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5.1 ˟̮˘Ѩ͞
我們來看下面的問題： 已知兩個數的和是 7，求這兩個數。 這個問題裡有兩個未知數，如果設一個數是 x，另一個數是 y，那麼根據題意，可以列出方程 7 x+ = y 這個方程含有兩個未知數，並且含有未知數的項之次數都是 1，這樣的方程叫做二元一次方程。 當 x = 3、y = 4 時，方程x+ = 左右兩邊的值相等，我們說y 7 x = 3、y = 4 是適合(或滿足)方程x+ = 的。適合一個二元一次y 7 方程的每一對未知數之值，叫做這個二元一次方程的一個解。例 如 x = 3、y = 4 就是方程x+ = 的一個解，我們把它記作 y 7 3 4 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 要求二元一次方程x+ = 的解，可以把這個方程變形，用y 7 含有 x 的代數式表示 y，得 7 y = − x 在這個方程裡，如果 x 取一個值，就可以求出與它對應的 y 之一 個值。例如： 取x = − ，可以得到1 y = ； 8 取x = ，可以得到0 y = ； 7 取x =2.7，可以得到 y = 4.3； 取x = ，可以得到5 y = ； 2 這樣得到的每一對未知數之值都適合方程x+ = ，所以它們都y 7 是這個方程的解。 對於任何一個二元一次方程，讓其中一個未知數取任意一個值，都可求出與它對應的另一個未知數之值。因此任何一個二元 一次方程都是有無數個解。 由二元一次方程的所有解組成之集合，叫做這個二元一次方 程的解集。
ቚ ௫!
1. (口答) 下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是？為 什麼？ (1) 2x−3y = ； (2) 9 x+ =1 6z； (3) 1 4 2 y x + = ； (4) 2 5 3 x− = y 。 2. (口答) 在 0 2 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 2 3 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 1 5 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 三對數值中， (1) 哪對是方程 2x− = 的解？ y 7 (2) 哪對是方程x+2y = − 的解？ 4 3. 在下列方程中，用含 x 的代數式表示 y： (1) 2x+ = ； (2) y 3 3x− = ； y 2 (3) x+3y = ； (4) 0 2x−3y+ = 。 5 0 4. 在方程 3x+2y =12中，設 x = 2、3、4、5，分別求出對應的 y 之值。5.2 ˟̮˘Ѩ͞
我們再來看下面的問題： 有甲、乙兩個數，甲數的 3 倍比乙數的 2 倍多 11，甲數的 2 倍與乙數的 3 倍之和是 16，求甲、乙兩數。 這個問題，用設一個未知數列一元一次方程的方法來求解， 比較困難。如果設兩個未知數，例如甲數是 x，乙數是 y，那麼 就可以列出下面兩個二元一次方程：3 2 11 2 3 16 x y x y − = + = (1) (2) 上面的問題就是要求出既適合方程(1)，又適合方程(2)的 x 與 y 之 值，也就是求出這兩個方程公共解。 把這兩個方程變形，用含有 x 的代數式表示 y，得 3 11 2 2 16 2 3 3 y x y x = − = − (3) (4) 從(3)可以求得方程(1)的一些解 0 11 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = − ⎪⎩ 、 1 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、…； 從(4)可以求得方程(2)的一些解 3 10 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ 、 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、 7 2 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ 、…； 可以看出，其中的 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 既是方程(1)的一個解，又是方程(2)的一個解，所以它就是這兩個 方程的公共解。 上面所說，可以用圖 5-1 來表示。 方程(1)、(2)的公共解 方程(1)的解集 方程(2)的解集 0 11 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = − ⎪⎩ 1 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 3 10 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ 7 2 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ … …
由幾個方程組成的一組方程，叫做方程組。由幾個一次方程 組成並含有兩個未知數的方程，叫做二元一次方程組。例如，上 面的方程(1)，(2)合在一起，就組成一個二元一次方程組，記作 3 2 11 2 3 16 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 本章中所說的二元一次方程組，都是指由兩個一次方程組成 的二元一次方程組。 方程組裡各方程的公共解，叫做這個方程組的解。例如，上 面的方程(1)，(2)之公共解 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 就是方程組 3 2 11 2 3 16 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 的解。
ቚ ௫!
1. (口答) 下列方程中，哪些是二元一次方程組？哪些不是？為 什麼？ (1) 3 5 2 3 3 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 2 2 3 6 8 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (3) 3 9 7 x y y z + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) 3 5 2 x y xy + = ⎧ ⎨ = ⎩ (5) 3 3 2 1 6 3 x y x y + = ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪⎩ (6) 3 2 6 2 3 x y y x + = ⎧ ⎪ ⎨ − = ⎪⎩ 2. (口答) 在 1 1 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、 4 5 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 三對數值中，哪一對是下列方程組的解？ (1) 2 3 3 4 10 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (2) 2 3 4 3 1 y x x y = − ⎧ ⎨ − = ⎩ቚ ௫!
