12
空間中的平面與直線
12.1
平面方程式
平面的法向量: 坐標空間中, 一個以非零向量−⇀n 的直線L與平面垂直,則稱−⇀n 為平面E 的一個法 向量,記為 −⇀⊥ E 平面方程式: 平面上任兩點的向量有共同的法向量, 且平面的法向量均 //−⇀n , 若確定平面的法向量 −⇀n 及平面上任一點 P (x0, y0, z0) 可決定其方程式。(點法式) 若法向量 −⇀n = (a, b, c) 垂直平面 E上的所有直線,P (x0, y0, z0) 在平面E 上,則點法式: (a, b, c) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0, 即a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 化簡 可得平面方程式 E : ax + by + cz = d 其中 d = ax0+ by0+ cz0 , 一般式: 故在坐標空間中平面方程式可表成三元一次方程式的形式 E : ax + by + cz + d = 0 , 其中 (a, b, c)為平面的一個法向量。 方程式 x + y = 0在平面坐標上的圖形為一直線。 若在空間中則表示 x + y + 0z = 0其圖 形為一平面。 平面截距式: 平面與三坐標軸交於 (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)三點, 則平面方程式 E : xa +yb+ zc = 1 此時的平面法向量為(1 a, 1 b, 1 c) C O A B 兩平面的夾角 θ, π − θ : cos θ = −n1⇀· −n2⇀ |−n1⇀||−n2⇀| E1, E2之夾角θ, π−θ其中之一與其兩平面法向量−n⇀1, −n⇀2 夾角相同,利用向量內積可得cos θ = −n1⇀· −n2⇀ |−n1⇀||−n2⇀| E1 θ E2 B A C n1 n2 π− θ π− θ θ
點 P (x0, y0, z0) 到平面 E : ax + by + cz + d = 0 的距離: d(P, E) = ax0√+ by0+ cz0+ d
P (x0, y0, z0) 到平面E : ax + by + cz + d = 0 距離。 利用解析法:P在 E上的垂足點 H, 假設 PH 直線的參數式, 且H 點在平面 E 上。 則 d = P H 或 d(P, E) = P H = |−⇀QP || cos θ| = |−⇀QP || −⇀ QP · −⇀n |−⇀QP ||−⇀n || =| (x0− x, y0− y, z0− z) · (a, b, c) |(a, b, c)| | = ax0√+ by0+ cz0 + d a2 + b2+ c2 E P(x0, y0, z0) H P′ Q(x, y, z) −⇀n θ 兩平行面距離: 兩平面E : ax + by + cz + d1 = 0, F : ax + by + cz+2 = 0 則兩平行面 E, F 距離為d(E, F ) = |d(P, E) − d(P, F )| = √|d1− d2| a2+ b2+ c2 平面簇: 若E1, E2, E3 為有共同交線的平面, 則E3 : E1+ kE2 = 0 , k ∈ R
三平面E1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0, E2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0, E3: a3x+b3y+c3z+d3 = 0 若有共同交線,則聯立方程式E1, E2 與E1, E3的解集合相同。 即E1−E2 = 0 ≡ E1−E3 = 0 , 故存在實數 s, t 使得 s(E1− E2) + t(E1 − E3) = 0 可得 E3 = s+tt E1− stE2 , 同除以 s+tt , 可令 E3 : E1 + kE2 = 0 , k ∈ R
例題
範例 1: 平面 E : x + 2y + 3z = 4 包含下列哪些向量? −⇀ A = (1, −2, 1),−⇀B = (1, 2, 3) , −⇀C = (1, 1, −1),−⇀D = (−3, 2, 1) ; 又下列哪些點在平面 E上?P (1, −2, 1), Q(1, 2, 3),R(1, 1, −1), S(−3, 2, 1) −⇀ A ,−⇀C ;S 演練 1a : 指出下列平面方程式的法向量? 1. E : 2x + 3y − z = 8 (2, 3, −1)t 2. E : 3x − y = 1 (3, −1, 0)t 3. E : z = 2 (0, 0, 1)t 4. E : x = 0 (1, 0, 0)t 演練 1b : 兩平面 ax + y − 3z = 1 、ax + 2y + az = 2互相垂直,求實數 a 值? a = 1, 2 演練 1c : 分別求 xy 平面, 與yz 平面方程式? z = 0;x = 0 演練 1d : 令A(5, 0, 12), B(−5, 0, 12)為坐標空間中兩點,且令P 為xy 平面上滿足P A = P B = 13 的點, 請問下列哪一個選項中的點可能為 P ? (1) (5, 0, 0) (2) (5, 5, 0) (3) (0, 12, 0) (4) (0, 0, 0) (5) (0, 0, 24) 4範例 2: 求通過點 P (3, 2, 1) 和平面x − 2y + 3z = −4 平行的平面方程式? x − 2y + 3z = 2 演練 2a : 空間中,到兩點P (1, 2, 3), Q(5, 2, 7)等距離的軌跡為何?並求出其方程式? 平面; x + z = 8 演練 2b : 求通過點 P (1, −2, 3) , 法向量為 (4, 5, −6) 的平面方程式? 4x + 5y − 6z + 24 = 0 演練 2c : 若平面方程式 E : x − 2y + 3z − 6 = 0, 求平面法向量的單位向量? ± 1 √ 14(1, −2, 3) 演練 2d : 求通過點 P (1, 1, 1) 且垂直平面 x + 3y − z = −1 與 2x − 4y + z = −5 的平面方程式? x + 3y + 10z = 14 範例 3: 求過 A(1, −1, 2), B(2, 0, 4) 和C(3, 2, 5) 三點的平面方程式? E : 3x − y − z = 2 演練 3a : 求過 A(1, 0, 1), B(2, 4, 6)和C(1, 2, −1) 三點的平面方程式? E : 9x − y − z = 8 演練 3b : 求過 A(−1, 2, 0), B(3, 1, 1) 和C(1, 0, 3)三點的平面方程式? x + 10y + 6z = 19 演練 3c : 求過 A(1, −2, −3), B(5, 2, 1) 和C(−1, −4, −5) 三點的平面方程式? E : ax + by − (a + b)z = 4a + b 演練 3d : 平面 E 經過點 P (1, 2, 3) 且在第一卦限與三坐標軸平面所圍成四面體體積為最小, 求此平 面E 方程式? 及此時所圍四面體體積? 6x + 3y + 2z = 18;27 範例 4: 求過 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0)和 C(0, 0, 3) 三點的平面方程式? 並求此平面的單位法向量? C O A B (解:)x + y 2 + z 3 = 1;± 1 7(6, 3, 2) 演練 4a : 一平面與三坐標軸交點分別為 (2, 0, 0), (0, −5, 0), (0, 0, 4) , 求此平面方程式? E : x 2 + y −5 + z 4 = 1 演練 4b : 四面體O − ABC ,若已知OA = 1, OB = 2, OC = 3 , 且兩兩互相垂直,三角形ABC 與 三角形 OAB的銳夾角為 θ,求 cos θ 值? 參考圖:4 2 7 演練 4c : 平面方程式 E : x + 2y + 3z = 6 , 求此平面與三坐標軸的交點? (6, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 2) 範例 5: 求平面 E : x +√2y + z = 4 與 xz 平面的夾角? θ = 45 ◦, 135◦
