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三元一次聯立方程式

在文檔中 4B2C plane line R3 (頁 21-32)

因此,∆ 6= 0 , 則方程組的解為





x = ∆∆x y = ∆y

∆ z = ∆∆z

稱為 三元一次方程組的克拉瑪公式

解(Cramer’s rule)

⊚ 三平面幾何關係的代數判定:

坐標空間中三平面E1 : a1x+b1y+c1z = d1, E2 : a2x+b2y+c2z = d2, E3 : a3x+b3y+c3z = d3 的交點坐標, 相當於解三元一次方程組





a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

1. 恰有一組解, 則三平面恰相交一點。 (∆ 6= 0,三法向量彼此不平行、 不成比例)

1: 三平面恰相交一點

2. 若有無限多組解, 則三平面為

(a) 三平面互異且相交於一直線。(∆ = 0, ∆x= ∆y = ∆z = 0,三法向量彼此不平行、 不 成比例)

(b) 兩平面重合與第三平面相交一直線。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 有兩法向量成比 例)

(c) 三平面重合。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比例)

2: 三平面異且相交於一直線、 兩平面重合與第三平面相交一直線、 三平面重合

3. 若無解, 則三平面為

(a) 三平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交。(∆ = 0,x, ∆y, ∆z6= 0 , 三法向量彼此不平行、 不成比例)

(b) 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直線。(∆ = 0,x, ∆y, ∆z6= 0 , 兩法 向量平行與另一個不平行)

(c) 三平面互相平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比例)

(d) 兩平面重合且與第三平面平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比 例)

3: 平面兩兩相交一直線,且三直線互相平行不相交、 兩平面互相平行,分別與第三平面相交一直線、

三平面互相平行、 兩平面重合且與第三平面平行

1: 三元一次聯立方程式的解與三平面的幾何關係

代數判定 \ 關係 聯立方程式的解 平面幾何關係

∆ 6= 0 恰一解( ∆x

∆ ,

y

∆ ,∆z

∆ ) 三平面恰相交一點

∆ = 0 ∆x, ∆y, ∆z6= 0 無解 三平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交

x, ∆y, ∆z6= 0 無解 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直線

∆ = 0 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無解 三平面互相平行

x = ∆y = ∆z = 0 無解 兩平面重合且與第三平面平行

∆ = 0

x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 三平面互異且相交於一直線

x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 兩平面重合與第三平面相交一直線

x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 三平面重合

空間向量的線性組合:−⇀OA,−⇀OB為空間中兩不平行的非零向量,空間向量−⇀OP 能表示成形如−⇀OP = x−⇀

OA + y−⇀

OB 其中x, y 為實數, 稱為 −⇀OA,−⇀OB 的線性組合。

−⇀OA = (a1, b1, c1),−⇀OB = (a2, b2, c2),−⇀OC = (a3, b3, c3)為空間中兩兩不平行的非零向量,則 空間上任一向量 −⇀OP = (d1, d2, d3) 必能唯一表示成 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB + z−⇀OC 其中 x, y, z 為實數, 稱為 −⇀OA,−⇀OB,−⇀OC 的線性組合。

x, y, z 的解即為 (d1, d2, d3) = x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) + z(c1, c2, c3) 的解, 相當於解三 元一次方程組





a1x + a2y + a3z = d1

b1x + b2y + b3z = d2

c1x + c2y + c3z = d3

由 克拉瑪 公式可知, ∆ =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

6= 0 時(−⇀OA,−⇀OB,−⇀OC 不共平面) , 實數 x, y, z 有恰一解 ( ∆x

∆ ,

y

∆ ,∆z

∆ )

1. 平面直角坐標點 P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)是由 (1, 0), (0, 1) 兩基底(互相垂直) 向量組

−⇀ ⇀ ⇀

必為1。若係數和為1,表示 P, A, B 共線)

例題

範例 1: 用加減消去法解方程組





x + 2y − 3z = 5 3x + y − 5z = 12 x − 3y − 2z = 8

(解:)x = 1, y = −1, z = −2

演練 1a : 考慮 x, y, z 的方程組





2x− 3y + 5z = −1 2x+1+ 3y− 5z = 4 2x+1+ 3y+1+ a · 5z = 8

, 其中 a 為實數, 請選出正確選

?(1)(x, y, z) 是此方程組的解,x = 0 (2)(x, y, z) 是此方程組的解,y > 0 (3)若(x, y, z)是此方程組的解,則y < z (4)當a 6= −3,恰有一組解(x, y, z)滿足此方 程組 (5)a = −3,滿足此方程組的所有解 (x, y, z)會在一條直線上 1,2,5

演練 1b : 解方程組:





x + y + 2z = 2 2x + y − z = 4 x − y − z = 5

(237, −157 ,37)

演練 1c : 解方程組





x + 2y − 3z = 0 3x + 6y − 8z = 0 x − 2y − 5z = 4

。 x = 2, y = −1, z = 0

演練 1d : 解方程組





x + y + z = 9 3x − 2y + z = 5 7x − y − 2z = −7

。 x = 1, y = 2, z = 6

範例 2: 已知一二次函數 f (x) = ax2+ bx + c的圖形經過(1, 1), (2, 12), (−1, −9) 三點,求出此二

次函數? f (x) = 2x

2+ 5x − 6

演練 2a : 已知一二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 的圖形經過 (1, 2), (2, 3), (3, 6)三點, 求出此二次函

