主題：向量（包含和）

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(1)主題：向量（包含. 和. ）. 1、有向線段：將 A 點和 B 點用線段連接起來，並在 B 處畫一箭頭表示方向。像這樣帶有箭頭的線段，就稱為從 A 點到 B 點的有向線段。 B. A. D. C. 2、純量與向量 (1)純量：. 。. (2)向量：. 。. ※由 A 點到 B 點的向量以 AB 表示；向量 AB 的大小以 | AB | 表示。其中 A 點稱為起點， B 點稱為終點。 <c.f.>有向線段 AB 可以想成：從 A 點走到 B 點這個事情。向量 AB 可以想成：從 A 點走到 B 點這個動作。 3、向量表示法（ OA 、 AB 、 u ） (1)幾何表示法：給定. (  )。. ( r )和. (2)代數表示法：坐標表示法 OA . 。. ※將向量平移至以原點 O 為起點，向量即終點坐標。 A( x, y). r.  O(0, 0). 1.

(2) (3)表示法互換 (1)  (2)： x . 、y. (2)  (1)： r . 、 tan  . ， OA . 。. 。. 4、向量的決定：. B( x2 , y2 ). 設 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，則 (1) AB . 。. (2) | AB |  (3) AB 的 x 分量為. ； y 分量為. (4) AB 的 x 分向量為 (5) AA . A( x1 , y1 ). 。. =. 。. ； y 分向量為. 。. ，稱為零向量。. ※以 O 點為始點， OA 向量即為 O 點坐標。例題 1：已知 A(2,3) 、 B(5, 1) ，求： (1) AB. (2) AB 的 x 分量及 y 分量. (3) AB 的 x 分向量及 y 分向量. Sol：. 2. (4) | AB |.

(3) 例題 2：設 a  (2,1) ，請畫出 a 。 Sol：. 例題 3：若 AB  (4, 3) 且 A 點坐標為 (2, 7) ，求 B 點坐標和 OA 。（ O 點指原點 (0, 0) ） Sol：. 類題 1：已知 A(4,1) 、 B(3, 25) 、 C (3, 4) 且 CD  (2,5) ，求： (1) AB. (2) | AB |. 答：(1) (7, 24). (3) D 點坐標 (2)25 (3) (1,1). 3.

(4) 主題：向量的加法與減法 1、向量的相等 (1)若 a  b  a , b 兩向量大小. ；方向. (2)若 a  (a1 , a2 ) 、 b  (b1 , b2 ) 且 a  b  2、向量的加法【幾何表示法】. 【坐標標示法】. (1)平行四邊形法  a  b  b  a. 已知 a  (a1 , a2 ) 、 b  (b1 , b2 ) ，. D.  a  b  ________________. C. b. A. a. B. (2)三角形法  AB BC . （連接點相同）. C. A. B. 推論： AB BC  CD DE . ； MN . （ O 為任意點）. 3、向量的減法【幾何表示法】. 【坐標標示法】. 由向量的加法知 AB BC  AC. 已知 a  (a1 , a2 ) 、 b  (b1 , b2 ) ，.  BC . （始點相同）. AB . （終點相同）. 推論： MN . （ O 為任意點）. 4.  a  b  ________________.

(5) 例題 1：. ABC 中，若 AB  (1, 2) 、 AC  (1,3) ，求 ABC 的周長。 Sol：. 例題 2：如右圖，求 A, B, C 三點的座標。 Sol：. y C 2 B 75 2 A. 4 45. 例題 3：已知 ABCD 為四邊形﹐令 a  AB ﹐ b  AD ﹐ c  AC ﹒ 試將下列各向量以 a ﹐ b 和 c 表示： (1) BD. (2) BC. (3) CD. Sol：. 5. x.

(6) 例題 4：設 A(1,1) 、 B(2,3) 、 C (4,5) 、 D( x, y) ，試求下列各條件中的 D 點座標： (1) AB  CD. (2)四邊形 ABCD 為平行四邊形. (3) A, B, C, D 構成平行四邊形. (3) DA DB DC  0. Sol：. 6.

(7) 主題：向量係數積 1、係數積 (1)幾何表示法 a. ※正負號表示 (2)坐標表示法設 a  (a1 , a2 ) ，則 r a . 。. 2、平行（ a // b ） (1)幾何表示法： (2)代數表示法：已知 a  (a1 , a2 ) 、 b  (b1 , b2 )  3、單位向量設 a  (a1 , a2 ) . a 之單位向量 u . 推論：平行之單位向量 . 。. . u. 。. a. 例題 1：設 a  (1, 2) 、 b  (4,3) ，求實數 t 使得 | a  t b | 為最小值，求 (t , m) 。 Sol：. 7.

(8) 例題 2：設 a  (4, 3) ，求： (1) a 的同方向單位向量 (2) a 的平行之單位向量 (3) b 與 a 同方向且 | b | 2 Sol：. 例題 3：設 a  (1, 2) 、 b  (5, x) 且 a // b ，求 x 值。 Sol：. 例題 4：設 a  (1, 2) 、 b  (3, 4) ，若 t a  b 與 a  t b 平行，求 t 值。 Sol：. 8.