3. 根據已知條件，求出 y 的值，分別填入各圖的右圖裡，並找 出方程組 3 2 1 y x y x = ⎧ ⎨ − = ⎩ 的解。5.3 ϡˢڱྋ˟̮˘Ѩ͞
求方程組的解之過程，叫做解方程組。 下面我們學習解二元一次方程組的兩種常用方法。 我們已經學過解一元一次方程，如果能夠通過二元一次方程 組裡的兩個方程，得到一個只含一個未知數的一元方程(即一元一 次方程)，求出這個未知數的值，然後再設法求出另一個未知數的 值，問題就解決了。 下面我們就按照這條化「二元」為「一元」的思路來分析具 體問題。例如，解方程組 2 3 y x x y = ⎧ ⎨ + = ⎩ 這就是要求出這兩個二元一次方程的公共解。如果這兩個二元一 次方程有公共解，那麼兩個方程中同一個未知數就應取相同的 (第 3 題) 3 2 1 0 1 − 2 − 9 6 ？ ？ ？ ？ 3 y = x x y 3 2 1 0 1 − 2 − 7 ？ ？ 1 ？ ？ 2 1 y− x = x y值。因此，第二個方程中的 y 可用第一個方程中表示 y 的代數式 2x 來代替： 把(1)代入(2)，得x+2x = 。這樣，就由兩個二元一次方程得到3 一個一元一次方程，消去了一個未知數。解這個一元一次方程， 得 x = 1，把 x = 1 代入(1)，就可以得到 y = 2。 要驗算所得結果是不是原方程組的解，應把這對數值代入原 方程組裡的每一個方程進行驗算。 經過驗算可以知道，由上述步驟得到的一對未知數之值 1 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是原方程組的解。 我們再看幾個例子。 【ּ 1】 解方程組 1 3 2 5 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2)
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ྋ !!! 把(1)代入(2)，得 3 2(1 ) 5 3 2 2 5 x x x x + − = + − = ∴ x = 3 把x = 代入(1)，得 3 y = − 2 ∴ 3 2 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 驗算： 把x = 、3 y = − 代入(1)，得 2 左邊= − ，右邊 1 32 = − = − ， 2 左邊 = 右邊。 2 3 y x x y = + = (1) (2)再代入(2)，得 左邊 3 3 2 ( 2) 5× + × − = ，右邊 5= ， 左邊 = 右邊。 所以 3 2 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 是原方程組的解。 (驗算可用口算，不必寫出，以下同。) 【ּ 2】 解方程組 2 5 21 3 8 x y x y + = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) 分析： 在這個方程組裡，方程(2)中未知數 x 的係數是 1，為了 方便起見，可以先把方程(2)變形，用含 y 的代數式表示 x，然後再解。
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ྋ !!! 由(2)，得 x = −8 3y (3) 把(3)代入(1)，得 2(8 3 ) 5 21 16 6 5 21 37 y y y y y − + = − − + = − − = − ∴ y =37 把 y =37代入(3)，得 x = − ×8 3 37 ∴ x = −103 ∴ 103 37 x y = − ⎧ ⎨ = ⎩【ּ 3】 解方程組 2 7 8 3 8 10 0 x y x y − = ⎧ ⎨ − − = ⎩ (1) (2) 分析： 在這個方程組裡，每個方程中各個未知數的係數都不是 1，但可以運用方程同解原理把其中的一個方程變形， 使這個方程中的一個未知數之係數為 1，然後再解。
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ྋ !!! 由(1)，得 2 8 7 8 7 2 x y y x = + + = (3) 把(3)代入(2)，得 3(8 7 ) 8 10 0 2 24 21 16 20 0 5 4 y y y y y + − − = + − − = = − ∴ 4 5 y = − 把 4 5 y = − 代入(3)，得 4 8 7 5 2 x ⎛ ⎞ + × −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∴ 11 5 x = ∴ 1 1 5 4 5 x y ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩上面幾個例題的解題步驟一般是： 1. 將方程組裡的一個方程變形，用含有一個未知數的代數 式表示另一個未知數； 2. 用這個代數式代替另一個方程中相應的未知數，使解二 元一次方程組轉化為解一元一次方程，求得一個未知數的值； 3. 把求得的這個未知數之值代入原方程組裡的任意一個 方程，求得另一個未知數的值，從而得到方程組的解。 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
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1. 用代入法解下列方程，並寫出驗算： (1) 2 7 3 1 y x x y = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 5 6 3 6 4 x z x z + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 2. 用代入法解下列方程： (1) 2 3 3 2 8 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (2) 6 5 1 2 3 x y x − = − ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ (3) 2 3 3 2 5 s t s t = ⎧ ⎨ − = ⎩ (4) 2 5 3 4 2 x z x z − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (5) 2 3 1 4 9 8 x y x y + = − ⎧ ⎨ − = ⎩ (6) 3 4 7 9 10 25 0 m n m n − = ⎧ ⎨ − + = ⎩5.4 ϡΐഴڱྋ˟̮˘Ѩ͞