演練 5a : 若 θ 為兩平面 E : x + y − z = 8, E′ : 2x − y + 3z = −1 的銳夾角, 求 cos θ 值? 2 √ 42 演練 5b : 若 θ 為兩平面 E : x + 3y + 2z = 8, E′ : 2x − y + z = 3 的銳夾角, 求 cos θ 值? 1 √ 84 演練 5c : 求平面包含點 A(−2, 2, 2), B(0, 5, 3), C(−2, 3, 4)與另一平面3x − 4y + z + 5 = 0 的銳夾 角餘弦值? 11 √ 130 演練 5d : 長方體ABCD − EF GH 中,AB = 9, AD = AE = 3√3, P 為GH 上一點, HP = 3, 求 △P AC 與 底面 ABCD 所夾的銳夾角 θ 大小 ? θ = π 3 A B C D x y z E F G H P 演練 5e : 平面 E1 : 7x + 2y − z + 10 = 0 及 E2 : 4x − 8y + 4z + 3 = 0 , 求平分E1, E2 所夾兩面 角的平面方程式? 16x + 32y − 16z + 31 = 0, 40x − 16y + 8z + 49 = 0 範例 6: 求點 P (−1, 3, 2) 到平面E : x + y + z = 7 的距離? √ 3 演練 6a : 求點 P (1, −3, 2)到平面 E : x + y − z = 2 的距離? 2 √ 3 演練 6b : 求點 P (4, −3, 5)到平面 E : x − 2y + 2z = 2 的垂足點坐標? (2, 1, 1) 演練 6c : 坐標空間中, 求平面 E : 2x − 3y + 4z = 17 上一點 Q 坐標, 使 Q 點到空間 P (0, 11, −2) 的距離為最短? Q(4, 5, 6) 演練 6d : 求兩平行面 E : x + y + 2z = 4,E′ : 2x + 2y + 4z + 11 = 0 的距離? 19 2√6 演練 6e : 承4b , 參考圖:4 求O 點與平面 ABC 的距離? 6 7 i. 四面體O − ABC 若 A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)試証明:
(△OAB 面積 )2+ (△OAB 面積 )2+ (△OAB 面積 )2 = (△ABC 面積 )2 (解:)建立平面 ABC 方程式驗證或利用向量外積 (△ABC)2 = 1 4|( −⇀ b − −⇀a ) × (−⇀c − −⇀a ))|2 = |−⇀b ×−⇀c +−⇀c ×−⇀a +−⇀a ×−⇀b |2 = 1 4[( −⇀ b ×−⇀c +−⇀c ×−⇀a +−⇀a ×−⇀b )·(−⇀b ×−⇀c + −⇀c ×−⇀a +−⇀a ×−⇀b )] = 1 4[( −⇀ b ×−⇀c )·(−⇀b ×−⇀c )+(−⇀c ×−⇀a )·(−⇀c ×−⇀a )+(−⇀a ×−⇀b )·(−⇀a ×−⇀b )] = (△OAB 面積 )2+ (△OAB 面積 )2+ (△OAB 面積 )2
1. 求通過點 A(1, 2, 3),且以 −⇀n = (1, −1, 2) 為法向量之平面 E 的方程式? 2. 平面 E 包含點P (−1, 2, 4),且向量 −⇀n = (1, 2, 3) 垂直平面, 求平面E 的方程式? 3. A(−1, 1, 2), B(3, −5, 4) , 求線段AB 之垂直平分面方程式? 4. 求過 A(1, −1, 4), B(−2, −2, 3), C(−1, −2, 2) ,三點的平面 E 方程式? 5. 求過 A(1, −2, −3), B(4, −4, 4), C(3, 2, −3)三點的平面方程式? 6. 若過A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3)三點的平面方程式為ax + by + cz = 6 則a, b, c 之值為? 7. 下列問題哪裡錯? 求過 A(1, 2, 3), B(2, 3, 4), C(3, 4, 5) , 三點的平面E 方程式? 8. 試求兩平面E1 : x − y + z − 3 = 0, E2 : x + y + √ 6z + 2 = 0 的夾角? 9. 試求兩平面E1 : x + 2y − z − 3 = 0, E2 : x − y + 2z − 3 = 0 的夾角? 10. 若θ 為兩平面 E : 2x − y + z = 3, E′ : x + 3y + 2z = 8 的銳夾角, 求cos θ 值?
11. 求空間三點 A(3, 4, 5), B(4, 5, 4), C(2, 6, 6) , 求 △ABC 之面積? 設 ABC 平面與平面 x − 2y + z − 7 = 0的夾角為 θ , 則cos θ =? 12. 求點 P (5, −2, 6)在平面E : x − 4y + 7z + 11 = 0 的投影點坐標 H? 13. 空間中四點(0, 0, 0), (1, 2, 3), (2, 3, 1), (1, 1, a)共平面, 則a 值為何? 14. 求過點A(2, −3, 4) 且與 x + 2y + 3z = 4 平行的平面方程式? 15. 求過點A(1, −2, 1) 且與兩平面 x + 2y − z = −1, x − y + z = 1均垂直的平面方程式? 16. 求點P (2, −3, 5)在平面E : x − y − 3z − 12 = 0的垂足點坐標及點 P 對於平面E的對稱點 坐標? 17. 求點 P (−1, 2, −4)到平面E : x + 4y − 5z + 15 = 0 的距離? 18. 空間中一平面 E : x + 2y + 2z = 6 , 若點 P (a, b, c) 在此平面上, 求P 點與原點的最短距離? 並求此P 點坐標? 19. 已知點P (−1, 2, 3)到平面E : 2x − y + 2z = k 的距離為3, 求實數 k 值? 20. 求與平面 E : x − 2y + 2z = 3 平行且與 E 之距離為5的平面方程式? 21. 求兩平行面E1 : x − y + 2z = 7,E2 : x − y + 2z + 2 = 0 的距離? 22. 求包含兩平面 E1 : x − 2y + z − 3 = 0, E2: 2x + 3z + 4 = 0 之交線, 且過點(1, 4, 1) 的平面 方程式?
習題
12-1
1. E : x − y + 2z = 5 2. E : x + 2y + 3z = 15 3. 2x − 3y + z = 11 4. x − 4y + z = 9 5. 14x − 7y − 8z = 52 6. a = 6, b = 3, c = 2 7. ABC 三點共線 8. θ = π/3, 2π/3 9. θ = 60◦, 120◦ 10. 2√1 21 11. 3 √ 2 2 , ±√13 12. H(4, 2, −1) 13. a = −2 14. x + 2y + 3z = 8 15. x − 2y − 3z = 2 16. (4, −5, −1), (6, −7, −7) 17. √42 18. (2 3, 2 3, 2 3); d = 2 19. k = 15, −3 20. x − 2y + 2z + 12 = 0, x − 2y + 2z − 18 = 0 21. 3 22. 3x − 2y + 4z + 1 = 012.2
空間直線方程式
直線參數式: 直線過A(x0, y0, z0)點,且直線方向−⇀L //(l1, l2, l3)的直線方程式: L : x = x0+ l1t y = y0+ l2t z = z0+ l3t , t ∈ R , 稱為直線的參數式。 空間中, 直線 L 通過 A 點的直線, 且 L 與向量 −⇀v 平行, 則直線上任意異於 A 點P (x, y, z), 必有−⇀AP //−⇀v , 因此 −⇀AP = (x − x0, y − y0, z − z0) = t(l1, l2, l3), t ∈ R 可得直線 L上的點坐 標為 L : x = x0 + l1t y = y0+ l2t z = z0 + l3t , t ∈ R; L −⇀v = (l 1, l2, l3) A(x0, y0, z0) P(x, y, z) 所以只要找出直線的一個方向 −⇀L , 及任何直線上的一點就可 決定其直線方程式。 直線對稱比例式: 若將直線上的關係 −⇀AP //−⇀v 表達成 x − x0 l1 = y − yl2 0 = z − zl3 0 稱為直線對稱比 例式。 其中 l1, l2, l3 均不為0 空間中直線、 平面關係: 1. 平面與平面的關係:兩面式: 兩平面的法向量不平行時, 相交成一直線 L : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 E2 E1 E2 L (a) 兩相異平面的法向量不行時, 兩平面平行。 2. 兩相異直線的關係: (a) 兩直線相交一點 (此時兩直線必共平面) (b) 兩直線平行 (此時兩直線必共平面) (c) 兩直線為歪斜線 (此時兩直線必不共平面) E M L −⇀n E L M E L M L′ 3. 直線與平面關係: (a) 直線 L 與平面E 平行不相交。 (b) 直線 L 落於平面 E 上。 (c) 直線 L 與平面E 相交一點。 E L E L −⇀n E P L 求空間的點坐標 (求垂足點、 最遠、 最近點、 交點、 投影點 · · · ): 可設法用參數式來表示, 再用解析 法求其點坐標。 ⊚ 空間 P 點到直線 L 距離:
1. 利用垂足點 Q 參數式, 且−⇀P Q⊥−⇀L , 則d = P Q 2. 空間 P 點到直線 L 的距離 d: 直線 L 任一點 A,−⇀AP 與 −⇀L 夾角θ 則 d = |−⇀AP | sin θ = |−⇀AP |√1 − cos2θ = |−⇀AP | s 1 − ( −⇀AP ·− ⇀ L |−⇀AP ||−⇀L |) 2 A L Q P θ 空間P點與平面 E 的最近點 (垂足點) H 及對稱點 P′: 可設點H為直線P H 的參數式(−−⇀P H//−⇀n ), 且H在平面 E 上。 ⊚若平面E 垂直平分 P P′ 則稱P′ 為P 點關於平面 E 的對稱點。 可利用 P, P′ 的中點為 H ,求出 P 的對稱點P′ 。 E P(x, y, z) H P′ −⇀n ⊚ 空間中兩平行線的距離: 兩直線 L1, L2 互相平行時, 直線上任意一點 P 到另一直線的距離都相 等。 故兩平行線距離即為L1 上一點 P 到直線L2 的距離。d(L1, L2) = d(P, L2) = P Q L2 L1 P Q ⊚ 歪斜線: 空間中兩直線沒有共同交點,且直線方向不平行,稱為互為歪斜的兩直線。(此時兩線←→AB,←→CD 不共平面)。若直線 L 同時垂直 L1, L2 且與 L1, L2 相交點分別為 P, Q則稱 L 為兩歪斜線的 公垂線, P Q 為L1, L2 的公垂線段。 兩歪斜線的距離求法: 1. 可設公垂線與 L1, L2 垂足點 P,Q 的直線參數式點坐標, 再利用 −⇀P Q⊥L1−⇀,−⇀P Q⊥−L2⇀ 求出 兩坐標的參數,則 d = P Q 2. 求出包含 L2 且 //L1 的平面 E,則 d = L1 上的任一點到平面 E 的距離。 3. AC 在公垂線−⇀P Q//−⇀AB ×−⇀CD 上的正射影長 d = | −⇀ AC · (−⇀AB ×−⇀CD)| |−⇀AB ×−⇀CD|
