如图 ). ^D^x^y C 则有

简介

(3)

则



_ ^P^d ^x ^



_C ^P⁽^x^, ^y^, ^z⁽^x^, ^y⁾⁾^d ^x

( 利用格林公式 )

y x

y x z y x yP

y

Dx ( , , ( , ))d d



_^





 

^x ^y

y z z

P y

P

y

Dx d d



 



 







^f



^S

z P y

P y cos



d

 

 



 





,

cos ₂ ₂

1

y

x f

f 

 





cos ₂ ₂ ,

1 _x _y

y

f f

f



 







cos

 cos



 f _y

y z

x



O



n

y

Dx

C

定理 1

(4)

因此

 

^S

z P y

x P

P cos d

cos

d cos







 

 



 







 

^S

y P z

P cos



cos



d

 

 









y y x

x P z z

P d d d d



 







_ 

同理可证



_ ^Q ^d ^y ^



_ ^_^Q_x ^d ^x^d ^y ^ ^_^Q_z ^d ^y ^d ^z



_ ^R ^d ^x ^



_ ^_^R_y ^d ^y ^d ^z ^ ^_^R_x ^d ^z ^d ^x

三式相加 , 即得斯托克斯公式 ;

定理 1

(5)

情形 2 曲面_与平行 z 轴的直线交点多于一个则可, 通过作辅助线把 _分成与 z 轴只交于一点的几部分 ,

在每一部分上应用斯托克斯公式 , 然后相加 , 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消 , 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立 .

注意 : 如果_是 xOy 面上的一块平面区域则斯托克斯 , 公式就是格林公式 , 故格林公式是斯托克斯公式的特例 .

证毕

定理 1

y y x

P x

x Q x z

R z

z P z y

Q y

R d d d d d d



 







 



 



 







 



 



 







 







 ^



_ ^P^d ^x ^ ^Q ^d ^y ^ ^R^d ^z

(6)

为便于记忆 , 斯托克斯公式还可写作 :



_^ _^ _^

 P Q R

z y

x

y x

x z

z

y d d d d d d



^ ^

  Pd x Q d y Rd z

或用第一类曲面积分表示 :

S R

Q P

z y

x d

cos cos

cos



_^ _^ _^











^ ^

  Pd x Q d y Rd z

定理 1

(7)

z

x

y 1

1 O 1

y x

z

y x

x z

z y

x 







d d



例 1. 利用斯托克斯公式计算积分



_ ^z ^d ^x ^ ^x ^d ^y ^ ^y ^d ^z

其中 _为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解 : 记三角形域为 , 取上

侧 ,

则个边界 , 方向如图所示 .



_ ^z ^d ^x ^ ^x ^d ^y ^ ^y ^d ^z



^ ^

  d y d z d z d x d x d y

利用对称性^ ³



_D_x_y ^d ^x^d ^y ^ ₂³

y

Dx

(8)

z

x 2 y

Γ

O

例 2.  _为柱面 _与平面 _{y = z} _的交线 _, _从轴正向看为顺时针

z

,

. d d

2 d x xy y xz z y

I 



_  

解 : 设 _为平面

z = y

_上被_{所围椭圆域}

, 且取下侧 ,

, 0 cos





利用斯托克斯公式得

S

I ^



d

 ^



^



S z

y )d 2 (

1  0

则其法线方向余弦

2 , cos



 1

2 cos



  1







cos cos cos

z y

x 



z x y

x y²

y y

x²  ²  2



公式其他形式

计算

(9)

z R

y Q

x P

u d d d

d   

* 二、空间曲线积分与路径无关的条件

定理 2. 设 G 是空间一维单连通域 , 函数 P,Q, R在G内具有连续一阶偏导数 ,则下列四个条件相互等价 :

(1) 对 G 内任一分段光滑闭曲线 , 有

0 d

d

d   



_ ^P ^x ^Q ^y ^R ^z

(2) 对 G 内任一分段光滑曲线 ,



_ ^P^d ^x ^ ^Q ^d ^y ^ ^R^d ^z

与路径无关

(3) 在 G 内存在某一函数 u, 使

(4) 在 G 内处处有

P z R x

R y z

Q x

Q P y

 

