一對多的編碼與解碼

有鑑於圖3.5.1，X-word 正確機率 對於不同P_d α^'下，其差距並不大，我們

希望P_d對α^'的斜率能提升，這表示隨著 x-bit 製造的準確度稍加改變，X-word 正 確偵測的機率卻有著大幅度改變，故能提高盜拷光碟的困難度。

我們利用一個例子來說明我們的想法。考慮一 unit-word 由三個位元組成，

讓此unit-word 經過 word-extension process，產生長度為三個 unit-word 的 EC。換言之，此 EC 長度為九個位元，再加入 x-bit 成為 X-word。例如 101 是 一個unit-word 先將它展成 010 111 000 的 EC (由(3.1.4)得到)，接著將 此 EC 編入 x-bit 成為 010 1xx 0xx。 x-bit 並不是任意加至 EC，EC 中的 每一 unit-word，其開頭第一個位元不能加入 x-bit，這是以解碼端做考量，我們 稍後會論述。

假設一個unit-word 由 個位元組成，故有 個可能組合，則所對應的 X-word 之種類也要大於或等於 個可能。基於此點考量，EC 中的第一個 unit-word 我們不編入 x-bit，而 x-bit 只加入在第二個 unit-word 的第二或三個位 元，依此類推。如上例，X-word 之種類等於

v 2^v

2^v

5 4

2 3⋅ 個，遠大於原始 unit-word 種類數目2³個。

解碼時，我們放寬要求，不再要求所有的 x-bit 都要能正確偵測出，若 X-word 中有β個 x-bit，經兩次讀取程序，至少能偵測出 g 個以上的 x-bit，就認為此

X-word 正確(g< )，再經由對照表(mapping table)恢復成原始 unit-word。 β

圖4.1.1 : 在此β = ，g=3，經過兩次讀取後 4 若產生如上九種結果，都會對應回 EC =

010 111 000。

如上圖4.1.1 所示，假設 X-word 含有β = 4 個 x-bit，且 g=3，只要能順 利偵測3 個以上的 x-bit，則認為此 X-word 正確，故經由兩次讀取程序所認定正 確的訊號都能恢復成010 111 000 的 EC，再經過 EC-decoder 返回原始 unit-word 101。

若 X-word 在兩次讀取程序中無法讀出 g 個以上的 x-bit，我們就認為此 X-word 不正確。例如 X-word 在兩次讀取程序中判定為 010 11x 01x，只 偵測出兩個 x-bit。我們讓兩次讀取判定的 X-word，第一個 unit-word 中的第一個 正規位元變為其補數，故第一個位元由0 變成 1，重新給定的結果為 110 11x 01x，如果此 X-word 在對照表中無法發現，則在 x-bit decoder 中，對裡面的 x-bit，

指定成第一次讀取結果，則經 x-bit decoder 成 110 110 010，再經過 EC-decoder(由(3.1.5)式) ，可以返回成 unit-word 010。按照這樣的程序編 碼與解碼，我們可以保證若無法偵測出g 個以上的 x-bit 之 X-word，經解碼後的 unit-word 010，其第一個位元 0，與原始 unit-word 101 的第一個位元 1，

一定不會相同，故解碼後的unit-word 必定不正確。

將原始unit-word 編碼為 EC，再以上述的程序加入 x-bit，這種編碼程序我 們稱為一對多編碼(one to many encoder)，而相對應的解碼程序稱為一對多 解碼(one to many decoder) 。由圖 4.1.1 得知，X-word 有可能讀出九種不 同的結果，但都對應回unit-word 101，故命名為一對多編碼。對一個 X-word 而言，β個 x-bit 能正確偵測 g 個以上 x-bit 的機率以Pd 表示，故 _g

由圖4.1.2 得知，隨著β增加，Pd 對_g α^'圖形的斜率越大。隨著α^'增加，Pd 越_g 小，故在不同α^'下，X-word 正確的機率，差距越加擴大。

圖4.1.3 :圖中曲線由上而下分別為 β=20，g=4，j =5，v=6

β=20，g=10， j =5， =6 v β=20，g=13， j =5， =6 v

且水平座標為α^'，垂直座標為Pd 。 _g

由圖4.1.3 可知，我們可以藉由控制 X-word 中正確偵測 x-bit 的個數 g 來 得到我們想要的 X-word 之機率。若我們希望 X-word 正確偵測機率高，就讓 g 小，希望 X-word 正確偵測機率低，就讓 g 大，故 X-word 正確偵測機率變得具 有選擇性。

4.2 變形的系統

Ι

之編碼

圖4.2.1 : 變形的系統Ι 之編碼流程圖

基於降低α^'_c的目標，我們提出變形系統Ι。我們的方法是先將原始鑰匙中，

任意一個長度為 個位元的unit-word 以第一階 FC 編碼，產生一個長度為 個 unit-word 的第一階 FC。再將此第一階 FC 依序用第二階､第三階的 FC 編碼，