(9) 例題 5：兩向量以 a 和 b 表示，並以 a  b 表示 a 和 b 的內積，以 | a | ，. | a | 分別表示 a 和 b 的長度，試問下列哪一個選項表示：「三角形兩邊中點的連線段與第三邊平行，且其長度為第三邊之半。」？ (1). 1 1 1 a b  (a b) 2 2 2. ( 2) | a  b |  | a |  | b |. Sol：. 類題 1：設 A(3, 2) 、 B( x,3) 、 C (4,1) 、 D(2, y) ，則 (1)若 AP  (1, 3) ，求 P 點坐標. (2)求 | AC |. (3)若 AB  AD ，求 x, y 值. (4)若 AB// AC ，求 x 值. Ans：(1) (4, 5) (2) 58 (3) x  2, y  3 (4). 26 3. 類題 2：設一平行四邊形的三個頂點 A(3, 2)、B(5, 4)、C (4,1)，求第四個頂點坐標。 Ans： (4,7) or (12, 5) or (2, 3). 類題 3：設 a  (3, 4) 、 b  (2, 1) ，若 ( a  r b ) //( a  b ) ，求實數 r 。 Ans： 1. 9.

(10) 主題：向量與正 n 邊形【性質】正 n 邊形必為圓內接 n 邊形，其圓心 O 至各頂點的向量和為 <解題技巧> 以圓心為起點的向量兩兩相加例題 1：試證明 OA OB OC  OD OE  0 。. B. Pf：. O A O C. t OB. O B O D. t OC. O C O E. t OD. O D O A . t OE. O E O B. t OA. A. C O. D. E. 例題 2： B. 如右圖，且 | OA |  1 ，求 | AB AC  AD AE | 的值。 Sol：. A. C O. D. E. 例題 3：正六邊形 A, B, C, D, E, F 中，設 AB  a 、BC  b ，以 a , b 表示下列向量： (1) AC. (2) CD. (3) DE. (4) EF. (5) FA. (6) AE. (7) EB. A. B. Sol： F. C O. D. 10. E.

(11) 例題 4：正六邊形 OABCDE 其邊長為 1，已知 O(0, 0) 、 A(1, 0) ，求 DE 和 DB 。 Sol：. D. C. E. B. O. 類題 1：. A. 如附圖，兩組等間隔的平行線系，其交織成的網路上有若干個向量和一定點. O 。試以 a , b 表示 c 和 d 。. Ans： c  a  b ； d  3 a  2 b. 11.

(12) 主題：內外分點公式 1、內分點設 A( x1 y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，且 AP : PB  m : n ，則 OP . P點. O. A( x1 , y1 ). P( x, y). B( x2 , y2 ). 2、外分點設 A( x1 y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，且 AP : PB  m : n ，則 OP . P點. O. A( x1 , y1 ). B( x2 , y2 ). P( x, y). 12.

(13) 例題 1：設 A(1,1) 、 B(3, 4) ，若 P 在線段 AB 上，且 AP  3PB ，求 P 點坐標。 Sol：. 例題 2：設 A(6, 7) 、 B(1,12) ，若 P 在直線 AB 上，且 PA : PB  3: 2 ，求 P 點坐標。 Sol：. 例題 3：. ABC 三頂點 A(2, 4)、B(6, 2)、C (1, 0)，若 A 之內、外角平分線分別交 BC 於 D 、 E 兩點，求 D 、 E 兩點的坐標。 Sol：. 13.

(14) 主題：向量的線性組合 1、線性組合若 OA, OB 是平面上不平行的兩個非零向量，對平面上任一向量 OP 都可以找到唯一的一組 ( x, y) 使得 OP  x OA y OB 。. B O. A. 2、共線理論設 OP   OA  OB ，則 A, B, P 三點共線 . 。. Pf：. O. A. 進一步，若 AP : PB  m : n ，則 OP . 14. B. P. 。.

(15) 例題 1：設 O(0, 0) 、 A(1, 2) 、 B(2,1) ，若 OP  xOA  yOB ，試依下列各條件，在坐標平面上標出 P 點的所形成的圖形。 (1) x  1, y  1. (3) 0  x . (2) x  1,0  y  1. 1 ， 1  y  1 2. Sol：. 例題 2：設 ABC 為平面上的一個三角形， P 為平面上一點，且 AP . 1 AB  t AC ， 3. 其中 t 為一實數，試問下列哪一選項為 t 的最大範圍，使得 P 落在 ABC 的內部？ (1) 0  t . 1 4. (2) 0  t . 1 3. (3) 0  t . 1 2. (4) 0  t . 2 3. (5) 0  t . 3 4. Sol：. 例題 3：如右圖，兩射線 OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選項哪些向量的終點會落在陰影區域內。 (1) 2OA OB. 1 (2) OA 2 OB 2. 3 1 (3) OA OB 4 4. 3 6 (4) OA OB 5 5. (5) 4 OA 2 OB. Sol：. B O. 15. A.

