1082高三(自)期末考數學題庫(50)

(1)

1082 高三數甲期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/57 1-1 數列及其極限

1.

( )已知〈an〉、〈bn〉均為無窮數列，則下列選項何者正確？ (Ａ)若〈an〉與〈bn〉均為發散 數列，則〈an＋bn〉必為發散數列 (Ｂ)若〈an〉與〈bn〉均為發散數列，則〈an．bn〉必為發散數 列 (Ｃ)若〈an〉為發散數列，則〈an2_{〉必為發散數列 (Ｄ)若}   nliman＝α，則nliman ＋1＝α。答案：(Ｄ) 解析：令〈an〉：1，－1，1，－1，…… 〈bn〉：－1，1，－1，1，…… 則〈an＋bn〉：0，0，0，0，……收斂到 0 〈an．bn〉：－1，－1，－1，－1，……收斂到－1 〈an2〉：1，1，1，1，……收斂到 1 (Ａ)(Ｂ)(Ｃ)皆不正確，故選(Ｄ)

2.

( )有一個無窮等比級數，其和為 9 8 ，第四項為 32 3 。已知公比為一有理數，則當公比以最簡分數表示時，其分母為何？ (Ａ) 2 (Ｂ) 3 (Ｃ) 4 (Ｄ) 6 (Ｅ) 8。答案：(Ｃ) 解析：設首項為 a，公比為 r，則 3 8 9 1 3 32 a r ar      ＝－＝ ① ② ，

②

①

得 r 3_{（1－r）＝} 8 3

2

3

∵r 為有理數 ∴r 的分母必為 2 或 4，r 的分子必為 1 或 3 可推得 r＝ 4 3 ，故選(Ｃ)

3.

( )坐標平面上，x 坐標與 y 坐標皆為整數的點稱為「格子點」。設 n 為正整數，已知在第一象限 且滿足 x＋2y≦2n 的格子點（x，y）的數目為 an。則

  n lim ₂ n a_n 的值為下列哪一個選項？ (Ａ) 0 (Ｂ ) 1 (Ｃ) 3 4 (Ｄ) 2 (Ｅ) 4。答案：(Ｂ) 解析：x＋2y≦2n ①當 y＝1 時，x≦2n－2，第一象限有（2n－2）個格子點（不含 x 軸，y 軸上的格子點） ②當 y＝2 時，x≦2n－4，第一象限有（2n－4）個格子點 ③當 y＝3 時，x≦2n－6，第一象限有（2n－6）個格子點 ④當 y＝n－1 時，x≦2，第一象限有 2 個格子點 ∴an＝2＋4＋6＋……＋（2n－2） ＝ 2 1 2 2 2＋（－）〕（－）〔 n n ＝n（n－1）＝n2_－n    n lim ₂ n a_n ＝   n lim ₂ 2

n

n －

＝1，故選(Ｂ)

(2)

1082 高三數甲期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/57

4.

( )試選出正確的選項： (Ａ)0.343不是有理數 (Ｂ)0.34＞ 3 1 (Ｃ)0.34＞0.343 (Ｄ)0.34 ＜0.35 (Ｅ)

0 .

34

＝

0 .

3

43

。答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ) ╳：

0 .

3

43

＝ 990 340 (Ｂ)○：

0 .

34

＝ 99 34 ＞ 3 1 (Ｃ)○：

0 .

34

＝0.3434 ……＞0.343 (Ｄ)○：

0 .

34

＝0.3434 ……＜0.35 (Ｅ)○：0.34＝ 99 34 ＝ 990 340 ＝0.343 故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ)

5.

( )設 n 為正整數，方程式 x2_{－2x－n＝0 的兩根為 an 與 bn，且 an＞bn，試問下列哪些選項是正確} 的？ (Ａ) an＞0 對所有 n 皆成立 (Ｂ) an＋bn＝2 對所有 n 皆成立 (Ｃ) bn＋1＞bn 對所有 n 皆成立 (Ｄ)   n lim n a a_n． _n_＋₁ ＝1 (Ｅ)   n lim

n

b

a

_n

－

_n ＝2。答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：x2_{－2x－n＝0}_x＝ 2 4 4 2 ＋ n ＝1 ±

n

＋

1

，又 an＞bn ∴an＝1＋

n

＋

1

，bn＝1－

n

＋

1

(Ａ)○：∵n 是正整數 ∴an＝1＋

n

＋

1

≧1＋

2

＞0 (Ｂ)○：an＋bn＝（1＋

n

＋

1

）＋（1－

n

＋

1

）＝2 (Ｃ) ╳：bn＋1－bn＝（1－

n

＋

2

）－（1－

n

＋

1

）＝

n

＋

1

－

n

＋

2

＜0 (Ｄ)○：   n lim

n

a

．

_n _n_＋₁ ＝   n lim n n n＋）（＋＋）＋（1 1 1 2 ＝   n lim

n

2

＋

3 ＋

2 ＋

＋

1 ＋

＋

2 ＋

1

＝   n lim

n

2

＋

3 ＋

2

＋   n lim n n 1＋＋   n lim n n＋2 ＋   n lim n 1 ＝1＋0＋0＋0＝1 (Ｅ)○：   n lim

n

b

a

_n

－

_n ＝   n lim

n

＋

1 ＋

＋

1

＝   n lim

n

n 1

2 ＋

＝   n lim2

n

1 1＋

＝2 故選(Ａ)(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ)

(3)

6.

一皮球自離地面 10 公尺高處落下。首次反彈高度為 3 10 公尺，此後每次反彈高度為其前次反彈高度的 3 1 ，則此球到完全靜止前，所經過路徑的總長度為【】公尺。答案：20 解析：所求路徑總長度為 10＋ 3 10 ．2＋ 3 10 ． 3 1 ．2＋ 3 10 ． 2 3 1       ．2＋…… ＝10＋ 3 20 ．







































＋

2

3

1

3

1

＝10＋ 3 20 ． 3 1 1 1 －＝10＋ 3 20 ． 2 3 ＝10＋10＝20（公尺）

7.

判斷下列各數列是否收斂。若收斂，試求其極限。 (１) ₂ 2

3

2

4 n

n

＋

。 (２) _n n n

7

6 7 ＋

。 (３) 3 4 3 2 2 ＋＋ n n 。 (４) 1

3

－

π

n













。 (５)

n

）

（－

－

1

。解：答案：(１)是，4；(２)是，1；(３)是，0；(４)發散；(５)是，1 解析：(１)   n lim ₂ 2

3

2

4 n

n

＋

＝   n lim

1

3

2

4

₂

n

＋

＝4 (２)   nlim n n n

7

6 7 ＋

＝   nlim n n

7

＋   n lim _n n

7

6

＝1＋   n lim n       7 6 ＝1 (３)   nlim ₄ ₃ 3 2 2_＋＋ n n ＝   nlim 2 2 3 4 3 2 n n n ＋＋＝ 4 0 ＝0 (４)∵ 3 π ＞1 ∴   n lim 1 3 － π n       _{不存在，即} 1

3

－

π

n













為發散數列 (５)   nlim













n

）

（－

－

1

＝   n lim1－   n lim

n

）

（－1

＝1－0＝1

(4)

8.

