第五章 二元一次方程組

33  Download (1)

全文

(1)

注意:

允許學生個人、非營利性的圖書館或公立學校合理使用

本基金會網站所提供之各項試題及其解答。可直接下載

而不須申請。

重版、系統地複製或大量重製這些資料的任何部分,必

須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許

可。

申請此項授權請電郵

ccmp@seed.net.tw

Notice:

Individual students, nonprofit libraries, or schools are

permitted to make fair use of the papers and its

solutions. Republication, systematic copying, or

multiple reproduction of any part of this material is

permitted only under license from the Chiuchang

Mathematics Foundation.

Requests for such permission should be made by

e-mailing Mr. Wen-Hsien SUN

ccmp@seed.net.tw

(2)

̣

̣

!

!

!

!

!

!

˟

˟

̮

̮

˘

˘

Ѩ

Ѩ

͞

͞

!

!

5.1 ˟̮˘Ѩ͞඀

我們來看下面的問題: 已知兩個數的和是 7,求這兩個數。 這個問題裡有兩個未知數,如果設一個數是 x,另一個數是 y,那麼根據題意,可以列出方程 7 x+ = y 這個方程含有兩個未知數,並且含有未知數的項之次數都是 1,這樣的方程叫做二元一次方程。 當 x = 3、y = 4 時,方程x+ = 左右兩邊的值相等,我們說y 7 x = 3、y = 4 是適合(或滿足)方程x+ = 的。適合一個二元一次y 7 方程的每一對未知數之值,叫做這個二元一次方程的一個解。例 如 x = 3、y = 4 就是方程x+ = 的一個解,我們把它記作 y 7 3 4 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 要求二元一次方程x+ = 的解,可以把這個方程變形,用y 7 含有 x 的代數式表示 y,得 7 y = − x 在這個方程裡,如果 x 取一個值,就可以求出與它對應的 y 之一 個值。例如: 取x = − ,可以得到1 y = ; 8 取x = ,可以得到0 y = ; 7 取x =2.7,可以得到 y = 4.3; 取x = ,可以得到5 y = ; 2 這樣得到的每一對未知數之值都適合方程x+ = ,所以它們都y 7 是這個方程的解。 對於任何一個二元一次方程,讓其中一個未知數取任意一個

(3)

值,都可求出與它對應的另一個未知數之值。因此任何一個二元 一次方程都是有無數個解。 由二元一次方程的所有解組成之集合,叫做這個二元一次方 程的解集。

ቚ ௫!

1. (口答) 下列方程中,哪些是二元一次方程?哪些不是?為 什麼? (1) 2x−3y = ; (2) 9 x+ =1 6z; (3) 1 4 2 y x + = ; (4) 2 5 3 x− = y 。 2. (口答) 在 0 2 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 2 3 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 1 5 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 三對數值中, (1) 哪對是方程 2x− = 的解? y 7 (2) 哪對是方程x+2y = − 的解? 4 3. 在下列方程中,用含 x 的代數式表示 y: (1) 2x+ = ; (2) y 3 3x− = ; y 2 (3) x+3y = ; (4) 0 2x−3y+ = 。 5 0 4. 在方程 3x+2y =12中,設 x = 2、3、4、5,分別求出對應的 y 之值。

5.2 ˟̮˘Ѩ͞඀௡

我們再來看下面的問題: 有甲、乙兩個數,甲數的 3 倍比乙數的 2 倍多 11,甲數的 2 倍與乙數的 3 倍之和是 16,求甲、乙兩數。 這個問題,用設一個未知數列一元一次方程的方法來求解, 比較困難。如果設兩個未知數,例如甲數是 x,乙數是 y,那麼 就可以列出下面兩個二元一次方程:

(4)

3 2 11 2 3 16 x y x y − = + = (1) (2) 上面的問題就是要求出既適合方程(1),又適合方程(2)的 x 與 y 之 值,也就是求出這兩個方程公共解。 把這兩個方程變形,用含有 x 的代數式表示 y,得 3 11 2 2 16 2 3 3 y x y x = − = − (3) (4) 從(3)可以求得方程(1)的一些解 0 11 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = − ⎪⎩ 、 1 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、…; 從(4)可以求得方程(2)的一些解 3 10 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ 、 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、 7 2 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ 、…; 可以看出,其中的 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 既是方程(1)的一個解,又是方程(2)的一個解,所以它就是這兩個 方程的公共解。 上面所說,可以用圖 5-1 來表示。 方程(1)、(2)的公共解 方程(1)的解集 方程(2)的解集 0 11 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = − ⎪⎩ 1 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 3 10 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ 7 2 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ … …

(5)

由幾個方程組成的一組方程,叫做方程組。由幾個一次方程 組成並含有兩個未知數的方程,叫做二元一次方程組。例如,上 面的方程(1),(2)合在一起,就組成一個二元一次方程組,記作 3 2 11 2 3 16 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 本章中所說的二元一次方程組,都是指由兩個一次方程組成 的二元一次方程組。 方程組裡各方程的公共解,叫做這個方程組的解。例如,上 面的方程(1),(2)之公共解 5 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 就是方程組 3 2 11 2 3 16 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 的解。

ቚ ௫!