(16) 例題 4：若 A, B, C 三點共線且 2 OB  (t  3) OA (2t  1) OC ，求 t 值。 Sol：. 例題 5：已知 AP  3 AB 5 AC 、 AP  t AD 且 D 在 BC 上，求 t 值。 Sol：. 例題 6：. ABC 中，點 D 在 AB 上，點 E 在 AC 上，且 AD : DB  3: 2 ， AE : EC  1: 4 (1)若 BE 與 CD 交於 P 點且 AP  x AB y AC ，求數對 ( x, y) (2)若 AP 與 BC 交於 F 點且 AF   AB  AC ，求數對 ( ,  ) Sol： A E. D P. B. 16. F. C.

(17) 例題 7：平行四邊形 ABCD ， P  AB 且 AP : PB  1: 3 ， Q  CD 且 CQ : QD=1:4 ， PQ 交 AC 於 G 且 BG  x BA y BC ，求數對 ( x, y) 。 Sol： A. D. P G. Q. B. C. 例題 8：如圖平行四邊形 A, B, C, D ， AE : EB  2 : 3 且 AF : FD  2 :1 ，求 (1) FG : GB. (2) EG : GC. (3) AG  x AB  y AD ，求數對 ( x, y). Sol： F. A. D. E G. B. 17. C.

(18) 類題 1：設 t 為實數， OB  (4  t ) OA (5t  1) BC ，若 A, B, C 三點共線，求 t 值。 Ans： 3 類題 2：已知 AE ＝. 3 4 AB ， AC ＝ AD ， BD 與 CE 交於 P ， 5 3. (1)若 AP  x AB y AC ，求數對 ( x, y) (2)延長 AP 與 BC 交於 Q ，若 AQ  a AD b AE ，求數對 (a, b) Ans：(1) (. 3 6 8 5 , ) (2) ( , ) 11 11 9 9. 類題 3：平行四邊形 ABCD，E , F 各在 BC , CD 上，且 BE E :C BF 交 DE 於 G 。若 AG  x AB  y AD ，求數對 ( x, y) 。. Ans： (. 20 15 , ) 23 23. 18. 3:2 ， CF : FD  1: 4 ，.

(19) 主題：重心、面積比、內心 1、重心性質 (1) AG : GM  1 (2)面積關係： ABG  BCG  ACG  ABC 3. 2、重心與向量 (1) OG . （ O 為任意點，求坐標時以. 為起點）. (2) GA GB GC  (3) AG . 3、面積比設 P 為 ABC 內部一點且 l PA m PB n PC  0 ，則. PAB : PAC : PBC . A. 。. Pf： (2). G. B. (3). 19. M. C.

(20) 4、內心與向量 (1) OI . （ O 為任意點）. A . (2) a IA  b IB  c IC  I. (3) AI . B. D. C. Pf：. 例題 1：. ABC 之重心 G ， D, E, F 為其三邊之中點，試證： DEF 之重心也是 G 。 Pf：. 例題 2：設一圓之圓心 (4,3)，且 ABC 為此圓之圓心，試求 | OA OB OC | 之值（其中 O 為原點）。 Sol：. 20.

(21) 例題 3：. ABC 中， G 表示重心，則 (1)若 AG  x AB  y AC ，求 ( x, y). (2) A(0, 0) 、 B(7, 2) 、 C (11,10) ，求 G 點坐標. Sol：. 例題 4：在 ABC 中， BC, CA, AB 三邊的中點分別為 D, E, F ，使得. DC  2 BD, EC  3 AE, FB  4 AF 。設 G 為 DEF 之重心，且 AG  x AB  y AC ，試求 ( x, y) 。 Sol：. 例題 5：已知 ABC 及其內部一點 P ，滿足 PA 2 PB 3 PC  AB ，則 (1)求 PAB : PBC : PAC 的面積比 (2)若已知 ABC 面積為 12，求 PAB 面積 Sol：. 21.

(22) 例題 6：設 P 為 ABC 為內部一點，且 AP . ABP面積 1 2 。 AB  AC ，求 5 5 ABC面積. Sol：. 例題 7： I 為 ABC 內心， BC  1, CA  2, C  60 。若 CI   CA  CB ，求 (, ) 。. Sol：. 例題 8：若 ABC 的三頂點坐標為 A(1,1) 、 B(4,1) 、 C (1,5) ，求內心 I 的坐標。 Sol：. 22.