試求下列無窮等比級數的和： (１)



       1 1 3 1 ＝－ n n 。 (２)

















1

3

1

＝

－

n n 。解：答案：(１) 2 3 ；(２) 2 3 1－解析：(１)



       1 1 3 1 ＝－ n n ＝1＋ 3 1 ＋ 2 3 1       ＋ 3 3 1       ＋…… 這是一個首項為 1，公比 r＝ 3 1 的收斂無窮等比級數由求和公式得此無窮等比級數的和為 3 1 1 1 －＝ 2 3 (２)

















1

3

1

＝

－

n n ＝













3

1 －

＋ 2

3

1 











－

＋ 3

3

1 











－

＋…… 這是一個首項為－

3

1

，公比 r＝－

3

1

的收斂無窮等比級數由求和公式得此無窮等比級數的和為             3 1 1 3 1 －－－＝

1

3

1 ＋

－

＝ 2 3 1－

9.

將下列循環小數化成分數： (１)0.67。 (２)1.289。解：答案：(１) 99 67 ；(２) 990 1277 解析：(１)0.67＝0.67＋0.0067＋0.000067＋…… ＝ 100 67 ＋ 10000 67 ＋ 1000000 67 ＋…… ＝ 100 1 1 100 67 －＝ 99 67 (２)1.289＝1＋0.2＋（0.089＋0.00089＋0.0000089＋……）＝1＋ 10 2 ＋       _＋ _＋ _＋__ 10000000 89 100000 89 1000 89

(5)

1082 高三數甲期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/57 ＝1＋ 10 2 ＋ 100 1 1 1000 89 －＝1＋ 10 2 ＋ 990 89 ＝1＋ 990 89 99 2 ＋＝1＋ 990 2 289－＝ 990 1277

10.

一個面積為 2 的正方形，先將其等分成 4 個相同的小正方形，並將右上角和左下角的兩個正方形塗成黑色，如圖(１)所示。再將圖(１)中左上角的正方形等分成 4 個相同的更小正方形，並將右上角和左下角的兩個更小正方形塗成黑色，如圖(２)所示。依照這樣的規律作成若干圖形如下：圖(１) 圖(２) 圖(３) 設 an是圖（n）中白色區域的面積，試求   nliman的值。解：答案： 3 2 解析：圖(１)中兩個黑色正方形的面積和為 2． 2 1 ＝1 圖(２)較圖(１)多了兩個黑色正方形，黑色正方形面積總和為 2． 2 1 ＋2． 4 1 ． 2 1 ＝1＋ 4 1 依此類推，圖（n）中所有黑色正方形的面積總和為 1＋ 4 1 ＋ 2 4 1       _＋……＋ 1 4 1 n－       _＝ 4 1 1 4 1 1 1 －－．               n ＝ 3 4

























n

4

1 1－

∴an＝2－ 3 4

























n

4

1 1－

＝ 3 2 ＋ 3 4 n       4 1 可得   nliman＝nlim

























n

4

1

3

4

3

2 ＋

＝ 3 2

(6)

11.

如圖是邊長為 1 的正方形，內部有一系列黑色的等腰直角三角形，設 an表示這一系列由大到小的等腰直 角三角形中，第 n 個等腰直角三角形的面積，試求



 1 ＝ n n a 的值。解：答案： 3 2 解析：由大到小，第一個等腰直角三角形的面積為 2 1 ∴a1＝ 2 1 第二個等腰直角三角形的面積為 2 1 × 4 1 ＝ 8 1 ∴a2＝ 8 1 依此類推，第 n 個等腰直角三角形的面積為 2 1 × 1 4 1 n－       ∴



 1 ＝ n n a ＝ 1 1 4 1 2 1 －＝ n n       



 ＝ 2 1

_

       1 1 4 1 ＝－ n n ＝ 2 1 × 4 1 1 1 －＝ 3 2

12.

試求



 0

4

2

3

＝

＋

n n n n 的值。解：答案：6 解析：



 0

4

2

3

＝

＋

n n n n ＝



 0

4

3

＝ n n n ＋



 0

4

2

＝ n n n ＝



       0 4 3 ＝ n n ＋



       0 4 2 ＝ n n ＝

4

3

1

1 －

＋

4

2

1

1 －

＝4＋2＝6

13.

試求



 1 2

3

2

1

＝

＋

n n n



的值。解：答案： 2 7 解析：



 1 2

3

2

1

＝

＋

n n n



＝



 1 1

3

1

2

1

2

1

＝＋

－

）

－

（

．

n n n ＝



 1 1

3

1

2

＝＋

_－

n n n ＝



 1

3

2

＝

．

n n n －



 1

3

1

＝ n n ＝2 n n



       1 3 2 ＝－



       1 3 1 ＝ n n ＝2． 3 2 1 3 2 －－ 3 1 1 3 1 －＝4－ 2 1 ＝ 2 7

(7)

14.

設 x 為實數，若無窮數列 n

x













1

2 ＋

收斂，試求 x 的範圍。 解：答案：－ 3 1 ＜x≦1 解析： n

x













1

2 ＋

收斂時，必須滿足： 1 2 ＋ x x ＜1 或

1

2 ＋

x

＝1  2 1 2       ＋ x x ＜12_{或 2x＝x＋1，其中 x≠－1} （2x）2_{＜（x＋1）}2_{或 x＝1}  3x2_{－2x－1＜0 或 x＝1}_－

3

1

＜x≦1

(8)

1-2 函數的概念

高級中學數學科題目卷(詳解) 年班座號：姓名：

1.

( )一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進 3 步，然後再後退 2 步的規 律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以 1 步的距離為 1 單位長。令 P（n）表 示第 n 秒時機器狗所在位置的坐標，且 P（0）＝0。那麼下列選項哪些正確？ (Ａ) P（3）＝3 ( Ｂ) P（5）＝1 (Ｃ) P（10）＝2 (Ｄ) P（101）＝21 (Ｅ) P（103）＜P（104）。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：進 3 步後，退 2 步 ∴第 5 秒時所在位置的坐標為 1，即 P（5）＝1 (Ａ)○：第 3 秒時，共計前進 3 步 ∴P（3）＝3 (Ｂ)○：P（5）＝1 (Ｃ)○：P（10）＝1×2＝2 (Ｄ)○：∵P（100）＝1×20＝20，而第 101 秒時會前進 1 步 ∴P（101）＝21 (Ｅ) ╳：P（102）＝22，P（103）＝23，但 P（104）＝22 ∴ P（103）＞P（104） 故選(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

2.

( )設 y＝f（x）的圖形是兩條半線，其原點附近的部分圖形如圖。令 h（x）＝f（x）－f（x－6） ，則 h（x）有下列哪些性質： (Ａ)有最小值－6 (Ｂ)有最小值－3 (Ｃ)有最小值 0 (Ｄ)有最大值 3 (Ｅ)有最大值 6。答案：(Ａ)(Ｄ) 解析：y＝f（x－6）的圖形為 y＝f（x）的圖形向右平移 6 個單位 h（x）是一個新函數，代表 f（x）與 f（x－6）函數值的差 從圖形可知 y＝f（x－6）會通過（6，0），而 y＝f（x）會通過（6，3）       2 1 折線右段的斜率為 ∵ ∴當 x≧6 時，f（x）－f（x－6）＝3，此時為 h（x）的最大值 而 y＝f（x－6）會通過（0，6）（∵折線左段的斜率為－1） ∴當 x≦0 時，f（x）－f（x－6）＝－6，此時為 h（x）的最小值 故選(Ａ)(Ｄ)

(9)

3.

