↑ 端點

答案：(１)極大值為 1，極小值為 0；(２)最大值為 18，最小值為－14 解析：(１)由一階導函數 f '（x）＝4x³－4x＝4x（x＋1）（x－1）

解 f '（x）＝0，得 x＝－1 或 x＝0 或 x＝1，此皆為 f（x）的臨界數 考慮每個臨界數左右兩側 f '（x）值的正負，可列表如下：

x －1 0 1

f '（x） － 0 ＋ 0 － 0 ＋

↑ 極小 值發 生處

↑ 極大 值發 生處

↑ 極小 值發 生處

因此由一階檢定法可知：在 x＝0 有極大值 f（0）＝1，

在 x＝－1 有極小值 f（－1）＝0，

在 x＝1 有極小值 f（1）＝0

(２)由一階導函數 f '（x）＝3x²＋6x－9＝3（x＋3）（x－1），

解 f '（x）＝0，得 x＝－3 或 x＝1，此皆為 f（x）的臨界數

考慮每個臨界數左右兩側 f '（x）值的正負以及端點與臨界數的函數值，可列表如下：

x －4 －3 1 3

f '（x） ＋ 0 － 0 ＋

f（x） 11 18 －14 18

↑ 端點

↑ 極大 值發 生處

↑ 極小 值發 生處

↑ 端點

因此函數 f（x）在 x＝－3 與 x＝3 有最大值 18 在 x＝1 有最小值－14

12. 函數 f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c 在 x＝0 有極大值 4，在 x＝2 有極小值，試求函數 f（x）。