   ,  , 

(10)

z R y

Q x

P

u d d d

d   

(2) 对 G 内任一分段光滑曲线 ,



_ ^P^d ^x ^ ^Q^d ^y ^ ^R^d ^z

与路径无关



^ ^

 ⁽ ^, ^, ⁾

) , ,

( ₀ ₀ ₀ d d d

) , ,

( ^x ^y ^z

z y

x P x Q y R z

z y x u

证 : (4)  (1) 由斯托克斯公式可知结论成立 ; )

2 ( )

1

(  ₍ _自证 ₎

) 3 ( )

2

(  _设函数

则 x u





^^



  

  ⁽ ^, ^, ⁾

) , ,

0 1 ( d d d

lim ^x ^x ^y ^z

z y

x x P x Q y R z

x lim0



 

x x

z y x u z

y x x

u(  , , ) ( , , )



^^



 

 ^x ^x

x x P x

x d

lim 1

0 lim ( , , )

0 p x x y z

x  

  

) , ,

(x y z

 P

定理 2

(11)

z R y

Q x

P

u d d d

d   

(4) 在 G 内处处有^_^P_y  ^_^Q_x , ^_^Q_z  ^_^R_y , ^_^R_x  ^_^P_z

同理可证 Q(x, y, z), y

u 



 R(x, y, z) z

u 



故有 du  Pd x  Qd y  Rd z )

4 ( )

3

(  _若 ₍₃₎ _成立 _, _则必有

z R Q u

y P u

x

u 



 



 



 , ,

因 P, Q, R 一阶偏导数连续 , 故有

y x

u y

P



 



 ²

x Q



 

同理 z

P x

R y

R z

Q



 



 



 , ^证毕

定理 2

(12)

z y

x y

x z

y )d ( )d ( )d

(     



_

与路径无关 ,

z y

x y

x z

y z

y x

u( , , ) ⁽^x^,^y^,^z⁾ ( )d ( )d ( ) d

) 0 , 0 , 0

(     





解 : 令 P  y  z , Q  z  x , R  x  y ,

1 x

Q y

P



 

 

  1 ,

y R z

Q



 

 

 R 1 P

x z

   

 

 积分与路径无关 ,

 ) , ,

(x y z u

z y x

xy  (  )



y x

y

d



0

 x y z

z

d ) (



0 ^

 zx

yz xy  

 x

z

O y

) , ,

(x y z

) 0 , , (x y )

0 , 0 , (x

x

d 0



0

因此例 3. 验证曲线积分

定理 2

并求函数

(13)

* 三、环流量与旋度

斯托克斯公式

y x

x z

z

y ^P_z ^R_x ^Q_x ^P_y

z Q y

R )d d ( )d d ( ) d d

(^_  ^_  ^_  ^_  ^_  ^_



_



^ ^

  P d x Q d y Rd z 设曲面 _{的法向量为}

曲线  _{的单位切向量为} 则斯托克斯公式可写为

 

^R_y ^Q_z



^cos

^ 

^P_z ^R_x



^cos

^ 

^Q_x ^P_y



^cos

^ ^

^d ^S

 ^



     





^ ^

 _ (Pcos



Qcos



Rcos



)d s ) cos ,

cos ,

(cos

  

 n

) cos ,

cos ,

(cos

  





(14)



^_^R_y

^

^_^Q_z

^,

^_^P_z

^

^_^R_x

^,

^_^Q_x

^

^_^P_y



令 A  (P, Q, R), 引进一个向量

rotA

记作

向量 rot A 称为向量场 A 的

R Q

P

k j

i

z y

x 





称为向量场 A 定义 :



_ Pd x ^ Qd y ^ R d z ^



_{ }A d s

沿有向闭曲线  _的环流量 .

s A

S n

A d



d



 rot ^ ^  ^

或



 (rotA)_n d S ^



 A d s ① 于是得斯托克斯公式的向量形式 :

旋度 .