( )設 a，b，c 分別為函數 f（x）＝x＋ x 2 ，g（x）＝x2_＋ 2 2 x ，h（x）＝ 2 2

2 x

x ＋

在 x 為任意正實 數時的最小值，試問下列哪些選項是正確的？ (Ａ) b＝a2_{(Ｂ) c＝} 4 3 2 (Ｃ) f（x）＋g（x）在 x 為任意正實數時的最小值為 a＋b (Ｄ) g（x）＋h（x）在 x 為任意正實數時的最小值為 b＋c。 答案：(Ｂ)(Ｄ) 解析：由算幾不等式可知

2

2 x

x＋

≧

x

．

2

＝

2

∴x＋ x 2 ≧2

2

，等號成立的條件為 x＝ x 2 ，即 x＝

2

時，f（x）有最小值 2

2

2 2

x

x ＋

≧ 2

2

₂

x

x ．

＝

2

∴x2_＋ 2 2 x ≧2

2

，等號成立的條件為 x 2_＝ 2 2 x ，即 x＝ 4

₂

_{時，g（x）有} 最小值 2

2

2 2

2 x

x ＋

≧ 2 2＝ 4 3 2 ，等號成立的條件為 x2_＝ 2 2 x ，即 x＝ 4

₂

_{時，h（x）有最小值} 4 3 2 (Ａ) ╳：b＝a (Ｂ)○：c＝ 4 3 2 (Ｃ) ╳：f（x）在 x＝

2

時，有最小值 a；g（x）在 x＝4

2

時，有最小值 b ∴f（x）＋g（x）的最小值必大於 a＋b (Ｄ)○：g（x）在 x＝4

₂

_{時，有最小值 b；} h（x）在 x＝4

2

時，有最小值 c ∴g（x）＋h（x）的最小值為 b＋c，此時 x＝4

₂

故選(Ｂ)(Ｄ)

4.

試求 f（x）＝

－

2 x

2

＋

4 x

＋

6

的定義域和值域。解： 答案：定義域為｛x│x  R，－1≦x≦3｝，值域為｛y│y  R，0≦y≦2

2

｝ 解析：根號內須非負，即－2x2_{＋4x＋6≧0}_x2_{－2x－3≦0}  （x－3）（x＋1）≦0  －1≦x≦3 故定義域為｛x│x  R，－1≦x≦3 ｝ 又 f（x）＝

－

2 x

2

＋

4 x

＋

6

＝－2（x2－2x＋1）＋8 ＝ － x2（－1）2＋8≦

8

＝2

2

∴值域為｛y│y  R，0≦y≦2

2

｝

(10)

5.

若 f（x）＝

1 －

x

，g（x）＝ 2＋x，試寫出 f（x）＋g（x）與

）

（

）

（

x

g

x

f

的定義域。解： 答案：｛x∣x  R，－2≦x≦1｝，｛x∣x  R，－2＜x≦1｝ 解析：根號內須非負，即 1－x≧0，2＋x≧0 故 f（x）的定義域為｛x∣x  R，x≦1｝ g（x）的定義域為｛x∣x  R，x≧－2｝ f（x）＋g（x）的定義域為 f（x）與 g（x）之定義域的共同範圍 ∴ f（x）＋g（x）的定義域為｛x∣x  R，－2≦x≦1｝

）

（

）

（

x

g

x

f

的定義域為 f（x）與 g（x）之定義域的共同範圍，但 g（x）≠0 ∴x≠－2 故

）

（

）

（

x

g

x

f

的定義域為｛x∣x  R，－2＜x≦1｝

6.

已知 f（x）＝x－3，g（x）＝2x＋3，試求（f。g）（x）與（g。f）（x）。 解： 答案：2x，2x－3 解析：（f。g）（x）＝f（g（x））＝（2x＋3）－3＝2x （g。f）（x）＝g（f（x））＝2（x－3）＋3＝2x－6＋3＝2x－3

7.

函數 f（x）＝      3 2 1 2 2 1 1 1 1 3 2 3 2 ≦ ≦ ，－＋－＜ ≦ ，＋＜＜－，－ x x x x x x x ，且 f（x＋4）＝f（x），試求： (１) f（0）。 (２) f（1）。 (３)













3

10 f

。 (４) f（－14）。 解：答案：(１)－3；(２) 2；(３) 3 13 －；(４)－5 解析：(１) f（0）＝2．0－3＝－3 (２) f（1）＝12_＋1＝2 (３)













3

10 f

＝













3

2 －

f

＝2．













3

2 －

－3＝ 3 13 － (４) f（－14）＝f（－10）＝f（－6）＝f（－2）＝f（2）＝－23_{＋2．2－1＝－8＋4－1＝－5}

(11)

8.

[ x ]表示「不大於 x 的最大整數」，試求[

1

]＋[

2

]＋[

3

]＋……＋[ 10 ]的值。解：答案：19 解析：[

1

]＝[

2

]＝[

3

]＝1 [

4

]＝[

5

]＝[

6

]＝[

7

]＝[

8

]＝2 [

9

]＝[ 10 ]＝3 ∴[

1

]＋[

2

]＋[

3

]＋……＋[ 10 ] ＝1×3＋2×5＋3×2＝19

9.

已知方程式

16

1 ）

2

－

（x

＋

9

2

y

＝1 的圖形為一橢圓，試求上半橢圓所表示的函數。解： 答案：y＝ 2 1 16 4 3 ）－ －（x 解析：由

16

1 ）

2

－

（x

＋

9

2

y

＝1，移項得

9

2

y

＝1－

16

1 ）

2

－

（x

， 因此得 y2_＝9－ 16 9 （x－1）2 等號兩邊取平方根得 y＝± 2

1

16

9

9 －

（

x

－

）

 y＝± 2

1

16

4

3 ）

－

－（x

而上半橢圓所表示的函數為 y＝ 2 1 16 4 3 ）－ －（x

(12)

1-3 函數的極限

1.

( )函數 f（x）的圖形如圖所示，並已標示出實數 a 的位置，試問哪些函數的 a x limf（x）存在？ ( Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) (Ｅ) 答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：當－ a x

lim

f（x）＝ ＋ a x

lim

f（x）＝L 時，則 a x limf（x）存在 (Ａ)(Ｃ)(Ｅ)中，均可找到 L，滿足 － a x

lim

f（x）＝ ＋ a x

lim

f（x）＝L；而(Ｂ)(Ｄ)中， － a x

lim

f（x）≠ ＋ a x

lim

f（x） 故選(Ａ)(Ｃ)(Ｅ)

2.