解：

答案：x³－3x²＋4

解析：f '（x）＝3x²＋2ax＋b x＝0 與 x＝2 皆為臨界數

∴f '（x）＝3x（x－2）＝3x²－6x 可得 a＝－3，b＝0

又 f（0）＝4，得 c＝4 故 f（x）＝x³－3x²＋4

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P32/57

13. 已知函數 f（x）＝（x²－x－2）²，試求：

(１) f（x）的嚴格遞增區間。

(２) x [ －1，2 ] 時，f（x）的最大值。

解：

答案：(１) [ 2，∞）與



 2 1，1

－ ；(２) 16 81

解析：(１) f '（x）＝2（x²－x－2）（2x－1）＝2（x－2）（x＋1）（2x－1）

解 f '（x）＞0，得 x＞2 或－1＜x＜

2 1

即 [ 2，∞）與 

 2 1，1

－

(２)解 f '（x）＝0，得 x＝－1 或 x＝

2

1或 x＝2，此皆為 f（x）的臨界數

考慮每個臨界數左右兩側 f '（x）值的正負以及端點與臨界數的函數值，可列表如下：

x －1

2 1

2

f '（x） 0 ＋ 0 － 0

f（x） 0

16 81

0

↑ 端點

↑ 極大值 發生處

↑ 端點

因此函數 f（x）在 x＝

2

1有最大值 16 81

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P33/57

14. 已知在函數 f（x）＝3x⁴－8x³－6x²＋24x＋1 的圖形中，極大值發生點與極小值發生點可圍成一個三角形

，試求此三角形面積。

解：

答案：21

解析：f '（x）＝12x³－24x²－12x＋24

＝12（x³－2x²－x＋2）＝12（x＋1）（x－1）（x－2）

解 f '（x）＝0，得 x＝－1 或 x＝1 或 x＝2，此皆為 f（x）的臨界數 考慮每個臨界數左右兩側 f '（x）值的正負，可列表如下：

x －1 1 2

f '（x） － 0 ＋ 0 － 0 ＋

↑ 極小 值發 生處

↑ 極大 值發 生處

↑ 極小 值發 生處

故（－1，f（－1）），（1，f（1）），（2，f（2））為極值發生點，

而 f（－1）＝－18，f（1）＝14，f（2）＝9

令三角形的三頂點為 A（－1，－18），B（1，14），C（2，9）

則



AB ＝（2，32），



AC ＝（3，27）

故所圍成的三角形面積為 2 1

27 3

32

2 的絕對值＝

2

1．42＝21

15. 設 a＞0，且函數 f（x）＝ax³－3ax＋b 在－2≦x≦3 範圍內的最大值為 8，最小值為－12，試求 a 與 b 的 值。

解：

答案：a＝1，b＝－10

解析：f '（x）＝3ax²－3a＝3a（x＋1）（x－1），

解 f '（x）＝0，得 x＝－1 或 x＝1，此皆為 f（x）的臨界數

考慮每個臨界數左右兩側 f '（x）值的正負以及端點與臨界數的函數值，可列表如下：

x －2 －1 1 3

f '（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） －2a

＋b

2a＋

b

－2a

＋b

18a

＋b

↑ 端點

↑ 極大 值發 生處

↑ 極小 值發 生處

↑ 端點

∴在－2≦x≦3 的範圍內，最大值為 18a＋b，最小值為－2a＋b 故

12 2

8 18

＝－

＋

－

＝

＋ b a

b

a ，解得 a＝1，b＝－10

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P34/57

16. 試求函數 f（x）＝x³－3x²＋2x＋1 圖形的反曲點，並討論函數圖形的凹向情形。

解：

答案：（1，1）為反曲點，x＞1 時凹向上，x＜1 時凹向下

解析：函數 f（x）的一階導函數與二階導函數分別為 f '（x）＝3x²－6x＋2，f ''（x）＝6x－6＝6（x－1）

解 f ''（x）＝1，得 x＝1

故檢驗 x＝1 附近二階導數的變化，可列出下表：

x 1

f ''（x） － 0 ＋

凹向 凹向下 反曲點 凹向上

因此 x＞1 時，圖形凹向上；x＜1 時，圖形凹向下 x＝1 時兩邊的凹向不同，故得反曲點（1，1）

17. 設曲線 y＝f（x）＝x³＋ax²＋bx＋1 的反曲點坐標為（1，8），試求 a 與 b 的值。

解：

答案：a＝－3，b＝9

解析：f '（x）＝3x²＋2ax＋b，f ''（x）＝6x＋2a

而反曲點坐標為（1，8），故 f ''（1）＝0，即 6＋2a＝0  a＝－3 又 f（1）＝8 ∴1＋a＋b＋1＝8  a＋b＝6 ∴b＝9

18. 設 f（x）為三次多項式函數，且在 x＝－1 處有極小值－2，而（0，0）為一反曲點，試求 f（x）。

解：

答案：f（x）＝－x³＋3x

解析：設 f（x）＝ax³＋bx²＋cx＋d ∴f '（x）＝3ax²＋2bx＋c，f ''（x）＝6ax＋2b

（0，0）為反曲點，故 f ''（0）＝0 ∴b＝0 且（0，0）位於 y＝f（x）的圖形上，故 d＝0 f（x）在 x＝－1 處有極小值－2 ∴f '（－1）＝0 可得 3a－2b＋c＝0  3a＋c＝0 ………①

而 f（－1）＝－2 ∴－a＋b－c＋d＝－2 將 b＝0，d＝0 代入，得 a＋c＝2 ………② 由①、②解聯立，可得 a＝－1，c＝3

∴f（x）＝－x³＋3x

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P35/57

19. 試求三次多項式函數 f（x），使其函數圖形以（1，5）為反曲點且滿足 f（0）＝3，f（3）＝－3。

解：

答案：－2x³＋6x²－2x＋3

解析：設 f（x）＝ax³＋bx²＋cx＋d

∴f '（x）＝3ax²＋2bx＋c，f ''（x）＝6ax＋2b

（1，5）為反曲點，故 f ''（1）＝0 ∴6a＋2b＝0  b＝－3a ………① 又 f（0）＝3 ∴d＝3

（1，5）位於 y＝f（x）的圖形上，可得 a＋b＋c＋3＝5  a＋b＋c＝2 ………②

又 f（3）＝－3 ∴27a＋9b＋3c＋d＝－3  27a＋9b＋3c＋3＝－3  9a＋3b＋c＝－2 ………③ 由①、②、③解聯立，可得 a＝－2，b＝6，c＝－2