(23) 類題 1：. ABC 的三頂點坐標分別為 A(2, 7) 、 B(1,5) 、 C (5,3) ，求 ABC 重心 G 。 Ans： (2,5) 類題 2：. ABC 中，D, E, F 分別在 AB, BC, AC 上，且 AD :DB  2:5 、BE : EC  3: 4 、 AF : FC  6 :1 ，若 G 為 DEF 的重心，且 AG  x AB  y AC ，求 ( x, y) 。 2 3 Ans： ( , ) 7 7. 類題 3：. ABC 內一點 P 滿足 ABP : BCP : CAP  2 :1: 3。延長 AP 交 BC 於 D，則： (1) PA  x PB  y PC ，求 ( x, y). (2) PD  m PB n PC ，求 (m, n). 3 2 Ans：(1) (3, 2) (2) ( , ) 5 5. 類題 4：設 I 為 ABC 的內心，若 2 IA  3 IB  4 IC  0 且 ABC 之周長為 18，求 ABC 的面積。 Ans： 3 15 類題 5：. ABC 中， AB : AC  4 : 3， AD 為 A 的內角平分線，D 在 BC 上； AE 為 A 的外角平分線，E 在 BC 上，則 (1) AD  x AB y AC ，求 ( x, y). (2) AE  k AB l AC ，求 (k , l ). 3 4 Ans：(1) x  , y  (2) k  3, l  4 7 7. 23.

(24) 主題：向量內積（是. 不是. ）. 1、定義向量內積（ a  b ）設 a  OA  (a1 , a2 ) ， b  OB  (b1 , b2 ) ，則 (1) a  b =. （投影長 × 被投影長）. =. （幾何表示）. =. （代數表示）. Pf： A.  O. 2、向量夾角：向量夾角必唯一且 0    2 。. 3、一些性質 (1) a  b . . (2) | a | 2  (3) | a  b | 2 . =. 24. C. B.

(25) (4) | a  b | 2 . =. (5) | a  b  c |  (6)交換律： a  b  (7)分配律： a  ( b  c )  (8) (  a )  b  (9)無消去律： a  b  a  c . 例題 1：設 a  (2, 1) 、 b  (3, 1) 、 c  (1, 0) ，求： (1) a  b. (2) b  c. (3) ( a  b )  c. Sol：. 例題 2：設 a  (1, 1) 、 b  ( x, 2  x) ，若 a  ( b  a ) ，求 x 值。 Sol：. 25.

(26) 例題 3：求下列各條件下 a  b 的值： (1) | a |  2 、 | b |  4 且 a 與 b 的夾角為 60 (2) | a |  2 、 b  (3, 4) 且 a 與 b 的夾角為 120 (3) | a |  2 、 | b |  1 且 a 與 b 方向相反 Sol：. 例題 4：設正三角形 ABC 的邊長為 2，試求： (1) AB AC. (2) AB BC. Sol：. 例題 5：如右圖，下列各組向量的內積何者最大？ (1) AB AC. (2) AB AD. (3) AB AF. (4) AB AB. Sol： E. D. F. C A. B. 26. (5) AB BC.

(27) 例題 6：已知 ABC 中， AB  2, BC  3, CA  4 ，試求： (1) AB AC. (2) AB BC. Sol：. 例題 7：平行四邊形 ABCD ， AB  4, AD  6 ，試求 AC BD 的值。 Sol：. 例題 8：設正三角形 ABC 的邊長為 2 且 M 為 BC 中點，求 ( BC  AM )  ( AC  AM ) 。 Sol：. 27.

(28) 主題：內積與長度 1、向量長度設 a  (a1 , a2 ) ，則 | a | . （幾何）＝. （座標）。. 例題 1：設 a , b 兩向量長度分別為 1,2，且夾角為 60 ，試求 2 a  b 之長度。 Sol：. 例題 2：設 a , b 兩向量長度分別為 1,2，且夾角為 60 ，若 OP  a  b 、. OQ  2 a  b ，試求 | PQ | 。 Sol：. 例題 3：若 | a |  3 、 | b |  2 、 | c |  4 ，且 a  b  c  0 ，試求： (1) a  b. (2) a  b  b  c  c  a. Sol：. 28.

(29) 主題：向量夾角【題型】角度向量夾角必唯一且求角度唯一公式 . cos . 。。. （幾何）＝. （代數）＝. （餘弦）. a  (a1 , a2 ).  b  (b1 , b2 ). 例題 1：. ABC 三頂點 A(3, 2) 、 B(1, 4) 、 C (6, 3) ，試求 BAC 的大小。 Sol：. 例題 2：設 a  (2,1) 、 b  (1, a) ，且兩向量夾角為 45 ，試求 a 值。 Sol：. 29.

(30) 例題 3：設 | a |  5 、 | b |  8 且 a  b  20 ，試求此兩向量之夾角。 Sol：. 例題 4：若 | a |  1 、 | b |  3 且 | a  b | 7 ，試求兩向量之夾角。 Sol：. 例題 5；設 | a |  3 、 | b |  5 、 | c |  7 且 a  b  c  0 ，試求 a 與 b 之夾角。 Sol：. 例題 6：求長度為 1 且與 a  (1, 3) 之夾角為 30 之向量。 Sol：. 30.