 A





(15)

z

x y

O l

设某刚体绕定轴 l 转动 , M 为刚体上任一点 , 建立坐标系如图 ,

M 则

) , ,

(x y z r 

角速度为 ,

r ),

, 0 , 0

(





点 M 的线速度为 r

v 





 rotv

z y

x

k j

i

 0

 0  (



y,



x, 0)

0 x

y

k j

i

z y

x



 ^

 

  (0, 0, 2



)  2



( 此即“旋度”一词的来源 )

旋度的力学意义 :

(16)

向量场 A 产生的旋度场

穿过 _的通量 _注意__与__{的方向形成右手系} _! s

A S

A)_n d d

(





 rot ^  

向量场 A 沿

 _的环流量斯托克斯公式①的物理意义 :

例 4

. 求电场强度 r r E q

 3

z y

x

k j

i

E  _^ _^ _^ rot

的旋度 .

解 :  (0, 0, 0) ( 除原点外 )

这说明 , 在除点电荷所在原点外 , 整个电场无旋 .

r3

x q

r3

y q

r3

z q

Γ n



(17)

的外法向量 ,计算

解 :  (0, 0 ,1)

, 4 : x²  y²  z²  例 5. 设A  (2y , 3x , z²),



. dS n A I 



^rot 

) cos ,

cos ,

(cos

  

 n

为 n

S I ^



_cos d





0 d

d d

d  





_D_xy ^x ^y



_D_xy ^x ^y

y x

y

xd d d

d



_ ^ _

 上下

z y

x

k j

i A

A    _^ _^ _^ rot

3 2

2y x z

(18)

内容小结

1. 斯托克斯公式



 Pd x ^ Qd y ^ Rd z



^^ ^^ ^^



 P Q R

y x

x z

z y

x

d d

S R

Q P

z y

x d

cos cos

cos



^^ ^^ ^^











也可写成 :

S A

s

A d 



( )_n d



  

) , ,

(P Q R A 

其中 A

A)n

( A 的旋度 ^^ ^A A 在  _的切向量_上投影

在  _的法向量 n 上投影

(19)



_ ^P^d ^x ^ ^Q ^d ^y ^ ^R ^d ^z ^在^ ^{内与路径无关}

在 _内处处有

 ) ,

,

(P Q R rot

x Q y

P



 

 , 

y R z

Q



 



 ,

z P x

R



 



2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在 _{内具有一阶连续偏导数} , 则

R Q

P

k j

i

z y

x 



  0

(20)



^__x^u

^,

^_^u_y

^,

^_^u_z



3. 场论中的三个度设 u  u (x, y, z),

梯度 : gradu   u



_^_x^, _^_y ^, _^_z



^,





z R y

Q x

P 



 

R Q

P

k j

i

z y

x 





rot A   A

 A

div   A

散度 :

旋度 :

则 ,

) ,

,

(P Q R A 

(21)

思考与练习

_设^r ^ ^x² ^ ^y² ^ ^z²^, 则

. )

(

; )

(

div gradr  rot gradr  提示 : gradr 

 

r z r

y r

x , ,

) ( r

x

x

r2

 r  x  ^x_r

3 ,

2 2

r x r 

 ( )

r y

y

3 2 2

r y r 

 )

( r z

z

3 2 2

r z r 



) 0 , 0 , 0

 ( 2r

 ) (gradr rot

三式相加即得 div(gradr)

rz r

y rx

z y

x

k j

i



0

(22)

作业

P243 *2

^{(1),(4) ;}

*3

^(1),(3)

; *4

^(1);

*5

(2) ;

*7

补充题 : 证明

^^⁽^^ ^A⁾ ^ ⁰

) 0 )

( div

(即 rotA 

习题课

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

* 三、环流量与旋度

斯托克斯公式

* 环流量与旋度 第七节

一、斯托克斯公式

* 二、空间曲线积分与路径无关的条件





一、 斯托克斯公式





证

:









 























 











 













































z



z = y



















* 二、空间曲线积分与路径无关的条件





P z R x

R y z

Q x

Q P y

 

 

 

第七节斯托克斯公式环流量与旋度

* 环流量与旋度第七节

一、斯托克斯公式

* 三、环流量与旋度

^ 

^ 

^ ^

^

^,

^

^,

^