（一）師生課室互動
S4： 圖 25 的答案是錯誤的，把斜線面積當成一個大半圓來計算，但大半圓下面的那 個中半圓不能移補到空白的小半圓去，因為它們的直徑沒有一樣長。
S5： 圖 26 的答案也不對，算法是將半徑 14 公尺和半徑 22 公尺的兩圓面積相加，可 是他沒有扣除裡面那兩塊白色的面積及重複計算的部分，這樣一來，計算答案 會比正確答案還來得大。
圖25. 太極複合圖形錯誤之表現 圖26. 標靶型複合圖形錯誤之表現
（二）學習單之表現
1. 各題的作答正確率從表 6 學生作答正確率與學習單的表現發現，可從上述圓形複合圖形解題表現得知，不 少低分和中分組學生在這些需進行多次分解和組合的圖形作答錯誤（約 20%～40%的學生），
呈現的錯誤反應包含無法掌握圖形部分和整體之間的關係（例如沒有扣除白色不必要的部分 面積）、運算錯誤（誤用公式或計算不正確）、學習動機低落（不想接受挑戰）等問題。針對
30 圓形解題學習軌道研究 陳嘉皇、吳碧智 這些反應，教師在圖形的分割移補教導時，宜針對圖形的特性，提供學生辨識、說明和論證 的機會，鼓勵其先行嘗試運用聰慧的策略將圖形的結構釐清，再者運用公式解題，以掌握圖 形轉換後的部分和整體關係。對於計算錯誤和學習動機低落部分，教師需強調後設認知策略 和技巧，為圓面積計算常見的模組題目熟記答案，以減少繁雜運算帶來的負向心理反應，提 升作答正確率，增強學生解題信心。
表 6
「填補」和「其他策略」之作答資料分析
下列複合圖形，請計算它們的灰色部分面積（見圖 27～29）。
第一題 答對人數19人 作答正確率76%
答錯人數 6人 作答錯誤率24%
錯誤類型1：放棄作答（1人）
錯誤類型2：概念錯誤（2人）
錯誤類型3：計算錯誤（2人）
錯誤類型4：計算不全（1人）
圖27. 學生在太極複合圖形的正確答案
（續）
陳嘉皇、吳碧智 圓形解題學習軌道研究 31
表 6
「填補」和「其他策略」之作答資料分析（續）
第二題 答對人數20人 作答正確率80%
答錯人數 5人 作答錯誤率20%
錯誤類型1：放棄作答（1人）
錯誤類型2：計算錯誤（3人）
錯誤類型3：計算不全（1人）
圖28. 學生的正確答案
第三題 答對人數15人 作答正確率60%
答錯人數10人 作答錯誤率40%
錯誤類型1：放棄作答（4人）
錯誤類型2：概念錯誤（3人）
錯誤類型3：計算不全（3人）
（續）
32 圓形解題學習軌道研究 陳嘉皇、吳碧智 表 6
「填補」和「其他策略」之作答資料分析（續）
圖29. 學生在標靶型複合圖形錯誤的答案
（三）教師自我省思
1. 學習目標大多數學生能觀察和理解如何運用「填補」技巧將無法直接計算的複合圖形化成可計算 的簡單圖形，並運用「文字或符號」和「分配律」來簡化計算過程，正確計算答案；低分組
陳嘉皇、吳碧智 圓形解題學習軌道研究 33
（侯雪卿，2004；陳嘉皇，2004；譚寧君，1994；Nguyen, 2010），但在本研究複合圖形解題 部分，辨識圖形要素與結構之間的關係這些能力似乎對正確解題所需的計算技巧影響更重；
另檢視學生作答內容，多數直式計算紛亂，可要求計算時先以「文字或符號」註明欲求面積 之組成部分，再依組成要素列出橫式計算，運算式子若有共同的數字，則使用「分配律」做 簡化，使計算過程清楚，事後更容易檢查答案。
Corcoran等（2009）認為執行 HLTs 要能成功可藉由數學之核心概念和議題進行任務設 計，從學生在任務進展中呈現的表現辨識、說明學生數學概念的發展，並在軌道執行歷程進
34 圓形解題學習軌道研究 陳嘉皇、吳碧智
陳嘉皇、吳碧智 圓形解題學習軌道研究 35