(31) 主題：平行與垂直設 a  (a1 , b1 ) 、 b  (b1 , b2 ) 。 1、平行：若 a // b  2、垂直：若 a  b . （幾何）＝. （代數）。. （幾何）＝. （代數）。. 例題 1：若 u  (2,1) 、 v  (3, 4) 。若 ( u  t v )  v ，求 t 值 Sol：. 例題 2：已知 a  (3, 4) 且 | a |  2 ，求 a 。 Sol：. 例題 3：設 a , b 滿足 2 | a |  | b | ，且 a  b 與 a  夾角。 Sol：. 31. 2 b 互相垂直，求 a 與 b 之 5.

(32) 類題 1：. ABC 中， AB  6 、 BC  7 、 AC  8 ，求 (1) AB AC Ans：(1). (2) AB BC. 51 21 (2) 2 2. 類題 2：設 a  2 b  c  0 ，且 | a |  2 、 | b |  1 、 | c |  2 ，求 (1) b  c. (2) b , c 之夾角. Ans：(1) 1 (2) 60 類題 3：. a  (4,3) 、 b  (2,1) ，若 (1) a  t b 與 a  b 垂直，求 t 值。 (2) a  t b 與 a  b 平行，求 t 值。 Ans：(1) 3 (2) 1 類題 4：四邊形 ABCD 中， A  120 、 AB  2 、 AD  3 且 AC  3 AB 4 AD ，求 AC 的長度。 Ans： 6 3. 類題 5：已知 | a |  4 、 | b |  10 ， a 與 b 之夾角 60，求 2 a  b 之長度。 Ans： 2 21. 32.

(33) 類題 6：平面上有三向量 OA 、 OB 、 OC ，若 | OA |  1 、 | OB |  3 、 OC  2 ，且. OA OB OC  0 ，求 OA OC 的長度。 Ans： 3. 類題 7：設 a, b 為兩向量， | a  b |  4 、 | a  b |  2 ，求 (1) a  b. (2) | 2 a －3 b | 2  | 3 a －2 b | 2. Ans：(1) 3 (2) 58. 33.

(34) 主題：內積與垂心、外心 1、內積性質：已知 ABC 三邊長。則 AB AC . 。. 【說明】. 2、垂心性質：設 H 為 ABC 的垂心時，則. 。. 【說明】. 3、外心性質：設 O 為 ABC 的垂心時，則 AO AB . 【說明】. 34. AO AC . 。.

(35) 例題 1：. ABC 中， AB  4 , BC  6 , AC  2 7 ，且 H 為 ABC 之垂心。則 (1) AH  x AB y AC ，求 ( x, y) (2) AH 交 BC 邊於 D 點，且 AD  k AB l AC ，求 (k , l ) Sol：. 例題 2：. ABC 中， AB  1, BC  7 , AC  3 ，且 K 為 ABC 之外心。則 (1)求 AB AC. (2) AK  x AB y AC ，求 ( x, y). Sol：. 35.

(36) 例題 3：. ABC 三頂點座標分別為 A(2, 4) , B (1,5) , C ( 6, 0)，求其垂心與外心坐標。 Sol：. 類題 1：. ABC 中， D 為垂心，已知 AB  3 , AC  2 且∠BAC＝60，若 AD  x AB y AC ，求 ( x, y) 。 Ans： x . 1 2 ,y 9 3. 類題 2： K 為 ABC 的外心， AB  4 , BC  6 , AC  2 7 ，. (1) AK  x AB y AC ，求 ( x, y) (2) AK 交 BC 邊於 D 點，且 AD  k AB l AC ，求 (k , l ) Ans：(1) x . 7 4 7 8 (2) k  , l  ,y 18 9 15 15. 36.

(37) 主題：正射影 1、正射影長（投影長）. a 在 b 之正射影長＝. 。. 2、正射影（投影）. a 在 b 之正射影長＝. 。. 【說明】. a.  b. 例題 1：設 A(2, 4) 、 B(8,9) 、 C (1,8) ，則 (1) AB 在 AC 上的正射影  結果 (2) AB 在 AC 上的正射影  結果 (3) B 點在 AC 上的正射影  結果 Sol：. 37.

(38) 例題 2：設 a  (1, k ) 、 b  (2, 2) ，已知 a 在 b 之正射影為 (1,1) ，求 k 值。 Sol：. 例題 3：設 A(3,1) 、 B(1, 2) 、 O(0, 0) ，且點 B 在 OA 之投影點（垂足點）為 C ，求 (2)點 B 至 OA 的距離. (1) OC Sol：. 類題 1： A(1,1) , B(3, 4) , C(1, 2) , D(0,1) ，求 AB 在 CD 方向之正射影。. Ans： (. 1 1 , ) 2 2. 類題 2： 1 2 若單位向量 A 在 (1,  2) 上的正射影為 ( , ) ，求 A 。 5 5. Ans： (  1, 0 ) 或 (. 3 4 , ) 5 5. 38.