共生成 個第三階FC，且每個第三階 FC 由 個 unit-word 組成。

v s

s2 s

現在考慮任意一個第三階FC，此 FC 由 個 unit-word 組成。我們先從 個 unit-word 挑出前

s s

f 個 unit-word，再編成第四階的 EC，故生成1 f 個第四階 EC，₁ 此 f 個 EC 長度都由₁ m₄₁個 unit-word 組成。

接著，再從剩下s− f₁個unit-word，挑出前 f 個 unit-word，再編成第四階₂ EC，故生成 f 個第四階 EC，此₂ f 個 EC 長度都是由₂ 個 unit-word 組成。最後 剩下 個 unit-word，我們不對它們做任何處理，上述的過程顯示在圖 4.2.1 中。

m42

1 2

s− −f f

第二步，將 f 個長度₁ m₄₁個 unit-word 的 EC 作 RS-coding，生成 f 個長度 個₁

4.3 變形的系統

Ι

之解碼

(4.3.3)

假設ψ 為任意一個第三階FC，其更錯能力為

依此類推，若P₁表示第一階 EC 中任意一個 unit-word 正確之機率，則

(4.3.10)

2 2

1 1 2 2

0 0

( ) (1 )

s m s m

s r s r

r

r r

P P r C P P

− −

−

= =

=

∑

=

∑

−

圖4.3.2 : v=6， (s=63,m=27) ， j₁= j₂ = 4 ，β₁ =β₂ =12，g₁= ，4 g₂ = ，6 m₄₁ =59，m₄₂ =33

，u₁=21，u₂ =37， f₁=15， f₂ =38，共有四階 EC，

圖中只顯示三階，水平座標為α^'，垂直座標為各階 EC 偵 測正確的機率。

由圖4.3.2 可知利用上述改良系統所得到的α_c^' 約為 0.1，與先前系統的

'

αc=0.325 下降很多，變形系統Ι 的主要概念為藉由產生兩種偵測 X-word 的機 率，且這兩種偵測 X-word 正確的機率對α^'之斜率，比先前所提出系統來的大。

我們設計兩種 X-word，其中一種 X-word 正確偵測機率高，因為 小，而另 一種 X-word 正確偵測的機率小，因為 大。這如同玩二十一點，當玩家手中的 牌很大時，等效於加入很多偵測正確機率小的 X-word，這時再要牌，玩家一定 希望拿到點數小，且加總後不超過二十一點的牌，此時可以藉由調整 ₁

g g

f 、f 、 、₂

，來增加正確偵測機率高的 X-word。換言之，正確偵測機率小的 X-word 如同 大牌，正確偵測機率高的 X-word 類似小牌，而製造精細的 X-word 點數一定比 製造粗糙的 X-word 來的小，故更可以逼近系統的臨界錯誤，使

u1

u2

'

αc變小。

若第一階 EC 完全正確，則原始鑰匙中任意一 unit-word 也會正確。令 代 表鑰匙正確解調的機率，在圖4.3.3 中考慮鑰匙由五個 unit-word 組成，且每個 unit-word 有 6 個位元，則 ⁵

Pkey

1

Pkey =P。圖4.3.3 為P_key對α^'的變化，圖中α_c^' ≈ 0.1，

比圖3.5.5 下降許多。

圖4.3.3 :水平座標為α^'，垂直座標 為鑰匙偵測正確機率， α_c^'約 0.1。

變形系統 達成讓Ι α_c^'下降的目標，但我們所付出的代價是加密鑰匙容量相當

REC，又 為奇數，則可以更正n 1 ( 2

n− )

個位元，當錯誤的位元個數超過重複碼的 更錯能力時，錯誤更正後的重複碼保留了錯誤，所以還是具有錯誤散佈的特性，

故可以代替沒有更錯能力的 EC。

若一個由長度 個位元的 unit-word 編為重複碼，而產生的重複碼就是將 unit-word 重複n次，故此重複碼由 個unit-word 組成，又重複碼中的每個 unit-word 也都是 個位元。接下來，再將此重複碼以( s， ) RS-code 編碼，

產生長度 個 unit-word 的 code word，我們稱此種程序為前向錯誤更正重複碼 (forward error-correcting repetition code)，簡稱 FREC，而任意一個 FREC，其 更錯能力為

v

n

v

n

s

2 s−n。

圖4.4.1 :上圖顯示一次 FREC 的過程。

圖4.4.2 : 變形的系統ΙΙ 之編碼流程圖。

由圖4.4.2 所示，先將原始鑰匙中任意一個 unit-word 以第一階 FREC 編 個 unit-word 的 REC 作 RS-coding，生成

n34

unit-word，以一對多的編碼，生成的 X-word 中共有β₄個 x-bit， 而每個 X-word 由 j 個 unit-word 組成。 ₄

4.5 變形系統 之解碼

ΙΙ

圖4.5.1 : 變形的系統ΙΙ 之解碼流程圖。

圖4.5.1 是變形的系統 之解碼流程圖。為了得到第三階的 FREC，我們 先將含有

ΙΙ

β3個 x-bit 的 X-word，與含有β₄個 x-bit 的 X-word 分別通過一對多的 解碼，如果能順利偵測出 、 以上個 x-bit，則 X-word 判定為正確，又兩種 X-word 正確偵測的機率分別以

g3 g₄

3

Pd 、g Pd 表示。 _g4

在這裡Q₃為經一對多解碼後，所解調出的第三階FREC，其更錯能力為

33

2 s−n

，且 由 個 unit-word 組成。令 代表 中剛好有 個 unit-word 發 生錯誤的機率，則

Q3 s P r₃₃( ) Q₃ r

(4.5.1)