( )假設兩地之間的通話費，第一個半分鐘是 5 元，之後每半分鐘是 2 元，不滿半分鐘以半分鐘計 算，則 t 分鐘的通話 C（t）公式如下（單位元）：C（t）＝5－2 [ 1－2t ]，其中[ x ]表示小於或等於 x 的最大整數，例如：[ 3.5 ]＝3，[－3.1 ]＝－4，[－5 ]＝－5 等。試問下列哪些選項是正確的？ ( Ａ) 10 分鐘的通話費是 43 元 (Ｂ)在 t≧0 時，[ 1－2t ]＝－[ 2t－1 ]恆成立 (Ｃ) 5 . 10 lim  t C（t）＝45 (Ｄ) 2 . 11 lim  t C（t）＝49。 答案：(Ａ)(Ｄ) 解析：(Ａ)○：C（10）＝5－2．[ 1－20 ]＝5＋38＝43 (Ｂ) ╳：令 x＝1－2t，[ x ]與－[－x ]的值不一定相同 例如：t＝0.2 時，[ 1－2t ]＝0；而－[ 2t－1 ]＝1 (Ｃ) ╳：＋ 5 . 10 lim  t C（t）＝tlim10.5＋（5－2 [ 1－2t ]）＝5－2．（－21）＝47 － 5 . 10 lim  t C（t）＝tlim10.5－（5－2 [ 1－2t ]）＝5－2．（－20）＝45 ∴ 5 . 10 lim  t C（t）的極限值不存在 (Ｄ)○： _＋ 2 . 11 lim  t C（t）＝tlim11.2＋（5－2 [ 1－2t ]）＝5－2．（－22）＝49 － 2 . 11 lim  t C（t）＝tlim11.2－（5－2 [ 1－2t ]）＝5－2．（－22）＝49 ∴ 2 . 11 lim  t C（t）＝49 故選(Ａ)(Ｄ)

(13)

3.

( )令 f（x）＝x3_－x2_{－2x＋1。設 a，b，c 為方程式 f（x）＝0 的三個實根，且 a＜b＜c，請選出正} 確的選項。 (Ａ)極限 1 lim  x －₁ ）（ x x f

存在 (Ｂ) a，b，c 至少有一個在 0 與 1 之間 (Ｃ) a，a2_，a3_， ……，an_{，……為收斂數列 (Ｄ) b，b}2_，b3_{，……，b}n_{，……為收斂數列 (Ｅ) c，c}2_，c3_，……， cn_{，……為收斂數列。} 答案：(Ｂ)(Ｄ) 解析： x －2 －1 0 1 2 f（x） －7 1 1 －1 1 由勘根定理可知（－2，－1），（0，1），（1，2）三個區間各至少有一實根 又代數基本定理告訴我們，三次方程式恰有三個根 ∴－2＜a＜－1，0＜b＜1，1＜c＜2 (Ａ) ╳：f（x）無法被（x－1）整除，即 f（1）≠0 (Ｂ)○：0＜b＜1 (Ｃ) ╳：公比介於－2 與－1 之間，此無窮等比數列發散 (Ｄ)○：公比介於 0 與 1 之間，此無窮等比數列收斂 (Ｅ) ╳：公比介於 1 與 2 之間，此無窮等比數列發散故選(Ｂ)(Ｄ)

4.

( )設 f（x）為一定義在非零實數上的實數值函數。已知極限 0 lim  x f（x）

_x

x｜

｜

存在，試選出正確的選項。 (Ａ) 0 lim  x 2













｜

｜x

x

存在 (Ｂ) 0 lim  x f（x）

｜x

｜

x

存在 (Ｃ) 0 lim  x （f（x）＋1）

｜x

｜

x

存在 (Ｄ) 0 lim  x f（x）存在 (Ｅ)limx0 f（x） 2_存在。答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○： _＋ 0 lim  x 2













｜

｜x

x

＝ _＋ 0 lim  x 2













x

＝1，－ 0 lim  x 2













｜

｜x

x

＝ _－ 0 lim  x 2













x

－

＝1 ∴ 0 lim  x 2













｜

｜x

x

＝1，存在 (Ｂ)○： 0 lim  x







f（x）．

｜

｜x

x







＝ 0 lim  x







f（x）．

x

x｜

｜

．

_





｜

｜x

x

2













＝ 0 lim  x







f（x）．

x

x｜

｜







． 0 lim  x







｜

｜x

x

2







＝ 0 lim  x







f（x）．

x

x｜

｜







．1

(14)

1082 高三數甲期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/57 ＝ 0 lim  x f（x）

_x

x｜

｜

，存在 (Ｃ) ╳：若 0 lim  x （f（x）＋1）．

｜x

｜

x

＝M（存在） 則 0 lim  x

｜x

｜

x

＝ 0 lim  x







（f（x）＋1）．

｜

｜x

x

－f（x）．

｜

｜x

x







＝ 0 lim  x   （f（x）＋1）． ｜｜x x    存在－ 0 lim  x   f（x）． ｜｜x x    存在亦存在與 0 lim  x

｜x

｜

x

不存在互相矛盾 ∴ 0 lim  x （f（x）＋1）．

｜x

｜

x

不存在 (Ｄ) ╳：令 f（x）＝

｜

｜x

x

，x≠0 滿足 0 lim  x







f（x）．

x

x｜

｜







＝ 0 lim  x







｜

｜x

x

．

x

x｜

｜







＝1，存在但 0 lim  x f（x）＝limx0

｜x

｜

x

並不存在 (Ｅ)○： 0 lim  x f（x） 2 ＝ 0 lim  x







f（x）．

x

x｜

｜

．f（x）．

｜

｜x

x







＝ 0 lim  x   f（x）． x x｜｜    存在． 0 lim  x   f（x）． ｜｜x x    存在 ∴ 0 lim  x f（x） 2_存在故選(Ａ)(Ｂ)(Ｅ)

(15)

5.

試求下列各函數的極限： (１) 1 lim  x ₁ 3 5 2 ＋－ x x 。 (２) 3 lim  x

₁

₃

2

6 ＋

＋

－

＋

x

。 (３) 2 lim  x

₄

8

2 3

－

x

。 (４) 1 lim －  x













1

2

1

2

＋

－

x

。 (５) 0 lim  x _x x 1 1＋－。解：答案：(１) 1；(２) 5 1 ；(３) 3；(４)－3；(５) 2 1 解析：(１) 1 lim  x

₁

3

5

2

_＋

－

x

＝

1

3

5 ＋

－

＝1 (２) 3 lim  x

₁

₃

2

6 ＋

＋

－

＋

x

＝

3

1

3

2

6

3 ＋

＋

－

＋

＝ 5 1 (３) 2 lim  x

₄

8

2 3

－

x

＝ 2 lim  x

（

－

）

（

＋

）

＋

）（

－

（

2

4

2

x

＝ 2 lim  x

₂

4

2

＋

x

＝

2

4

2

＋



＝

4

12

＝3 (４) 1 lim －  x













1

2

1

2

＋

－

x

＝ 1 lim －  x

₁

1

2

＋

－

＋

x

＝ 1 lim －  x ₁ 1 2 1 ＋）－）（＋（ x x x ＝ 1 lim －  x （2x－1）＝－3 (５) 0 lim  x _x x 1 1＋－＝ 0 lim  x

_（

_＋

_）

）

＋

）（

－

＋

（

1

1 x

x

＝ 0 lim  x

_（

_＋

_）

－

）

＋

（

1

1 x

x

＝ 0 lim  x

₁

1 ＋

＋x

＝

1

0

1

1 ＋

＋

＝ 2 1

6.

函數 f（x）＝

6

2

_＋

_－

＋

x

，試判斷 f（x）在哪些區間連續？ 解：答案：（－∞，－3），（－3，2），（2，∞）解析：由連續函數的性質，多項式函數是連續函數，且分母不為 0 時，多項式函數相除所形成的有理函數亦為連續函數 f（x）的分母為 x2_{＋x－6＝（x＋3）（x－2）} ∴x＝－3 與 x＝2 為 f（x）不連續之處 故 f（x）在區間（－∞，－3），（－3，2），（2，∞）連續

(16)

7.