(39) 主題：柯西不等式【型一】幾何表示法 . ， "  " 成立條件. 。. 【型二】代數表示法 . ， "  " 成立條件. 。. ， "  " 成立條件. 推廣：. 。. 【說明】. 《比較》最大或最小值題型之比較 (1)配方法：  f ( x)  ax 2  bx  c. (2)算幾不等式： . x1  x2  n.  xn.  n x1  x2. xn ， "  " 成立條件 x1  x2 .  xn. (3)柯西不等式：  (a 2  b2 )( x2  y 2 )  (ax  by)2 ， "  " 成立條件. a b  x y. 例題 1：設 f ( x)  2 x 2  3x  7 ，求 x . 時，有最小值 m . Sol：. 39. 。.

(40) 例題 2：設 x, y . ，且 x  y  5 ，求 x3 y 2 的最大值，並求此時 ( x, y) 值。. Sol：. 例題 3：. x 2  y 2  13 ，求 2 x  3 y 的最大值和最小值。 Sol：. 例題 4：設 2a  3b  4 ，求 a 2  b2 的最小值，並求此時的 (a, b) 。 Sol：. 例題 5：求. 2a  3b a 2  b2. 的最大值和最小值。. Sol：. 例題 6：設 a  ( x, 2) , b  (1, y) ，且 x 2  y 2  5 ，求 a  b 的最大值和最小值。 Sol：. 40.

(41) 例題 7：. a  ( 2 , 4 ) b, . l (m，若 , ) 2l  4m  7 ，求 | b | 的最小值，並求此時的 b 。. Sol：. 例題 8：. 2 x 2  9 y 2 的最小值。 4 x  3y  1 ，求 2 Sol：. 例題 9： ( x  2)2  ( y  1)2  4 ，求 3x  2 y 的最大值和最小值。. Sol：. 例題 10：. 1 4 已知 x  y  6 ，求  的最小值。 x y Sol：. 例題 11：設 sin   cos  0 ，求. 1 9 的最小值。  2 sin  cos 2 . Sol：. 41.

(42) 類題 1：設 x, y 為實數且滿足 4 x 2  9 y 2  5，求 4 x  3 y  7 的最大值，並求此時 ( x, y) 。 Ans：最大值 12 , x  1, y . 1 3. 類題 2：設 x, y 為實數，且 4 x  3 y  12 ，求 2 x 2  9 y 2 之最小值。 Ans：16. 類題 3：求 7sin   2cos  之最大值和最小值，並此時 (sin  ,cos  ) 。 Ans：最大值 53 ， (sin  , cos  )  ( 最小值  53 ， (sin  , cos  )  (. 7 2 , )； 53 53 7 2 , ) 53 53. 42.

(43) 主題：直線（二元一次方程式） 1、點斜式  已知. 和 (2)代點 ( x0 , y0 ) ，求 k 值. <作法>(1)設直線 L : <例題>已知直線斜率為 2 且過點 (3, 4). 看到 L : y  2 x  3 ，知 L 斜率為. 2、點法式  已知. 和 (2)代點 ( x0 , y0 ) ，求 k 值. <作法>(1)設直線 L : <例題>已知直線垂直 (2, 3) 且過點 (1, 2). 看到 3x  2 y  2 知其法向量. 3、點向式  已知. ；方向向量. 和.  x  x0  at 點向參數式的表示法為   y  y0  bt 參數式. t. 或. x  x0 y  y0  a b. 比例式. （其意義為每一個 t 值就是直線上的一點，亦即直線上的任意點）【說明】 v  ( a, b). ( x0 , y0 ). 43.

(44) <例題>已知直線平行 (1,3) 且過點 (2,1) ，求參數式與比例式. x 1 y  1 想到  2 3  x  1  3t 看到  t  想到  y  2  t. 看到. 例題 1：設 L 過 (2, 1) 、 (1,3) ，則 (1)寫出 L 之參數式. (2)消去參數 t 寫出 L 之方程式. (3)求 L 之斜率和法向量. (4)求 L 與 2 x  y  1之交點. (5)求原點到 L 之距離 Sol：. 例題 2：. x  2  t 設 L1 :   y  6  2t (1)求 L1 與 L2 之交點. t.  x  1  6s 、 L2 :   y  3  3s. s  ，則. (2) L1 : 當 1  t  3 ，求此線段長. Sol：. 44.

(45) 例題 3：設 A(1, 1) 、 B(4,3) ，若 P( x, y) 在直線 AB 上，求 x 2  3 y 之最小值。 Sol：. 例題 4：設 A(1, 2) 、 B(1,1) ，若 P(x, y) 為線段 AB 上的一點，求下列各條件之最大值和最小值： (1) 2 x  y  1. (2) xy  1. Sol：. 例題 5：.  x  1  2t L1 :   y  1 t. t. x  2  t 與 L2 :   y  2  2t. Sol：. 45. t. ，求 L1 與 L2 的交點。.

(46) 類題 1： A(2,3) 、 B(1, 2) ，求 AB 之點參數式。.  x  2  t Ans：  y  3t. t. 類題 2：.  x  2  2t L: y  3t. t. ，求 L 之直線方程式。. Ans： x  2 y  8. 類題 3：.  x  5  2t L1 :   y  1  3t 11 43 Ans： ( , ) 7 7. t. x  1 t 與 L2 :   y  1  2t. 46. t  ，求 L1 與 L2 的交點。.