1. (口答) 下列方程中,哪些是二元一次方程組?哪些不是?為 什麼? (1) 3 5 2 3 3 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 2 2 3 6 8 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (3) 3 9 7 x y y z + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) 3 5 2 x y xy + = ⎧ ⎨ = ⎩ (5) 3 3 2 1 6 3 x y x y + = ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪⎩ (6) 3 2 6 2 3 x y y x + = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ 2. (口答) 在 1 1 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、 4 5 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 三對數值中,哪一對是下列方程組的解? (1) 2 3 3 4 10 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (2) 2 3 4 3 1 y x x y = − ⎧ ⎨ − = ⎩

(6)

ቚ ௫!

3. 根據已知條件,求出 y 的值,分別填入各圖的右圖裡,並找 出方程組 3 2 1 y x y x = ⎧ ⎨ − = ⎩ 的解。

5.3 ϡ΃ˢڱྋ˟̮˘Ѩ͞඀௡

求方程組的解之過程,叫做解方程組。 下面我們學習解二元一次方程組的兩種常用方法。 我們已經學過解一元一次方程,如果能夠通過二元一次方程 組裡的兩個方程,得到一個只含一個未知數的一元方程(即一元一 次方程),求出這個未知數的值,然後再設法求出另一個未知數的 值,問題就解決了。 下面我們就按照這條化「二元」為「一元」的思路來分析具 體問題。例如,解方程組 2 3 y x x y = ⎧ ⎨ + = ⎩ 這就是要求出這兩個二元一次方程的公共解。如果這兩個二元一 次方程有公共解,那麼兩個方程中同一個未知數就應取相同的 (第 3 題) 3 2 1 0 1 − 2 − 9 6 ? ? ? ? 3 y = x x y 3 2 1 0 1 − 2 − 7 ? ? 1 ? ? 2 1 yx = x y

(7)

值。因此,第二個方程中的 y 可用第一個方程中表示 y 的代數式 2x 來代替: 把(1)代入(2),得x+2x = 。這樣,就由兩個二元一次方程得到3 一個一元一次方程,消去了一個未知數。解這個一元一次方程, 得 x = 1,把 x = 1 代入(1),就可以得到 y = 2。 要驗算所得結果是不是原方程組的解,應把這對數值代入原 方程組裡的每一個方程進行驗算。 經過驗算可以知道,由上述步驟得到的一對未知數之值 1 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是原方程組的解。 我們再看幾個例子。 【ּ 1】 解方程組 1 3 2 5 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2)

ś

ྋ !!! 把(1)代入(2),得 3 2(1 ) 5 3 2 2 5 x x x x + − = + − = ∴ x = 3 把x = 代入(1),得 3 y = − 2 ∴ 3 2 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 驗算: 把x = 、3 y = − 代入(1),得 2 左邊= − ,右邊 1 32 = − = − , 2 左邊 = 右邊。 2 3 y x x y = + = (1) (2)

(8)

再代入(2),得 左邊 3 3 2 ( 2) 5× + × − = ,右邊 5= , 左邊 = 右邊。 所以 3 2 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 是原方程組的解。 (驗算可用口算,不必寫出,以下同。) 【ּ 2】 解方程組 2 5 21 3 8 x y x y + = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) 分析: 在這個方程組裡,方程(2)中未知數 x 的係數是 1,為了 方便起見,可以先把方程(2)變形,用含 y 的代數式表示 x,然後再解。

ś

ྋ !!! 由(2),得 x = −8 3y (3) 把(3)代入(1),得 2(8 3 ) 5 21 16 6 5 21 37 y y y y y − + = − − + = − − = − ∴ y =37 把 y =37代入(3),得 x = − ×8 3 37 ∴ x = −103 ∴ 103 37 x y = − ⎧ ⎨ = ⎩

(9)

【ּ 3】 解方程組 2 7 8 3 8 10 0 x y x y − = ⎧ ⎨ − − = ⎩ (1) (2) 分析: 在這個方程組裡,每個方程中各個未知數的係數都不是 1,但可以運用方程同解原理把其中的一個方程變形, 使這個方程中的一個未知數之係數為 1,然後再解。

ś

ྋ !!! 由(1),得 2 8 7 8 7 2 x y y x = + + = (3) 把(3)代入(2),得 3(8 7 ) 8 10 0 2 24 21 16 20 0 5 4 y y y y y + = + − − = = − ∴ 4 5 y = − 把 4 5 y = − 代入(3),得 4 8 7 5 2 x ⎛ ⎞ + × − ⎝ ⎠ = ∴ 11 5 x = ∴ 1 1 5 4 5 x y ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩

(10)

上面幾個例題的解題步驟一般是: 1. 將方程組裡的一個方程變形,用含有一個未知數的代數 式表示另一個未知數; 2. 用這個代數式代替另一個方程中相應的未知數,使解二 元一次方程組轉化為解一元一次方程,求得一個未知數的值; 3. 把求得的這個未知數之值代入原方程組裡的任意一個 方程,求得另一個未知數的值,從而得到方程組的解。 這種解方程組的方法叫做代入消元法,簡稱代入法。

ቚ ௫!