計算下列各極限： (１) 3 lim  x

_｜

_－

_｜

－

2

2 x

x

。 (２) _－ 2 lim  x

｜

－

｜

－

2

2 x

x

。 (３) 2 lim  x （x－[x]）。 (４) _＋ 2 lim  x [7－x]。 解：答案：(１) 1；(２)－1；(３)不存在；(４) 4 解析：(１) 3 lim  x

｜

－

｜

－

2

2 x

x

＝ 3 lim  x

₂

2 －

－

x

＝ 3 lim  x 1＝1 (２) _－ 2 lim  x

｜

－

｜

－

2

2 x

x

＝ _－ 2 lim  x

－（

－

）

－

2

2 x

x

＝ _－ 2 lim  x （－1）＝－1 (３) _＋ 2 lim  x （x－[x]）＝ _＋ 2 lim  x （x－2）＝2－2＝0 － 2 lim  x （x－[x]）＝ _－ 2 lim  x （x－1）＝2－1＝1 因左極限不等於右極限，故 2 lim  x （x－[x]）不存在 (４) _＋ 2 lim  x [7－x]＝4

8.

函數 f（x）＝











2

3

2

2 ≧

當

，

＜

當

，

－

x

，試求 2 lim  x f（x）的值。 解：答案：3 解析：先求函數 f（x）在 x＝2 時的左極限及右極限 － 2 lim  x f（x）＝ _－ 2 lim  x

2

－

x

＝ _－ 2 lim  x

2

1

2 －

）

＋

）（

－

（

x

＝ _－ 2 lim  x （x＋1）＝3 ＋ 2 lim  x f（x）＝xlim2＋3＝3 ∴ _－ 2 lim  x f（x）＝xlim2＋f（x）＝3，可得limx2f（x）＝3

9.

設 k 為實數，函數 f（x）＝









1

4 ＜

當

，

＋

≧

當

，

＋

－

x

k

x

，試求 k 的值使得 f（x）是一個連續函數。 解：答案：3 解析：f（x）在 x＝a 連續，則必須滿足 a x limf（x）＝f（a）（極限值等於函數值） 當 x＞1 或 x＜1 時，f（x）皆為多項式函數，故為連續 因此，只要 f（x）在 x＝1 連續，f（x）就是一個連續函數 － 1 lim  x f（x）＝ － 1 lim  x （x＋k）＝1＋k ＋ 1 lim  x f（x）＝ ＋ 1 lim  x （x2_{－x＋4）＝1－1＋4＝4} ∴欲使 f（x）在 x＝1 連續，必須滿足 1＋k＝4  k＝3

(17)

10.

令多項式函數 f（x）＝x3_{－3x＋1，若 f（x）＝0 的實根在某兩個相鄰整數之間，試求出三組這樣的相鄰} 整數。解：答案：（－2，－1），（0，1），（1，2）解析：利用綜合除法或直接代入求值，可得 0 附近整數的函數值為 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f（x） －17 －1 3 1 －1 3 19 ∴f（－2）．f（－1）＜0，f（0）．f（1）＜0，f（1）．f（2）＜0， 而 f（x）為連續函數，由勘根定理知，f（x）在區間（－2，－1），（0，1），（1，2）之間分別各 有一實根

11.

設 f（x）＝x4_＋x2_{，試證：存在一實數 c 介於 1 與 2 之間，使得 f（c）＝10。} 證明：答案：略 解析：f（x）＝x4_＋x2_{是一個多項式函數} ∴f（x）為一連續函數 f（1）＝14_＋12_{＝2，f（2）＝2}4_＋22_＝20 ∵10 介於 f（1）與 f（2）之間 ∴由中間值定理可知：存在一實數 c 介於 1 與 2 之間，使得 f（c）＝10

(18)

2-1 微分

1.

( )下列各函數，何者在 x＝0 可微分？ (Ａ) f（x）＝[ x ] (Ｂ) f（x）＝∣x∣ (Ｃ) f（x）＝ ∣x3_{∣ (Ｄ) f（x）＝∣x＋3∣ (Ｅ) f（x）＝}







0

2

0

2 ≧

，當

＜　

，當

＋

x

。答案：(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ) ╳：－ 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝－ 0

lim

 x x x] 0 [ －＝－ 0

lim

 x x 0 1－－＝－ 0

lim

 x x 1 － ……不存在＋ 0 lim  x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 0 lim  x x x] 0 [ －＝ _＋ 0 lim  x x 0 0－＝0 ∴ － 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ≠ _＋ 0 lim  x ₀ 0 －）（－）（ x f x f 故 f（x）＝[ x ] 在 x＝0 不可微分 (Ｂ) ╳：－ 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝－ 0

lim

 x x x－0 －＝－1 ＋ 0 lim  x ₀ 0 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 0 lim  x _x x 0－＝1 ∴ － 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ≠ _＋ 0 lim  x 0 0 －）（－）（ x f x f 故 f（x）＝∣x∣在 x＝0 不可微分 (Ｃ)○：－ 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝－ 0

lim

 x

x

3

－

0 －

＝0 ＋ 0 lim  x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 0 lim  x

x

3

－

0

＝0 ∴ － 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 0 lim  x ₀ 0 －）（－）（ x f x f ＝0 故 f（x）＝∣x3_{∣在 x＝0 的導數為 0} (Ｄ)○：－ 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝－ 0

lim

 x x x＋3－3 ＝1 ＋ 0 lim  x ₀ 0 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 0 lim  x _x x＋3－3 ＝1 ∴ － 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 0 lim  x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝1 故 f（x）＝∣x＋3∣在 x＝0 的導數為 1 (Ｅ) ╳：－ 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝－ 0

lim

 x x x＋2－2 ＝－ 0

lim

 x x x ＝1 ＋ 0 lim  x 0 0 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 0 lim  x x 2 2－＝0 ∴ － 0

lim

 x 0 0 －）（－）（ x f x f ≠ _＋ 0 lim  x ₀ 0 －）（－）（ x f x f 故 f（x）在 x＝0 不可微分 故選(Ｃ)(Ｄ)

(19)

2.

試求下列函數在 x＝1 的導數： (１) f（x）＝（x2_{－3x＋2）（x}3_＋1）。 (２) f（x）＝（x3_＋2x2_－2）3_。解：答案：(１)－2；(２) 21 解析：(１) f '（x）＝（2x－3）（x3_{＋1）＋（x}2_{－3x＋2）（3x}2_） 因此 f '（1）＝（－1）．2＋0＝－2 (２) f '（x）＝3（x3_＋2x2_－2）2_（3x2_＋4x） 因此 f '（1）＝3．12_．7＝21

3.

