引理二： 假設
φ
1, ..., φ
k是Copi-Kahane 系統中的一個推論，其中第 i 行 φ
i 所用到未釋放的前提是Γ
i。如果在這個推論中，沒有用到任何 的（EI）規則，那麼 Γk ٧ φk 成立。證明：這裡的證明與Gentzen 系統的妥當性證明類似（見定理一）：我們 用數學歸納法證明對任何的i (1 ≤ i ≤ k)，Γi ٧ φi都會成立。在證明的過 程當中，情況1 到情況 5 是和 Gentzen 系統一模一樣。在情況 6（UG）
的部分，因為 Copi-Kahane 系統也會要求「個例項」不能出現在未釋放 的前提或全稱語句 (x)ψ(x) 中，我們只要在 Gentzen 系統的情況 6 證明 中，把「常元」改成「變元」，並做出其它必要的更改，就可以證出 Copi-Kahane 系統的（UG）情況。而情況 7 也是如此。此外，因為在這 裡我們假設這推論中沒有用到任何的（EI）規則，因此情況 8 不會出現。
引理三：假設我們可以證明對於任何
Copi-Kahane 系統的推論 D = φ
1, ..., φ
n，只要D 是個「已完成的推論」且在此推論中（EI）規則總 共用了k 次，則 Γ
n ٧ φn會成立。那麼，我們就可以證明，對於任 何Copi-Kahane 系統的推論 D = φ
1, ..., φ
n，只要D 是個「已完 成的推論」且在此推論中（EI）規則總共用了 k+1 次，則 Γn ٧ φn 會成立。（這裡「已完成的推論」的定義是此推論的最後一行語 式中，沒有出現任何的自由變元。）證明：假設我們已經證明了對於任何Copi-Kahane 系統的推論 φ1, ..., φn， 只要φ1, ..., φn是個「已完成的推論」且在此推論中（EI）規則總共用了 k 次，則 Γn ٧ φn會成立。
臺灣大學學術期刊資料庫
現在，給定任何Copi-Kahane 系統的推論 D = φ1, ..., φn，並假設D 是個「已完成的推論」且在此推論中（EI）規則總共用了 k+1 次。我們 現在要證明對這個推論D 而言，Γn ٧ φn會成立。
因為在 D 中，（EI）規則總共用了 k+1 次，我們不妨假設（EI）規 則第一次的使用是在第j 步，從某個第 i 行的存在語句 (x)ψ(x) 中推出 第j 步的 ψ(u) 來（見圖二十二）。
圖二十二：推論D 圖二十三：推論 D*
現在，我們可以建構另外一個推論D*，是和原本的推論 D = φ1, ..., φn
一樣，只是在第j 步前多插入了一個語式 (x)ψ(x) ـ ψ(u) 在第 j – 步作 為假設，並且我們把第 j 步的推論理由，從（EI）改成（MP）。換句話 說，D* = φ1*, ..., φj-1*, φj-*, φj*, ..., φn*，其中對任何的 m 而言， φm* = φm， 而 φj-* = (x)ψ(x) ـ ψ(u)。因此，D* 總共有 n+1 個步驟，而且對於任何 m ≥ j，Γm* ك Γm∪{(x)ψ(x) ـ ψ(u)}（見圖二十三）。
宣稱：D* 確實是 Copi-Kahane 系統中的合法推論，也就是說，D* 的 每一步都會符合Copi-Kahane 系統推論規則的規定。
臺灣大學學術期刊資料庫
要證明這個宣稱，我們只需證明D* 每一次（EI）或（UG）規則的 使用都符合規則的限制就可以了。（這是因為D* 只是比 D 多加了第 j – 步並把第j 步的推論理由變更，而這樣的改變不會對任何（EI）與（UG）
以外的規則造成影響。）
圖八：Copi-Kahane 系統（UG）規則 圖九：Copi-Kahane 系統（EI）規則
先考慮（EI）規則，我們要證明 D* 中任何（EI）規則的使用都會 符合Copi-Kahane 系統對（EI）規則的限制（見圖九）。因為原本的D 推 論已經是Copi-Kahane 系統合法的證明，因此限制 1 顯然在 D* 裡也會 滿足。針對限制2，我們不妨假設是在 D* 中的第 m 步我們用了（EI）
規則。然而，因為我們已經假設了原本D 推論的第 j 步是在 D 當中第一 次使用（EI）規則，所以任何 D 推論中其他的（EI）步驟都會出現在第 j 步之後，因此，D* 第 m 步的（EI）會是在第 j 步之後。我們現在要證 明這個第m 步的（EI）會符合限制 2。但因為 D 是 Copi-Kahane 系統合 法的推論，根據（EI）的限制，第 m 步（EI）的「個例項」沒有自由的 出現在任何一個之前的步驟中，包括第j 步的 ψ(u) 之中。因此，D* 第 m 步（EI）的「個例項」也沒有自由的出現在何一個之前的步驟中，包括 新加入的第j – 步 (x)ψ(x) ـ ψ(u)。因此，限制 2 也會滿足。
臺灣大學學術期刊資料庫
現在考慮（UG）規則，同樣地我們要證明 D* 中任何（UG）規則
Γn*ك Γn∪{(x)ψ(x) ـ ψ(u)}，而 φn* = φn，因此Γn∪{(x)ψ(x) ـ ψ(u)} ٧ φn 會成立。此外，因為 D 已經是 Copi-Kahane 系統合法的證明，所以第 j 步（EI）的「個例項」u 沒有自由地出現在之前任何步驟中，因此 u 不 會自由地出現在Γn中。而因為D* 是個「已完成的推論」，所以u 也不會 自由地出現在最後一行φn中。
宣稱：假設 (i) Γn∪{(x)ψ(x) ـ ψ(u)} ٧ φn，且 (ii) u 沒有自由地出現 在Γn或φn裡，則Γn ٧ φn。
要證明這個宣稱，我們可以注意到Γn∪{(x)ψ(x) ـ ψ(u)} ٧ φn等價於 Γn∪{φn} ٧ [(x)ψ(x) ـ ψ(u)]。而因為 u 沒有自由地出現在 Γn∪{φn} 裡，因此我們可以推得Γn∪{φn} ٧ (u)[(x)ψ(x) ـ ψ(u)]，等價於 Γn∪ {φn} ٧ (u)[(x)ψ(x) ـ ψ(u)]，等價於 Γn∪{(u)[(x)ψ(x) ـ ψ(u)]} ٧ φn。 但因為(u)[(x)ψ(x) ـ ψ(u)] 是個恆真句，因此我們可以推得 Γn ٧ φn。
根據這個宣稱，以及前段所得到的結果，我們因此完成了引理三的 證明。
定理四： 假設φ1, ..., φn是Copi-Kahane 系統中的一個「已完成的推論」，
其中第i 行 φi所用到未釋放的前提是Γi。那麼Γn ٧ φn成立。
證明：根據引理二與引理三的結果，我們可以用數學歸納法針對 Copi- Kahane 系統「已完成推論」中（EI）的使用次數做歸納，證明定理四。