E L1 L2 Q P L A B C D −⇀ AC Q P 空間三坐標軸與三坐標平面方程式: 1. x 軸:直線參數式 x = t y = 0 z = 0 , t ∈ R。x 軸直線的單位向量 (±1, 0, 0) 兩面式: y = 0 , (xz 平面) z = 0 , (xy 平面) 2. y 軸: 直線參數式 x = 0 y = t z = 0 , t ∈ R。y 軸直線的單位向量 (0, ±1, 0) 兩面式: x = 0 , (yz 平面) z = 0 , (xy 平面) 3. z 軸:直線參數式 x = 0 y = 0 z = t , t ∈ R 。z 軸直線的單位向量 (0, 0, ±1) 兩面式: x = 0 , (yz 平面) y = 0 , (xz平面) 4. xy 平面方程式: 0x + 0y + 1z = 0 ; xy 平面的單位法向量為 (0, 0, ±1) , 直線 z 軸的方 向必垂直 xy 平面。 5. yz 平面方程式: 1x + 0y + 1z = 0 ; yz 平面的單位法向量為 (±1, 0, 0) , 直線 x 軸的方 向必垂直 yz 平面。 6. xz 平面方程式: 0x + 1y + 1z = 0 ; xz 平面的單位法向量為 (0, ±1, 0) , 直線 y 軸的方 向必垂直 xz 平面。
空間向量的方向角: −⇀OP與坐標軸的三個方向角α, β, γ,則 cos2α + cos2β + cos2γ = 1 |−⇀OP | = r =√a2+ b2+ c2,且
cos α = ar, cos β = br , cos γ = cr ⇔−⇀OP = r(cos α, cos β, cos γ)
平面向量的方向角 α, β : cos2α + cos2
空間中兩平面夾角、 兩相交線夾角及直線與平面的夾角: 1. 空間中, 若−⇀v ⊥ 平面 E , 則平面法向量 −⇀n //−⇀v 。 2. 空間中, 若−⇀v 與直線平行, 則直線方向向量 −⇀L 必 //−⇀v 。 3. 兩平面上的相異兩線夾角不一定是兩平面夾角(兩平面法向量夾角)。除非此兩直線所在的 平面恰垂直這兩平面。 兩平面夾角 θ, 180◦− θ 其中之一恰為兩平面法向量 −n⇀ 1, −n⇀2 的夾角。 4. 兩相交直線的夾角 θ, π − θ 其中之一為兩直線方向向量 −L1,⇀ −L2⇀ 的夾角。 5. 直線 L 與平面 E 的銳夾角為 θ , 若L 直線方向向量 −⇀L 與平面 E 法向量−⇀n 夾角為 λ , 則θ + λ銳角 = 90◦ 或θ + 90◦= λ鈍角 E L θ −⇀n L
例題
範例 1: 已知直線 L 過 A(2, 1, −3), B(4, 2, 1)兩點, 求L 的參數式? (解:) x = 2 + 2t y = 1 + t z = −3 + 4t , t ∈ R (表示法不唯一) 演練 1a : 求平行 x軸, 且通過點 (−2, 2, 1)的直線方程式? (−2 + t, 2, 1), t ∈ R 演練 1b : 直線L 過A(1, 0, 2), B(3, 1, −2)兩點,問點(7, 3, −10)是否亦在直線上? yes 演練 1c : 求直線過點 (2, 3, 4) , 直線方向平行向量 (5, 0, −1) 的直線方程式? (解:) x = 2 + 5t y = 3 z = 4 − t , t ∈ R (表示法不唯一) 演練 1d : H : x − y + z = 2 為坐標空間中一平面, L為平面 H 上的一直線,已知點 P (2, 1, 1)為 L 上距離原點最近的點, 則(2, ∗, ∗) 為 L 的方向向量。 (2, −1, −3)演練 1e : 坐標空間中有四點 A(2, 0, 0), B(3, 4, 2), C(−2, 4, 0),與 D(−1, 3, 1), 若點 P 在直線 CD 上變動,則內積−⇀P A ·−⇀P B 之最小可能值為? 5 4 又若點 P 在線段 CD 上變動, 則內積−⇀P A ·−⇀P B 之最小可能值為? 8 演練 1f : 如右圖: 在坐標空間中,A, B, C, D, E, F, G, H 為正立方體的八個頂點, 已知其中四個點坐 標A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), D(0, 6, 0)及E(0, 0, 6), P 在線段CG上,且CP : P G = 1 : 5,R 在線段 EH 上,且 ER : RH = 1 : 1, Q 在線段 AD 上, 若空間中通過 P, Q, R 這三點的 平面, 與直線 AG不相交, 則Q 點的 y 坐標為? 15 11 B C D A F G H E x y z R P Q 演練 1g : 如圖所示: 正立方體的邊長為2,其中點E為原點,點F, H, A的坐標分別為(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2), 令Ω表示四面體CBGD與四面體 BAF C 相交所形成的四面體。 請選出正確選項? (1) Ω 有一頂點坐標為(1, 1, 2) (2) Ω 有一稜線其方向向量為(1, 0, −1) (3) Ω 有兩各側面互相垂 直(4) Ω 僅有一個側面是正三角形 (5) Ω 的體積為 2 3 1,2,3 F G H E B C D A x y z 範例 2: 求過點 P (1, 4, −3)且包含直線 x = 2 + 2t y = −4 + 3t z = 5 − t , t ∈ R的平面方程式? 16x − 17y − 19z = 5 演練 2a : 直線的對稱比例式為 L : x − 1 2 = y + 5 −3 = 2 − z 1. 求此直線的參數式? x = 1 + 2t y = −5 − 3t z = 2 − t 2. 求此直線的方向向量? t(2, −3, −1) 3. 此直線上一點 y 坐標為4,求此點坐標? (−5, 4, 5)
演練 2b : 求過點 P (1, −2, 0)且垂直平面 x − 3y + 4z = 8的直線方程式? x−1 1 = y+2 −3 = z 4 演練 2c : 求過點 P (2, −1, −1) 且平行兩平面 x + y = 0, x − y + 2z = 0 交線的直線方程式? x−2 1 = y+1 −1 = z+1 −1 演練 2d : 求過點 P (4, 1, 3)且包含直線 x − 1 2 = y − 1 2 = z − 2 1 的平面方程式? 2x + y − 6z + 9 = 0 演練 2e : 求過兩平行線 L1 : x + 1 1 = y + 3 2 = z − 1 2 與 L2 : x + 3 1 = y + 4 2 = z + 1 2 的平面方程 式? 2x + 2y − 3z + 11 = 0 範例 3: 求兩平面 E1 : x − 2y + z − 3 = 0 與 E2 : 2x + y − z − 2 = 0 相交線的對稱式? x−2 1 = y−13 = z−35 演練 3a : 求一平面通過點(−2, 0, 1), 且包含兩平面2x + 3y − z = 0, x − 4y + 2z = −5 相交線的平 面方程式? 3x − y + z + 5 = 0 演練 3b : 求兩平面 E1 : x + y + z = 3,E2 : x + 2y + 3z = 7 交線的參數式方程式? (x, y, z) = (−1, 4, 0) + (1, −2, 1)t 演練 3c : 求兩平面 E1 : x + y + z = 2 E2 : x − y = 0 交線的方程式? (x, y, z) = (1, 1, 0) + (−1, −1, 2)t 演練 3d : 求兩平面 E1 : x + y + z = 3,E2 : 2x + 2y + 2z = 7 交線的參數式方程式? 兩平面平行不相交 演練 3e : 求直線 x − 2z = 3 2y + z = 10 的參數式方程式? (x, y, z) = (3, 5, 0) + (4, −1, 2)t 演練 3f : 求兩平面 2x − y − 2z + 3 = 0, 4x − 3y − 3z + 5 = 0 交線的對稱式方程式? x+2 3 = y+1 2 = z 2 範例 4: 求包含點 P (−1, 1, 5) 和直線L : x 1 = y − 1 1 = z − 2 −5 的平面E 方程式? E : 3x + 2y + z = 4 演練 4a : 坐標空間中一質點自點 P (1, 1, 1) 沿著方向 −⇀a = (1, 2, 2) 等速直線前進, 經過5秒後剛好 到達平面 x − y + 3z = 28上, 立即轉向沿著方向 −⇀b = (−2, 2, −1) 依同樣的速率等速直 線前進。 請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x = 2 上? (1) 1秒 (2) 2秒 (3) 3秒(4) 4 秒(5) 永遠不會到達 2 演練 4b : 求包含兩相交線 L : x − 1 = y − 2 2 = z + 3 與 L ′ : x + 1 = y − 3 = 2z + 5 的平面方程 式? y − 2z = 8