(47) 主題：交角問題 1、夾角個數向量夾角：. 個. 直線夾角：. 個. 2、夾線夾角的算法： (1)利用斜率，設兩直線夾角為  ，則 tan  . 【說明】. . 1. 2. (2)利用法向量，設兩直線夾角為  ，則 cos  . 【說明】.  . 47.

(48) 例題 1：設 L1 : x  y  1  0 、 L2 : 3x  4 y  2  0 ，其交角  ，求 sin  值。 Sol：. 例題 2：直線 L 過點 (2,3) 且與 L1 : x  2 y  1  0 之交角為 45 度，求 L 之方程式。 Sol：. 例題 3：求 L1 : 3x  y  3  0 與 L2 : x  3 y  2  0 之夾角。 Sol：. 例題 4：設 u  (2,3) ，求 u 在 L : 2 x  y  3  0 之正射影。 Sol：. 48.

(49) 類題 1：求兩直線 3x  y  2  0 與 x  2 y  7  0 夾角之餘弦值。 Ans：. 7 2 10. 類題 2：設兩直線 2 x  3 y  4 與 5x  y  7 之夾角  ，求 tan  。 Ans： . 17 7. 類題 3：求過點 (3, 1) 且與 2 x  y  1  0 交角為 45 度之直線方程式。 Ans： x  3 y  0 or 3x  y  10. 49.

(50) 主題：距離公式 1、點到直線的距離公式：點 P( x0 , y0 ) 到 L : ax  by  c  0 之距離 d ( P, L)  【說明】. 2、兩平行現的距離公式：兩平行線 L1 : ax  by  c1  0 、 L2 : ax  by  c2  0 之距離 d ( L1 , L2 ) . 。. 【說明】. 例題 1：求點 P(2,1) 至 L : 3x  4 y  5 之距離。 Sol：. 例題 2：求兩平行線 3x  4 y  3  0 與 6 x  8 y  1 之距離。 Sol：. 50. 。.

(51) 例題 3：直線 L 平行於 3x  4 y  2  0 且距離為 2，求 L 之方程式。 Sol：. 例題 4：設 A(1, 2) 、 B(3,1) 、 L : 3x  5 y  2  0 且 AB 交 L 於 P 點，求 AP : PB 。 Sol：. 類題 1：求兩平行線 3x  4 y  4 , 6 x  8 y  7 之距離。 Ans：. 1 10. 類題 2：求與直線 3x  4 y  1 平行且距離為 3 的直線方程式。 Ans： 3x  4 y  14 or 3x  4 y  16. 51.

(52) 主題：交角平分線【題型】兩直線 L1 , L2 之交角平分線  有. 條且互相垂直（. ）. 解題技巧：利用判定銳角或鈍角平分線的方法：. L1. xx o o L2. 例題 1：求兩直線 L1 : 3x  4 y  4  0 與 L2 : 5x  12 y  12  0 之鈍角交角平分線為及銳角交角平分線。 Sol：. 52.

(53) 例題 2：求 L1 : 2 x  y  1  0 , L2 : x  2 y  1  0 , L3 : 3x  y  7  0 所構成之三角形面積的內心坐標。 Sol：. 例題 3： L1 : 3x  4 y  7  0 , L2 :12 x  5 y  6  0 ，若 L 過點 (4,5) 且與 L1 , L2 之交角大小. 相同，求 L 之方程式。 Sol：. 類題 1：求 2 x  y  1  0 與 2 x  4 y  7  0 兩直線的夾角平分線方程式。 Ans： 2 x  2 y  5, 2 x  2 y  3 類題 2：求二直線 3x  4 y  7  0 與 4 x  3 y  2  0 所夾鈍角的平分線方程式。 Ans： x  y  9  0 53.

(54) 主題：三角形面積【型一】已知向量以 a , b 為兩邊的三角形面積 . 。. 以 a , b 為兩邊的平行四邊形面積 . 。. 【說明】. 【型二】已知座標設 A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C (c1 , c2 ) ，則 ABC 面積＝. 例題 1：已知 A(1, 2) 、 B(3, 0) 、 C (5,3) ，求 ABC 之面積。 Sol：. 例題 2：. ABC 中， A(1, 2) 、 B(1,5) 、 C (3, x) ，若 ABC 之面積為 5，求 x 值。 Sol：. 54. 。.

(55) 例題 3：設 | AB |  2 , | AC |  3 且 ABC 之面積為. 3 3 ，求 AB AC 之值。 2. Sol：. 類題 1：設 | a |  5 、 | b |  7 ，且 a  b  2 ，求 a 與 b 所圍成之 (1)三角形面積 Ans：(1). (2)平行四邊形面積. 31 (2) 31 2. 55.