1. 用代入法解下列方程,並寫出驗算: (1) 2 7 3 1 y x x y = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 5 6 3 6 4 x z x z + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 2. 用代入法解下列方程: (1) 2 3 3 2 8 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (2) 6 5 1 2 3 x y x − = − ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ (3) 2 3 3 2 5 s t s t = ⎧ ⎨ − = ⎩ (4) 2 5 3 4 2 x z x z − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (5) 2 3 1 4 9 8 x y x y + = − ⎧ ⎨ − = ⎩ (6) 3 4 7 9 10 25 0 m n m n − = ⎧ ⎨ + =

5.4 ϡΐഴڱྋ˟̮˘Ѩ͞඀௡

我們再來學習另一種通過消去未知數來解二元一次方程組 的方法。例如,解方程組 5 1 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2)

(11)

在這個方程組的兩個方程中,未知數 y 的係數互為相反數, 如果把這兩個方程的兩邊分別相加,就可以消去 y,得到一個一 元一次方程。 5 1 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) (1) + (2),得 2x = 6 (3) 由(3),得 x = 3。把 x = 3 代入(1)或(2),得 y = 2。經過驗算, 3 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是原方程組的解。 在上面的兩個方程中,我們又看到,未知數 x 的係數相等。 如果把這兩個方程的兩邊分別相減,就可以消去未知數 x,也能 得到一個一元一次方程。 5 1 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) (1)-(2),得 2y = 4 (4) 由(4),得 y = 2。把 y = 2 代入(1)或(2),得 x = 3。 我們再看幾個例子。 【ּ 1】 解方程組 3 7 20 3 5 16 x y x y + = − ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) 分析: 在這兩個方程中,未知數 x 的係數相等,把方程(1)、(2) 的兩邊分別相減,就可以消去 x。

ś

ྋ !!! (1)-(2),得 12y = − 36 ∴ y = − 3

(12)

y = − 代入(1),得 3 3x+ × − = − 7 ( 3) 20 ∴ 1 3 x = ∴ 1 3 3 x y ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = − ⎩ 【ּ 2】 解方程組 9 2 15 3 4 10 u v u v + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) 分析: 在這兩個方程中,同一個未知數的係數之絕對值都不相 等,如果直接把這兩個方程的兩邊分別相加或相減,都 不能消去任何一個未知數。但是只要在方程(1)的兩邊都 乘以 2,就可以使兩個方程中的未知數 v 之係數相等, 然後再把兩個方程的兩邊分別相減而消去 v。

ś

ྋ !!! (1) × 2,得 18u+4v =30 (3) (3)-(2),得 15u =20 ∴ 11 3 u = 把 11 3 u = 代入(2),得 1 3 1 4 10 3 4 6 v v × + = = ∴ 11 2 v =

(13)

∴ 1 1 3 1 1 2 u v ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ 想一想:能不能先消去未知數 u?如果能,應當怎麼做? 【ּ 3】 解方程組 3 4 16 5 6 33 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (1) (2) 分析: 在方程(1)的兩邊都乘以 3,在方程(2)的兩邊都乘以 2, 就可以使未知數 y 的係數之絕對值相等,然後把兩個方 程的兩邊分別相加而消去 y。

ś

ྋ !!! (1) × 3,得 9x+12y = 48 (3) (2) × 2,得 10x−12y =66 (4) (3) + (4),得 19x =114 ∴ x = 6 把x = 代入(1),得 6 3 6 4 16 4 2 y y × + = = − ∴ 1 2 y = − ∴ 6 1 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = − ⎪⎩ 解上面幾個例題時,我們在方程組裡一個方程的兩邊都乘以 一個適當的數,或者分別在兩個方程的兩邊都乘以一個適當的 數,使其中某一個未知數的係數之絕對值相等,然後把方程兩邊

(14)

分別相加或相減,消去這個未知數,使解二元一次方程組轉化為 解一元一次方程。這種解方程組的方法叫做加減消元法,簡稱加 減法。用加減法解題時,一般可以先把方程組裡的每個方程整理 成含未知數的項在方程左邊、常數項在方程右邊的形式,然後再 進行加減消元。 【ּ 4】 解方程組 2( 150) 5(3 50) 10% 6% 8.5% 800 x y x y − = + ⎧ ⎨ + = × ⎩ i i (1) (2)

ś

ྋ !!! 把方程(1)、(2)分別化簡,得 2 15 550 5 3 3400 x y x y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (3) (4) (3) + (4) × 5,得 27x =17550 ∴ x = 650 把x =650代入(4),得 5 650 3 3400 3 150 y y × + = = ∴ y =50 ∴ 650 50 x y = ⎧ ⎨ = ⎩

ቚ ௫!

