解碼過程

圖 3.3.1:原始鑰匙轉變為加密鑰匙的過程。

3.4 解碼過程

如之前所述，共有 個第 L 階 FC 被存入光碟的開端部分。我們設計解碼 程序安裝在播放機，當播放光碟時，此解碼程序將讀取開端部分兩次以偵測加密 鑰匙。令 為一個第 L 階 FC，則 中 X-word 的數目有 個，

其餘 個 unit-word，我們通稱為正規字(normal-word) 。 NL

0 1 1

( , ,... , _s )

W = w w w₋ W u

s u−

若w_j =(ρ ρ₁, ₂,...,ρ_v)為W中的任意一個 X-word，它含有β個 x-bit。假使 中的 x-bit 能經由兩次讀取程序正確偵察出，則 必能憑藉著對照表，正確無誤 地還原成原來的 unit-word。假使一個或是一個以上的 x-bit 無法偵測出，這時播 放端的解碼程序會隨機指定一個 unit-word 來代表 所對應的內容。若 x-bit 無法 順利偵測出，則隨機指定的 unit-word 碰巧猜中 所對應的內容之機率為

wj

wj

wj

wj 1

2^v。

圖 3.4.1:為一個 =4 的例子，說明 x-bit v

若無法順利偵測出，會隨機給定一個 unit-word。

如下圖所示，解碼程序為編碼程序的反向動作，先將編入 X-word 的第 階 FC 經過 x-bit decoding，解出第 階的 FC 且不含 X-word，再將 個第 階 FC 通過 次的 FC-decoder，使碼字 C 順利解調出。最後再將 C 以(n，k) RS-decoder 解碼，則原始鑰匙(key)應運而生。

L

L N_L L

L

圖 3.4.2:整個解碼過程。

假設W為一個第 階 FC，且W中含有u個 X-word。W可以表示為

增加，已知α 為A 對_x μ最大偏差量，則α 越大，代表 x-bit 越不精準。

當α^'等於零時， 產生最大值，但 的最大值還是很小，表示經由兩次讀 取程序偵測 X-word 正確的機率不高。圖 3.5.1 為一個

Pd P_d

6

v= ，β=2 和 = 的 例子，圖中當

Pe 10⁻⁵ α'增加時，P 的遞減量很小，故我們並不能從 準確的區分出 x-bit 的精準度，這是我們希望改善的，其方法稍後會提出。

d Pd

圖 3.5.1:水平座標為α^'，垂直座標為P_d。

圖3.5.2:顯示整體系統的解碼流程圖

已知有 個 X-word 與 s- 個正規字在W中，當 經過兩次讀取程序後，剛好有 為RS−decoder的最大更錯能力(max number of correctable errors)，若 ，則Y 會正確解碼。故 正確的機率以 表示為

在這裡，P_j代表第 j 階EC 正確的機率，而P_j−1代表第 j− 階 EC 正確的機率，1 由(3.5.7)式可以知道不同階 EC 正確的機率為一疊代關係( recursive relationship )。

圖 3.5.3: P_j在不同階數下對α^'的圖形，在 此，L=4，s=63，m=13，b=8, v=6，β = 2

u=33。

圖3.5.3 顯示 在不同階數下對P_j α^'的圖形。由圖中可以得到一個很重要的 結果，即各階 EC 正確的機率會相交在同一點，我們令這點的水平座標為α^'_c，

垂直座標為 ，則 為此交點的座標表示式，又 稱為截止機率

(cutoff- probability) 。

cutoff

P (α^'_c,P_cutoff) P_cutoff

我們還可以發現階數越小的P_j，其對α^'的圖形越接近方波，所以圖3.5.3 中以P₁最接近方波，因為P₁的階數為最小。當α^' =α_c^'時，P₁=P_cutoff，在α α^'< _c^'的 區域中，所對應的P₁接近 1，而在 ^' >α_c^'

P3

的區域中，所對應的P₁接近 0。

α

以上的結果可以說明如下，考慮P₄與P₃在圖3.5.3 所對應的曲線，當 與P₄

相交在點(α^'_c,P_cutoff)，則α α^' = _c^'，P₃ =P₄ =P_cutoff，這告訴我們FC-decoder 程序

圖3.5.4: P_key對α^'在不同(s，m) RS−code下正確的機率，

最左邊的方波圖形為(63,13)的RS−code，由左而右依次為(63,11)、

(63,7)RS−code，在這裡，L= ，b=8，4 n=63，k=11。

圖3.5.4 中，P_key截止行為對於防盜拷是很重要的發現。我們回想α 是A_X對 μ的最大偏差量，P_key截止行為顯示當α^' <α_c^'，原始鑰匙可以被順利回復。由於

