高雄市明誠㆗㈻ 高㆒數㈻平時測驗 ㈰期：92.06.02 範 班級
圍
3-3倍角、半角公式
+Ans 座號
姓
㈴
㆒. 填充題 (每題 10 分)
1、( D ) 以x−2cos20°除x3 −3x+3的餘數為 (Ａ)2 (Ｂ)2 7
(Ｃ) 2
3+ 3
(Ｄ)4 (Ｅ)3+ 3 解析解析：：餘餘數數為為(2cos20°)3−3(2cos20°)+3=2(4cos320°−3cos20°)+3=4
3、( D )
θ θ sin 1
cos
+ 可化為下列何者 (Ａ)cosθ +cotθ (Ｂ) tanθ2
(Ｃ) cotθ2
(Ｄ) )
2 tan(π4 −θ
(Ｅ) )
2 tan(π4 θ
+
解析解析：： )
2 tan(4 2 )
cos(
1 2 ) sin(
sin 1
cos π θ
π θ π θ θ
θ = −
− +
= − +
5、( B ) 設tan θ = t，其中0
2 θ π
< < ，則 (Ａ)sin 2θ = 2 2 1
t
−t (Ｂ)cos 2θ = 22 1
t t
− +
1 (Ｃ)tan 2θ
=
2 2
1 1
t t
−
+ (Ｄ)cot 2θ =
2
2 t t +
1 (Ｅ)tan θ − cot θ = 1
t
−t
6、( B ) 整理化簡 8
sin 7 8 sin 5 8 sin 3
sin4π8 + 4 π + 4 π + 4 π
，可得值為 (Ａ) 4 5
(Ｂ) 2 3
(Ｃ) 4 7
(Ｄ)2 (Ｅ) 16 31
解析解析：：
8 sin 7 sin4 π8 4 π
= ,,
cos 8 8 sin 5 8
sin4 3π 4 π 4π
=
= ∴
2 2
2 2
2 2
4
4 )
(sin 4 8 2
8cos sin 4 8) 8 cos
(sin 2 8) 8 cos
(sin
2 π + π = π + π − π π = − π
2
= 3
7、( B ) 設 ，則 以t表示之，為下列那一個多項式？ (Ａ)t (Ｂ)-t
(Ｃ) (Ｄ) (Ｅ) t
x= 2 cos
t2 −
x
x 4
4 cos
sin − t2
2 1 2 1t2 +
解析解析：：sin4 x−cos4 x=(sin2 x−cos2 x)(sin2 x+cos2 x)= −cos2x=−t
㆓. 填充題 (每題 10 分)
1、設θ為第三象限角
5 2 4
cos θ = ，則sinθ =______ , = tanθ2
______。
答案答案：： 10
− 1 ,, −(3+ 10)
解析解析：：
10 1 2
2 cos
sinθ =± 1− θ =− （（因因θ ∈ⅢⅢ 故故取取負負值值））
同 同理理
10
cosθ =− 3 ∴∴ (3 10)
tanθ2 =− +
2、求cos80°⋅cos60°⋅cos40°⋅cos20°之值=______。
答案答案：： 16
1 解析解析：：
2 60 1 cos °=
8 1 20 sin 8
160 sin 20
sin 8
80 cos 40 cos 20 cos 20 sin 80 8
cos 40 cos 20
cos =
°
= °
°
°
⋅
°
⋅
°
°
= ⋅
°
⋅
°
⋅
° 故故
16 1 8 1 2 20 1 cos 40 cos 60 cos 80
cos °⋅ °⋅ °⋅ °= ⋅ =
3、設 2 0
cos2 cos
5 θ + θ + = ，則 =
cosθ2
______ 或 ______。
答案答案：： 2 1, ,
5
−3 解析解析：：令令 =t
cosθ2
，則，則5(2t2 −1)+t+2=0, , (2t−1)(5t+3)=0 ∴∴
2 1 cosθ2 =
或或 5
−3 4、設π <θ <π
2 ，若
13
sinθ = 5 ，則sin2θ =______ , tan2θ =______ , = cosθ2
______ , 2 =
tanθ
______。
答 答案案：：
169
−120,, 119
−120 , , 26
1 ,, 55 解
解析析：：∵∵
13 sinθ = 5 ,, ∴∴
13 cosθ =−12, ,
169 2 120
sin θ =− ,,
12 tanθ =− 5
119 2 120
tan −
θ =
∵∵
2 2 4
π θ π < <
∴∴
26 1 2
cos 1
cos2 + =
+
= θ
θ ,, 5
tanθ2 =
5、設方程式x2 −px+q=0之二根為sinθ, cosθ ，則 2 )2 cos2 (sin2