用加減法解下列方程組: 1. (1) 3 8 2 7 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 3 2 16 3 1 m n m n + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (3) 3 7 9 4 7 5 p q p q + = ⎧ ⎨ = ⎩ (4) 2 9 3 1 x z x z + = ⎧ ⎨ − = − ⎩ (5) 5 2 25 3 4 15 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (6) 3 7 1 5 4 17 x y x y − = ⎧ ⎨ − = ⎩

(15)

ቚ ௫!

(7) 8 9 23 17 6 74 s t s t + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (8) 4 15 17 0 6 25 23 0 x y x y − − = ⎧ ⎨ − − = ⎩ 2. (1) 3 5 1 3( ) 2( 3 ) 15 x y x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ + + = ⎩ (2) 60 30% 6% 10% 60 x y x y + = ⎧ ⎨ + = × ⎩ i i

5.5 ˬ̮˘Ѩ͞඀௡۞ྋڱᓝּ

含有三個未知數,並且含有未知數的項之次數都是 1 的方程 叫做三元一次方程。例如,x+3y+5z = 就是一個關於 x、y、z4 的三元一次方程。任何三元一次方程都有無數個解。 由幾個一次方程組並含有三個未知數的方程組,叫做三元一 次方程組。例如,方程組 3 2 13 2 7 2 3 12 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + − = ⎩ (1) (2) (3) 就是由三個一次方程組成的三元一次方程組。 本章中所說的三元一次方程組,都是指由三個一次方程組成 的三元一次方程組。下面我們學習三元一次方程組的一種解法。 解三元一次方程組,可以把方程組裡的一個方程分別與另外 兩個方程結合成兩組,利用代入法或加減法消去這兩組中的同一 個未知數,得到含另外兩個未知數的兩個二元一次方程,解由這 兩個二元一次方程組成的二元一次方程組,求得兩個未知數的值 後,再求出被消去的那個未知數之值。這樣,通過把「三元」的 問題逐步化為「二元」、「一元」的問題後,從而求得了原方程組 的解。我們看幾個例子。

(16)

【ּ 1】 解前面給出的三元一次方程組。 分析: 在這個方程組裡,方程(1)中未知數 z 的係數為 1,可以 把方程(1)分別與(2)、(3)結合,先消去 z。

ś

ྋ !!! (1) + (3),得 5x+5y = 25 (4) (1) × 2-(2),得 5x+3y =19 (5) 把方程(4)、(5)組成一個二元一次方程組 5 5 25 5 3 19 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) (5) 解這個二元一次方程組,得 2 3 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 把x = 、2 y = 代入(1),得 3 3 2 2 3× + × + = z 13 ∴ z = 1 ∴ 2 3 1 x y z = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ 要驗算所得的結果是不是原方程組的解,應把這組值代入原 方程組裡每一個方程進行驗算,請自行寫出驗算。 【ּ 2】 解方程組 3 4 7 2 3 9 5 9 7 8 x z x y z x y z + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ (1) (2) (3) 分析: 在這個方程組裡,方程(1)只含兩個未知數 x、z,所以只 要由(2)、(3)消去 y,就可以得到含 x、z 的二元一次方程 組。因此先消去 y 比較方便。

(17)

ś

ྋ !!! (2) × 3 + (3),得 11x+10z =35 (4) 把方程(1)、(4)組成一個二元一次方程組 3 7 7 11 10 35 x z x z + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (4) 解這個二元一次方程組,得 5 2 x z = ⎧ ⎨ = − ⎩ 把x = 、5 z = − 代入(2),得 2 2 5 3 2 9 3 1 y y × + − = = ∴ 1 3 y = ∴ 5 1 3 2 x y z = ⎧ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ = − ⎪⎩

ቚ ௫!

解下列三元一次方程組: (1) 3 4 2 3 12 6 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + + = ⎩ (2) 2 4 3 9 3 2 5 11 5 6 7 13 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ (3) 4 9 17 3 15 18 2 3 2 x z x y z x y z − = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ (4) 2 3 2 5 2 3 z x y x y z x y z = + ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ + − = ⎩

(18)

௫ ᗟ Ȉ ̱

1. 已知二元一次方程2x−7y = 4 (1) 用含 x 的代數式表示 y; (2) 用含 y 的代數式表示 x。 2. 根據表中給定的 x (或 y)之值,從方程 3x+ = ,求出對應的y 5 y (或 x)之值。 x −2 0 2 3 2 y 1 2 − 0 3 3. 已知二元一次方程組 1 3 2 5 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) (1) 求出方程(1)的四個解,其中 x = 1、2、3、4; (2) 求出方程(2)的四個解,其中 x = 1、2、3、4; (3) 找出這組方程的解; (4) 把上面的結果填入下圖。 方程(1)的解集 方程(2)的解集 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 方程 的解 1 3 2 5 y x x y = − ⎧ ⎨ + = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩

(19)