'

n

α α

=σ ，可以推得α α σ< _c^' _n時，鑰匙會順利回復。因為 x-bit 的反射率A_X=μ+q， 又 介於[q −α α, ]，故A_X落在[μ α μ α− , + ]區間中。將α 的上限α σ_c^' _n代入，若原 始鑰匙要順利復原，A_X必須落在[μ α σ μ α σ− _c^' _n, + _c^' _n]區間中。

在圖3.5.4 中，對於(63，13) RS-code 而言， ，若鑰匙要順利復 原，須滿足

' 0.325 αc ≈ (0.325) _n

α < ⋅σ 。這如同一個很緊的邊界，以α_c^'限制 x-bit 的反射率

，而讀取時會產生雜訊，其標準差

AX σ_n不同於其它的通訊系統之標準差，在讀

取的過程中產生的σ_n通常很小。

對於正版光碟的製造商，他們可以設計很好的設備，藉由這些設備將 x-bit 的反射率A_X控制在[μ α σ μ α σ− _c^' _n, + _c^' ]區間內。相對地，要將 x-bit 的反射率 控 制在

AX

[μ α σ μ α σ− _c' _n, + _c^' ]區間內，對於盜版商而言是非常困難的。基於人性，會 去盜版光碟的人都不是真正的有錢人，他們不會願意花費鉅額的資金來生產品質 好的產品。故把握這樣的想法，真正有錢的人不會願意當盜版商，而盜版商不會 願意花大錢，在成本考量下，可以有效的抑制盜拷行為。

圖 3.5.5: P_key對α^'_c在不同的 下，使用相同的(s，m) b RS−code，在這裡，L= ，s=63，m=13，n=63，k=13。 4

圖3.5.5 顯示參數b對 的影響，所以b是一個重要的參數，我們能夠利 用它得到我們想要的截止曲線。 增加時，代表第 L 階 FC 中 X-word 的個數增 加，相對地，正規字的個數減少。

Pkey

b

3.6 系統評比

過去所提出的防盜拷技術，不外乎是對光碟的內容做加密，而播放端的部份 鮮少有人去討論。我們的做法為利用硬體與軟體加密光碟，藉此打擊專業的盜版 商。一般而言，是沒有辦法可以絕對杜絕盜拷行為，所以我們能做的，只是提高 盜拷的困難度。我們的系統，可以提高拷貝光碟的困難度，藉著加入 x-bit 與使 用MWE 程序，如此在拷貝光碟時，必需使用極精密的燒錄設施。如果高精密的 燒錄設備被管控的很好，無法任意外流，則一般大眾無法使用低成本的燒錄器拷 貝光碟，同時專業的盜版商也能被預防。

MWE 程序實際上包含三種機制，第一 ﹕錯誤安插(error insertion)，我們安 插 x-bit 至光碟中，可以想成主動放入潛在性錯誤至光碟中，用來防止位元對位 元的盜拷。第二 ﹕錯誤更正(error correction)，雖然錯誤被加入到光碟中，但由 於RS−code具有更錯能力，能夠回復鑰匙。第三 ﹕錯誤散佈(error propagation)，

在多次的FC-decoder 之中，第 j 階EC正確的機率以 表示。如果 小於

，錯誤將會影響

Pj P_j

cutoff

P j− 階，所以1 P_j−1將會低於 。當 大於 時，錯誤會

越來越多，造成錯誤散佈的現象。根據這些機制， 對

Pj P_j P_cutoff

Pkey α^'_c的圖形將以方波的樣 子呈現，這是我們所樂見的結果。我們主動放入潛在性的錯誤至光碟中，但如果 安插的太多，超過系統的更錯能力時，P_key對α^'_c的圖形將不再以方波的樣子呈 現，而是降至 0，故 x-bit 並不能無限的加入。

在我們提出的系統中，假如專業的盜版商設法去偵測x bit− ，透過多重的讀 取程序(multiple read-detect process)，光碟裡全部x bit− 的位置是可以獲得的，故 原始鑰匙的內容是可以得知的。但是知道鑰匙的內容並沒有用處，因為解碼程序 被安置在播放機，這是無法修改的，盜版商無法去修改每一台光碟機的播放程 式。當拷貝的光碟被播放時，解碼程序會偵測光碟中的x bit− ，若光碟中根本沒 有x bit− ，或x bit− 的反射率A_X沒有落在[μ α σ μ α σ− _c^' _n, + _c^' _n]區間內，則播放機 會隨機給一把鑰匙，此錯誤的鑰匙與光碟中的內容做二位元加法，會產生不正確 的資料。

實際上，隱藏鑰匙並不是我們的目標，雖然很多防盜拷程序採用此方法，我 們傾向於提高拷貝光碟的困難度，在我們提出的結論當中，α^'_c扮演一個很重要 的角色，又α^'<α^'_c時，原始鑰匙可以復原，我們希望能降低α^'_c，藉以提升拷貝 光碟的困難度，在下一個章節都會以此為主要目標。