試判斷下列函數在指定位置的導數是否存在？如果存在，試求其導數。 (１) f（x）＝x2_{－∣x－1∣在 x＝2。} (２) f（x）＝∣x－1∣＋∣x－2∣在 x＝2。 解：答案：(１) 3；(２)不存在 解析：(１)當 x＞1 時，f（x）＝x2_{－∣x－1∣＝x}2_{－（x－1）＝x}2_－x＋1 因此 f '（2）＝ 2 lim  x ₂ 2 －）（－）（ x f x f ＝ 2 lim  x

₂

3

1

2

－

）

＋

－

（

x

＝ 2 lim  x

₂

2

－

x

＝ 2 lim  x ₂ 1 2 －）＋（）－（ x x x ＝ 2 lim  x （x＋1）＝3 (２)當 x＞2 時，f（x）＝∣x－1∣＋∣x－2∣＝（x－1）＋（x－2）＝2x－3 當 1＜x＜2 時，f（x）＝∣x－1∣＋∣x－2∣＝（x－1）－（x－2）＝1 因此 _－ 2 lim  x ₂ 2 －）（－）（ x f x f ＝ _－ 2 lim  x ₂ 1 1 －－ x ＝_xlim_₂－0＝0，＋ 2 lim  x 2 2 －）（－）（ x f x f ＝ _＋ 2 lim  x 2 1 3 2 －－）－（ x x ＝ _＋ 2 lim  x 2 4 2 －－ x x ＝ _＋ 2 lim  x 2＝2 ∵左極限與右極限不同，故 f '（2）不存在

(20)

4.

(１)函數 f（x）＝ 5 4 3 2 1 －）－（）－（）－（）－（ x x x x x ，試求 f '（2）的值。 (２)函數 f（x）＝x4_－2x2_{＋x＋5，試求} 1 lim  x

₁

1 －

）

（

－

）

（

x

f

x

f

的值。解：答案：(１)－ 3 2 ；(２) 1 解析：(１) f '（2）＝ 2 lim  x ₂ 2 －）（－）（ x f x f ＝ 2 lim  x

₂

0

5

4

3

2

1 －

－

）

－

（

）

－

（

）

－

（

）

－

（

x

＝ 2 lim  x ）－（）－（）－（）－（）－（）－（ 2 5 4 3 2 1 x x x x x x ＝ 2 lim  x

₅

4

3

1 －

）

－

（

）

－

（

）

－

（

x

＝

5

2

4

2

3

2

1

2 －

）

－

（

）

－

（

）

－

（

＝－

3

2

(２) f '（x）＝4x3_－4x＋1 1 lim  x

₁

1 －

）

（

－

）

（

x

f

x

f

＝f '（1）＝4－4＋1＝1

5.

設三次函數 f（x）＝2x3_＋bx2_{＋cx＋d 滿足 f（1）＝－11，f '（1）＝0，f '（－2）＝0，其中 b，c，d 為} 實數，試求 f（x）。 解： 答案：2x3_＋3x2_－12x－4 解析：f '（x）＝6x2_＋2bx＋c ∵f（1）＝－11，f '（1）＝0，f '（－2）＝0









３２１

○ ＝

＋

－

○ ＝

＋

○ ＝－

＋



0

4

24

0

2

6

11

2 c

b

c

b

d

c

b

③－②得 18－6b＝0



b＝3 代入②得 c＝－12 代入①得 d＝－4 故 f（x）＝2x3_＋3x2_－12x－4

6.

設 f（x）＝－x2_{＋x＋2，試求：} (１) y＝f（x）在 x＝1 處的切線斜率。 (２)承(１)，切線方程式為何？解： 答案：(１)－1；(２) x＋y－3＝0 解析：(１) f '（x）＝－2x＋1 ∴f '（1）＝－1 (２)切點坐標為（1，f（1））＝（1，2） 故切線方程式為 y－2＝（－1）（x－1） 即 x＋y－3＝0

(21)

7.

函數 f（x）＝x3_－3x2_{＋kx－7 在 x＝3 處有水平切線，試求實數 k 值。} 解：答案：－9 解析：f '（x）＝3x2_－6x＋k 在 x＝3 處有水平切線，則 f '（3）＝0



27－18＋k＝0



k＝－9

8.

若曲線 y＝f（x）＝－x3_＋3x2_{＋x－1 上有一斜率最大的切線，試求：} (１)此切線的斜率。 (２)切線方程式。解： 答案：(１) 4；(２) y＝4x－2 解析：(１) f '（x）＝－3x2_{＋6x＋1＝－3（x}2_{－2x＋1）＋4＝－3（x－1）}2_＋4 因此，當 x＝1 時，f '（x）有最大值 f '（1）＝4，即切線斜率的最大值為 4 (２)此時切點坐標為（1，f（1））＝（1，2） ∴切線方程式為 y－2＝4．（x－1）， 即 y＝4x－2

9.

一石頭從高度為 490 公尺的懸崖掉下，t 秒後的高度是 s（t）＝490－4.9t2_{，試求從 t＝0 到 t＝10 的平均} 速度以及 t＝10 的瞬時速度。 解：答案：平均速度為－49 公尺∕秒，瞬時速度為－98 公尺∕秒 解析：t＝0 到 t＝10 的平均速度為 0 10 0 10 －）（－）（ s s ＝ 10 490 －＝－49（公尺∕秒） s '（t）＝－9.8t，在 t＝10 的瞬時速度為 s '（10）＝－9.8×10＝－98（公尺∕秒）

10.

設 p（x）為三次實係數多項式函數，其圖形通過（1，3），（－1，5）兩點。若 p（x）的圖形在點（1 ，3）的切線斜率為 7，而在點（－1，5）的切線斜率為－5，試求 p（x）。 解： 答案：p（x）＝x3_＋3x2_－2x＋1 解析：設 p（x）＝ax3_＋bx2_＋cx＋d 則 p '（x）＝3ax2_＋2bx＋c y＝p（x）通過（1，3） ∴a＋b＋c＋d＝3 ………① y＝p（x）通過（－1，5） ∴－a＋b－c＋d＝5 ………② p '（1）＝7 ∴3a＋2b＋c＝7 ………③ p '（－1）＝－5 ∴3a－2b＋c＝－5 ………④ ③－④得 4b＝12  b＝3 ①＋②得 2b＋2d＝8，b＝3 代入，得 d＝1 1 1 2 3 1 a c a c a c    代回得＋＝－解得＝，＝－代回得＋＝ ① ③ ∴p（x）＝x3_＋3x2_－2x＋1

(22)

11.

設 f（x）是一實係數多項式函數，若 0 lim  x _x x f（） ＝3，試求 f（x）的函數圖形在 x＝0 時的切線方程式。 解： 答案：y＝3x 解析： 0 lim  x _x x f（）＝3  f（0）＝0  函數 y＝f（x）通過點（0，0） 可知 f '（0）＝ 0 lim  x ₀ 0 －）（）－（ x f x f ＝3 為切線斜率，故切線方程式為 y＝3x

(23)

2-2 函數性質的判定

1.

( )設 f 為實係數三次多項式函數。已知五個方程式的相異實根個數如下表所述： 方程式相異實根的個數 f（x）－20＝0 1 f（x）－10＝0 3 f（x）＝0 3 f（x）＋10＝0 1 f（x）＋20＝0 1 關於 f 的極小值 α，試問下列哪一個選項是正確的？ (Ａ) α 不存在 (Ｂ)－20＜α＜－10 (Ｃ)－10＜α＜0 (Ｄ) 0＜α＜10 (Ｅ) 10＜α＜20。 註：極小值是指相對極小值，或稱為局部極小值。答案：(Ｃ) 解析：f（x）－k＝0 相異實根的個數可視為 y＝f（x）與 y＝k 圖形的交點個數 由表中可知 y＝f（x）的圖形可能為 圖(一) 圖(二) 不論是圖(一)或圖(二)，f（x）的極小值都介於－10 與 0 之間 ∴－10＜α＜0，故選(Ｃ)

2.

