⎨ + =
⎩ i i i
(1) (2) 化簡(2)，得
5x+53y = 7500 (3) (3)－(1) × 5，得
48y =6000
∴ y =125 把 y =125代入(1)，得
x+125= 300
∴ x =175
∴ 175 125 x
y
⎧ =
⎨ =⎩
ඍĈ需用 5%的果汁 175 kg，53%的果汁 125 kg。
【ּ 5】 在代數式 px q+ 中，當 x = 2 時，它的值是 1− ；當 x = 3 時，它的值是 1。求 p、q 的值。
分析： 這裡的未知數是 p、q。把 x = 2 及 x = 3 代入 px q+ ，分 別得值 1− 、1，這就得到一個關於 p、q 的二元一次方程 組。解這個方程組，就可以求出 p、q 的值。
ś ྋ !!
根據題意，得2 1
3 1
p q p q
+ = −
⎧⎨ + =
⎩ (1)
(2) (2)－(1)，得
2 p =
把 p = 代入(1)，得 2
2 2× + = − q 1
∴ q = − 5
ඍĈ
p = ，2 q = − 。 5ቚ ௫!
列出一次方程組解下列應用題：
1. 一種果汁的濃度是 30%，另一種果汁的濃度是 6%，要配製成 濃度是 10%的果汁 60 kg，應取這兩種果汁多少 kg？
2. 用含糖 16%的糖水與含蘇打 0.1%的蘇打水混合配製成含糖 0.5%的飲料 6600 cc，需要這種糖水與蘇打水各多少 cc(精確 到 10 cc)？
3. 在代數式ax by+ 中，當 x = 5、y = 2 時，它的值是 7；當 x = 4、
y = 3 時，它的值是 0。求 a、b 的值。
4. 在代數式x2 +mx+ 中，當 x = 3 時，它的值是 5；當n x = − 時，4 它的值是 9− 。求 m、n 的值。
௫ ᗟ Ȉ ˛
列出一次方程組解下列應用題：
1. 一艘輪船順流航行(此時航速 = 船在靜水中的速度 + 水 速)，每小時 20 km；逆流航行(此時航速 = 船在靜水中的速 度－水速)，每小時 16 km。求輪船在靜水中的速度及水流的 速度。
2. 某校學生 100 人到第一、第二間教室參加活動。到第一間教 室的人數比到第二間教室的人數之 2 倍少 8 人。到兩間教室 參加活動的人數各是多少？
3. 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可裁盒身 16 個，或裁盒底 43 個，一個盒身與兩個盒底配成一個罐頭盒，現有 150 張白鐵 皮，用多少張裁盒身，多少張裁盒底，正好能夠配成整套罐 頭盒？
4. 某農莊有土地 870 公畝，計畫將 182 公畝山坡地開闢為果園，
其餘的土地種植稻米與蔬菜，種稻米的土地公畝數是種蔬菜 的 1
43倍。求計畫種稻米與蔬菜的土地各是多少公畝。
5. 一批玩偶共 840 個。如果甲先做 4 天，乙加入合做，那麼再 做 8 天正好完成；如果乙先做 4 天，甲加入合做，那麼再做 9 天也正好完成。兩人每天各做幾個玩偶？
6. 甲、乙兩人從相距 18 km 的兩地同時出發，相向而行， 4 15 小 時相遇。如果甲比乙先出發 2
3 小時，那麼在乙出發後 1
12 小時 兩人相遇。求兩人每小時各走多少 km。
7. 甲、乙兩人從同一地點出發，同向而行，甲騎自行車，乙步 行。如果乙先走 12 km，那麼甲用 1 小時就能追上乙；如果乙 先走 1 小時，那麼甲只用1
2 小時就能追上乙。求兩人的速度 各是多少 km/h。
8. 某公司前年的營業額比總支出多 500 萬元。去年的營業額比 總支出多 950 萬元。已知去年的營業額比前年增加 15%，去 年的總支出比前年少 10%，求前年的營業額及總支出。
9. 某農莊的兩塊稻田原來可以收稻米 5730 kg。使用新品種後，
這兩塊地可以收稻米 6240 kg，其中第一塊地收成增加了 10%，第二塊地的收成增加了 8%。求這兩塊地原來各可以收 稻米多少 kg。
10. 甲、乙兩工廠原計畫在上個月共生產機器 360 台，結果甲廠 完成了計畫的 112%，乙廠完成了計畫的 110%，兩廠共生產 了機器 400 台。上個月兩廠各超額生產機器多少台？
11. 一列火車裝運一批貨物，原來每節車廂平均裝 46 T，結果有 100 T 的貨物未能裝進去；後來改進裝車方法，使每節車廂多 裝 4 T，結果這批貨物裝完後，還剩下兩節空車廂，這列火車 有多少節車廂？這批貨物有多少 T？
12. 某麵包店用麵粉，如果每天用 130 kg，按預計天數計算，就 缺少 60 kg；如果每天用 120 kg，那麼到期後還可剩餘 60 kg，
此麵包店存有麵粉多少 kg？預計用多少天？
13. 已知梯形面積為 42 cm2，高為 6 cm，它的下底比上底之 2 倍 少 1 cm。梯形的上底、下底各為多少 cm？
14. 把含酒精 5%的葡萄酒與含酒精 8%的葡萄酒混合製成含酒精 6%的葡萄酒 600 g，應取兩種葡萄酒各多少 g？
15. 要配製濃度為 10%的柳橙汁 1000 kg，已有濃度為 60%的柳橙 汁 85 kg，還需濃度為 98%的柳橙汁與水各多少 kg？
16. (1) 在等式 y = kx b+ 中，當 x=0 時，y=2；當 x=3 時，y=3。
求 k、b 的值 (2) 已知
1 1 x
y
⎧ = −
⎨ = −
⎩ 、 2
6 x y
⎧ =
⎨ =⎩ 、 5 9 x y
⎧ = −
⎨ =⎩
三對數值都能滿足x2 + y2 + Dx+Ey+ = 。求 D、E、F 0 F 的值。
̈ ඕ!