演練 4c : 若直線 L1 經過點 (1, −2, −5) , 且直線方向為 (2, 3, 2) ; 直線 L2 經過點 (−3, 4, −1) , 且 直線方向為 (5, 2, 4) 1. 一平面包含直線 L1 ,平行直線 L2 , 求此平面 E 的方程式? 8x + 2y − 11z = 59 2. 求平面E 與直線 L2 的距離? 64 √ 189 演練 4d : 平面 E 包含 A(1, 2, 3), B(0, −1, 2)兩點,且 1. 平面 E 平行 x軸 , 求平面方程式? y − 3z = −7 2. 平面 E 平行 y 軸, 求平面方程式? x − z = −2 3. 平面 E 平行 z 軸, 求平面方程式? 3x − y = 1 範例 5: 空間中, 求點 P (2, −1, 3) 與平面 E : x − y + 2z = 27 的最近點坐標? 及最短距離? H(5, −4, 9);d = 3√6 演練 5a : 空間中, 求點 P (1, 0, 2) 與平面 E : 2x + y − 2z + 11 = 0 的最近點坐標? 及最短距離? H(−1, −1, 4);d = 3 演練 5b : 空間中一平面 E : x + 2y + 2z = 6 , 若點 P (a, b, c) 在此平面上, 求P 點與原點的最短距 離? 並求此P 點坐標? ( 2 3, 4 3, 4 3); d = 2 演練 5c : 求點 P (1, 1, 1) 對稱於平面 E : x − 2y + z + 3 = 0 的對稱點 P′ 坐標? 及點P 在平面上 的投影點 H 坐標? P ′(0, 3, 0);H(1 2, 2 1 2) 演練 5d : 求點 P (3, 1, 2)對稱於平面 E : x + 2y + z = 1 的對稱點 P′ 坐標? P ′(1, −3, 0) 演練 5e : 已知點 A(1, 2, k) 在平面 E : x + 2y − 2z = 8 上, 若直線 AB垂直平面且 B 點與平面距 離為6, 求實數k 及B 點坐標? k = −32;B(3, 6, − 11 2)或(−1, −2, 5 2) 範例 6: 空間中兩直線 L1 : x − 4 2 = y + 1 2 = z + 3 1 , L2 : x − 4 3 = y + 1 −1 = z + 3 2 1. 若兩直線夾角 θ,求 cos θ 值? ± 2 √ 14 2. 求兩直線的交點坐標 P ? P (4, −1, −3) 3. 求包含兩直線的平面 E 方程式? E : 5x − y − 8z = 45 演練 6a : 下列各直線中,請選出和z軸互為歪斜線的選項: (1) L1 : x = 0 z = 0 (2) L2 : y = 0 x + z = 1 (3) L3 : z = 0 x + y = 1 (4) L4 : x = 1 y = 1 (5) L5 : y = 1 z = 1 3,5
演練 6b : 空間中兩直線 L : x − 8 4 = 9 − y 4 = z − 10 7 與 L ′ : x = 13 + t y = 29 + 4t z = −30 − 8t , t ∈ R 的銳夾 角為 θ , 求 cos θ 值? 68 81 演練 6c : 求直線 L : x − 1 1 = y − 3 2 = z − 2 −3 分別與兩直線 L1 : x 2 = y 4 = z −6, L2 : x − 2 −1 = y − 5 −2 = z + 1 3 的相交情形? L//L1, L = L2 演練 6d : 空間中, 判別兩直線 L1 : x = −1 + 2t y = 1 − 2t z = 1 + 4t , t ∈ R; L2 : x = 1 + 2s y = −1 − s z = 4 + 3s , s ∈ R 之 關係? 歪斜不相交 演練 6e : 下列兩直線是否相交? 若有求其交點坐標, 若不相交求此兩直線間的距離? 是否有包含此兩 直線的平面? 若有求其平面方程式? i. L1 : x = −3 − 4t y = 2 + 2t z = 4 + t , t ∈ R 與L2 : x = 2 + t y = 1 + t z = 2 − t , t ∈ R (1, 0, 3);E : x + y + 2z = 7 ii. L1 : x = −3 − 4t y = 2 + 2t z = 4 + t , t ∈ R 與L2 : x = 2 + t y = 1 + t z = −1 − t , t ∈ R 歪斜不相交;P (1, 0, 3), Q(0, −1, 1), d = P Q =√6 , 無平面包含此兩線 iii. L1 : x = −3 − 2t y = 2 − 2t z = 4 + 2t , t ∈ R 與L2 : x = 2 + t y = 1 + t z = −1 − t , t ∈ R 兩平行線不相交;E : x + z = 1 iv. L1 : x = 3 − 2t y = 2 − 2t z = −2 + 2t , t ∈ R 與L2 : x = 2 + t y = 1 + t z = −1 − t , t ∈ R 兩直線重合;E : ax + by + (a + b)z = a 演練 6f : 空間中兩直線 L1 : −x + 5 1 = y −1 = z + 1 −2 , L2 : x − 4 2 = y + 1 −1 = z + 3 1 , 求兩直線夾角 θ 及交點坐標? 60 ◦, 120◦;(4, −1, −3) 演練 6g : 求空間中直線 L : x 1 = y − 1 −1 = z − 3 2 與平面 E : x + 2y − z = 8 的銳夾角? 30◦
演練 6h : 空間中直線 L : x − 4 = 3 − y = 2(z + 1) 與平面 E : 3x + 4y − z = −4 的夾角 θ , 求 sin θ =? 1 √ 26 範例 7: 空間中, 討論直線 L : x 1 = y − 1 1 = z + 2 2 , 與三平面 E1 : x + y + 2z − 3 = 0,E2 : 3x − y − z − 1 = 0, 及E2 : 3x − y − z − 3 = 0 的相交情形? (解:)與E1 交一點P (1, 2, 0);L ⊂ E2; L//E3 演練 7a : 求直線L通過點A(−1, 2, 3), B(2, 0, −3)的參數方程式? 並求直線L與平面x−2y+3z = 26的交點坐標? (−1 + 3t, 2 − 2t, 3 − 6t);(−7, 6, 15) 演練 7b : 設平面E的方程式為2x+y−z = 3,試分別討論與下列三直線與平面的關係: L1 : x − 2 3 = y − 2 1 = z − 3 2 , L2 : x − 1 2 = y − 2 −1 = z − 3 3 , L3 : x − 1 2 = y − 2 −1 = z − 1 3 (解:)L1, E交一點 P (2, 2, 3); L2//E ;L3 ⊂ E 演練 7c : 討論直線 L : x = 5 + 2t y = 3 − 2t z = −1 + t , t ∈ R, 與平面 E : 2x − 3y − 5z + 9 = 0 相交情形? 交一點P (−1, 9, −4) 演練 7d : 求直線L : x = 2 + t y = −1 + 2t z = −3t , t ∈ R與平面E : 11x−4y+z = 0的距離? 26 √ 138 範例 8: ⊚ 求點 P (3, 2, 6)到直線 x + 1 2 = y 2 = z − 2 −3 的距離? 6 演練 8a : 求點P (−1, 2, 3)到直線L : x = 1 + 2t y = −4 + 3t z = 3 + t , t ∈ R的垂足點坐標及距離? H(3, −1, 4);d = √ 26 演練 8b : 求原點 O 到直線 x + y + z = 2 x − y = 0 的距離? 2 √ 3 演練 8c : 求直線 x + 2y + 3z = 11 x − 2y + z = −1 與點P (1, 0, 1)的最近點坐標?並求最近距離? (1, 2, 2);√5 演練 8d : 求點 P (1, 0, 1)到兩平面 x + 2y + 3z = 11,x − 2y + z = −1 交線的距離 d, 及交線上與 P 的最近點坐標? √ 5;H(1, 2, 2) 範例 9: ⊚ 求二平行線 L1 : x − 1 2 = y − 3 −3 = z − 4 2 , L2 : x − 4 2 = y − 2 −3 = z − 8 2 的距離? 3