經由第三階的 RS-decoder 後，我們可以得到兩種第三階的 REC，長度分別為

23 23,

若P r₁( )代表第一階FREC 中剛好有 r 個 unit-word 錯誤的機率，如果 小於等於r

在圖4.5.2 中，P_{n b2,} 已經很陡峭，而P_{n b1,} 與P_{key b,} 快要重疊。在α α^' < _c^'的區

在(4.5.15)中，等號右邊第一項表示剩餘第二階 FREC 位元數，第二項表示剩餘 第三階FREC 位元數，其更錯能力為 ³³

2 s−n

，第三項表示剩餘第三階FREC 位元 數，其更錯能力為 ³⁴

2 s−n

，而最後兩項分別表示兩種不同機率 X-word 位元數。

考慮圖 4.5.2 中的例子，U =6，v=5，s=31， j₃ =14， ， ，

， ， ，代入(4.5.15)式中，可以得到

4 3

j = f₃ =18

4 11

f = u₃ =18 u₄ =11 Bo =4.98Mbit。結果顯示 我們不只將α_c^'變小，更將加密鑰匙的位元數降為約5 Mbits，而變形系統 成功 解決加密鑰匙位元數過於龐大的問題，主要因素以重複碼代替FC 中的 EC。單 就錯誤更正能力討論，變形系統

ΙΙ

ΙΙ 勝於變形系統 Ι ，可以有效減少 FC 階數，降 低加密鑰匙的位元數。

第五章 結論

一般光碟中的訊號有兩種，一為二位元0，另一為二位元 1，在我們提出的 方法中，加入第三種訊號 x-bit 至光碟。我們使用兩次讀取程序偵測 x-bit，如果 兩次讀出的結果不一樣就認定是 x-bit，由於正確偵測 x-bit 的機率與 x-bit 準位 的精確度密切相關，我們可以利用這個特性防止盜拷光碟。在我們所提出的方法 中，如果 x-bit 的訊號準位製造的很精準，落在某一個很窄小的區間，則光碟可 以正確播出，否則會播出不正確的內容。又因為拷貝x-bit 需要極精密的機器，

專業的盜版商根本無法負擔，所以可以有效防止盜拷。

在光碟的加密程序中，通常會設計一把原始鑰匙。接著，對原始鑰匙進行一 連串的加密動作，變成加密鑰匙存放入光碟中。當光碟播放時，先將加密鑰匙回 復成原始鑰匙，若無法獲得正確的原始鑰匙，就無法得到正確的資料，故可以用 來防止盜拷光碟。我們使用 MWE 程序與 x-bit encoder 將原始鑰匙編作加密鑰 匙。我們發現在解碼過程中各階 EC 正確機率會相交在同一點，並且產生一個近 似方波的原始鑰匙解碼正確之機率。在α^'<α_c^'

c

區域中，原始鑰匙可正確回復，

而在α α^' > ^'

'

區域中，會產生錯誤的原始鑰匙。由於這個解碼特性，若拷貝的光 碟無法精確製作 x-bit 使得α α^'< _c ，則所製作的光碟將無法成功播放，故能有效 防止盜拷。

接著，我們希望提升拷貝光碟的困難度，所以提出變形系統Ι。變形系統 提 出新方法去設計 X-word，使 X-word 正確偵測的機率對

Ι α'的斜率變大，故更能區 分出光碟中 x-bit 製作的精確度，有效的反應出光碟的生產成本。我們發現在變 形系統 中，各階Ι EC正確的機率仍然會交至同一點。變形系統Ι 主要的想法是設 計兩種不同偵測機率的 X-word，一種正確機率高，而另一種正確機率低。我們 知道 X-word 不能無限制的安插在光碟中，一旦加入的個數太多，則原始鑰匙無 法回復。當系統接近臨界錯誤時，我們增加偵測機率高 X-word 的數目，使其更

Ι α'的斜率變大，故更能區 分出光碟中 x-bit 製作的精確度，有效的反應出光碟的生產成本。我們發現在變 形系統 中，各階Ι EC正確的機率仍然會交至同一點。變形系統Ι 主要的想法是設 計兩種不同偵測機率的 X-word，一種正確機率高，而另一種正確機率低。我們 知道 X-word 不能無限制的安插在光碟中，一旦加入的個數太多，則原始鑰匙無 法回復。當系統接近臨界錯誤時，我們增加偵測機率高 X-word 的數目，使其更

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