我們再來學習另一種通過消去未知數來解二元一次方程組 的方法。例如，解方程組 5 1 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2)在這個方程組的兩個方程中，未知數 y 的係數互為相反數， 如果把這兩個方程的兩邊分別相加，就可以消去 y，得到一個一 元一次方程。 5 1 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) (1) + (2)，得 2x = 6 (3) 由(3)，得 x = 3。把 x = 3 代入(1)或(2)，得 y = 2。經過驗算， 3 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是原方程組的解。 在上面的兩個方程中，我們又看到，未知數 x 的係數相等。 如果把這兩個方程的兩邊分別相減，就可以消去未知數 x，也能 得到一個一元一次方程。 5 1 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) (1)－(2)，得 2y = 4 (4) 由(4)，得 y = 2。把 y = 2 代入(1)或(2)，得 x = 3。 我們再看幾個例子。 【ּ 1】 解方程組 3 7 20 3 5 16 x y x y + = − ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) 分析： 在這兩個方程中，未知數 x 的係數相等，把方程(1)、(2) 的兩邊分別相減，就可以消去 x。
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ྋ !!! (1)－(2)，得 12y = − 36 ∴ y = − 3把 y = − 代入(1)，得 3 3x+ × − = − 7 ( 3) 20 ∴ 1 3 x = ∴ 1 3 3 x y ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = − ⎩ 【ּ 2】 解方程組 9 2 15 3 4 10 u v u v + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) 分析： 在這兩個方程中，同一個未知數的係數之絕對值都不相 等，如果直接把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，都 不能消去任何一個未知數。但是只要在方程(1)的兩邊都 乘以 2，就可以使兩個方程中的未知數 v 之係數相等， 然後再把兩個方程的兩邊分別相減而消去 v。
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ྋ !!! (1) × 2，得 18u+4v =30 (3) (3)－(2)，得 15u =20 ∴ 11 3 u = 把 11 3 u = 代入(2)，得 1 3 1 4 10 3 4 6 v v × + = = ∴ 11 2 v =∴ 1 1 3 1 1 2 u v ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ 想一想：能不能先消去未知數 u？如果能，應當怎麼做？ 【ּ 3】 解方程組 3 4 16 5 6 33 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) 分析： 在方程(1)的兩邊都乘以 3，在方程(2)的兩邊都乘以 2， 就可以使未知數 y 的係數之絕對值相等，然後把兩個方 程的兩邊分別相加而消去 y。
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ྋ !!! (1) × 3，得 9x+12y = 48 (3) (2) × 2，得 10x−12y =66 (4) (3) + (4)，得 19x =114 ∴ x = 6 把x = 代入(1)，得 6 3 6 4 16 4 2 y y × + = = − ∴ 1 2 y = − ∴ 6 1 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = − ⎪⎩ 解上面幾個例題時，我們在方程組裡一個方程的兩邊都乘以 一個適當的數，或者分別在兩個方程的兩邊都乘以一個適當的 數，使其中某一個未知數的係數之絕對值相等，然後把方程兩邊分別相加或相減，消去這個未知數，使解二元一次方程組轉化為 解一元一次方程。這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加 減法。用加減法解題時，一般可以先把方程組裡的每個方程整理 成含未知數的項在方程左邊、常數項在方程右邊的形式，然後再 進行加減消元。 【ּ 4】 解方程組 2( 150) 5(3 50) 10% 6% 8.5% 800 x y x y − = + ⎧ ⎨ + = × ⎩ i i (1) (2)
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ྋ !!! 把方程(1)、(2)分別化簡，得 2 15 550 5 3 3400 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (3) (4) (3) + (4) × 5，得 27x =17550 ∴ x = 650 把x =650代入(4)，得 5 650 3 3400 3 150 y y × + = = ∴ y =50 ∴ 650 50 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ቚ ௫!
用加減法解下列方程組： 1. (1) 3 8 2 7 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 3 2 16 3 1 m n m n + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (3) 3 7 9 4 7 5 p q p q + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (4) 2 9 3 1 x z x z + = ⎧ ⎨ − = − ⎩ (5) 5 2 25 3 4 15 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (6) 3 7 1 5 4 17 x y x y − = ⎧ ⎨ − = ⎩ቚ ௫!