∴f（x）＝－2x³＋6x²－2x＋3

20. 已知方程式 4x³－3x＝m 有三個相異實數解，試求實數 m 的範圍。

解：

答案：－1＜m＜1

解析：令 f（x）＝4x³－3x－m

∵f（x）＝0 有三相異實根，且首項係數為正

∴y＝f（x）的圖形與 x 軸關係如圖：

即 f '（x）＝0 有兩相異實根 α，β 令 α＜β，則 f（α）＞0，f（β）＜0

考慮 f '（x）＝12x²－3＝3（2x＋1）（2x－1）＝0

故











 







 



 2 0 1

2 0 1

＜

＞

－

f f

，化簡得







 



 



 2 0 3 8 4 1

2 0 3 8 4 1

＜

－

－

．

＞

－

＋

－

．

m m



1 1

＞－

＜ m m

即－1＜m＜1

21. 已知實係數三次多項式函數 y＝f（x）的最高次項係數為 12，其圖形與水平線 y＝25 交於相異的三點（0

，25），（1，25）及（2，25），試求曲線 y＝f（x）圖形上的反曲點坐標。

解：

答案：（1，25）

解析：f（x）＝25 有三個解，分別為 x＝0，x＝1，x＝2 故可假設 f（x）－25＝12x（x－1）（x－2）

∴f（x）＝12x（x－1）（x－2）＋25＝12x（x²－3x＋2）＋25＝12x³－36x²＋24x＋25

∴f '（x）＝36x²－72x＋24，f ''（x）＝72x－72＝72（x－1）

解 f ''（x）＝0，得 x＝1，

觀察 x＝1 左右兩側 f ''（x）值的變化，可確定 x＝1 是反曲點 f（1）＝25，故反曲點坐標為（1，25）

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P36/57

22. 傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的。這定海神針在變形時永遠保持為圓柱體

，其底圓半徑原為 12 公分且以每秒 1 公分的等速率縮短，而長度以每秒 20 公分的等速率增長。已知神 針之底圓半徑只能從 12 公分縮到 4 公分為止，且知在這段變形過程中，當底圓半徑為 10 公分時其體積 最大。

(１)試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？

(２)試求定海神針原來的長度。

(３)假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，試求金箍棒的長度。

解：

答案：(１) 2 秒；(２) 60 公分；(３) 220 公分

解析：(１)設 t 秒後，體積最大，則 r＝12－t＝10  t＝2（秒）

(２)設定海神針原長為 a 公分，又 12－t≧4  t≦8 ∴0≦t≦8

∴t 秒後神針的體積為 f（t）＝π（12－t）²（a＋20t）

f '（t）＝－2π（12－t）（a＋20t）＋20π（12－t）² 解 f '（t）＝0，有根 t＝2 ∴f '（2）＝0

即－2π．10．（a＋40）＋2000π＝0

∴a＝60，即神針原長 60 公分 (３) f（t）＝π（12－t）²（60＋20t）

f '（t）＝－2π（12－t）（60＋20t）＋20π（12－t）²＝－20π（12－t）〔（6＋2t）－（12－t）

〕

＝－20π（12－t）（3t－6）＝60π（t－12）（t－2）

解 f '（t）＝0，得 t＝2 或 t＝12，但 0≦t≦8，且 t＝2 時為最大值 又 f（0）＝8640π，f（8）＝3520π

可知 t＝8 時有最小體積，此時金箍棒的長度為 60＋20×8＝220（公分）

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P37/57

23. 考慮三次多項式 f（x）＝－x³－3x²＋3，試回答下列問題。

(１)在坐標平面上，試描繪 y＝f（x）的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。

(２)令 f（x）＝0 的實根為 a1，a2，a3，其中 a1＜a2＜a3。試求 a1，a2，a3 分別在哪兩個相鄰整數之間。

(３)承(２)，試說明 f（x）＝a1、f（x）＝a2、f（x）＝a3 各有幾個相異實根。

(４)試求 f（f（x））＝0 有幾個相異實根（註：f（f（x））＝－（f（x））³－3（f（x））²＋3）。

解：

答案：(１)圖略；(２) a1 在－3 與－2 之間，a2 在－2 與－1 之間，a3 在 0 與 1 之間；(３) f（x）＝a1 有 1 個，f（x）＝a2 有 1 個，f（x）＝a3 有 3 個；(４) 5 個