4. 用代入法解下列方程組: (1) 3 7 5 9 y x x y = + ⎧ ⎨ + = ⎩ (2) 3 5 6 4 15 x z x z − = ⎧ ⎨ + = − ⎩ (3) 3 5 2 3 1 p q p q = ⎧ ⎨ = ⎩ (4) 9 13 12 0 2 3 p q p q − + = ⎧ ⎨ = − ⎩ (5) 5 2 2 2 3 4 m n m n− = ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎩ (6) 3 5 5 2 25.2 x z x z − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 5. 用加減法解下列方程組: (1) 3 2 9 3 5 2 x y x y + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 1 2 5 2 1 3 5 3 s t s t ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = ⎪⎩ (3) 6 5 25 3 4 20 x z x z + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) 5 6 16 7 9 5 s t s t + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (5) 8 3 2 0 6 5 7 0 u v u v + + = ⎧ ⎨ + + = ⎩ (6) 13 2 3 3 3 4 y z y z ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = ⎪⎩ (7) 2 3 1 3 5 12.9 m n m n − = ⎧ ⎨ + = ⎩ (8) 6.28 4 0.2 8 5 1 u v u v − = ⎧ ⎨ = ⎩ 6. 解下列方程組: (1) 3 2 3 11 2 x y x y − = ⎧ ⎨ = − ⎩ (2) 3( 1) 5 5( 1) 3( 5) x y y x − = + ⎧ ⎨ − = + ⎩ (3) 5( 1) 2( 3) 2( 1) 3( 3) m n m n − = + ⎧ ⎨ + = ⎩ (4) 2 3 1 3 4 2 4 5 7 5 6 15 u v u v+ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩

(20)

(5) 1 5( 2) 3(2 5) 4(3 4) 5 x z x z + = + ⎧ ⎨ − − + = ⎩ (6) 1 3 3 6 2 3 18 2 y x y y x x + ⎧ − = ⎪⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ = + ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ (7) 2.6 9.8 3 1 3 v t v t = + ⎧ ⎪ ⎨ − = ⎪⎩ (8) 2800 96% 64% 2800 92% x y x y + = ⎧ ⎨ + = × ⎩ i i 7. 解下列三元一次方程組: (1) 3 2 3 2 3 11 12 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + + = ⎩ (2) 5 3 4 13 2 7 3 19 3 2 18 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + − = ⎩ (3) 2 7 5 3 2 2 3 4 4 y x x y z x z = − ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ − = ⎩ (4) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4 9 12 3 2 1 3 7 5 4 4 x y y z x z + = − = + =

5.6 ˘Ѩ͞඀௡۞ᑕϡ

對於某些含有兩個或兩個以上未知數的問題,有時可以用一 次方程組來求解。下面我們看幾個例子。 【ּ 1】 某工地派 48 人去挖土與運土,如果每人每天平均可挖 土 5 立方單位或運土 3 立方單位,那麼應怎樣分配挖土 與運土的人數,正好能夠使挖出的土可及時運走? 分析: 這個問題裡有兩個未知數—挖土人數與運土人數。未知 數與已知數之間有以下的相等關係:

(21)

(1) 挖土人數 + 運土人數 = 派出的總人數; (2) 每天挖土的總方數 = 每天運土的總方數,即 5 × (挖土人數) = 3 × (運土人數)。 如果分別用 x、y 表示挖土人數與運土人數,那麼根據 上述相等關係,就可以列出一個二元一次方程組。

ś

ྋ !!! 設應分配 x 人挖土,y 人運土,根據題意,得 48 5 3 x y x y + = ⎧ ⎨ = ⎩ (1) (2) 由(2),得 3 5 x = y (3) 把(3)代入(1),得 3 48 5 8 240 y y y + = = ∴ y =30 把 y =30代入(3),得 x =18 ∴ 18 30 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ應分配 18 人挖土,30 人運土。 【ּ 2】 運往某地兩批物資。第一批的重量為 360 T,用 6 節火 車加上 15 輛汽車正好裝完;第二批的重量為 440 T,用 8 節火車加上 10 輛汽車正好裝完。請問每節火車與每輛 汽車平均各可裝多少 T。 分析: 這個問題裡有兩個未知數—每節火車與每輛汽車平均 所裝貨物的 T 數。未知數與已知數之間有以下的相等關 係:

(22)

(1) 6 × (每節火車平均裝貨的 T 數) + 15 × (每輛汽車平均裝貨的 T 數) = 360; (2) 8 × (每節火車平均裝貨的 T 數) + 10 × (每輛汽車平均裝貨的 T 數) = 440; 如果分別用 x、y 每節火車與每輛汽車平均裝貨的 T 數, 那麼根據上述相等關係,就可以列出一個二元一次方程 組。

ś

ྋ !!! 設每節火車平均裝貨 x T,每輛汽車平均裝貨 y T,根據 題意,得 6 15 360 8 10 440 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) (2) 1 (1) 1 2 3 × − × ,得 2x =100 ∴ x =50 把x =50代入(2),得 8 50 10 440 10 40 y y × + = = ∴ y = 4 ∴ 50 4 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ每節火車平均裝貨 50 T,每輛汽車平均裝貨 4 T。 【ּ 3】 大愛文具公司捐贈一批筆給向上中學,如果每位學生分 6 隻筆,就缺少 200 隻筆;如果每位學生分 5 隻筆,就 剩餘 300 隻筆。請問向上中學有多少位學生?大愛文具 公司捐贈多少隻筆? 分析: 這個問題裡有兩個未知數—向上中學的學生人數?大 愛文具公司捐贈筆的隻數。如果分別用 x、y 表示這兩 個未知數,那麼未知數與已知數之間的關係如圖 5-2 所 示。