一、本章主要內容是二元一次方程組的解法與它的應用，以 及三元一次方程組的解法舉例。
二、解一次方程組可以通過逐步「消元」，變「多元」為「一 元」，例如：三元一次方程組 二元一次方程組 一元一次方程，從而實現由「未知」到「知」的轉化。
三、本章介紹了二元一次方程組的兩種消元之方法：
(1) 代入法：把其中一個方程的某一個未知數用含另一個未 知數的代數式表示，然後代入另一個方程，就可以消去這個未知 數。
(2) 加減法：先使兩個方程中的某一個未知數之係數的絕對 值相等，然後把方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未 知數。
對於多元的一次方程組也可以用以上的方法逐步消元。
一般說來，當某個未知數的係數為 1 時，用代入法比較簡便；
當兩個方程中有一個未知數的係數之絕對值相等或成整數倍 時，用加減法比較簡便。
四、對於含有多個未知數的問題，利用方程組來解，在列方 程時常常比列一元一次方程容易一些。列方程時，一般地說，選 定幾個未知數，就要根據問題中的相等關係列出幾個方程。解由 這些方程組成的方程組，求出未知數的值，並且根據問題的實際 意義，檢查求得的值是不是合理，即可得出問題的答案。
消元 消元
ኑ௫ણ҂ᗟ̣!
1. (1) 已知二元一次方程
3x−2y = 5 把它變形為
3 5 2 y = x−
(2) 已知二元一次方程 y−4x = 。仿照上題編出計算 y 的程7 序框圖，並算出 x = 1、2、0、 1− 、 2− 時的對應之 y 值。
2. (1) 有一個兩位數，它的十位數碼與個位數碼之和為 5，求 出所有符合這個條件的兩位數；
(2) 求出方程 2x+ = 在正整數範圍內的解。 y 9
x y 1 − 1
2 1 2
3 0
− 1
− 2
− 3 x
× 3
－5
y
÷ 2
我們可以根據給定的 x 值，按 左邊的程序框圖進行計算，求 出對應的 y 值。按照這個程序 計算出右表的 y 值。
3. (1) 已知
(5) 3x+2y =5y+12x = − 3
10. 由實驗得出，一塊重 148 kg 的銅銀合金在水中減輕 2
143 kg。
已知 21 kg 的銀在水中減輕 2 kg，9 kg 的銅在水中減輕 1 kg。
這塊銅銀合金內含銀、銅各多少 kg？
11. (我國古代問題)1有大小兩種盛米的容器，已經知道 5 個大容 器加上 1 個小容器可以盛米 3 斛(斛，音ㄏㄨˊ，是古代的一 種容量單位)，1 個大容器加上 5 個小容器可以盛米 2 斛。問 1 個大容器、1 個小容器各可以盛米多少斛？
12. (1) 在公式 0 1 2
s =v t + 2at 中，當 t = 1 時，s = 13；當 t = 2 時，
s = 42。求v 、a 的值，並求當 t = 3 時，s 的值。 0
(2) 在代數式ax2 +bx c+ 中，當 x =1、2、3 時，代數式的值 分別是 0、3、28。求 a、b、c 的值。當x = − 時，這個1 代數式的值是多少？
1 這道題選自古代算書《九章算術》卷七「盈不足」。原題是：「今有大器五小
器一容三斛，大器一小器五容二斛。問大小器各容幾何。答曰：大器二十四
分斛之十三，小器二十四分斛之七」。