(7) 8 9 23 17 6 74 s t s t + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (8) 4 15 17 0 6 25 23 0 x y x y − − = ⎧ ⎨ − − = ⎩ 2. (1) 3 5 1 3( ) 2( 3 ) 15 x y x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ + + − = ⎩ (2) 60 30% 6% 10% 60 x y x y + = ⎧ ⎨ + = × ⎩ i i5.5 ˬ̮˘Ѩ͞۞ྋڱᓝּ
含有三個未知數，並且含有未知數的項之次數都是 1 的方程 叫做三元一次方程。例如，x+3y+5z = 就是一個關於 x、y、z4 的三元一次方程。任何三元一次方程都有無數個解。 由幾個一次方程組並含有三個未知數的方程組，叫做三元一 次方程組。例如，方程組 3 2 13 2 7 2 3 12 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + − = ⎩ (1) (2) (3) 就是由三個一次方程組成的三元一次方程組。 本章中所說的三元一次方程組，都是指由三個一次方程組成 的三元一次方程組。下面我們學習三元一次方程組的一種解法。 解三元一次方程組，可以把方程組裡的一個方程分別與另外 兩個方程結合成兩組，利用代入法或加減法消去這兩組中的同一 個未知數，得到含另外兩個未知數的兩個二元一次方程，解由這 兩個二元一次方程組成的二元一次方程組，求得兩個未知數的值 後，再求出被消去的那個未知數之值。這樣，通過把「三元」的 問題逐步化為「二元」、「一元」的問題後，從而求得了原方程組 的解。我們看幾個例子。【ּ 1】 解前面給出的三元一次方程組。 分析： 在這個方程組裡，方程(1)中未知數 z 的係數為 1，可以 把方程(1)分別與(2)、(3)結合，先消去 z。
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ྋ !!! (1) + (3)，得 5x+5y = 25 (4) (1) × 2－(2)，得 5x+3y =19 (5) 把方程(4)、(5)組成一個二元一次方程組 5 5 25 5 3 19 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) (5) 解這個二元一次方程組，得 2 3 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 把x = 、2 y = 代入(1)，得 3 3 2 2 3× + × + = z 13 ∴ z = 1 ∴ 2 3 1 x y z = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ 要驗算所得的結果是不是原方程組的解，應把這組值代入原 方程組裡每一個方程進行驗算，請自行寫出驗算。 【ּ 2】 解方程組 3 4 7 2 3 9 5 9 7 8 x z x y z x y z + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ (1) (2) (3) 分析： 在這個方程組裡，方程(1)只含兩個未知數 x、z，所以只 要由(2)、(3)消去 y，就可以得到含 x、z 的二元一次方程 組。因此先消去 y 比較方便。ś
ྋ !!! (2) × 3 + (3)，得 11x+10z =35 (4) 把方程(1)、(4)組成一個二元一次方程組 3 7 7 11 10 35 x z x z + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (4) 解這個二元一次方程組，得 5 2 x z = ⎧ ⎨ = − ⎩ 把x = 、5 z = − 代入(2)，得 2 2 5 3 2 9 3 1 y y × + − = = ∴ 1 3 y = ∴ 5 1 3 2 x y z = ⎧ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ቚ ௫!
解下列三元一次方程組： (1) 3 4 2 3 12 6 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + + = ⎩ (2) 2 4 3 9 3 2 5 11 5 6 7 13 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ (3) 4 9 17 3 15 18 2 3 2 x z x y z x y z − = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ (4) 2 3 2 5 2 3 z x y x y z x y z = + ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ + − = ⎩௫ ᗟ Ȉ ̱
1. 已知二元一次方程2x−7y = 4 (1) 用含 x 的代數式表示 y； (2) 用含 y 的代數式表示 x。 2. 根據表中給定的 x (或 y)之值，從方程 3x+ = ，求出對應的y 5 y (或 x)之值。 x −2 0 2 3 2 y 1 2 − 0 3 3. 已知二元一次方程組 1 3 2 5 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) (1) 求出方程(1)的四個解，其中 x = 1、2、3、4； (2) 求出方程(2)的四個解，其中 x = 1、2、3、4； (3) 找出這組方程的解； (4) 把上面的結果填入下圖。 方程(1)的解集 方程(2)的解集 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 方程 的解 1 3 2 5 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩4. 用代入法解下列方程組： (1) 3 7 5 9 y x x y = + ⎧ ⎨ + = ⎩ (2) 3 5 6 4 15 x z x z − = ⎧ ⎨ + = − ⎩ (3) 3 5 2 3 1 p q p q = ⎧ ⎨ − = ⎩ (4) 9 13 12 0 2 3 p q p q − + = ⎧ ⎨ = − ⎩ (5) 5 2 2 2 3 4 m n m n ⎧ − = ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎩ (6) 3 5 5 2 25.2 x z x z − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 5. 