(56) 主題：二階行列式 1、二階行列式的定義：. a b  ad  bc c d 2、行列式的性質： (1)行與列互換，其值不變，即. a b a c 。  c d b d. (2)任一行（列）乘以一數 k 加入另一行（列），其值不變。. a b a ka  b  c d c kc  d. 如：. ；. a. b. c. d. ×k. ＝. kc  a kd  b c d. ×k. (3)任意兩行（列）對調，其值變號。如：；. a b b  c d d. a c. (4)任一行（列）可提出同一數。如：. ka b a b a b a b k k ； kc d c d kc kd c d. (5)任意兩行（列）成比例時，其值為 0。如：. a ka b kb.  0；. ka kb 0 a b. (6)行列式的加法：某行（列）各元拆成兩項相加等於原行列式如：. ae b f a b e f ae   ； c d c d c d c f. b a b e   d c d f. 例題 1：求下列各行列式的值：  6 －2   (1)  5 3.  1234 1235  (2)  1236 1237 .  201 199  (3)  191 209 . Sol：. 56. b d.

(57) 例題 2：  2a＋3c a＋c  a b 設  c d ＝5，求 2b＋3d b＋d 之值。   Sol：. 例題 3：設 a ＝( 1，－2 )， b ＝( 3，2 )。 (1) 求以 a ， b 為兩鄰邊的平行四邊形的面積。 (2) 求以 2 a ， a  b 為兩鄰邊的平行四邊形的面積。 Sol：. 例題 4：設以 a 、 b 為兩鄰邊的平行四邊形面積為 2，求以 2 a  b 和 a  2 b 為兩鄰邊的平行四邊形面積。 Sol：. 57.

(58) 主題：二元一次聯立方程式 a1 x  b1 y  c1 二元一次聯立方程式  ， a x  b y  c  2 2 2 、 y . 、 x . 設 .  ：表示 x, y 係數的二階行列式值.  x ：表常數取代 x 係數的二階行列式值  y ：表常數取代 y 係數的二階行列式值. ＜性質一＞克拉瑪公式當   0 時，方程式的解 x . ，y. Pf：. ＜性質二＞解的討論與圖形意義 (1)恰有一組解  當. ，即.  方程組稱為 (2) 無. 解. 當. 方程組，其圖形為，即.  方程組稱為 (3)無限多組解  當.  解為. 方程組，其圖形為，即.  方程組稱為. 方程組，其圖形為. 58.

(59) 例題 1：. 3x  4 y  3 解  的 x, y 值。 5 x  2 y  4 Sol：. 例題 2：. ax  by  13 6ax  5by  68 設兩方程組  和  有相同的解，求 a, b 值。 5 x  2 y  1 3x  4 y  11 Sol：. 例題 3：. (a  3) x  2 y  2a 試解方程組  ，並就 a 值討論之。 3x  (2a  1) y  a  2 Sol：. 討論原則 (1)   0 ：求出未知數，代入檢查是否成比例，並判定無解或無限多解。 (2)   0 ：必為一解，解為 x . 59.  x ,y y  .

(60) 例題 4：. (2k  1) x  (4k  3) y  3k  1 試分別求出 k 值，使得方程組  為 (k  2) x  (3k  4) y  1  k (1)矛盾方程組. (2)相依方程組. (3)相容方程組. Sol：. 例題 5：設,  . (  2) x  6 y  10 ，若  為相依方程組，求  ,  值。 2 x  (   ) y  15. Sol：. 例題 6：. ax  (b  1) y  c  1 方程組  表二重合直線，求 a 2  b2  c2 的最小值。 x  2 y  2 Sol：. 60.

(61) 【題型】常數均為 0. a1 x  b1 y  0 方程組  ，至少有一解 a2 x  b2 y  0 (1)恰有一解  解為 (2)無限多解或. ，不可能. 。.  . 例題 7：. 2 x  3 y  ax 方程組  除了 (0, 0) 外，尚有其他解，求 a 值。 6 x  ay  5 y Sol：. 類題 1：. 2 x－（a－3）y＝a＋5 解二元一次方程組  ，並就 a 值加以討論。 （3－a）x＋2 y＝7－a a－1 1－a Ans：(1) a  1,5 時，恰有一解 ( (2) a  5 時，無解 , ) a－5 a－5 x  t t (3) a  1 時，無限多解，其解為  y  3t 類題 2： L1 : ax  6 y  5a  3 ， L2 : 2 x  (a  7) y  29  7a ，試就 a 值討論此兩直線之相. 交情形。 Ans：(1) a  3, 4 時，L1 與 L2 恰有一交點 (2) a  4 時，L1 與 L2 平行 (3) a  3 時，L1 與 L2 重合。類題 3：試分別求出 k 之值使得方程組 (1)矛盾方程組. (2)相依方程組. 1 x＋（ 4＋ k ） 3＝ y ＋ 3k 1 （2k＋）為  k ） 4 ＝－ y 1 k （k＋2） x＋（ 3 ＋ (3)相容方程組。. Ans：(1) k  1 (2) k  1 (3) k  1. 61.

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