解析：(１) f（x）＝－x³－3x²＋3，f'（x）＝－3x²－6x 當 f'（x）＝0 時，得 x＝0 或 x＝－2

f ''（x）＝－6x－6

當 f ''（x）＝0 時，得 x＝－1

因此在 x＝－2，x＝－1，x＝0 附近求得 f'（x），f ''（x）的正負號後，可列出表：

x －2 －1 0

f'（x） － 0 ＋ ＋ ＋ 0 － f ''（x） ＋ ＋ ＋ 0 － － － 增減 ↘ ↗ ↗ ↗ ↘ 略圖

↑ 極小值 發生處

↑ 極大值 發生處

↑ 反曲點

又 f（0）＝3，f（－1）＝1，f（－2）＝－1 可得圖形如下

(２)

x －3 －2 －1 0 1 f（x） 3 －1 1 3 －1 由勘根定理可知：

a1 介於－3 與－2 之間 a2 介於－2 與－1 之間 a3 介於 0 與 1 之間

(３)∵a1 介於－3 與－2 之間，a2 介於－2 與－1 之間，a3 介於 0 與 1 之間 由附圖可知：

f（x）＝a1 有 1 個實根 f（x）＝a2 有 1 個實根 f（x）＝a3 有 3 個相異實根 (４)若 f（f（x））＝0，

則 f（x）＝a1 或 f（x）＝a2 或 f（x）＝a3

∴f（f（x））＝0 共有 1＋1＋3＝5 個相異實根

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P38/57

2-3 積分的意義

1. ( )令 f（x）＝x（x－1）（x³－2），試問有多少個實數 a 滿足



0^{a f}（^x）^dx＝0？ (Ａ) 1 個 (Ｂ) 2 個 (Ｃ) 3 個 (Ｄ) 4 個 (Ｅ) 5 個。

答案：(Ｃ)

解析：利用微積分基本定理，



0^{a f}（^x）^dx＝f（a）－f（0）＝f（a），其中 f（x）為 f'（x）的反導函數 解 f（a）＝a（a－1）（a³－2）＝0

 a（a－1）（a³－2）＝a（a－1）（a－³ 2）（a²＋³ 2a＋³ 4）＝0，有三個實根 故選(Ｃ)

2. ( )已知多項式函數 f（x）與 g（x）定義在 [ a，b ] 上，c 為 [ a，b ] 內任一點，下列何者成立？

(Ａ)



a^af（x）dx＝0 (Ｂ)



a^bf（x）dx＝



b^a f（x）dx (Ｃ)



（a^b f（x）＋g（x））dx＝



a^bf（x）dx＋



a^bg（x）dx (Ｄ)



b^cf（x）dx＝



a^cf（x）dx－



a^bf（x）dx (Ｅ)



a^bf（x）dx表 示 f（x）的圖形與直線 x＝a，x＝b 及 x 軸所圍成的區域面積。

答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)

解析：(Ａ)○：定積分的定義

(Ｂ) ^╳：



a^bf（x）dx＝－



b^a f（x）dx (Ｃ)○：定積分的運算性質

(Ｄ)○：



a^bf（x）dx＋



b^cf（x）dx＝



a^cf（x）dx



b^cf（x）dx＝



a^cf（x）dx－



a^bf（x）dx (Ｅ) ^╳：定積分的結果是（x 軸上方的面積）－（x 軸下方的面積）

故選(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)