用加減法解下列方程組： (1) 3 2 9 3 5 2 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 1 2 5 2 1 3 5 3 s t s t ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = ⎪⎩ (3) 6 5 25 3 4 20 x z x z + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) 5 6 16 7 9 5 s t s t + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (5) 8 3 2 0 6 5 7 0 u v u v + + = ⎧ ⎨ + + = ⎩ (6) 13 2 3 3 3 4 y z y z ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = ⎪⎩ (7) 2 3 1 3 5 12.9 m n m n − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (8) 6.28 4 0.2 8 5 1 u v u v − = ⎧ ⎨ − = ⎩ 6. 解下列方程組： (1) 3 2 3 11 2 x y x y − = ⎧ ⎨ = − ⎩ (2) 3( 1) 5 5( 1) 3( 5) x y y x − = + ⎧ ⎨ − = + ⎩ (3) 5( 1) 2( 3) 2( 1) 3( 3) m n m n − = + ⎧ ⎨ + = − ⎩ (4) 2 3 1 3 4 2 4 5 7 5 6 15 u v u v ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩
(5) 1 5( 2) 3(2 5) 4(3 4) 5 x z x z + = + ⎧ ⎨ − − + = ⎩ (6) 1 3 3 6 2 3 18 2 y x y y x x + ⎧ − = ⎪⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ − ⎟ = ⎜ + ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ (7) 2.6 9.8 3 1 3 v t v t = + ⎧ ⎪ ⎨ − = ⎪⎩ (8) 2800 96% 64% 2800 92% x y x y + = ⎧ ⎨ + = × ⎩ i i 7. 解下列三元一次方程組： (1) 3 2 3 2 3 11 12 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + + = ⎩ (2) 5 3 4 13 2 7 3 19 3 2 18 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + − = ⎩ (3) 2 7 5 3 2 2 3 4 4 y x x y z x z = − ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ − = ⎩ (4) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4 9 12 3 2 1 3 7 5 4 4 x y y z x z + = − = + =
5.6 ˘Ѩ͞۞ᑕϡ
對於某些含有兩個或兩個以上未知數的問題，有時可以用一 次方程組來求解。下面我們看幾個例子。 【ּ 1】 某工地派 48 人去挖土與運土，如果每人每天平均可挖 土 5 立方單位或運土 3 立方單位，那麼應怎樣分配挖土 與運土的人數，正好能夠使挖出的土可及時運走？ 分析： 這個問題裡有兩個未知數—挖土人數與運土人數。未知 數與已知數之間有以下的相等關係：(1) 挖土人數 + 運土人數 = 派出的總人數； (2) 每天挖土的總方數 = 每天運土的總方數，即 5 × (挖土人數) = 3 × (運土人數)。 如果分別用 x、y 表示挖土人數與運土人數，那麼根據 上述相等關係，就可以列出一個二元一次方程組。
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ྋ !!! 設應分配 x 人挖土，y 人運土，根據題意，得 48 5 3 x y x y + = ⎧ ⎨ = ⎩ (1) (2) 由(2)，得 3 5 x = y (3) 把(3)代入(1)，得 3 48 5 8 240 y y y + = = ∴ y =30 把 y =30代入(3)，得 x =18 ∴ 18 30 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ應分配 18 人挖土，30 人運土。 【ּ 2】 運往某地兩批物資。第一批的重量為 360 T，用 6 節火 車加上 15 輛汽車正好裝完；第二批的重量為 440 T，用 8 節火車加上 10 輛汽車正好裝完。請問每節火車與每輛 汽車平均各可裝多少 T。 分析： 這個問題裡有兩個未知數—每節火車與每輛汽車平均 所裝貨物的 T 數。未知數與已知數之間有以下的相等關 係：(1) 6 × (每節火車平均裝貨的 T 數) + 15 × (每輛汽車平均裝貨的 T 數) = 360； (2) 8 × (每節火車平均裝貨的 T 數) + 10 × (每輛汽車平均裝貨的 T 數) = 440； 如果分別用 x、y 每節火車與每輛汽車平均裝貨的 T 數， 那麼根據上述相等關係，就可以列出一個二元一次方程 組。
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ྋ !!! 設每節火車平均裝貨 x T，每輛汽車平均裝貨 y T，根據 題意，得 6 15 360 8 10 440 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) (2) 1 (1) 1 2 3 × − × ，得 2x =100 ∴ x =50 把x =50代入(2)，得 8 50 10 440 10 40 y y × + = = ∴ y = 4 ∴ 50 4 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ每節火車平均裝貨 50 T，每輛汽車平均裝貨 4 T。 【ּ 3】 大愛文具公司捐贈一批筆給向上中學，如果每位學生分 6 隻筆，就缺少 200 隻筆；如果每位學生分 5 隻筆，就 剩餘 300 隻筆。請問向上中學有多少位學生？大愛文具 公司捐贈多少隻筆？ 分析： 這個問題裡有兩個未知數—向上中學的學生人數？大 愛文具公司捐贈筆的隻數。如果分別用 x、y 表示這兩 個未知數，那麼未知數與已知數之間的關係如圖 5-2 所 示。□ 解! ! 設向上中學有 x 位學生、大愛文具公司捐贈 y 隻筆， 根據題意，得 6 200 5 300 x y x y = + ⎧ ⎨ = − ⎩ (1) (2) (1)－(2)，得 x =500 把x =500代入(1)，得 6 500× = +y 200 ∴ y = 2800 ∴ 500 2800 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ向上中學有 500 位學生、大愛文具公司捐贈 2800 隻筆。
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列出一次方程組解下列應用題： 1. 用大小兩台耕耘機耕地，一小時共耕了 30 公畝地。已知大耕 耘積的效率是小耕耘機的 1.5 倍，求大小耕耘機各耕了多少公 畝地。 2. 某工廠有 28 名工人，生產自行車，每人每天平均能生產車身 12 個或車輪 18 個。應分配多少人生產車身，多少人生產車輪， 能夠使出產的車身與車輪剛好配套(一個車身必需配二個車 輪)？ 6x y 200 5x y 300 圖 5-2ቚ ௫!