演練 9a : 求兩平行線 L1 : x − 1 3 = y − 1 −2 = z + 2 2 , L2 : x − 6 −3 = y − 5 2 = z − 3 −2 的距離? 7 演練 9b : 求兩平行線 L1 : x + 3 −2 = y − 2 −2 = z − 4 2 , L2 : x − 2 1 = y − 1 1 = z + 1 −1 的距離? 2√6 演練 9c : 求直線L : x = 2 + t y = −1 + 2t z = −3t , t ∈ R與平面 E : 11x − 4y + z = 3 的關係? 再求直線與 平面的距離? L//E; q 23 6 範例 10: ⊚ 兩歪斜線 L1 : x − 1 1 = y − 2 1 = z − 1 −1 與 L2 : x − 8 6 = y − 7 2 = z − 2 −3 , 求(1) L1, L2 公垂線段兩端點坐標? (2)公垂線直線方程式的對稱式? (解:)P (1, 2, 1), Q(2, 5, 5);LP Q: x − 1 1 = y − 2 3 = z − 1 4 演練 10a : 兩歪斜線 L1 : x − 2 −2 = y + 1 2 = z −1 與L2 : x − 1 −4 = y − 3 1 = z − 1 1 , 求 L1, L2 公垂線 段兩端點坐標? L1, L2 的距離? (解:)P (0, 1, −1), Q(1, 3, 1);d = 3 演練 10b : 兩直線 L1 : x = −3 − 4t y = 2 + 2t z = 4 + t , t ∈ R 與 L2 : x = 2 + t y = 1 + t z = −1 − t , t ∈ R 是否相交? 若 有求其交點坐標, 若不相交求此兩直線間的距離? 歪斜不相交;P (1, 0, 3), Q(0, −1, 1), d = P Q =√6 , 無平面包含此兩線 演練 10c : 求兩歪斜線 L1 : x + 2 3 = y − 7 −4 = z − 2 4 , L2 : x − 1 −3 = y + 2 4 = z + 1 1 之間的距離? 3 演練 10d : 求兩歪斜線 L1 : x = t y = 1 − t z = 2 + t , t ∈ R 與 L2 : x = 3 − s y = −1 + 2s z = 4 − s , s ∈ R 之間的距 離? 1 √ 2 習題12-2 空間直線方程式 1. 求符合下列條件的平面方程式? (a) 平面包含點 P (−1, 2, 4) , 向量−⇀n = (2, −1, 3) 垂直平面 (b) AB 直線垂直平面於 A 點, 其中點A(2, 3, 1), B(5, 7, 2)
(c) 平面包含點 A(3, 2, 1) 及直線x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3 + 2t 2. 直線的對稱比例式為 L : x − 2 = 1 − y 2 = z + 3 −1 (a) 求此直線的參數式? (b) 求此直線的方向向量? (c) 此直線上一點 z 坐標為5,求此點坐標? 3. 直線的方程式為 L : x − 1 = 2(y − 2) = 4z (a) 求此直線的參數式? (b) 求此直線的方向向量? 4. 若A(3, 1, −1), B(2, 5, 3), C(x, y, −5) 三點共線, 求x, y 之值? 及 ←→AB 之參數方程式? 5. 直線平行向量 (−1, 2, 6) , 且通過點(5, 2, −1) , 求此直線參數式? 6. 求過點P (3, 4, −1)且垂直平面x − y − 2z = 11 的直線方程式? 7. 求過點P (1, 2, 3) 且垂直平面x + 2y + 3z = 6 的直線方程式? 8. 求過點(2, −1, 3) 且平行直線 x + y + z = 1 2x − y + 3z = 2 之直線方程式? 9. 求過點(4, 1, −2) 且垂直平面2x + y − z + 1 = 0 之直線方程式? 10. 求兩平面 E1 : 3x + 2y + z = 4, E2 : x + 2y + 3z = −4 交線L 的參數式? 11. 兩直線L1 : x − 11 = y + 2−2 = z + 12 , L2 : x + 12 = y + 53 = z − 5−6 相交於P 點, 求P 點坐 標? 12. 求包含兩平行線L1 : x − 1 2 = y − 2 2 = z + 3 與L2 : x + 1 = y − 3 = 2z + 5 的平面方程式? 13. 空間中一直線 L 參數式為 x = 1 − t, y = 3 + t 及 z = 4 − 2t , 分別求此直線與 xy 平面、yz 平面與xz 平面的交點坐標? 14. 求過兩點 A(2, −1, 3), B(1, 2, 0)的直線與平面 E : x + 2y − z = 5的相交點坐標? 15. 空間中, 求點 P (2, −1, 3)與平面 E : x − y + 3z + 10 = 0 的最近點坐標? 及最短距離? 16. 空間中, 求點 P (1, −4, −3)與平面 E : 4x − y − 2z + 7 = 0 的最近點坐標? 及最短距離?
17. 在空間中, 下列方程組何者圖形為一直線? (A) 3x + 2y + z = 1, 6x + 4y + 2z = 5 (B) x = 2t + 1 y = 3t − 2 z = 3 , t ∈ R (C) x − 23. = y − 62 = z − 5 3 (D) 2x + y = 1 (E) x + y − 2z = 0, x − 2y + z = 1, 2x − y − z = 1 18. 求過 (1, 0, 1)且平行於直線 L : 2x − 3y − z + 2 = 0 3x − 2y − 3 = 0 之直線方程式? 19. 求包含二平行線 L1 : x − 12 = y + 3−1 = z + 1−2 , L2 : x + 1 2 = y −1 = z + 2 −2 的平面方程式? 20. 空間中, 判別兩直線 L1 : x = 1 + 2t y = −5 + 4t z = −1 + t , t ∈ R; L2 : x = 1 + 4t y = 1 + 2t z = −2 + 4t , t ∈ R 之關 係? 21. 空間中, 直線 L1 : x = −1 + 2t y = 1 − 2t z = 1 + 4t , t ∈ R; L2 : x = 1 − t y = t z = 3 − 2t , t ∈ R ,L3 : x − 1 2 = −y − 1 = z − 4 3 (a) 判別直線L1 與 L2 關係? (b) 判別直線L2 與 L3 關係? (c) 判別直線L1 與 L3 關係? 22. 求直線 L 通過點 A(2, −1, 3), B(1, 2, 0) 的參數方程式? 並求直線 L 與平面 x + 2y − z = 5 的交點坐標? 23. 先求直線 L通過點 P (1, −2, 4), Q(2, 0, −1) 的參數方程式? (a) 求直線 L 與YZ 平面的交點坐標? (b) 求直線 L 與平面E : y + z = 2 的交點坐標? (c) 求直線 L 與直線L′ : x − 3 2 = y + 2 3 = z − 30 −1 的交點坐標? 24. 求空間中兩直線 L : 1 − x 3 = y = 2 − z 2 與L ′ : x = 2 − 3t y = −1 + t z = 4 − 2t , t ∈ R 的夾角θ =?
25. 求空間中兩直線 L : x = 1 − t y = t z = 3 − 2t , t ∈ R 與 L′ : x = 1 + 2s y = −1 − s z = 4 + 3s , s ∈ R 的夾角 θ , 求cos θ 值? 26. 空間中直線L : x − 1 4 = y + 1 3 = z + 2 與平面 E : x − y + z = 5的夾角 θ , 求 sin θ =? 27. 空間中直線L : x = t y = 2t − 1 z = −t + 3 , t ∈ R與平面E : 2x −y −2z = 9的夾角θ ,求sin θ =?? 28. 求空間中一點 P (8, 6, −6) 對平面 E : 3x + 2y − 3z = 10的投影點坐標 H 及 P 點關於平面 E的對稱點 P′坐標? 29. 已知點A(−1, 3, 2) , 平面 E : 2x − y + 2z = 8及直線 L : x = 7 − 2t y = −6 + t z = 1 + 5t , t ∈ R (a) 求 A 點到平面 E 的距離? (b) 求 A 點與平面 E 的最近點坐標? (c) ⊚ 求A 點到直線 L的距離? (d) ⊚ 求A 點與直線 L的最近點坐標? 30. ⊚ 求二平行線 L1 : x − 13 = y + 12 = z − 3−2 , L2 : x − 23 = y − 22 = z + 1−2 的距離? 31. ⊚ 求過點 P (1, 1, 2)垂直於直線 x = 1 + t y = 2 − t z = 3 + t , t ∈ R 的垂足點坐標? 32. ⊚ 設點P (1, −2, 3),L : x − 2 1 = y + 12 = z + 32 ,則P在直線L 上的投影點坐標為? 又P點 到直線L 的距離為? 33. ⊚ 求點 P (3, 6, 3) 到直線 x − 6 2 = y − 31 = z − 31 的距離? 34. ⊚ 求點 P (1, 1, 3) 到直線L : x = 1 + 2t y = −1 + 3t z = 2 + t , t ∈ R的距離? 35. ⊚ 求點 P (1, 1, 2) 到直線L : x = 1 + t y = 2 − t z = 3 + t , t ∈ R 的垂足點坐標?
