定理一： 假設
φ
1, ..., φ
k是Genzen 系統中的一個推論，其中第 i 行 φ
i所 用到未釋放的前提是Γ
i。那麼Γ
k ٧ φk成立。證明：我們用數學歸納法證明對任何的i (1 ≤ i ≤ k)，Γi ٧ φi 都會成立。
當i=1 時，Γ1就是 {φ1}（因為第 1 行一定是個假設，所以 φ1用到 的假設就是它自己）。因此 {φ1}٧ φ1 顯然成立。
假設：對於所有小於或等於j 的 i 而言，Γi ٧ φi 都成立。宣稱：對於 j+1 而言，Γj+1 ٧ φj+1 也會成立。
要證明這個宣稱，我們可以區分不同的情況逐項討論。
情況1：φj+1是一個「假設」。這時φj+1的未釋放前提Γj+1包含了φj+1 本身，也就是說 φj+1א Γj+1，因此Γj+1 ٧ φj+1 成立。
情況2：φj+1是透過（MP）推論規則得來。這表示會有某個 m 與 n，
1 ≤ m ≤ j 且 1 ≤ n ≤ j，使得 φj+1是透過（MP）從 φm 與φn 推來的，而其 中φm = φn ـ φj+1。根據歸納法假設，Γm ٧ φm且Γn ٧ φn。但因為在第j+1 步時，φm與φn 都是可以使用的語式，因此 Γm كΓj+1 且 Γn كΓj+1。因此，
Γj+1 ٧ φm且Γj+1 ٧ φn。所以Γj+1 ٧ φj+1（因為 φm = φn ـ φj+1）。
情況3：φj+1是透過（MT）（Conj）（Simp）（DS）（HS）（Add）（CD）
（DN）（DeM）（Comm）（Assoc）（Dist）（Contra）（Impl）（Equiv）（Exp）
（Taut）等規則其中一條得來的。這時我們可以用類似情況 2 的方式，
證明Γj+1 ٧ φj+1也會成立。
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情況4：φj+1是透過「條件證法」（CP）得來。這表示會有某個 m (1 ≤ m ≤ j)，使得 φj+1是從φm 的假設推到φj，然後用（CP）將 φm的假設釋放 得來，而φj+1 = φm ـ φj（見圖十九）。這時因為第j 步可以用的假設除了 在下一步被釋放的φm 之外，都是第 j+1 步可以用的假設，因此我們有 Γj ك Γj+1∪{φm}。根據歸納法假設，Γj ٧ φj成立，因此Γj+1 ∪{φm}٧ φj， 因此Γj+1 ٧ φm ـ φj，也就是Γj+1 ٧ φj+1。
圖十九：(CP）的使用
情況5：φj+1是透過「反證法」（RAA）得來。這時我們可以用類似 情況4 的方式，證明 Γj+1 ٧ φj+1也會成立。
情況 6：φj+1是透過（UG）得來。這表示 φj+1 是形如 (x)ψ(x) 的 語式，且是從之前某個第m 步中的 ψ(a) 透過（UG）得來（見圖二十）。
圖二十：（UG）的使用
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在這裡的「個例項」a 會滿足（UG）的限制（見圖六），也就是說，a 沒 有出現在 (x)ψ(x) 中，也沒有出現在未釋放的前提（即 Γj+1）中。因為 在第j+1 步時，第 m 步的 ψ(a) 是可以使用的語式，因此 Γm كΓj+1。根據 歸納法假設，Γm ٧ φm，也就是說Γm ٧ ψ(a)，因此我們可推得 Γj+1 ٧ ψ(a)。
因為「個例項」a 沒有出現在 Γj+1或 (x)ψ(x) 中，因此我們可以進一步 推得Γj+1٧ (x)ψ(x)。
（證明：在傳統Tarski 語意下，我們要證明 Γj+1٧ (x)ψ(x)，也就是 說，假設給定了任何的一個詮釋I，以及 I 上面的 variable assignment σ，
使得 σ 在 I 上面滿足 Γj+1中的語式，我們要證明σ 在 I 上面也會滿足 (x)ψ(x)。也就是說，我們要證明，對於 I 論域中的任何東西 d，σ[x/d] 在 I 上會滿足 ψ(x)。現在，對於 I 論域中的任何東西 d，我們都可以建構另 一個詮釋 I*，是與 I 完全相同但把 a 的語意值換成 d。因為 a 沒有出現 在 Γj+1或 (x)ψ(x) 中，我們很容易可以證明，Γj+1∪{(x)ψ(x)} 中的語 式在I* 與 I 上會有一樣的真假值。這表示 σ 在 I*上面也會滿足 Γj+1中的 語式，因此從Γj+1 ٧ ψ(a) 我們可推得 σ 在 I*上面也會滿足 ψ(a)。因此，
σ[x/d] 在 I*上會滿足 ψ(x)（因為 a 在 I*中的語意值是 d），因此σ[x/d] 在 I 上也會滿足 ψ(x)。故得證。）
情況 7：φj+1是透過（UI）或（EG）得來。這時我們可以用類似情 況6 的方式，證明 Γj+1 ٧ φj+1也會成立。
情況8：φj+1是透過（EI）得來。這表示之前在某個第 m 步中出現了 某個存在語句 (x)ψ(x)，而在某個第 n 步時我們假設了 ψ(a)，然後在第 j 步時推出了φj+1，並用（EI）把第 n 步的假設釋放（見圖二十一）。
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圖二十一：（EI）的使用
在這裡的「個例項」a 會滿足（EI）規則的限制（見圖七），也就是說，
a 沒有出現在未釋放的前提（即 Γj+1）中，也沒有出現在 (x)ψ(x) 或 φj+1
中。同樣的，因為第m 步是第 j+1 步可以用的語式，因此我們有 Γm ك Γj+1。 此外，因為第j 步可以用的假設除了在下一步被釋放的 ψ(a) 之外，都是 第j+1 步可以用的假設，因此我們有 Γj ك Γj+1∪{ψ(a)}。根據歸納法假設，
Γm ٧ φm 與Γj ٧ φj成立，也就是 Γm ٧ (x)ψ(x) 且 Γj ٧ φj+1，因此我們可以 推得Γj+1 ٧ (x)ψ(x) 與 Γj+1∪{ψ(a)} ٧ φj+1。因此，Γj+1∪{φj+1} ٧ ψ(a)。
而因為 a 沒有出現在 Γj+1中，也沒有出現在 (x)ψ(x) 或 φj+1 中，如同 情況6 中的證明，我們可以推得 Γj+1∪{φj+1} ٧ (x)ψ(x)。因此，
Γj+1∪{(x)ψ(x)} ٧ φj+1，因此Γj+1٧ (x)ψ(x) ـ φj+1。但因為Γj+1 ٧ (x)ψ(x) 成立，所以Γj+1٧ φj+1 成立。
現在，我們已經窮盡所有的情況，因此我們證明了我們的宣稱Γj+1٧ φj+1 在所有的情況下都成立。所以根據數學歸納法，對任何的i (1 ≤ i ≤ k)，
Γi ٧ φi都會成立。