三、判斷直線與橢圓的相交情形 》

〈圖7〉 〈圖 8〉

(1) 如圖 7，若 A、B 在 L 的同側且 ( , )d A L d B L( , )，則AB 和 L 的交點就是所求的「唯 一」P 點，且|PA PB |的最大值是AB 。

(2) 如圖 8，若 A、B 在 L 的異側且 ( , )d A L d B L( , )，把A 對直線 L 做對稱點A ，則 A B 和 L 的交點就是所求的「唯一」P 點，且|PA PB |的最大值是A B 。 (3) 不管是A、B 在 L 的同側或異側，只要 ( , )d A L d B L( , )，則此問題的P 點不存在。

證明：(1) 利用三角形中「任兩邊差小於第三邊」的性質即可。

(2) 因A 是 A 對直線 L 的對稱點，可得 PA PA ，所以「求|PA PB |的最大值」等價於

「求|PA PB|的最大值」，再利用(1)的結果即可。

(3) 如圖 9，若A、B 在 L 的同側且 ( , )d A L d B L( , )，可知AB L ，所以 AB 和 L 沒有交//

點，則此問題的P 點不存在。同理，如圖 10，若 A、B 在 L 的異側且 ( , )d A L d B L( , )， 設A 是 A 對直線 L 的對稱點，可得 ( , )d A L d B L( , )，則A B L // ，所以A B 和 L 也 是沒有交點。

〈圖9〉 〈圖 10〉

值得一提的是，問題 2 中「當 ( , )d A L d B L( , )時，是無解的」。此一細節鮮少有人提起，但 這卻是了解新方法是否正確的關鍵之一。

三、判斷直線與橢圓的相交情形 》

先給出關於橢圓的幾何定義：

《定義 2》給定平面上兩點F 、₁ F 且₂ F F_{1 2}2c2a（定值），則滿足PF₁PF₂2a的點P 所成 的圖形是橢圓，其中F 、₁ F 稱為橢圓的焦點。 ₂

由上面的定義可知，若平面上 P 點滿足PF₁PF₂2a，則 P 點在橢圓外，類似地，若滿足

1 2 2

PF PF  a，則P 點在橢圓內。

《定義3》若一直線 L 和一橢圓只有一交點，則稱 L 是此橢圓的切線。

我們得出下面的定理「判斷直線與橢圓的相交情形」：

《定理4》給定平面上一直線 L 和一橢圓 ，設  的焦點為F 、₁ F ，長軸長 2a。若考慮 L 上一₂ 動點Q，欲使QF₁QF₂有最小值，由定理2 可知滿足條件的 Q 點是「唯一」的。設 此Q 點為 R 點，則QF₁QF₂對應的最小值就是RF₁RF₂。我們有下列結果：