36. ⊚ 兩歪斜線 x + 1 2 = −y + 32 = z1 , x − 21 = y − 42 = −z + 21 , 求 (1) 公垂線段兩端點坐 標? (2) 公垂線段長? 37. ⊚ 求兩歪斜線 L1 : x = 1 + 2t y = −t z = 2 + 3t , t ∈ R與 L2 : x = y = z 之間的距離? 38. ⊚ 求兩歪斜線 L1 : x = 1 − t y = 1 + t z = 3 − t , t ∈ R 與L2 : x = 2 + s y = 1 − 2s z = s , s ∈ R 之間的距離?
習題
12-2
1a. 2x − y + 3z = 8 1b. 3x + 4y + z = 19 1c. x + 3y + z = 10 2a. x = 2 + t y = 1 − 2t z = −3 − t 2b. t(1, −2, −1) 2c. (−6, 17, 5) 3a. x = 1 + t y = 2 + 12t z = 14t 3b. t(4, 2, 1) 4. x = 4, y = −3, x = 3 − t y = 1 + 4t z = −1 + 4t 5. (5−t, 2+2t, −1+6t), t ∈ R 6. x−3 1 = y−4−1 = z+1 −2 7. x−1 1 = y−22 = z−33 8. x = 2 + 4t y = −1 − t z = 3 − 3t 9. x = 4 + 2t y = 1 + t 10. x = 4 + t y = −4 − 2t z = t (表示 方法不唯一) 11. P (1, −2, −1) 12. y − 2z = 8 13. (−1, 5, 0); (0, 4, 2) ;(4, 0, 10) 14. (1, 2, 0) 15. H(0, 1, −3);d = 2√11 16. H(−3, −3, −1);d = √21 17. B.C.E. 18. x − 2−2 = −3y = z − 15 19. 7x + 6y + 4z + 15 = 0 20. 歪斜不相交 21a. 平行不相交 21b. 交一點 (3, −2, 7) 21c. 歪斜不相交 22. (2 + t, −1 − 3t, 3 + 3t);(1, 2, 0) 23. (1 + t, −2 + 2t, 4 − 5t) 23a. t = −1; (0, −4, 9) 23b. (1, −2, 4) 23c. 歪斜不相交 24. 0◦ 25. ±√9 84 26. √2 78 27. 2 3√6 28. H(2, 2, 0), P′(−4, −2, 6) 29a. 3 29b. (5, −5, 6) 29c. √116 29d. (5, −5, 6) 30. 3 31. (0, 1, 1) 32. (3, 1, −1),√29 33. √66/2 34. 3 2 35. H(1, 2, 3) 36. P (1, 1, 1), Q(1, 2, 3); P Q = √ 5 37. √2 26 38. 2√212.3
三元一次聯立方程式
三元一次聯立方程式的一般解法: 1. 代入消去法: 將某一變數表示成其他變數的式子代入所有的方程式, 使變數未知元減少,再 繼續求解新聯立方程組。 2. 加減消去法: 將某兩列方程式分別除上某常數後, 相加減,以去除某變數的方法。 3. 克拉瑪法則 (公式解): 一次方程組若為恰一解時的公式解。 x = ∆x ∆ y = ∆y∆ z = ∆z ∆ 二元一次方程組的 克拉瑪公式解: 二元一次方程組 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 若∆ = a1 b1 a2 b2 , ∆x = c1 b1 c2 b2 , ∆y = a1 c1 a2 c2 1. 若 ∆ 6= 0 ,則方程組恰有一解, 其解為 ⇒ x = ∆x ∆ y = ∆y∆ 2. 若 ∆ = 0 時, (1) ∆x = ∆y = 0 , 則方程組無限多組解。(克拉瑪公式無法求出方程組之解, 但高斯列運 算法可求出方程組之通解。) (2) ∆x, ∆y 中有一不為0,則方程組無解。 ⊚ 三元一次方程組的克拉瑪公式解: 三元一次方程組 a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 若∆ = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 , ∆x = d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3 ,∆y = a1 d1 c1 a2 d2 c2 a3 d3 c3 ,∆z = a1 b1 d1 a2 b2 d2 a3 b3 d3 考慮 (x0, y0, z0)為其解,則∆x = d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3 = a1x0+ b1y0+ c1z0 b1 c1 a2x0+ b2y0+ c2z0 b2 c2 a3x0+ b3y0+ c3z0 b3 c3 利用3階行 列式的性質,將第2,3行分別乘以−y0, −z0並加至第1行,可得∆x = a1x0 b1 c1 a2x0 b2 c2 a3x0 b3 c3 = x0·∆ ,同理可得 ∆y = y0· ∆,∆z = z0· ∆因此, 當 ∆ 6= 0 , 則方程組的解為 ⇒ x = ∆x ∆ y = ∆y∆ z = ∆z ∆ 稱為 三元一次方程組的克拉瑪公式 解(Cramer’s rule) ⊚ 三平面幾何關係的代數判定:
坐標空間中三平面E1 : a1x+b1y+c1z = d1, E2 : a2x+b2y+c2z = d2, E3 : a3x+b3y+c3z = d3 的交點坐標, 相當於解三元一次方程組 a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 1. 恰有一組解, 則三平面恰相交一點。 (∆ 6= 0,三法向量彼此不平行、 不成比例)
圖
1: 三平面恰相交一點 2. 若有無限多組解, 則三平面為 (a) 三平面互異且相交於一直線。(∆ = 0, ∆x= ∆y = ∆z = 0,三法向量彼此不平行、 不 成比例) (b) 兩平面重合與第三平面相交一直線。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 有兩法向量成比 例) (c) 三平面重合。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比例)圖
2: 三平面異且相交於一直線、 兩平面重合與第三平面相交一直線、 三平面重合 3. 若無解, 則三平面為 (a) 三平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交。(∆ = 0, 但 ∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 , 三法向量彼此不平行、 不成比例) (b) 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直線。(∆ = 0, 但∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 , 兩法 向量平行與另一個不平行)(c) 三平面互相平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比例) (d) 兩平面重合且與第三平面平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比 例)
圖
3: 平面兩兩相交一直線,且三直線互相平行不相交、 兩平面互相平行,分別與第三平面相交一直線、 三平面互相平行、 兩平面重合且與第三平面平行表
1: 三元一次聯立方程式的解與三平面的幾何關係 代數判定 \ 關係 聯立方程式的解 平面幾何關係 ∆ 6= 0 恰一解( ∆x ∆ , ∆y ∆ ,∆z∆ ) 三平面恰相交一點 ∆ = 0 ∆x, ∆y, ∆z有6= 0 無解 三平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交 ∆x, ∆y, ∆z有6= 0 無解 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直線 ∆ = 0 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無解 三平面互相平行 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無解 兩平面重合且與第三平面平行 ∆ = 0 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 三平面互異且相交於一直線 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 兩平面重合與第三平面相交一直線 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 三平面重合 空間向量的線性組合: 若−⇀OA,−⇀OB為空間中兩不平行的非零向量,空間向量−⇀OP 能表示成形如−⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB 其中x, y 為實數, 稱為 −⇀OA,−⇀OB 的線性組合。若−⇀OA = (a1, b1, c1),−⇀OB = (a2, b2, c2),−⇀OC = (a3, b3, c3)為空間中兩兩不平行的非零向量,則 空間上任一向量 −⇀OP = (d1, d2, d3) 必能唯一表示成 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB + z−⇀OC 其中 x, y, z 為實數, 稱為 −⇀OA,−⇀OB,−⇀OC 的線性組合。
x, y, z 的解即為 (d1, d2, d3) = x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) + z(c1, c2, c3) 的解, 相當於解三 元一次方程組