3. ( )設 f（x）＝－x²＋499，且 A＝



0¹⁰f（x）dx，B＝



⁹

＝0

）

（

n

n

f ，C＝



¹⁰

＝1

）

（

n

n

f ，D＝



⁹

0 2

1

＝

）

＋

（

）＋

（

n

n f n

f ，試選出正確的選項。 (Ａ) A 表示在坐標平面上函數 y＝－x²＋499 的圖形

與直線 y＝0、x＝0、x＝10 所圍成的有界區域的面積 (Ｂ) B＜C (Ｃ) B＜A (Ｄ) C＜D (Ｅ) A

＜D。

答案：(Ａ)(Ｄ) 解析：（方法 1）

(Ａ)○：函數 f（x）＝－x²＋499

在區間 [ 0，10 ] 的所有函數值皆為正，故



0¹⁰f（x）dx即代表曲線下 f（x）與直線 y＝0、x＝

0、x＝10 所圍成的面積

∴A＝



0¹⁰f（x）dx＝



0¹⁰（－x²＋499）dx

＝ 



－ 3

1x³＋499x



 ¹⁰

0

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P39/57

＝－ 3

1000＋4990＝4656 3 2

(Ｂ) ╳：B＝



⁹

＝0

）

（

n

n

f ＝



⁹

＝0 n

（－n²＋499）

＝－



⁹

＝0 n

n²＋



⁹

＝0 n

499

＝－ 6 19 10 9 

＋4990＝4705 C＝



¹⁰

＝1 n

f（n）＝



¹⁰

＝1 n

（－n²＋499）

＝－



¹⁰

＝1 n

n²＋



¹⁰

＝1 n

499

＝－ 6

21 11 10 

＋4990＝4605

∴B＞C (Ｃ) ^╳：B＞A (Ｄ)○：D＝



⁹

＝0

n 2

＋1）

（

）＋

（n f n f

＝2 1 







⁹

＝0 n

f（n）＋



⁹

＝0 n

f（n＋1）





＝2

1（B＋C）

＝4655

∴C＜D (Ｅ) ╳：A＞D 故選(Ａ)(Ｄ)

（方法 2）

如略圖(一)，A＝



0¹⁰f（x）dx表陰影區域面積

圖(一)

如略圖(二)、略圖(三)，將區間 [ 0，10 ] 分成 10 等分，利用上和及下和的概念可得

圖(二)

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P40/57

圖(三) 第 1 等分上矩形的高為 f（0），下矩形的高為 f（1）

第 2 等分上矩形的高為 f（1），下矩形的高為 f（2）



第 10 等分，上矩形的高為 f（9），下矩形的高為 f（10）

∴B＝



⁹

＝0 n

f（n）表上矩形的面積和＝上和 C＝



¹⁰

＝1 n

f（n）表下矩形的面積和＝下和

D 為 B 與 C 的算術平均數，即曲線下的梯形面積，如略圖(四)所示

圖(四) 故可得 C＜D＜A＜B，故選(Ａ)(Ｄ)

4. 設 a，b 為實數，f（x）為 5 次實係數多項式且其最高次項係數為 a。若 f（x）滿足



b^xf（t）dt＝ 2 3（x²

＋4x＋5）³－ 2

3，則 a＝【 】，b＝【 】。

答案：9；－2

解析：由微積分基本定理可知 f（x）＝







2 5 3 2 4

3 2 3

－

）

＋

＋

（x x

＝2

9（x²＋4x＋5）²．（2x＋4）

＝9（x＋2）（x²＋4x＋5）²

∴f（x）的最高次項係數為 9  a＝9



b^x9（t＋2）（t²＋4t＋5）² dt＝

2

3（t²＋4t＋5）³

b x

＝2

3（x²＋4x＋5）³－ 2

3（b²＋4b＋5）³

∴2

3（b²＋4b＋5）³＝ 2

3 b²＋4b＋5＝1

 （b＋2）²＝0  b＝－2

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P41/57

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P42/57

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P43/57

7. 利用面積的概念，試求下列各定積分：

(１)



－²│1 x│dx。 (２)



²3 2x 1 dx

－（ ＋） 。

(３)



⁴4

16 2

－ －x dx。

(４)



（│0⁴ x－1│＋│x－2│）dx。 解：

答案：(１) 2

5；(２) 0；(３) 8π；(４) 9

解析：(１)繪出 f（x）＝｜x｜的函數圖形如圖

故所求定積分為陰影區域面積 即



－²│1 x│dx＝

2

1×1×1＋

2 1×2×2

＝2 1＋2＝

2 5

(２)繪出 f（x）＝2x＋1 的函數圖形如圖

當 x≧－

2

1時，y＝f（x）的圖形在 x 軸上方

∴



²

2

1 2 1

－（ x＋）dx＝ 2 1 ．

2 5．5＝

4 25

（即定積分的值＝x 軸上方陰影區域面積）

而當 x≦－

2

1時，y＝f（x）的圖形在 x 軸下方

∴



^－3²¹ 2 1

－（ x＋）dx＝－ 



 