cos 2
2 θ θ + θ
以p, q表示為 ______。
答案答案：：sin55°−cos95°−sin115°=
解析解析：：∵∵sinθ +cosθ = p, , sinθ ⋅cosθ =q
∴∴ + ) =(1+cos )(1+sin )=1+ p+q cos2
(sin 2 cos 2
2 2θ θ θ 2 θ θ
7、(1) π =
8
cos11 ______。 (2) + =
8 cos 11 8
9 2
cos2 π π ______。
答案答案：：(1(1))
2 2 2−
− (2(2)) 11
解析解析：：(1(1))
2 2 2 2
4 cos11 1 8
cos11 + =− −
−
= π
π
(
(22)) ) 1
2 4 cos11 1 ( 2 )
4 cos9 1 8 ( cos 11 8
cos2 9 2 + =
+ +
=
+ π π π
π
9、設 π θ 2π
2
3 < < ，試化簡 1−cosθ − 1+cosθ =______。(以 2
θ 角之三角函數表示之)
答案答案：：
cos2 2 2
sin
2 θ + θ
解 解析析：：
cos2 2 cos
1− θ = θ , ,
cos2 2 cos
1+ θ = θ
π θ
π 2
2
3 < < ∴∴ π <θ <π 2 4
3 ∴∴ 0
sinθ2 >
, , 0
cosθ2 <
∴∴
cos2 2 2
sin 2 cos
1 cos
1− θ + + θ = θ + θ
10、設 2
cos 1
sinθ − θ = , 0≤θ ≤2π，則sin2θ =______，又θ =______ 或 ______。
答案答案：： 2
1 , , 75° ,, 195° 解析解析：：∵∵
2 cos 1
sinθ − θ = ∴∴
2 2 1
sin θ = ∵∵0≤θ ≤2π ∴∴0≤2θ ≤4π 故故2θ =30° ,150° ,390° ,510°,, θ =15°,75°,195°,255°
但但 ∵∵ 0 2 cos 1
sinθ − θ = > ∴∴θ =75° 或或 195° ((
12 75°= 5π
,,
12 195°=13π
) ) 11、設θ在第一象限且5sin2θ +3tan2θ =8，則tanθ =______，又cos2θ =______。
答 答案案：：
2 1, ,
5 3
解析解析：：設設tanθ =t，則，則 2 1 2 2
sin t
t
= +
θ , , 2
1 2 2
tan t
t
= − θ 故
故 ) 8
1 ( 2 3 1 )
( 2
5 2 2 =
+ −
+ t
t t
t , , 4t4 −2t3 +8t−4=0,, (2t−1)(t3 +2)=0 又
又t >0 ∴∴ 2
= 1 t , ,
5 3 1
2 1
cos 22 =
+
= − t θ t
14、sin416π +sin4316π+sin4516π+sin4167π =______。
答案答案：： 2 3 解
解析析：：∵∵
cos 16 16
sin4 7π 4 π
= , ,
16 cos 3 16
sin4 5π 4 π
=
∴∴
sin 8 2 1 1 cos 16
sin 16 2 16 1
16 cos
sin4 π + 4 π = − 2 π 2 π = − 2π
同 同理理
8 sin 3 2 1 1 16 cos 3 16
sin4 3π 4 π 2 π
−
= +
∴∴
2 ) 3 8 sin 3 (sin 8
2 2 1 16 sin 7 16 sin 5 16 sin 3
sin416π + 4 π + 4 π + 4 π = − 2π + 2 π = 16、計算tan37.5°+cot37.5°=______。
答案答案：：2( 6− 2) 解
解析析：： 2( 6 2)
75 sin
2 5
. 37 cos 5 . 37 sin 5 1 . 37 cot 5 . 37
tan = −
= °
°
⋅
= °
° +
°
17、設 3
2 1
cos θ = ，則 + =
θ θ θ
θ sin
3 sin cos
3
cos _______。
答案答案：： 3 4 解析解析：：
) sin 4 3 ( ) 3 cos 4 sin (
3 sin cos
3
cos 2θ 2θ
θ θ θ
θ + = − + − =2(1+cos2θ)−2(1−cos2θ)
3 2 4 cos
4 =
= θ
19、 2