a1x + a2y + a3z = d1 b1x + b2y + b3z = d2 c1x + c2y + c3z = d3 由 克拉瑪 公式可知, ∆ = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 6= 0 時(即−⇀OA,−⇀OB,−⇀OC 不共平面) , 實數 x, y, z 有恰一解 ( ∆x ∆ , ∆y ∆ ,∆z∆ ) 1. 平面直角坐標點 P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)是由 (1, 0), (0, 1) 兩基底(互相垂直) 向量組 −⇀ ⇀ ⇀
必為1。若係數和為1,表示 P, A, B 共線)
2. 空間向量 −⇀OP 能表示成形如 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB 其中 x, y 為實數 ⇔ O, A, B, P 四點 共平面
3. 空間中直角坐標點 P (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)是由 (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)三基底 (互相垂直、 不共平面) 向量的線性組成。
4. 空間上任一向量−⇀OP = (d1, d2, d3)若能唯一表示成−⇀OA = (a1, a2, a3),−⇀OB = (b1, b2, b3),−⇀OC = (c1, c2, c3)的線性組合 ⇔ ∆ = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 6= 0 時 (即−⇀OA,−⇀OB,−⇀OC 不共平面) 5. 空間向量若 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB + z−⇀OC, x + y + z = 1 則 A,B,C,P 四點共面。(因 −⇀CP 可表示成x−⇀CA + y−⇀CB) O −⇀u = 3−⇀a + 2−⇀b −⇀a −⇀ b −⇀v = s−⇀a + 1−⇀b −⇀w = 2−⇀a + t−⇀b 三元一次方程組的解(空間向量觀點): a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 ∆ = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 , ∆x = d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3 , ∆y = a1 d1 c1 a2 d2 c2 a3 d3 c3 , ∆z = a1 b1 d1 a2 b2 d2 a3 b3 d3 x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) + z(c1, c2, c3) = (d1, d2, d3)
即x−⇀OA + y−⇀OB + z−⇀OC =−⇀OD 1. 若 ∆ 6= 0 ,即 O, A, B, C 四點不共平面, 則向量表示法恰有一解。 2. 若 ∆ = 0 時,O, A, B, C 四點共平面 (1) 若點 D 與 O, A, B, C 四點共平面, 則 ∆x = ∆y = ∆z = 0 , 則方程組為無解 (O,A,B,C 共線,但與D 不共線時) 或無限多組解 (無任三點共線, 或四點共線時)。 (2) 若點 D 不在 O, A, B, C 四點的平面上, 則∆x, ∆y, ∆z 6= 0 , 則方程組無解。
例題
範例 1: 用加減消去法解方程組 x + 2y − 3z = 5 3x + y − 5z = 12 x − 3y − 2z = 8 。 (解:)x = 1, y = −1, z = −2 演練 1a : 考慮 x, y, z 的方程組 2x− 3y + 5z = −1 2x+1+ 3y − 5z = 4 2x+1+ 3y+1+ a · 5z = 8 , 其中 a 為實數, 請選出正確選 項?(1) 若 (x, y, z) 是此方程組的解, 則 x = 0 (2) 若 (x, y, z) 是此方程組的解, 則 y > 0 (3)若(x, y, z)是此方程組的解,則y < z (4)當a 6= −3 時,恰有一組解(x, y, z)滿足此方 程組 (5) 當 a = −3 時,滿足此方程組的所有解 (x, y, z)會在一條直線上 1,2,5 演練 1b : 解方程組: x + y + 2z = 2 2x + y − z = 4 x − y − z = 5 (237, −157 ,37) 演練 1c : 解方程組 x + 2y − 3z = 0 3x + 6y − 8z = 0 x − 2y − 5z = 4 。 x = 2, y = −1, z = 0 演練 1d : 解方程組 x + y + z = 9 3x − 2y + z = 5 7x − y − 2z = −7 。 x = 1, y = 2, z = 6 範例 2: 已知一二次函數 f (x) = ax2+ bx + c的圖形經過(1, 1), (2, 12), (−1, −9) 三點,求出此二 次函數? f (x) = 2x 2+ 5x − 6 演練 2a : 已知一二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 的圖形經過 (1, 2), (2, 3), (3, 6)三點, 求出此二次函 數? f (x) = x 2− 2x + 3 演練 2b : 已知二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 滿足 f (−1) = 0, f(1) = 2, f(2) = −3 , 求實係數 a, b, c 值? a = −2, b = 1, c = 3 範例 3: 用加減消去法解三元一次聯立方程組 x − y + 2z = 3 2x + y + z = 3 x − 4y + 5z = 6 。 (解:)無限多組解; x = 2 − t y = −1 + t z = t , t∈ R用加減消去法求方程組 x − y − z = 1 x − 3y + 3z = 2 2x + 3y − 3z = 3 的解。 無解 演練 3a : 用加減消去法解方程組 x + y + z = 4 x + 2y + 3z = 5 2x + 3y + 4z = 9 。 (解:)無限多組解; x = t + 3, y = 1 − 2t, z = t, t ∈ R 演練 3b : 用加減消去法解方程組 x − y + 2z = 1 x + 5y + 4z = −5 2x + y + 5z = −1 。 (解:)無限多組解; x = 7t + 7, y = t, z = −3t − 3, t ∈ R 演練 3c : 利用加減消去法解方程組: x − y + 2z = 4 2x − y + 2z = 1 5x − 3y + 6z = 6 (解:)(−3, 2t − 7, t), t ∈ R 演練 3d : 解方程組 2x − y + 2z = 1 x − 3y + z = 2 3x + y + 3z = 3 。 無解 演練 3e : 解方程組 x + 4y + 2z = 1 3x − z = −2 2x − 4y − 3z = 4 。 無解 演練 3f : 解方程組 2x − y + z = 3 7x − 5y + 2z = 10 5x − 2y + 3z = 6 。 無解 範例 4: 利用克拉瑪公式解解方程組 3x + 11y = 15 4x + 15y = 7 。 x = 148, y = −39 仔細比較下列方程組與此方程組的關係求解下列方程組: 1. 6a + 11b = 30 8a + 15b = 14 a = ∆x ∆ = 148, b = 2∆y ∆ = −78 2. 11a − 3b = 15 15a − 4b = 7 a = ∆y ∆ = −39, b = −∆ x ∆ = −148
3. 15a + 11b = 3 7a + 15b = 4 a = ∆ ∆x = 1 148, b = −∆y ∆x = 39 148 演練 4a : 就實數 k 值討論方程組 3x − y = 8 6x − 2y = k 的解? k = 16 時, 無限多解 x = t, y = −8 + 3t ;k 6= 16 無解 演練 4b : 利用克拉瑪公式解解方程組: 40x + 82y = 21 17x + 35y = 9 x = −12, y = 1 2 演練 4c : 利用克拉瑪公式解解方程組: 2x + 3y = 4 5x + 4y = 17 x = 5, y = −2 演練 4d : 利用克拉瑪公式解解方程組: 5x + 7y = 1 3x + 5y = 3 x = −4, y = 3 演練 4e : 利用克拉瑪公式解解方程組: 2.3x + 1.2y = 2.1 4.1x − 0.5y = 14.3 x = 3, y = −4 演練 4f : 利用克拉瑪公式解解方程組: 3a + 5b = 33 5a + 7b = 51 a = 6, b = 3 演練 4g : 利用克拉瑪公式解解方程組: 3 4a + 1 2b = 11 12 1 2a − 1 4b = 1 8 a = 23, b = 56 演練 4h : 解方程組: x + 2y = 3 2x + 4y = 6 x = 3 − 2t, y = t 演練 4i : 解方程組: 2x + 3y = 1 4x + 6y = 7 無解 ⊚ 克拉瑪公式解解三元一次方程組 範例 5: ⊚ 利用克拉瑪公式解一次方程組 2x + 3y − z = −2 x − y + z = 8 3x − 2y − 9z = 9 。 x = 4, y = −3, z = 1 演練 5a : 解一次方程組 x + 2y + 2z = 13 2x + 3y + 5z = 28 x + 3y + 3z = 19 。 x = 1, y = 2, z = 4 利用上式程組的解求