(23)

解! ! 設向上中學有 x 位學生、大愛文具公司捐贈 y 隻筆, 根據題意,得 6 200 5 300 x y x y = + ⎧ ⎨ = − ⎩ (1) (2) (1)-(2),得 x =500 把x =500代入(1),得 6 500× = +y 200 ∴ y = 2800 ∴ 500 2800 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ向上中學有 500 位學生、大愛文具公司捐贈 2800 隻筆。

ቚ ௫!

列出一次方程組解下列應用題: 1. 用大小兩台耕耘機耕地,一小時共耕了 30 公畝地。已知大耕 耘積的效率是小耕耘機的 1.5 倍,求大小耕耘機各耕了多少公 畝地。 2. 某工廠有 28 名工人,生產自行車,每人每天平均能生產車身 12 個或車輪 18 個。應分配多少人生產車身,多少人生產車輪, 能夠使出產的車身與車輪剛好配套(一個車身必需配二個車 輪)? 6x y 200 5x y 300 圖 5-2

(24)

ቚ ௫!

3. 五元與二元硬幣共 100 枚,值 320 元。這兩種硬幣各有多少 枚? 4. 一條船的載重量是 520 T,貨艙載貨容積是 2000 m3。現在裝 運甲、乙兩種貨物,甲種貨物每 T 的體積是 2 m3,乙種貨物 每 T 的體積是 8 m3。這兩種貨物各裝多少 T,才能最大限度 地利用這條船的載重量及載貨容積? 5. 某工廠接受一批訂單,按計畫天數進行生產,如果平均每天 生產 20 件,就比訂單任務還少 100 件;如果平均每天生產 23 件,就可超過訂單任務 20 件。這批訂單是多少件?原計畫幾 天完成? 6. 汽車從甲地到乙地,如果每小時行駛 45 km,就要延誤11 2 小 時到達;如果每小時行駛 50 km,就可提前 1 2 小時到達,求從 甲地到乙地的路程及原計畫行駛的時間。 【ּ 4】 用濃度為 5%與 53%的兩種果汁混合配製成濃度為 25% 的果汁 300 kg,需用這兩種果汁各多少 kg? 分析: 這個問題裡有兩個未知數—濃度為 5%果汁的 kg 數與濃 度為 53%果汁的 kg 數。如果分別用 x、y 表示這兩個未 知數,那麼未知數與已知數之間的關係如下表所示: 濃度 重量 5%的 果汁 53%的 果汁 混合成 25% 的果汁 果 汁 的 重 量 (kg) x y 300 所 含 純 果 汁 的重量 (kg) 5%i x 53%i y 25% 300i 根據下面的相等關係,可以列出一個二元一次方程組:

(25)

混合前果汁的總重量 = 混合後果汁的總重量; 混合前溶液中所含純果汁的重量 = 混合後溶液中所含 純果汁的重量。

ś

ྋ !! 設需用 5%的果汁 x kg,53%的果汁 y kg, 根據題意,得 300 5% 53% 25% 300 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ i i i (1) (2) 化簡(2),得 5x+53y = 7500 (3) (3)-(1) × 5,得 48y =6000 ∴ y =125 把 y =125代入(1),得 x+125= 300 ∴ x =175 ∴ 175 125 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ඍĈ需用 5%的果汁 175 kg,53%的果汁 125 kg。 【ּ 5】 在代數式 px q+ 中,當 x = 2 時,它的值是 1− ;當 x = 3 時,它的值是 1。求 p、q 的值。 分析: 這裡的未知數是 p、q。把 x = 2 及 x = 3 代入 px q+ ,分 別得值 1− 、1,這就得到一個關於 p、q 的二元一次方程 組。解這個方程組,就可以求出 p、q 的值。

ś

ྋ !! 根據題意,得 2 1 3 1 p q p q + = − ⎧ ⎨ + = ⎩ (1) (2) (2)-(1),得 2 p =

(26)

p = 代入(1),得 2 2 2× + = − q 1 ∴ q = − 5 ඍĈ p = ,2 q = − 。 5

ቚ ௫!

列出一次方程組解下列應用題: 1. 一種果汁的濃度是 30%,另一種果汁的濃度是 6%,要配製成 濃度是 10%的果汁 60 kg,應取這兩種果汁多少 kg? 2. 用含糖 16%的糖水與含蘇打 0.1%的蘇打水混合配製成含糖 0.5%的飲料 6600 cc,需要這種糖水與蘇打水各多少 cc(精確 到 10 cc)? 3. 在代數式ax by+ 中,當 x = 5、y = 2 時,它的值是 7;當 x = 4、 y = 3 時,它的值是 0。求 a、b 的值。 4. 在代數式x2 +mx+ 中,當 x = 3 時,它的值是 5;當n x = − 時,4 它的值是 9− 。求 m、n 的值。

௫ ᗟ Ȉ ˛

列出一次方程組解下列應用題: 1. 一艘輪船順流航行(此時航速 = 船在靜水中的速度 + 水 速),每小時 20 km;逆流航行(此時航速 = 船在靜水中的速 度-水速),每小時 16 km。求輪船在靜水中的速度及水流的 速度。 2. 某校學生 100 人到第一、第二間教室參加活動。到第一間教 室的人數比到第二間教室的人數之 2 倍少 8 人。到兩間教室 參加活動的人數各是多少?