3. 五元與二元硬幣共 100 枚，值 320 元。這兩種硬幣各有多少 枚？ 4. 一條船的載重量是 520 T，貨艙載貨容積是 2000 m3。現在裝 運甲、乙兩種貨物，甲種貨物每 T 的體積是 2 m3，乙種貨物 每 T 的體積是 8 m3。這兩種貨物各裝多少 T，才能最大限度 地利用這條船的載重量及載貨容積？ 5. 某工廠接受一批訂單，按計畫天數進行生產，如果平均每天 生產 20 件，就比訂單任務還少 100 件；如果平均每天生產 23 件，就可超過訂單任務 20 件。這批訂單是多少件？原計畫幾 天完成？ 6. 汽車從甲地到乙地，如果每小時行駛 45 km，就要延誤11 2 小 時到達；如果每小時行駛 50 km，就可提前 1 2 小時到達，求從 甲地到乙地的路程及原計畫行駛的時間。 【ּ 4】 用濃度為 5%與 53%的兩種果汁混合配製成濃度為 25% 的果汁 300 kg，需用這兩種果汁各多少 kg？ 分析： 這個問題裡有兩個未知數—濃度為 5%果汁的 kg 數與濃 度為 53%果汁的 kg 數。如果分別用 x、y 表示這兩個未 知數，那麼未知數與已知數之間的關係如下表所示： 濃度 重量 5%的 果汁 53%的 果汁 混合成 25% 的果汁 果 汁 的 重 量 (kg) x y 300 所 含 純 果 汁 的重量 (kg) 5%i x 53%i y 25% 300i 根據下面的相等關係，可以列出一個二元一次方程組：混合前果汁的總重量 = 混合後果汁的總重量； 混合前溶液中所含純果汁的重量 = 混合後溶液中所含 純果汁的重量。
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ྋ !! 設需用 5%的果汁 x kg，53%的果汁 y kg， 根據題意，得 300 5% 53% 25% 300 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ i i i (1) (2) 化簡(2)，得 5x+53y = 7500 (3) (3)－(1) × 5，得 48y =6000 ∴ y =125 把 y =125代入(1)，得 x+125= 300 ∴ x =175 ∴ 175 125 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ需用 5%的果汁 175 kg，53%的果汁 125 kg。 【ּ 5】 在代數式 px q+ 中，當 x = 2 時，它的值是 1− ；當 x = 3 時，它的值是 1。求 p、q 的值。 分析： 這裡的未知數是 p、q。把 x = 2 及 x = 3 代入 px q+ ，分 別得值 1− 、1，這就得到一個關於 p、q 的二元一次方程 組。解這個方程組，就可以求出 p、q 的值。ś
ྋ !! 根據題意，得 2 1 3 1 p q p q + = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) (2)－(1)，得 2 p =把 p = 代入(1)，得 2 2 2× + = − q 1 ∴ q = − 5 ඍĈ p = ，2 q = − 。 5
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列出一次方程組解下列應用題： 1. 一種果汁的濃度是 30%，另一種果汁的濃度是 6%，要配製成 濃度是 10%的果汁 60 kg，應取這兩種果汁多少 kg？ 2. 用含糖 16%的糖水與含蘇打 0.1%的蘇打水混合配製成含糖 0.5%的飲料 6600 cc，需要這種糖水與蘇打水各多少 cc(精確 到 10 cc)？ 3. 在代數式ax by+ 中，當 x = 5、y = 2 時，它的值是 7；當 x = 4、 y = 3 時，它的值是 0。求 a、b 的值。 4. 在代數式x2 +mx+ 中，當 x = 3 時，它的值是 5；當n x = − 時，4 它的值是 9− 。求 m、n 的值。௫ ᗟ Ȉ ˛