sin2 3
cosθ + θ = ，則cosθ =______ 或 ______。
答案答案：： 2 1, , --11 解析解析：：令令 =t
sinθ2
，，則則1−2t2 +3t =2,, ∴∴ 2
=1
t 或或 1 1 當
當 2
1 sinθ2 =
,
, 2
cosθ =1 ，，當當 1 sinθ2 =
,
, cosθ =−1
21、設 5
sinθ = 3，則cos2θ =______ , cos4θ =______。
答 答案案：：
25 7 , ,
625
−527 解析解析：：
5 sinθ = 3 ∴∴
25 ) 7 5 (3 2 1 2
cos θ = − 2 = , ,
625 1 527 25)
( 7 2 4
cos θ = 2 − = −
23、設 2
cos 1
sinθ + θ = 且0<θ <π ，則sin2θ =______，又θ =______。
答案答案：： 2
−1,, 105° 解析解析：：∵∵
2 ) 1 cos
(sinθ + θ 2 = , , ∴∴
2 2 1
sin θ =− ∵∵
2 ) 3 60 sin( ° =
= ∴∴2θ =210° 或或 330°
但但 0
2 cos 1
sinθ + θ = > ，故，故2θ =210°, , θ =105° （（θ =165°不不合合））
㆔. 計算與證明題 (每題 10 分) 1、設
2 3π θ
π < < ，化簡 1−sinθ − 1+sinθ 。 答
答案案：：由由
2 3π θ
π < < 得得
4 3 2 2
π θ
π < < ，可，可知知
cos2 2 0
sinθ θ
>
> 且且
cos2 sinθ2 θ
> ，而，而有有 2 0
2 cos
sinθ − θ >
, , 0
cos2 sinθ2+ θ >
故 故 2 )2
cos2 (sin2
2) 2 cos (sin sin
1 sin
1− θ − + θ = θ − θ − θ + θ
2) 2 cos (sin 2)
2 cos
(sinθ − θ − θ + θ
= =−2cosθ2
2、設 f(x)=sin4 x+cos4 x，則 f(x)之最大值為何？最小值為何？
答案答案：： f(x)=sin4 x+cos4 x=1−2sin2 xcos2 x 2 )
20 cos 30 (cos 2
80 cos 1 2
40 cos
1 °+ °
°− + +
°
= +
∵∵−1≤cos4x≤1 ∴∴ ( ) 1 2
1 ≤ f x ≤ 故故最最大大值值為為11，，最最小小值值為為 2 1。。
7、設方程式x2 + px+q=0之二根為sinθ, cosθ ，試以p, q表下列二式：
(1) 2 )2
cos2 (sin2
sin 2
2 θ θ − θ
(2) 2 )2
cos2 (sin2
cos 2
2 θ θ + θ
答
答案案：：((11)) 由由x2 + px+q=0之之二二根根為為sinθ, cosθ 知知 ) cos )(
sin ( )
(x =x2 + px+q= x− θ x− θ f
又 又 θ θ θ
cos 1 2) sin 2 1 ( 2 1 sin
2 2 = − − 2 = −
θ θ θ θ
θ 1 sin
cos2 sin 2 2 1 2) 2 cos
(sin − 2 = − = −
得 得 ) (1 cos )(1 sin ) cos2
(sin2 sin 2
2 2θ θ − θ 2 = − θ − θ
q p
f = + +
= (1) 1 (
(22))由由 θ θ θ
cos 1 ) 2 1 cos 2 ( 2 1 cos
2 2 = + 2 − = +
θ θ θ θ
θ 1 sin
cos2 sin2 2 1 2) 2 cos
(sin + 2 = + = + 得 得
) sin 1 )(
cos 1 ( 2) 2 cos 2(sin cos
2 2θ θ θ 2 θ θ
+ +
= +
) sin 1 )(
cos 1
(− − θ − − θ
= = f(−1)=1− p+q 11、函數 f(x)=3sinx+cos2x之最大值為何？最小值為何？
答 答案案：：
8 ) 17 4 ( 3 2 sin
2 1 sin 3 )
(x = x+ − 2x=− t− 2+ f
令
令sinx=t，則，則−1≤t ≤1 故故
8 ) 17 (
4≤ ≤
− f x ，，即即最最大大值值為為 8
17，最，最小小值值為為--44。。 14、試證下列各式：