(27)

3. 用白鐵皮做罐頭盒,每張鐵皮可裁盒身 16 個,或裁盒底 43 個,一個盒身與兩個盒底配成一個罐頭盒,現有 150 張白鐵 皮,用多少張裁盒身,多少張裁盒底,正好能夠配成整套罐 頭盒? 4. 某農莊有土地 870 公畝,計畫將 182 公畝山坡地開闢為果園, 其餘的土地種植稻米與蔬菜,種稻米的土地公畝數是種蔬菜 的41 3倍。求計畫種稻米與蔬菜的土地各是多少公畝。 5. 一批玩偶共 840 個。如果甲先做 4 天,乙加入合做,那麼再 做 8 天正好完成;如果乙先做 4 天,甲加入合做,那麼再做 9 天也正好完成。兩人每天各做幾個玩偶? 6. 甲、乙兩人從相距 18 km 的兩地同時出發,相向而行,14 5 小 時相遇。如果甲比乙先出發 2 3 小時,那麼在乙出發後 1 1 2 小時 兩人相遇。求兩人每小時各走多少 km。 7. 甲、乙兩人從同一地點出發,同向而行,甲騎自行車,乙步 行。如果乙先走 12 km,那麼甲用 1 小時就能追上乙;如果乙 先走 1 小時,那麼甲只用1 2 小時就能追上乙。求兩人的速度 各是多少 km/h。 8. 某公司前年的營業額比總支出多 500 萬元。去年的營業額比 總支出多 950 萬元。已知去年的營業額比前年增加 15%,去 年的總支出比前年少 10%,求前年的營業額及總支出。 9. 某農莊的兩塊稻田原來可以收稻米 5730 kg。使用新品種後, 這兩塊地可以收稻米 6240 kg,其中第一塊地收成增加了 10%,第二塊地的收成增加了 8%。求這兩塊地原來各可以收 稻米多少 kg。

(28)

10. 甲、乙兩工廠原計畫在上個月共生產機器 360 台,結果甲廠 完成了計畫的 112%,乙廠完成了計畫的 110%,兩廠共生產 了機器 400 台。上個月兩廠各超額生產機器多少台? 11. 一列火車裝運一批貨物,原來每節車廂平均裝 46 T,結果有 100 T 的貨物未能裝進去;後來改進裝車方法,使每節車廂多 裝 4 T,結果這批貨物裝完後,還剩下兩節空車廂,這列火車 有多少節車廂?這批貨物有多少 T? 12. 某麵包店用麵粉,如果每天用 130 kg,按預計天數計算,就 缺少 60 kg;如果每天用 120 kg,那麼到期後還可剩餘 60 kg, 此麵包店存有麵粉多少 kg?預計用多少天? 13. 已知梯形面積為 42 cm2,高為 6 cm,它的下底比上底之 2 倍 少 1 cm。梯形的上底、下底各為多少 cm? 14. 把含酒精 5%的葡萄酒與含酒精 8%的葡萄酒混合製成含酒精 6%的葡萄酒 600 g,應取兩種葡萄酒各多少 g? 15. 要配製濃度為 10%的柳橙汁 1000 kg,已有濃度為 60%的柳橙 汁 85 kg,還需濃度為 98%的柳橙汁與水各多少 kg? 16. (1) 在等式 y = kx b+ 中,當 x=0 時,y=2;當 x=3 時,y=3。 求 k、b 的值 (2) 已知 1 1 x y = − ⎧ ⎨ = − ⎩ 、 2 6 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 、 5 9 x y = − ⎧ ⎨ = ⎩ 三對數值都能滿足 2 2 0 x + y + Dx+Ey+ = 。求 D、E、F F 的值。

(29)

̈ ඕ!

一、本章主要內容是二元一次方程組的解法與它的應用,以 及三元一次方程組的解法舉例。 二、解一次方程組可以通過逐步「消元」,變「多元」為「一 元」,例如:三元一次方程組 二元一次方程組 一元一次方程,從而實現由「未知」到「知」的轉化。 三、本章介紹了二元一次方程組的兩種消元之方法: (1) 代入法:把其中一個方程的某一個未知數用含另一個未 知數的代數式表示,然後代入另一個方程,就可以消去這個未知 數。 (2) 加減法:先使兩個方程中的某一個未知數之係數的絕對 值相等,然後把方程的兩邊分別相加或相減,就可以消去這個未 知數。 對於多元的一次方程組也可以用以上的方法逐步消元。 一般說來,當某個未知數的係數為 1 時,用代入法比較簡便; 當兩個方程中有一個未知數的係數之絕對值相等或成整數倍 時,用加減法比較簡便。 四、對於含有多個未知數的問題,利用方程組來解,在列方 程時常常比列一元一次方程容易一些。列方程時,一般地說,選 定幾個未知數,就要根據問題中的相等關係列出幾個方程。解由 這些方程組成的方程組,求出未知數的值,並且根據問題的實際 意義,檢查求得的值是不是合理,即可得出問題的答案。 消元 消元

(30)

ኑ௫ણ҂ᗟ̣!