  5 2 5 2

1 ＝－

4 25

（即定積分的值＝－（x 軸下方陰影區域面積））

故



²3 2 1

－（ x＋）dx＝



^－3²¹ 2 1

－（ x＋）dx＋



²

2

1 2 1

－（ x＋）dx＝－

4 25＋

4 25＝0

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P44/57

(３)繪出 f（x）＝ 16－x² 的函數圖形如圖

故原式定積分值為上半圓面積 即



⁴4

16 2

－ －x dx＝

2

1．π．4²＝8π

(４)繪出 f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的函數圖形如圖

f（x）＝







1 3

2

2 1 1

2 3

2

≦ 當

，

＋

－

＜

＜ 當

，

≧ 當

，

－

x x

x x x

故所求定積分為陰影區域面積 即



（│0⁴ x－1│＋│x－2│）dx

＝（小梯形的面積）＋（正方形的面積）＋（大梯形的面積）

＝2

1（1＋3）．1＋1．1＋

2

1（1＋5）．2＝9

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P45/57

8. 設實係數多項式 f（x）在區間 [ 0，6 ] 上的圖形如圖，若陰影部分的面積為 2，



0⁶f（x）dx＝6，試求：

(１)



0²f（x）dx。 (２)



2⁶f（x）dx。 (３)



0⁶│f（x）│dx。 (４)



（－0² 4f（x））dx。 (５)



（0⁶ f（x）＋1 dx） 。 解：

答案：(１)－2；(２) 8；(３) 10；(４) 8；(５) 12

解析：(１)



0²f（x）dx＝－（x 軸下方陰影部分的面積）＝－2

(２)



0⁶f（x）dx＝



0²f（x）dx＋



2⁶f（x）dx＝（－2）＋



2⁶f（x）dx＝6

∴



2⁶f（x）dx＝8

(３)繪出 y＝｜f（x）｜的函數圖形如圖

∴



0⁶│f（x）│dx＝x 軸上方陰影部分的面積＝2＋8＝10

(４)



（－0² 4f（x））dx＝－4．



0²f（x）dx＝（－4）．（－2）＝8 (５)



（0⁶ f（x）＋1 dx） ＝



0⁶f（x）dx＋



0⁶1 dx＝6＋6＝12

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P46/57

9. 一質點沿直線運動，速度函數為 v（t）＝





　

＞

，

－

　

≦

≦

，

－

2 6 2

2 0

t t

t

t ，試求：

(１)當 0≦t≦4，質點的總位移。

(２)當 0≦t≦4，質點行經的總距離。

解：

答案：(１)－2；(２) 4

解析：(１)畫出 v（t）的函數圖形如圖

位移函數 s（t）＝



0^tv（^x）^dx

∴當 0≦t≦4，

質點的總位移等於



0⁴v（x）dx＝（x 軸上方的面積）－（x 軸下方的面積）

＝2

1．1．2－

2

1．3．2＝1－3＝－2

故質點的總位移為－2

(２)質點行經的總距離即為陰影區域的總面積為 2

1．3．2＋

2

1．1．2＝3＋1＝4

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P47/57

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P48/57

12. 試求函數 f（x）＝x²－1 與 x 軸所圍區域的面積。

解：

答案：3 4

解析：f（x）＝x²－1＝（x＋1）（x－1）

∴f（x）＝0 的兩根為－1，1 因此 f（x）的圖形如圖

所求面積為－



－¹1（x²－1）dx＝－

1

1 3

3 1

－

－ 



 



 x x

＝－ 





 3 1－1

 －

－ 3 1＋1

 



 ＝ 3 4

13. 試求正數 a 的值，使其滿足



^a1 ^{x x dx} 2

－（ ＋ ） ＝

3 2。 解：

答案：1

解析：



^a1 ^{x x dx} 2

－（ ＋ ） ＝ 



 



 3 2

2 1 3

1x ＋ x

－1

a ＝ 



 