列出一次方程組解下列應用題： 1. 一艘輪船順流航行(此時航速 = 船在靜水中的速度 + 水 速)，每小時 20 km；逆流航行(此時航速 = 船在靜水中的速 度－水速)，每小時 16 km。求輪船在靜水中的速度及水流的 速度。 2. 某校學生 100 人到第一、第二間教室參加活動。到第一間教 室的人數比到第二間教室的人數之 2 倍少 8 人。到兩間教室 參加活動的人數各是多少？3. 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可裁盒身 16 個，或裁盒底 43 個，一個盒身與兩個盒底配成一個罐頭盒，現有 150 張白鐵 皮，用多少張裁盒身，多少張裁盒底，正好能夠配成整套罐 頭盒？ 4. 某農莊有土地 870 公畝，計畫將 182 公畝山坡地開闢為果園， 其餘的土地種植稻米與蔬菜，種稻米的土地公畝數是種蔬菜 的41 3倍。求計畫種稻米與蔬菜的土地各是多少公畝。 5. 一批玩偶共 840 個。如果甲先做 4 天，乙加入合做，那麼再 做 8 天正好完成；如果乙先做 4 天，甲加入合做，那麼再做 9 天也正好完成。兩人每天各做幾個玩偶？ 6. 甲、乙兩人從相距 18 km 的兩地同時出發，相向而行，14 5 小 時相遇。如果甲比乙先出發 2 3 小時，那麼在乙出發後 1 1 2 小時 兩人相遇。求兩人每小時各走多少 km。 7. 甲、乙兩人從同一地點出發，同向而行，甲騎自行車，乙步 行。如果乙先走 12 km，那麼甲用 1 小時就能追上乙；如果乙 先走 1 小時，那麼甲只用1 2 小時就能追上乙。求兩人的速度 各是多少 km/h。 8. 某公司前年的營業額比總支出多 500 萬元。去年的營業額比 總支出多 950 萬元。已知去年的營業額比前年增加 15%，去 年的總支出比前年少 10%，求前年的營業額及總支出。 9. 某農莊的兩塊稻田原來可以收稻米 5730 kg。使用新品種後， 這兩塊地可以收稻米 6240 kg，其中第一塊地收成增加了 10%，第二塊地的收成增加了 8%。求這兩塊地原來各可以收 稻米多少 kg。
10. 甲、乙兩工廠原計畫在上個月共生產機器 360 台，結果甲廠 完成了計畫的 112%，乙廠完成了計畫的 110%，兩廠共生產 了機器 400 台。上個月兩廠各超額生產機器多少台？ 11. 一列火車裝運一批貨物，原來每節車廂平均裝 46 T，結果有 100 T 的貨物未能裝進去；後來改進裝車方法，使每節車廂多 裝 4 T，結果這批貨物裝完後，還剩下兩節空車廂，這列火車 有多少節車廂？這批貨物有多少 T？ 12. 某麵包店用麵粉，如果每天用 130 kg，按預計天數計算，就 缺少 60 kg；如果每天用 120 kg，那麼到期後還可剩餘 60 kg， 此麵包店存有麵粉多少 kg？預計用多少天？ 13. 已知梯形面積為 42 cm2，高為 6 cm，它的下底比上底之 2 倍 少 1 cm。梯形的上底、下底各為多少 cm？ 14. 把含酒精 5%的葡萄酒與含酒精 8%的葡萄酒混合製成含酒精 6%的葡萄酒 600 g，應取兩種葡萄酒各多少 g？ 15. 要配製濃度為 10%的柳橙汁 1000 kg，已有濃度為 60%的柳橙 汁 85 kg，還需濃度為 98%的柳橙汁與水各多少 kg？ 16. (1) 在等式 y = kx b+ 中，當 x=0 時，y=2；當 x=3 時，y=3。 求 k、b 的值 (2) 已知 1 1 x y = − ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 2 6 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、 5 9 x y = − ⎧ ⎨ = ⎩ 三對數值都能滿足 2 2 0 x + y + Dx+Ey+ = 。求 D、E、F F 的值。
̈ ඕ!
一、本章主要內容是二元一次方程組的解法與它的應用，以 及三元一次方程組的解法舉例。 二、解一次方程組可以通過逐步「消元」，變「多元」為「一 元」，例如：三元一次方程組 二元一次方程組 一元一次方程，從而實現由「未知」到「知」的轉化。 三、本章介紹了二元一次方程組的兩種消元之方法： (1) 代入法：把其中一個方程的某一個未知數用含另一個未 知數的代數式表示，然後代入另一個方程，就可以消去這個未知 數。 (2) 加減法：先使兩個方程中的某一個未知數之係數的絕對 值相等，然後把方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未 知數。 對於多元的一次方程組也可以用以上的方法逐步消元。 一般說來，當某個未知數的係數為 1 時，用代入法比較簡便； 當兩個方程中有一個未知數的係數之絕對值相等或成整數倍 時，用加減法比較簡便。 四、對於含有多個未知數的問題，利用方程組來解，在列方 程時常常比列一元一次方程容易一些。列方程時，一般地說，選 定幾個未知數，就要根據問題中的相等關係列出幾個方程。解由 這些方程組成的方程組，求出未知數的值，並且根據問題的實際 意義，檢查求得的值是不是合理，即可得出問題的答案。 消元 消元ኑ௫ણ҂ᗟ̣!