( )設 f（x）為實係數三次多項式，如圖所示為函數 y＝f（x）的圖形，其中（5，f（5））為反曲 點。試問 f（x）的導函數 f '（x）可能為下列哪一個選項？ (Ａ)（x－5）2_{－1 (Ｂ)（x－5）}2_{＋1 (Ｃ)（x－5）}2 (Ｄ)－（x－5）2_{＋1 (Ｅ)－（x－5）}2_－1。答案：(Ｂ) 解析：多項式函數 y＝f（x）的圖形以（5，f（5））為反曲點 ∴f ''（5）＝0 而圖形上任一點的切線斜率均為正，如圖所示 ∴f '（x）＞0 故選(Ｂ)

(24)

3.

( )試問 f（x）＝x4_－2x2_{＋1 在下列哪些區間嚴格遞減？ (Ａ)[ 1，∞） (Ｂ)[ 0，1 ] (Ｃ)[ －} 1，0 ] (Ｄ)（－∞，－1 ] (Ｅ)[ －1，1 ]。答案：(Ｂ)(Ｄ) 解析：f '（x）＝4x3_{－4x＝4x（x}2_{－1）＝4x（x＋1）（x－1），} 解 f '（x）＜0，得 x＜－1 或 0＜x＜1 如圖所示： 故 f（x）的嚴格遞減區間為（－∞，－1 ] 與 [ 0，1 ] 故選(Ｂ)(Ｄ)

4.

( )若三次函數 f（x）＝ax3_＋bx2_{＋cx＋d 的圖形如圖，則下列何者正確？（其中∣α∣＜∣β∣）} (Ａ) a＜0 (Ｂ) b＞0 (Ｃ) c＞0 (Ｄ) d＜0 (Ｅ) b2_{－3ac＞0。} 答案：(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析： 設 f（x）＝0 的三個根為 x1，x2，x3  f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（x－x3），其中 x1＞x2＞x3 當 x＞x1時，f（x）＞0 ∴a＞0 f '（x）＝3ax2_{＋2bx＋c，解 f '（x）＝0} ∴α＋β＝－ a b 3 2 ＜0（∵∣α∣＜∣β∣），可得 b＞0 且 αβ＝ a c 3 ＜0，可得 c＜0 又 f（0）＝d ∴d＜0 f '（x）＝0 有兩相異實根 α 與 β，故判別式大於 0 即（2b）2_{－4．（3a）．c＞0}_b2_－3ac＞0 (Ａ) ╳：a＞0 (Ｂ)○：b＞0 (Ｃ) ╳：c＜0 (Ｄ)○：d＜0 (Ｅ)○：b2_－3ac＞0 故選(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ)

(25)

5.

( )設 f '（x）表示實係數多項式函數 f（x）的導函數，已知 y＝f '（x）的圖形是一個通過點（1，0 ）和點（2，0）且開口向上的拋物線。試問下列哪些選項是正確的？ (Ａ) f（x）一定是三次多項 式 (Ｂ) f（x）在 1＜x＜2 的範圍內必為遞增 (Ｃ) f（x）一定恰有兩個極值 (Ｄ) f（x）＝0 一 定有三個實根 (Ｅ) f（x）＝0 在 1≦x≦2 的範圍內一定有實根。 答案：(Ａ)(Ｃ) 解析：(Ａ)○：y＝f '（x）的圖形是一個通過（1，0）和（2，0）且開口向上的拋物線 故 f '（x）為一個二次函數，因此 f（x）是一個三次多項式 (Ｂ) ╳：f '（x）＝a（x－1）（x－2），其中 a＞0 ∴當 x＞2 或 x＜1 時，f '（x）＞0；而 1＜x＜2 時，f '（x）＜0 故 f（x）在 1＜x＜2 時為遞減函數 (Ｃ)○：解 f '（x）＝0，可得 x＝1 或 x＝2，此皆為臨界數， 觀察 x＝1 與 x＝2 附近 f '（x）值的正負號，可列表如下： x 1 2 f '（x） ＋ 0 － 0 ＋ ↑ 極大值發生處 ↑ 極小值發生處 ∴f（x）在 x＝1 與 x＝2 為極值發生之處 (Ｄ) ╳：可繪出 y＝f（x）的略圖如圖 故 f（x）＝0 可能只有一實根 (Ｅ) ╳：若 f（2）＞0，則 f（x）＝0 在 1≦x≦2 的範圍內沒有實根 如圖所示故選(Ａ)(Ｃ)

(26)

6.

( )考慮多項式函數 f（x）＝x5_＋2x4_－x3_－5x2_{＋3，試問以下哪些選項是正確的？ (Ａ)}   k lim

）

＋

（

）

（

100 k

f

k

f

＝0（k 為正整數） (Ｂ) 1 lim  x

₁

1 －

）

（

）－

（

x

f

x

f

＝0 (Ｃ)函數 f 在區間









1

2

1 ，

遞增 ( Ｄ)若 x≧0，則 f（x）≧0 (Ｅ)在坐標平面上 y＝f（x）的圖形與直線 y＝3 恰有兩個交點。 答案：(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ) ╳：f（k＋100）＝（k＋100）5＋2（k＋100）4－（k＋100）3－5（k＋100）2＋3 的領導係數為 1 ，即 k5_{項係數為 1，而 f（k）的領導係數亦為 1} ∴   k lim

）

＋

（

）

（

100 k

f

k

f

＝1 (Ｂ)○：f '（x）＝5x4_＋8x3_－3x2_－10x ∴ 1 lim  x ₁ 1 －）（）－（ x f x f ＝f '（1）＝0 (Ｃ) ╳：f '（x）＝x（5x3＋8x2－3x－10）＝x（x－1）（5x2＋13x＋10），而 5x2＋13x＋10＞0，



x R 解 f '（x）＝0，得 x＝0 或 x＝1， 觀察 x＝0 與 x＝1 附近 f '（x）值的正負，可列表如下： x 0 1 f '（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 3 0 ↑ 極大值發生處 ↑ 極小值發生處 x 在區間

_



1 _



2

1 ，

時，f '（x）≦0，故 f 在區間

_



1 _



2

1 ，

遞減 (Ｄ)○：可繪出 y＝f（x）的略圖如圖 ∴若 x≧0，則 f（x）≧0 (Ｅ)○：由圖可知，y＝f（x）與 y＝3 恰有兩個交點 故選(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ)

(27)

7.