(1) θ
θ θ cot
2 cos 1
2
sin =
− (2) θ θ cscθ 2cot2θ tan2
tan + = −
(3)
θ θ 2θ2
sec 2 2 sec
sec = − (4) cos4θ =1−8sin2θ +8sin4θ 答案答案：：((11))
θ θ θ θ
θ θ θ
θ
2
2 2sin
cos sin 2 ) sin 2 1 ( 1
cos sin 2 2
cos 1
2
sin =
−
= −
− θ
θ θ cot sin
cos =
= (2(2))
θ θ θ
θ θ θ
sin cos 1 cos sin tan2
tan + = + −
θ θ
θ θ
θ
cos sin
cos cos
sin2 + − 2
= θ θ
θ θ
θ θ
θ
cos sin
sin cos
cos sin
cos 2 − 2
−
=
θ θ θ
θ θ
θ
θ sin2
2 cos 2 sin
1 cos
sin 2
2 cos 2 sin
1 − = −
= =cscθ −2cot2θ
(3(3))
1 cos 2
1 2
cos 2 1
sec 2
= −
= θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
2 2 2
2 2
sec 2
sec )
1 cos 2 ( sec
sec
= −
= −
(4(4)) cos4θ =1−2sin22θ =1−2(2sinθcosθ)2
) sin 1 ( sin 8 1 cos sin 8
1− 2θ 2θ = − 2θ − 2θ
=
18、設 =t
tanθ2
，試以t表sin2θ, cos2θ, tan2θ 。
答案答案：： 2
2 1
2 tan 2
1 tan2 2
tan t
t
= −
−
= θ
θ θ
2 2
2
2 )
1 ( 2 1
1 2 2
tan 1
tan 2 2
sin
t tt
t
+ −
⋅ − + =
= θ
θ θ 2 2 2 2 2 2 4
2 1
) 1 ( 4 ) 2 ( ) 1 (
) 1 ( 4
t t
t t t
t t t
+ +
= − +
−
= −
2 2
2 2 2
2
1 ) ( 2 1
1 ) ( 2 1 tan
1 tan 2 1
cos
t tt t
+ −
− − + =
= −
θ
θ θ 22 22 22 22 44
2 1
6 1 ) 2 ( ) 1 (
) 2 ( ) 1 (
t t
t t t
t
t t
+ +
+
= − +
−
−
= −
2 2
2
2 )
1 ( 2 1
1 2 2
tan 1
tan 2 2
tan
t tt
t
− −
⋅ −
− =
= θ
θ θ 2 2 2 2 2 2 4
6 1
) 1 ( 4 ) 2 ( ) 1 (
) 1 ( 4
t t
t t t
t t t
+
−
= −
−
−
= −
19、有兩根電線桿豎立於地面上，相距12公尺。在兩桿底測得對桿頂的仰角之比為1 。
在兩桿底中點測得兩桿頂的仰角互為餘角。試求兩桿之高。
2 :
答案答案：：
如圖如圖，，AC =12公尺公尺，，MM為為AC之中之中點點，，AM =MC=6公尺公尺
設∠設∠AACCBB=α，∠，∠CCMMDD=β，依，依題題意意∠∠CCAADD=2α，∠，∠AAMMBB=90°−β 在△在△CCAADD中，中，CD=12tan2α，在，在△△CCMMDD中，中，CD=6tanβ，故，故
β α 6tan 2
tan
12 = 除以除以66 2tan2α =tanβ (1(1))
在△在△AABBCC中，中，AB =12tanα，在，在△△AABBMM中，中，AB =6tan(90°−β)=6cotβ，故，故 β
α 6cot tan
12 = 除以除以66 2tanα =cotβ (2(2)) ) 4tan2 ⋅tan =
2 ( ) 1
( × α β 1 即即 1
tan 1
tan 8
2
2 =
− α
α
去分去分母母 8tan2α =1−tan2α 移移項項
9 tan 1
1 tan
9 2α = ⇒ 2α =
3 tan =1
⇒ α
故故 4
3 12 1 tan
12 = ⋅ =
= α
AB （（公公尺尺））。。又又
3 tan 2 2
cotβ = α = ,,
2 tanβ = 3
故故 9
2 6 3 tan
6 = ⋅ =
= β
CD （（公公尺尺））。。兩兩桿桿之之高高分分別別為為44公公尺尺，，99公尺公尺。。