 3 2

2 1 3

1a ＋ a － 6 1＝

3 2

 2a³＋3a²－1－4＝0  2a³＋3a²－5＝0

由各項係數和等於 0 可知 2a³＋3a²－5 必可被（a－1）整除

∴（a－1）（2a²＋5a＋5）＝0  只有一實根 1，故 a＝1

14. 已知函數 f（x）的導函數 f'（x）＝x²＋1，且



0⁶f（x）dx＝132，試求 f（x）。

解：

答案：3

1x³＋x＋1 解析：f'（x）＝x²＋1

∴可假設 f（x）＝

3

1x³＋x＋C

∴



0⁶f（x）dx＝



0^6_^{ }_^ 3

3

1x＋x＋C dx＝ 



 



 x⁴＋ x²＋Cx 2

1 12

1

0 6＝132

化簡得12 1 ．6⁴＋

2

1．6²＋6C＝132  C＝1

故 f（x）＝

3

1x³＋x＋1

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P49/57

15. 已知 f（x）＝x³－3x－3，試求 f（x）與 x＝－1，x＝2 以及 x 軸所圍成區域的面積。

解：

答案： 4 39

解析：f（x）＝x³－3x－3  f'（x）＝3x²－3＝3（x＋1）（x－1），當 f'（x）＝0，得 x＝± 1 f''（x）＝6x，當 f''（x）＝0，得 x＝0

因此在 x＝－1，x＝0，x＝1 附近求得 f'（x），f''（x）的正負號後，可列出下表 x f'（x） f''（x） 略圖

＋ －

－1 0 － 極大值發

生處

－ －

0 － 0 反曲點

－ ＋

1 0 ＋ 極小值發

生處

＋ ＋

又 f（－1）＝－1，f（0）＝－3，f（1）＝－5 可得略圖如圖

故所求面積為－



²1

3 3 3

－（x－ x－）dx

＝－ 



 



 x x 3x

2 3 4

1 4 2

－

－

1 2

－ ＝

4 39

16. 已知實係數三次多項式函數 y＝f（x）的最高次項係數為 12，其圖形與水平線 y＝25 交於相異的三點

（0，25），（1，25）及（2，25），試求定積分



0²f（x）dx之值。

解：

答案：50

解析：因 f（0）＝f（1）＝f（2）＝25

故 f（x）＝12x（x－1）（x－2）＋25＝12x³－36x²＋24x＋25



0²f（x）dx＝



0²

2

3 36 24 25

12x－ x＋ x＋ ）dx

（ ＝（3x⁴－12x³＋12x²＋25x）

0 2＝50

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P50/57

17. 設 f（x）＝ax³＋bx²＋cx＋d 為實係數三次多項式。已知原點（0，0）為函數 y＝f（x）的圖形之反曲點且 此圖形在原點的切線為 y＝－x。

(１)試求序組（b，c，d）。

(２)若 a＞0 且 y＝f（x）的圖形與直線 y＝0 所圍的有界區域面積為 2，試求 a。

解：

答案：(１)（0，－1，0）；(２) 4 1

解析：(１)（0，0）在 y＝f（x）的圖形上

∴f（0）＝0  d＝0

f'（x）＝3ax²＋2bx＋c，f''（x）＝6ax＋2b，

可知 f''（0）＝0（∵（0，0）為反曲點）

即 b＝0，而此圖形在（0，0）的切線斜率為－1，故 f'（0）＝－1，即 c＝－1

∴序組（b，c，d）＝（0，－1，0）

(２)求 y＝f（x）與 x 軸的交點

令 f（x）＝0，得 ax³－x＝0  x（ax²－1）＝0  x＝0 或±

a 1 可繪出 y＝f（x）的略圖如圖（a＞0）

∴2



^{0 1 3}

a

dx x

－ （ax－ ） ＝2





^{0 1 3}

a

dx x

－ （ax－ ） ＝1  



 



 4 2

2 1 4x x

a －

a 1 0

－ ＝1

 －4 a． 1₂

a ^＋2a 1 ＝1 

a 4

1 ＝1  a＝

4 1

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P51/57

18. 設 f 為一實係數多項式函數。

(１)設〈an〉為一數列，其中 an＝ ₄ n

n f（ ）

。若nliman＝5，試求 f 的次數與最高次項係數。

(２)若

0

limx x x f（ ）

＝3，試求 f 的函數圖形在 x＝0 時的切線方程式。

(３)若 f 滿足上面(１)與(２)的假設，且 f''（0）＝2，試求



－¹1 f（x）dx之值。

解：

答案：(１)四次多項式，最高次項係數為 5；(２) y＝3x；(３) 3 8

解析：(１)



 nliman＝





nlim ₄

n n f（ ）

＝5

∴f（n）必為四次多項式，且最高次項係數為 5 (２)