? f (x) = x

2− 2x + 3

演練 2b : 已知二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 滿足 f (−1) = 0, f(1) = 2, f(2) = −3 , 求實係數

a, b, c 值? a = −2, b = 1, c = 3

範例 3: 用加減消去法解三元一次聯立方程組





x − y + 2z = 3 2x + y + z = 3 x − 4y + 5z = 6

(解:)無限多組解;

x = 2 − t y = −1 + t z = t

, t∈ R

用加減消去法求方程組

3.

i. 方程組

演練 7a : ⊚ 判別三平面





E1 : 4x + y + z = 2 E2 : 13x + 3y + 2z = 7 E3 : 21x + 5y + 4z = 11

的相交情形?

相交一線;x = t, y = 3 − 5t, z = −1 + t, t ∈ R

演練 7b : ⊚設a, b, c, d, e 為實數, 已知一次方程組





ax + 3y + 5z = 0 y + cz = 0 2y + dz = e

的解的圖形是坐標空間

中包含 x軸的一個平面, 分別求a, b, c 之值? (0, 0,

5 3) 演練 7c : ⊚c 為實數,E1, E2, E3 皆為坐標空間中的平面, 其方程式如下: E1 : cx + y = c,E2 :

cy + z = 0,E3 : x + cz = 1,已知E1, E2, E3 有一個交點的z坐標為1,請選出正確選項?(1) (1, 0, 0) 是 E1, E2, E3 的一個交點 (2) E1, E2, E3 有無窮多個交點 (3) E1, E2, E3 中一定 有兩個平面重合 (4) c = 1 (5) E1, E2, E3 有一個交點的 z 坐標為2 1,2,5 範例 8: ⊚ 給定坐標空間四個向量 a = (1, 1, 1),−⇀

b = (1, 3, 4),−⇀c = (1, 2, 6),−⇀

d = (6, 13, 27) , 其中 d 可否表示成 a ,b , −c 的線性組合 d = x−a + yb + z−c ? 若可以, 求出其線性組

? x = 1, y = 2, z = 3

演練 8a : 坐標空間中, 可否找出向量 (1, 1, 3) 是向量 a = (4, 3, 2),−⇀

b = (−2, 1, 4), −⇀c = (1, 3, 5) 的線性組合。 即 (1, 1, 3) = x(4, 3, 2) + y(−2, 1, 4) + z(1, 3, 5) , 並說明三向量 a ,b , −c

的關係? 無解; 三向量共平面

習題12-3 三元一次聯立方程式

1. 解方程組:

6x − 8 = 7y 15x − 20 = 2y

2. 就實數k 值討論方程組

3x − y = 2

6x − 2y = k 的解?

3. 就實數k 值討論方程組

4x + 8y = 1

2x − ky = 11 的解?

4. 用克拉瑪公式解解方程組:

2x − y = −1 x +1

2y = 3 2

5. 利用克拉瑪公式解解方程組:

47x + 23y = 12 35x + 17y = 9

6. 利用克拉瑪公式解解方程組:

2x + 3y = −2

−6x + y = −34

7. 利用克拉瑪公式解解方程組:

5x + 7y = 13 2x − 5y = 13

8. 利用克拉瑪公式解解聯立方程組

0.01x − 0.03y = 0.06 0.13x + 0.10y = 0.20

9. 利用克拉瑪公式解解方程組:

 1

2x + y = −2 x − 2y = 8

10. 二次函數 f (x) = ax2+ bx + c 的圖形經過 (−1, −4), (1, 6), (3, 0)三點,求出此二次函數? 11. 二次函數 f (x) = ax2+ bx + c 的圖形經過 (1, 1), (2, 3), (3, 7)三點,求出此二次函數?

12. 利用加減消去法解方程組:





x + 2y − z = 4 2x + 5y + 3z = 31

3x − y + z = 7

13. 利用加減消去法解方程組:





3x − 2y + 7z = 80 5x + 3y − 4z = 2

2x + 5y + z = 42

14. 甲、 乙、 丙三人合作一工程, 若甲與乙合作能在2天完工, 若乙、 丙合作則4天完工, 而甲、 丙合 作則 2 25 天完工, 問甲、 乙、 丙三人單獨作工程各需幾天完工?

15. 利用加減消去法解方程組:





3x − 2y + 7z = 80 5x + 3y − 4z = 2

2x + 5y + z = 42

16. 利用加減消去法解方程組:





3p + 5q + r = 39 4p − q + 2r = 19 6p − 2q + r = 10

17. ⊚ 解三元一次聯立方程組





x − y + 2z = 3 3x − 2y + 5z = 6 2x − 5y + 7z = 10

18. ⊚ 解三元一次聯立方程組





2x + y + z = 7 3x + y − z = 6 7x + 2y − 4z = 11

19. ⊚ 就實數 a 值,討論三平面

. . . .教用版附答案. . . .

在文檔中 4B2C plane line R3 (頁 21-32)

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