S4： 圖 16 的答案是錯誤的，計算過程是對的，但最後的計算答案不對。
S5： 圖 17 的算法是計算三個完整圓形，而非三個半圓形。
T：這是「分割」的題目，要將半圓或四分之一圓從圖形中切割出來，重新組合成 一個完整圓，題目不難理解，計算時要小心注意。
S8： 圖 18 答案是錯誤的，應該是 307.72 平方公尺！
S9： 圖 19 將斜線的四分之一圓填到白色半圓的地方，斜線部分的面積就是全部的一 半，所以 12×6＝72。
圖16. 運動場之複合圖形表現
陳嘉皇、吳碧智 圓形解題學習軌道研究 25
圖17. 三個半圓之複合圖形表現
圖18. 太極圖形之複合圖形表現
圖19. 花朵之複合圖形表現
（二）學習單之表現
1. 各題的作答正確率從表 5 學生作答正確率與學習單的表現發現，學生在第三和第四題的作答錯誤比例較高
（約有 20%），尤其對低分組學生而言是種挑戰，學生作答錯誤的原因分為兩種，一是對數字 運算錯誤，導致答案錯誤；另一是忽略圖形的變化，會將二分之一的圓形視為是完整的圓形 而帶入公式運算，此發現與沈佩芳（2002）和譚寧君（1994）的研究結果相似。分析此現象 的原因牽涉到學生對圓面積公式應用的理解，以及部分圓形圖形和整體圖形之間關係的辨 識，因此教師在教導學生解複合圖形題目時，除對圖形分合移補技巧的傳授外，對於操作後 圖形部分和整體之間關係的詮釋亦是重點，如此結合技術和概念，才能讓複合圖形面積解題
26 圓形解題學習軌道研究 陳嘉皇、吳碧智 成功。
表 5
「分割」和「移補」之作答分析
下列複合圖形，請計算它們的斜線部分面積（見圖20～24）。
第一題 答對人數24人 作答正確率96%
答錯人數 1人 作答錯誤率 4%
錯誤類型：放棄作答（1人）
圖20. 學生的正確答案
第二題 答對人數24人 作答正確率96%
答錯人數 1人 作答錯誤率 4%
錯誤類型：放棄作答（1人）
圖21. 學生的正確答案
（續）
陳嘉皇、吳碧智 圓形解題學習軌道研究 27
表 5
「分割」和「移補」之作答分析（續）
第三題 答對人數19人 作答正確率76%
答錯人數 6人 作答錯誤率24%
錯誤類型1：放棄作答（1人）
錯誤類型2：概念錯誤（2人）
錯誤類型3：計算錯誤（3人）
圖22. 學生的錯誤答案
第四題 答對人數20人 作答正確率80%
答錯人數 5人 作答錯誤率20%
錯誤類型1：放棄作答（1人）
錯誤類型2：計算錯誤（4人）
圖23. 學生的正確答案
（續）
28 圓形解題學習軌道研究 陳嘉皇、吳碧智 表 5
「分割」和「移補」之作答分析（續）
第五題 答對人數23人 作答正確率92%
答錯人數 2人 作答錯誤率8%
錯誤類型1：放棄作答（1人）
錯誤類型2：概念錯誤（1人）
圖24. 學生的正確答案
（三）課後訪談紀錄
L13： 瞭解「分割後再重組」及「分割後再填補」之使用時機，但在計算時仍有粗心 大意的情形發生。
【教師對學生反應的分析】
學生能運用「分割」和「移補」之面積運算技巧，將複合圖形組合成可以運算的簡單幾 何圖形，多數學生會用視覺觀察來判斷「分割」和「移補」之使用時機。
（四）教師自我省思
1. 學習目標大多數學生能運用「分割」和「移補」的技巧，將複合圖形切割組成可運算的簡單幾何 圖形，判斷「分割」和「移補」後公式使用的時機。但少部分低分組學生會忽略圖形部分和 整體之間的關係，影響應用公式計算的正確性。教師應提醒學生，利用觀察判斷時，要注意 圖和圖之間的「相容性」，避免過早定論而忽略數學思考，造成誤判之結果。另部分低分及中 分組的學生會因粗心大意而計算錯誤，教師應提供足夠的練習機會，讓其能多加練習，以臻 熟練。
陳嘉皇、吳碧智 圓形解題學習軌道研究 29
2. 課程設計
提供課後的練習試題，讓學生多做練習，以達「熟能生巧」之境地。
Corcoran等（2009）認為面對新的數學任務時，對學生應具備的必要能力或精熟度需做深 入理解。本任務發現學生可判斷「分割」和「移補」後公式使用的時機，但少部分低分組學 生會忽略圖形部分和整體之間的關係與計算技巧的熟練和精確性，影響應用公式計算的正確 性，因此，教師在學生運算歷程間有關圖形和面積公式的連結，可在教學歷程予以強化說明，
並在計算上予以熟練的機會，提升解題正確率。