1. (1) 已知二元一次方程 3x−2y = 5 把它變形為 3 5 2 x y = − (2) 已知二元一次方程 y−4x = 。仿照上題編出計算 y 的程7 序框圖,並算出 x = 1、2、0、 1− 、 2− 時的對應之 y 值。 2. (1) 有一個兩位數,它的十位數碼與個位數碼之和為 5,求 出所有符合這個條件的兩位數; (2) 求出方程 2x+ = 在正整數範圍內的解。 y 9 x y 1 − 1 2 1 2 3 0 1 − 2 − 3 − x × 3 -5 y ÷ 2 我們可以根據給定的 x 值,按 左邊的程序框圖進行計算,求 出對應的 y 值。按照這個程序 計算出右表的 y 值。

(31)

3. (1) 已知 5 7 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 滿足方程kx−2y = ,求 k 的值。 1 (2) 已知 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是方程組 3 1 5 ax y x by − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 的解,求 a、b 的值。 4. 判斷方程組 3 4 7 2 3 1 x y x y − = ⎧ ⎨ + = − ⎩ 的解是不是方程 5x− = 的一個解。 y 6 5. (1) 解不等式 2 3 5( 3) 2 2 3 1 4 6 x x x x − > − + < (2) 這兩個不等式的解集有公共部分嗎?如果有,就把它在 數軸上表示出來。 6. 解下列方程組: (1) 1 2 2 1 110 5 110 9 I I I I = − ⎧ ⎨ = ⎩ (2) 1 2 1 2 7 3 5 5 6 6 I I I I − = ⎧ ⎨− + = − ⎩ (3) 2 3 2 0.2 0.3 2.8 x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎩ (4) 0.2 0.5 0 5( 1) 3( 17) 0 x y x y − = ⎧ ⎨ + − + =

(32)

(5) 3x+2y =5y+12x = − 3 (提示:先把它寫成方程組 3 2 3 5 12 3 x y y x + = − ⎧ ⎨ + = − ⎩ 的形式) (6) 2 3 2 3 3 8 v t+ = vt = (7) 2 3 4 4 14 3 m n n m n m + − ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ (8) 3 5 7 2 4 3 10( ) 4(1 ) 3 x y y x x y x y − + ⎧ + = − ⎪⎪ ⎨ = ⎪⎩ (9) 1 6 3 x y y z z x + = ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ + = ⎩ (10) 11 5 1 x y z y z x z x y + − = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + − = ⎩ 7. 解下列關於 x、y 的方程組: (1) x y a x y b + = ⎧ ⎨ − = ⎩ (2) 2 5 y x c x y c = + ⎧ ⎨ + = ⎩ (3) 2 3 3 x y a x y a ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ − = ⎩ (4) 0 5 3 0 x y n x y n + − = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 列出一次方程組解下列應用題: 8. 有一個兩位數,十位數碼與個位數碼的和是 13,如果把這兩 個數碼的位置對換,那麼所得的新數比原數小 27。求這個兩 位數。 9. 有一個兩位數,個位數碼比十位數碼大 5,如果把這兩個數碼 的位置對換,那麼所得的新數與原數之和為 143。求這個兩位 數。

(33)

10. 由實驗得出,一塊重 148 kg 的銅銀合金在水中減輕142 3 kg。 已知 21 kg 的銀在水中減輕 2 kg,9 kg 的銅在水中減輕 1 kg。 這塊銅銀合金內含銀、銅各多少 kg? 11. (我國古代問題)1有大小兩種盛米的容器,已經知道 5 個大容 器加上 1 個小容器可以盛米 3 斛(斛,音ㄏㄨˊ,是古代的一 種容量單位),1 個大容器加上 5 個小容器可以盛米 2 斛。問 1 個大容器、1 個小容器各可以盛米多少斛? 12. (1) 在公式 0 1 2 2 s =v t + at 中,當 t = 1 時,s = 13;當 t = 2 時, s = 42。求v 、a 的值,並求當 t = 3 時,s 的值。 0 (2) 在代數式ax2 +bx c+ 中,當 x =1、2、3 時,代數式的值 分別是 0、3、28。求 a、b、c 的值。當x = − 時,這個1 代數式的值是多少? 1 這道題選自古代算書《九章算術》卷七「盈不足」。原題是:「今有大器五小 器一容三斛,大器一小器五容二斛。問大小器各容幾何。答曰:大器二十四 分斛之十三,小器二十四分斛之七」。

數據

Updating...

參考文獻