第四章 變形的系統

4.1 一對多的編碼與解碼

有鑑於圖3.5.1，X-word 正確機率 對於不同P_d α^'下，其差距並不大，我們

希望P_d對α^'的斜率能提升，這表示隨著 x-bit 製造的準確度稍加改變，X-word 正 確偵測的機率卻有著大幅度改變，故能提高盜拷光碟的困難度。

我們利用一個例子來說明我們的想法。考慮一 unit-word 由三個位元組成，

讓此unit-word 經過 word-extension process，產生長度為三個 unit-word 的 EC。換言之，此 EC 長度為九個位元，再加入 x-bit 成為 X-word。例如 101 是 一個unit-word 先將它展成 010 111 000 的 EC (由(3.1.4)得到)，接著將 此 EC 編入 x-bit 成為 010 1xx 0xx。 x-bit 並不是任意加至 EC，EC 中的 每一 unit-word，其開頭第一個位元不能加入 x-bit，這是以解碼端做考量，我們 稍後會論述。

假設一個unit-word 由 個位元組成，故有 個可能組合，則所對應的 X-word 之種類也要大於或等於 個可能。基於此點考量，EC 中的第一個 unit-word 我們不編入 x-bit，而 x-bit 只加入在第二個 unit-word 的第二或三個位 元，依此類推。如上例，X-word 之種類等於

v 2^v

2^v

5 4

2 3⋅ 個，遠大於原始 unit-word 種類數目2³個。

解碼時，我們放寬要求，不再要求所有的 x-bit 都要能正確偵測出，若 X-word 中有β個 x-bit，經兩次讀取程序，至少能偵測出 g 個以上的 x-bit，就認為此

X-word 正確(g< )，再經由對照表(mapping table)恢復成原始 unit-word。 β

圖4.1.1 : 在此β = ，g=3，經過兩次讀取後 4 若產生如上九種結果，都會對應回 EC =

010 111 000。

如上圖4.1.1 所示，假設 X-word 含有β = 4 個 x-bit，且 g=3，只要能順 利偵測3 個以上的 x-bit，則認為此 X-word 正確，故經由兩次讀取程序所認定正 確的訊號都能恢復成010 111 000 的 EC，再經過 EC-decoder 返回原始 unit-word 101。

若 X-word 在兩次讀取程序中無法讀出 g 個以上的 x-bit，我們就認為此 X-word 不正確。例如 X-word 在兩次讀取程序中判定為 010 11x 01x，只 偵測出兩個 x-bit。我們讓兩次讀取判定的 X-word，第一個 unit-word 中的第一個 正規位元變為其補數，故第一個位元由0 變成 1，重新給定的結果為 110 11x 01x，如果此 X-word 在對照表中無法發現，則在 x-bit decoder 中，對裡面的 x-bit，

指定成第一次讀取結果，則經 x-bit decoder 成 110 110 010，再經過 EC-decoder(由(3.1.5)式) ，可以返回成 unit-word 010。按照這樣的程序編 碼與解碼，我們可以保證若無法偵測出g 個以上的 x-bit 之 X-word，經解碼後的 unit-word 010，其第一個位元 0，與原始 unit-word 101 的第一個位元 1，

一定不會相同，故解碼後的unit-word 必定不正確。

將原始unit-word 編碼為 EC，再以上述的程序加入 x-bit，這種編碼程序我 們稱為一對多編碼(one to many encoder)，而相對應的解碼程序稱為一對多 解碼(one to many decoder) 。由圖 4.1.1 得知，X-word 有可能讀出九種不 同的結果，但都對應回unit-word 101，故命名為一對多編碼。對一個 X-word 而言，β個 x-bit 能正確偵測 g 個以上 x-bit 的機率以Pd 表示，故 _g

由圖4.1.2 得知，隨著β增加，Pd 對_g α^'圖形的斜率越大。隨著α^'增加，Pd 越_g 小，故在不同α^'下，X-word 正確的機率，差距越加擴大。

圖4.1.3 :圖中曲線由上而下分別為 β=20，g=4，j =5，v=6

β=20，g=10， j =5， =6 v β=20，g=13， j =5， =6 v

且水平座標為α^'，垂直座標為Pd 。 _g

由圖4.1.3 可知，我們可以藉由控制 X-word 中正確偵測 x-bit 的個數 g 來 得到我們想要的 X-word 之機率。若我們希望 X-word 正確偵測機率高，就讓 g 小，希望 X-word 正確偵測機率低，就讓 g 大，故 X-word 正確偵測機率變得具 有選擇性。

4.2 變形的系統

之編碼

圖4.2.1 : 變形的系統Ι 之編碼流程圖

基於降低α^'_c的目標，我們提出變形系統Ι。我們的方法是先將原始鑰匙中，

任意一個長度為 個位元的unit-word 以第一階 FC 編碼，產生一個長度為 個

任意一個長度為 個位元的unit-word 以第一階 FC 編碼，產生一個長度為 個