1. (1) 已知二元一次方程 3x−2y = 5 把它變形為 3 5 2 x y = − (2) 已知二元一次方程 y−4x = 。仿照上題編出計算 y 的程7 序框圖，並算出 x = 1、2、0、 1− 、 2− 時的對應之 y 值。 2. (1) 有一個兩位數，它的十位數碼與個位數碼之和為 5，求 出所有符合這個條件的兩位數； (2) 求出方程 2x+ = 在正整數範圍內的解。 y 9 x y 1 − 1 2 1 2 3 0 1 − 2 − 3 − x × 3 －5 y ÷ 2 我們可以根據給定的 x 值，按 左邊的程序框圖進行計算，求 出對應的 y 值。按照這個程序 計算出右表的 y 值。3. (1) 已知 5 7 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 滿足方程kx−2y = ，求 k 的值。 1 (2) 已知 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是方程組 3 1 5 ax y x by − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 的解，求 a、b 的值。 4. 判斷方程組 3 4 7 2 3 1 x y x y − = ⎧ ⎨ + = − ⎩ 的解是不是方程 5x− = 的一個解。 y 6 5. (1) 解不等式 2 3 5( 3) 2 2 3 1 4 6 x x x x − > − + − − < (2) 這兩個不等式的解集有公共部分嗎？如果有，就把它在 數軸上表示出來。 6. 解下列方程組： (1) 1 2 2 1 110 5 110 9 I I I I = − ⎧ ⎨ = − ⎩ (2) 1 2 1 2 7 3 5 5 6 6 I I I I − = ⎧ ⎨− + = − ⎩ (3) 2 3 2 0.2 0.3 2.8 x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎩ (4) 0.2 0.5 0 5( 1) 3( 17) 0 x y x y − = ⎧ ⎨ + − + = ⎩
(5) 3x+2y =5y+12x = − 3 (提示：先把它寫成方程組 3 2 3 5 12 3 x y y x + = − ⎧ ⎨ + = − ⎩ 的形式) (6) 2 3 2 3 3 8 v t+ = v− t = (7) 2 3 4 4 14 3 m n n m n m + − ⎧ − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ (8) 3 5 7 2 4 3 10( ) 4(1 ) 3 x y y x x y x y − + ⎧ + = − ⎪⎪ ⎨ − − − ⎪ = ⎪⎩ (9) 1 6 3 x y y z z x + = ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ + = ⎩ (10) 11 5 1 x y z y z x z x y + − = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + − = ⎩ 7. 解下列關於 x、y 的方程組： (1) x y a x y b + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 2 5 y x c x y c = + ⎧ ⎨ + = ⎩ (3) 2 3 3 x y a x y a ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ − = ⎩ (4) 0 5 3 0 x y n x y n + − = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 列出一次方程組解下列應用題： 8. 有一個兩位數，十位數碼與個位數碼的和是 13，如果把這兩 個數碼的位置對換，那麼所得的新數比原數小 27。求這個兩 位數。 9. 有一個兩位數，個位數碼比十位數碼大 5，如果把這兩個數碼 的位置對換，那麼所得的新數與原數之和為 143。求這個兩位 數。
10. 由實驗得出，一塊重 148 kg 的銅銀合金在水中減輕142 3 kg。 已知 21 kg 的銀在水中減輕 2 kg，9 kg 的銅在水中減輕 1 kg。 這塊銅銀合金內含銀、銅各多少 kg？ 11. (我國古代問題)1有大小兩種盛米的容器，已經知道 5 個大容 器加上 1 個小容器可以盛米 3 斛(斛，音ㄏㄨˊ，是古代的一 種容量單位)，1 個大容器加上 5 個小容器可以盛米 2 斛。問 1 個大容器、1 個小容器各可以盛米多少斛？ 12. (1) 在公式 0 1 2 2 s =v t + at 中，當 t = 1 時，s = 13；當 t = 2 時， s = 42。求v 、a 的值，並求當 t = 3 時，s 的值。 0 (2) 在代數式ax2 +bx c+ 中，當 x =1、2、3 時，代數式的值 分別是 0、3、28。求 a、b、c 的值。當x = − 時，這個1 代數式的值是多少？ 1 這道題選自古代算書《九章算術》卷七「盈不足」。原題是：「今有大器五小 器一容三斛，大器一小器五容二斛。問大小器各容幾何。答曰：大器二十四 分斛之十三，小器二十四分斛之七」。