i. 方程組 2a − 1b + 2c = 13 3a − 2b + 5c = 28 3a − 1b + 3c = 19 之解? (解:)a = ∆y ∆ = 2, b = −∆ x ∆ = −1, c = ∆z ∆ = 4 ii. 方程組 1a + 4b + 2c = 39 2a + 6b + 5c = 84 1a + 6b + 3c = 57 之解? (解:)a = 3∆x ∆ = 3, b = 3∆y 2∆ = 3, c = 3∆z ∆ = 12 iii. 方程組 13a + 2b + 2c = 1 28a + 3b + 5c = 2 19a + 3b + 3c = 1 之解? (解:)a = ∆ ∆x = 1, b = −∆y ∆x = −2, c = −∆z ∆x = −4 演練 5b : 利用克拉瑪公式解一次方程組 2x + y + z = 2 x − y + z = 10 2y + 3z = 5 。 x = 10 11, y = − 49 11, z = 51 11 範例 6: ⊚已知聯立方程組 ax − y − 2z = 3 2x + 3y + z = b 3x + 2y − z = 4 有無限多組解,求實數a, b的值? a=1,b=1 演練 6a : ⊚ 已知聯立方程組 ax + 4y + z = 1 x − 3z = b 3x + 4y − az = 3 有無限多組解, 求實數 a, b 的值? 並求出其 解? (解:)a = 2, b = 2; 解為 (3t + 2, −3+7t 4 , t), t ∈ R 演練 6b : ⊚ 已知聯立方程組 2x + ky + z = −10 10x + y + kz = −2 3x − 13y − z = k 無解, 求實數k 的值? k=3,-15 範例 7: ⊚ 就實數 a 值, 判定三平面 E1 : x + 2y + z = a E2 : 2x + 5y − 2z = 5 E3 : x + 4y − 7z = 1 的相交情形? (解:)若a = 3 , 三平面相交一線, x = 5 − 9t y = −1 + 4t z = t , t∈ R 。 若a 6= 3 三平面兩兩相交一直線且互相平行。
演練 7a : ⊚ 判別三平面 E1 : 4x + y + z = 2 E2 : 13x + 3y + 2z = 7 E3 : 21x + 5y + 4z = 11 的相交情形? 相交一線;x = t, y = 3 − 5t, z = −1 + t, t ∈ R 演練 7b : ⊚設a, b, c, d, e 為實數, 已知一次方程組 ax + 3y + 5z = 0 y + cz = 0 2y + dz = e 的解的圖形是坐標空間 中包含 x軸的一個平面, 分別求a, b, c 之值? (0, 0, 5 3) 演練 7c : ⊚ 設 c 為實數,E1, E2, E3 皆為坐標空間中的平面, 其方程式如下: E1 : cx + y = c,E2 :
cy + z = 0,E3 : x + cz = 1,已知E1, E2, E3 有一個交點的z坐標為1,請選出正確選項?(1) (1, 0, 0) 是 E1, E2, E3 的一個交點 (2) E1, E2, E3 有無窮多個交點 (3) E1, E2, E3 中一定 有兩個平面重合 (4) c = 1 (5) E1, E2, E3 有一個交點的 z 坐標為2 1,2,5 範例 8: ⊚ 給定坐標空間四個向量 −⇀a = (1, 1, 1),−⇀b = (1, 3, 4),−⇀c = (1, 2, 6),−⇀d = (6, 13, 27) , 其中 −⇀d 可否表示成 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 的線性組合 −⇀d = x−⇀a + y−⇀b + z−⇀c ? 若可以, 求出其線性組 合? x = 1, y = 2, z = 3 演練 8a : 坐標空間中, 可否找出向量 (1, 1, 3) 是向量 −⇀a = (4, 3, 2),−⇀b = (−2, 1, 4), −⇀c = (1, 3, 5) 的線性組合。 即 (1, 1, 3) = x(4, 3, 2) + y(−2, 1, 4) + z(1, 3, 5) , 並說明三向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 的關係? 無解; 三向量共平面 習題12-3 三元一次聯立方程式 1. 解方程組: 6x − 8 = 7y 15x − 20 = 2y 2. 就實數k 值討論方程組 3x − y = 2 6x − 2y = k 的解? 3. 就實數k 值討論方程組 4x + 8y = 1 2x − ky = 11 的解? 4. 用克拉瑪公式解解方程組: 2x − y = −1 x +1 2y = 3 2 5. 利用克拉瑪公式解解方程組: 47x + 23y = 12 35x + 17y = 9
6. 利用克拉瑪公式解解方程組: 2x + 3y = −2 −6x + y = −34 7. 利用克拉瑪公式解解方程組: 5x + 7y = 13 2x − 5y = 13 8. 利用克拉瑪公式解解聯立方程組 0.01x − 0.03y = 0.06 0.13x + 0.10y = 0.20 9. 利用克拉瑪公式解解方程組: 1 2x + y = −2 x − 2y = 8 10. 二次函數 f (x) = ax2+ bx + c 的圖形經過 (−1, −4), (1, 6), (3, 0)三點,求出此二次函數? 11. 二次函數 f (x) = ax2+ bx + c 的圖形經過 (1, 1), (2, 3), (3, 7)三點,求出此二次函數? 12. 利用加減消去法解方程組: x + 2y − z = 4 2x + 5y + 3z = 31 3x − y + z = 7 13. 利用加減消去法解方程組: 3x − 2y + 7z = 80 5x + 3y − 4z = 2 2x + 5y + z = 42 14. 甲、 乙、 丙三人合作一工程, 若甲與乙合作能在2天完工, 若乙、 丙合作則4天完工, 而甲、 丙合 作則 2 25 天完工, 問甲、 乙、 丙三人單獨作工程各需幾天完工? 15. 利用加減消去法解方程組: 3x − 2y + 7z = 80 5x + 3y − 4z = 2 2x + 5y + z = 42 16. 利用加減消去法解方程組: 3p + 5q + r = 39 4p − q + 2r = 19 6p − 2q + r = 10 17. ⊚ 解三元一次聯立方程組 x − y + 2z = 3 3x − 2y + 5z = 6 2x − 5y + 7z = 10 18. ⊚ 解三元一次聯立方程組 2x + y + z = 7 3x + y − z = 6 7x + 2y − 4z = 11
19. ⊚ 就實數 a 值,討論三平面 E1 : x + y + az = 1 E2 : x + ay + z = 2 E3 : x + y + z = 1 的幾何關係? 20. ⊚ 就實數 a 值,討論聯立方程組 x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + z = 1 的解? 21. ⊚ 判別三平面 E1 : −4x + 2y − z = −1 E2 : 3x + y + 3z = 1 E3 : 2x + 4y + 5z = 3 的幾何關係? 22. ⊚ 就實數 k 值, 討論三平面 E1 : x − y + 3z = 1 E2 : 2x − 3y − z = 3 E3 : 3x − 5y − 5z = k 的相交情形? 23. ⊚ 給定坐標空間四個向量 −⇀a = (1, −2, 3),−⇀b = (4, 3, −5),−⇀c = (3, −1, 1) , 判別向量 −⇀d = (−4, −9, 11) 可否唯一表示成 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 的線性組合 −⇀d = x−⇀a + y−⇀b + z−⇀c ? 若可以,求出 其線性組合? 24. ⊚ 給定坐標空間四個向量−⇀a′ = (3, −2, 1),−⇀b′ = (−5, 3, 4),−⇀c′ = (11, −7, −2) ,判別任意向量 −⇀ d 可否唯一表示成 −⇀a′,−⇀b′,−⇀c′ 的線性組合 −⇀d = x−⇀a′ + y−⇀b′ + z−⇀c′ ?
習題
12-3
1. (4/3, 0) 2. k = 4 時, 無限多解 x = t, y = −2 + 3t ;k 6= 4 無解 3. k = −4 時, 無解 x = t, y = −2 + 3t ;k 6= 4 恰一解 (4k+16k+88, −21 2k+8) 4. (12, 2) 5. (12, −12) 6. (5, −4) 7. (4, −1) 8. x = 0, y = 2 9. (2, −3) 10. f (x) = −2x2+ 5x + 3 11. f (x) = x2 − x + 1 12. (2, 3, 4) 13. (6, 4, 10) 14. 甲3天, 乙6天,丙12天 15. (6, 4, 10) 16. (p, q, r) = (2, 5, 8) 17. 無解 18. 無限多組解, x = 2t y = 132 − 5t z = 12 + t , t∈ R 19. a 6= 1 , 三平面相交一 點;a = 1 時E1 = E3//E2 20. 1 1 a 1 0 a − 1 1 − a 00 0 −(a − 1)(a + 2) −(a − 1) , 當 a 6= 1, −2 恰一解 ( 1 a + 2, 1 a + 2, 1 a + 2) ; a = −2 無解 。 a = 1 無限多組解 , x = 1 − s − t y = s z = t , s, t∈ R 21. 兩兩相交一直線, 三直線 互相平行 22. 若 k = 5 , 三平面相交一 線, x = −10t y = −1 − 7t z = t , t∈ R。 若 k 6= 5 三平面兩兩相交一直 線且互相平行。 23. 可 以, (x, y, z) = (1, −2, 1)