0

limx x x f（ ）

＝3，可知 f（x）必為 x 的倍式

∴f（0）＝0，可推得 lim0



x 0

0

－

）

（

）－

（ x

f x

f ＝3  f'（0）＝3

即 f（x）在 x＝0 的切線斜率為 3

∴f（x）的函數圖形在 x＝0 時的切線方程式為 y＝3x (３)可假設 f（x）＝5x⁴＋bx³＋cx²＋dx

 f'（x）＝20x³＋3bx²＋2cx＋d，又 f'（0）＝3，得 d＝3 f''（x）＝60x²＋6bx＋2c，又 f''（0）＝2，得 c＝1

∴f（x）＝5x⁴＋bx³＋x²＋3x



－¹1f（x）dx＝



¹1

2 3

4 3

－（5x＋bx＋x ＋ x）dx＝ 



 



 5 4 3 2

2 3 3 1

4x x x

x＋b ＋ ＋

1 1

－

＝ 



 





2 3 3 1 1＋4b＋ ＋

－ 



 





2 3 3 1 1＋4－ ＋

－ b

＝2＋3 2＝

3 8

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P52/57

2-4 積分的應用

1. 試以定積分表示如圖各區域面積：

(１) D1 面積為【 】。

(２) D2 面積為【 】。

答案：(１)



1²（g（x）－c）dx；(２)



1²（f（x）－g（x））dx 解析：(１) D1 面積為



1²（g（x）－c）dx

(２) D2 面積為



1²（f（x）－g（x））dx 2. 試求拋物線 y＝4－x² 與 x 軸所圍區域為 D，則：

(１) D 的面積為【 】。

(２)將區域 D 繞 x 軸旋轉所得旋轉體體積為【 】。

答案：(１) 3

32；(２) 15 512π

解析：4－x²＝0（2＋x）（2－x）＝0x＝－2 或 2 如圖

(１)



－²2（4－x²）dx＝

4x－

3 1x³

²

－2

＝ 



8－

3 8 



 － 



－8＋

3 8 



 ＝ 3 32

(２)



－²2π（4－x²）²dx＝



－²2π（x⁴－8x²＋16）dx

＝π 



 5 1x⁵－

3

8x³＋16x



²

－2

＝π 





 5 32－

3

64＋32

 －

－ 5 32＋

3

64－32

 





＝ 15 512π

1082 高三數甲 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P53/57

3. 坐標平面上，已知函數 f（x）＝4x³＋x－2 的圖形以 A（1，3）為切點的切線為 L，則以切線 L 及曲線 y

＝f（x）為界所圍成區域的面積為【 】。

答案：27

解析：f'（x）＝12x²＋1 ∴f'（1）＝13

故可知以 A（1，3）為切點的切線斜率為 13

過（1，3）的切線方程式為 y－3＝13（x－1）  y＝13x－10





2 4

10 13

3＋ －

＝

－

＝ x x y

x

y 解聯立得 4x³－12x＋8＝0

 x³－3x＋2＝0  （x－1）²（x＋2）＝0

∴x＝1 或 x＝－2

可知直線 L 與 y＝f（x）交於（1，3）與（－2，－36）兩點 且在區間 [－2，1 ] ，4x³＋x－2≧13x－10

∴所圍區域面積為



¹2

3 2 13 10

－〔（4x＋x－）－（ x－ ）〕dx

＝



¹2

3 12 8

－（4x－ x＋）dx＝（x⁴－6x²＋8x）

2 1

－

＝3－（－24）＝27

4. 直線 L 為拋物線 y＝x² 在 x＝1 處的切線，試求拋物線 y＝x² 與直線 L 及 x 軸所圍區域的面積。

解：

答案：12 1

解析：繪出函數圖形

f（x）＝x² 在 x＝1 的切線斜率為 f'（1）＝2

故切線方程式為 y－1＝2（x－1）  2x－y－1＝0，即 y＝2x－1

故切線方程式為 y－1＝2（x－1）  2x－y－1＝0，即 y＝2x－1

在文檔中 1082高三(自)期末考數學題庫(50) (頁 31-57)