( )已知一個 n 次實係數多項式 f（x）滿足下列性質：當 x＜0 時，f '（x）＜0 且 f ''（x）＞0；當 0 ＜x＜1 時，f '（x）＜0 且 f ''（x）＜0；當 1＜x＜4 時，f '（x）＜0 且 f ''（x）＞0；當 x＞4 時，f '（ x）＞0 且 f ''（x）＞0。請選出正確的選項。 (Ａ) f '（2）＞f '（3） (Ｂ) f（x）在 x＝4 時有最小 值 (Ｃ) f（x）的圖形只有一個反曲點 (Ｄ) n 可能為 3 (Ｅ) f（x）的最高次項係數必為正。 答案：(Ｂ)(Ｅ) 解析：多項式函數是連續、可微分函數 在 x＝0，x＝1，x＝4 附近求得 f '（x），f ''（x）的正負號，可列出下表： x 0 1 4 f '（x） －－－＋ f ''（x） ＋ 0 － 0 ＋＋增減 ↘ ↘ ↘ ↗ 略圖可得略圖如圖： (Ａ) ╳：當 1＜x＜4 時，f ''（x）＞0，代表在這個區間中，f '（x）為遞增函數，故 f '（3）＞f '（2） (Ｂ)○：由圖形可知 f（x）在 x＝4 有最小值 (Ｃ) ╳：在 x＝0 附近時，f ''（x）的值由正轉負；在 x＝1 附近時，f ''（x）的值由負轉正，故（0，f（ 0））與（1，f（1））皆為反曲點 (Ｄ) ╳：f ''（x）＝0 至少有兩根 0 與 1，即 f ''（x）的次數≧2  f '（x）的次數≧3  f（x）的次數≧ 4 (Ｅ)○：當 x＞4 時，f '（x）＞0 且 f ''（x）＞0    x limf（x）＝∞ ∴f（x）的最高次項係數必為正故選(Ｂ)(Ｅ)

(28)

8.

( )考慮多項式函數 f（x）＝4x3_－11x2_{＋6x。請選出正確的選項： (Ａ)函數 f 的圖形在點（1，－} 1）的切線斜率為正 (Ｂ)函數 f 的圖形與直線 y＝1 交於三點 (Ｃ)函數 f 唯一相對極小值為－ 4 9 (Ｄ) f（π）＞0 (Ｅ) f

_











7

4 cos

π

＞0。答案：(Ｃ)(Ｄ) 解析：f '（x）＝12x2_{－22x＋6＝2（2x－3）（3x－1）} 解 f '（x）＝0，得 x＝ 2 3 或 x＝ 3 1 為相對極值發生處 x 3 1 2 3 f '（x） ＋ 0 － 0 ＋ ↑ ↑ 相對極大相對極小 又 f













3

1

＝4． 3 3 1       _－11． 2 3 1       _＋6． 3 1 ＝ 27 4 － 9 11 ＋2＝ 27 25 f













2

3

＝4． 3 2 3       _－11． 2 2 3       _＋6． 2 3 ＝ 2 27 － 4 99 ＋9＝－ 4 9 繪出 y＝f（x）的圖形如圖： 又 y＝f（x）與 x 軸交點的 x 坐標為 f（x）＝0 的解 4x3_－11x2_＋6x＝0_x（4x2_{－11x＋6）＝0}  x（4x－3）（x－2）＝0 ∴x＝0 或 x＝ 4 3 或 x＝2 (Ａ) ╳：f '（1）＜0 (Ｂ) ╳：y＝f（x）與 y＝1 交於一個點 (Ｃ)○：y＝f（x）的相對極小值為－

4

9

(Ｄ)○：f（π）＞0（∵π 3.14） (Ｅ) ╳：∵ 7 4π 為第二象限角，可得 cos 7 4π ＜0 ∴f













7

4 cos

π

＜0（如圖）故選(Ｃ)(Ｄ)

(29)

9.

( )設 f（x）為實係數二次多項式，g（x）為實係數三次多項式。已知 y＝f（x）的圖形與 x 軸交於 x＝－4 與 x＝0，而 y＝g（x）的圖形與 x 軸交於 x＝－4，x＝0 及 x＝4，且 f（x）與 g（x）的（相 對）極小值皆發生於－4＜x＜0。請選出正確的選項。 (Ａ) f（x）與 g（x）的最高次項係數皆為 正 (Ｂ) f（x）的（相對）極小值發生於 x＝－2 (Ｃ) g（x）的（相對）極小值發生於 x＝－2 ( Ｄ) g（－1）＝g（－3） (Ｅ) g（－1）＝－g（1）。 答案：(Ｂ)(Ｅ) 解析：f（x）為實係數二次多項式且與 x 軸交於 x＝－4，x＝0，可假設 f（x）＝ax（x＋4） g（x）為實係數三次多項式且與 x 軸交於 x＝－4，x＝0 及 x＝4，可假設 g（x）＝bx（x＋4）（x－4）

f（x）＝ax（x＋4）＝ax2_＋4ax_{f '（x）＝2ax＋4a}

f '（x）＝0 時 x＝－2 g（x）＝bx（x2_{－16）＝bx}3_－16bx_{g'（x）＝3bx}2_－16b g'（x）＝0 時 x＝±

3

4

∴f（x）在 x＝－2 時有（相對）極小值  f ''（－2）＞0，而 f ''（x）＝2a  2a＞0  a＞0 g（x）在 x＝－

3

4

時有（相對）極小值  g''













3

4 －

＞0，而 g''（x）＝6bx  6．b．













3

4 －

＞0  b＜0 (Ａ) ╳：a＞0，b＜0 (Ｂ)○：f（x）的（相對）極小值發生於 x＝－2 (Ｃ) ╳：g（x）的（相對）極小值發生於 x＝－

3

4

(Ｄ) ╳：g（－1）＝b．（－1）．3．（－5）＝15b g（－3）＝b．（－3）．1．（－7）＝21b ∴g（－1）≠g（－3） (Ｅ)○：－g（1）＝－（b．1．5．（－3））＝15b ∴g（－1）＝－g（1） 故選(Ｂ)(Ｅ)

(30)

10.

( )設實係數三次多項式 f（x）的首項係數為正。已知 y＝f（x）的圖形和直線 y＝g（x）在 x＝1 相切，且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。 (Ａ) f（1）＝g（1） (Ｂ) f '（1）＝g' （1） (Ｃ) f ''（1）＝0 (Ｄ)存在實數 a≠1 使得 f '（a）＝g'（a） (Ｅ)存在實數 a≠1 使得 f '' （a）＝g''（a）。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ) 解析：先求兩函數圖形的交點坐標解聯立方程式







）

（

＝

）

（

＝

x

g

y

x

f

y

得 f（x）－g（x）＝0 兩圖形在 x＝1 相切 ∴方程式 f（x）－g（x）＝0 有重根 x＝1 設 f（x）－g（x）＝（x－1）2_{（tx＋b），t＞0} 若 tx＋b＝0



x＝－

t

b

≠1 表示方程式 f（x）－g（x）＝0 還有 1 以外的實根，即表示兩函數圖形還有另一交點 與題意矛盾，故－

t

b

＝1 即 f（x）－g（x）＝t（x－1）3_，t＞0 f '（x）－g'（x）＝3t（x－1）2 f ''（x）－g''（x）＝6t（x－1） (Ａ)○：f（1）－g（1）＝t．0＝0 (Ｂ)○：f '（1）－g'（1）＝3t．0＝0 (Ｃ)○：f ''（1）－g''（1）＝6t．0＝0 ∵deg g（x）＝1



g''（1）＝0，故 f ''（1）＝0 (Ｄ)╳：f '（a）－g'（a）＝3t（a－1）2 ∵a≠1



f '（a）－g'（a）≠0



f '（a）≠g'（a） (Ｅ)╳：f ''（a）－g''（a）＝6t（a－1） ∵a≠1



f ''（a）－g''（a）≠0



f ''（a）≠g''（a） 故選(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)