(1) 若RF₁RF₂2a，則直線L 和橢圓 不相交。

(2) 若RF₁RF₂2a，則直線L 和橢圓 交一點，即直線 L 是橢圓  的切線。

(3) 若RF₁RF₂2a，則直線L 和橢圓 交兩點。

證明：(1) 如圖 11，

∵R 是使QF₁QF₂有最小值的「唯一」Q 點，

∴L 上任一點 Q 均滿足QF₁QF₂RF₁RF₂。 若RF₁RF₂2a，則QF₁QF₂ 2a。

根據定義 2，表示 L 上任一點 Q 均在 外，

故 L 和 不相交。

〈圖 11〉

(2) 如圖 12，若RF₁RF₂2a， 根據定義 2 可知 R 在 上，

已知 R 點是「唯一」的，表示 L 和 只交於一點（就是 R 點），

且由定義 3 可知 L 是 的切線。

〈圖 12〉

(3) 如圖 13，若RF₁RF₂2a， 由定義 2 可知 R 在 內，

故 L 必和 交兩點。

〈圖 13〉

定理 4 是「判斷直線和橢圓相交情形」的幾何形式，接下來要把這個定理轉換成代數形式。

《定理5》給定平面上橢圓

2 2

2 2

:x y 1 a b

   。設  的兩焦點為F 、₁ F 且₂ F F_{1 2} 2c，d F L



1,



 ，d1



2,



2

d F L  ，不失一般性取 a bd  ，則長軸長 2a（＞2c），短軸長2b2 a²c²，可 得

(1) 若F 、F 在 L 的同側且d d b²，則直線L 和橢圓 不相交。

(3) ○¹ 若F 、₁ F 在 L 的同側且₂ 0 d d _{1 2}b² ○²若F 、₁ F 有一點在 L 上（即₂ d d_{1 2} ） 0 ○³若F 、₁ F 在 L 的異側且₂ 0 d d _{1 2} c²

符合以上其中一種情形，則直線 L 和橢圓 交兩點。

證明：(1)如圖 14，若F 、₁ F 在 L 的同側，不失一般性可設₂ d₁ ， d₂ 要使用定理 4 必須先求出QF₁QF₂的最小值RF₁RF₂ ， 仿定理 2 把F 對 L 做對稱點₂ F  ， ₂

連F F 



_{1 2}

交L 於 R，則RF₁RF₂ F F _{1 2} ○¹ 設F 、₁ F 對 L 做的垂足分別為₂ A 、₁ A ， ₂ 可分A₁A₂及A₁A₂兩種情形討論。

情形 1 〈圖 14〉

若A₁A₂，則d₁A F_{1 1}，d₂A F_{2 2}A F _{2 2} ， 從F 對直線₁ F F 



_{2 2}

做垂足B，

∵BF A A 是長方形，∴_{1 1 2} BA₂F A_{1 1} ， d₁

可得BF₂   ，d₁ d₂ BF₂d₁d₂，BF1²F F1 2²BF2² 

  

2c ² d1d2



²， 則F F1 2² BF2²BF1²



d1d2



²

  

2c ² d1d2



²

d₁²2d d_{1 2}d₂²4c²d₁²2d d_{1 2}d₂²4d d_{1 2}4c² ○² 由定理 4 可知「若RF₁RF₂2a，則直線L 和橢圓 不相交」，

由○¹ RF₁RF₂F F _{1 2} ，則RF₁RF₂2a等價F F_{1 2}   等價2a 0 F F_{1 2} ² 4a²。 再由○² ，4d d_{1 2}4c²4a²d d_{1 2} a²c²d d_{1 2}b²。

情形 2

如圖 15，若A₁A₂（＝R），F F_{1 2}   且d₁ d₂ d₁d₂2c     ○³   由定理 4 可知，

若F F_{1 2}  ，則直線 L 和橢圓  不相交， 2a 即^d₁^d₂^2a



^d₁^d₂



^24a2， 

      又由○³ 2c d ₁ ， d₂



d1d2



²

  

2c ² d1d2



²4a² 

      d₁²2d d_{1 2}d₂²4c²d₁²2d d_{1 2}d₂²4a²

4d d_{1 2}4c² 4a²d d_{1 2}c²a²d d_{1 2}b²。 〈圖 15〉

(2) 仿(1)，由定理 4 可得到對應的結果。

(3) 要分成兩焦點F 、₁ F 在 L 的同側，有一點在 L 上或 L 的異側，共三種情形討論： ₂ ○¹ F 、F 在 L 的同側

○² F 、₁ F 有一點在 L 上 ₂

不失一般性，設F 在 L 上，得₁ d d_{1 2} 且直線 L 和橢圓  交兩點。 0 ○³ F 、₁ F 在 L 的異側 ₂

如圖 16，設兩焦點F 、₁ F ，若₂ F F 交 L 於 R， _{1 2} 對 L 做的垂足分別是A 、₁ A ， ₂

可分A₁ A₂及A₁A₂兩種情形討論。

情形 1

若A₁A₂，不失一般性，可設d₁d₂，

由定理 2 可知RF₁RF₂F F_{1 2}， 〈圖 16〉

∵F A R_{1 1}   ，∴90 d₁RF₁， 同理，F A R_{2 2}   ，∴90 d₂RF₂， 得d₁d₂RF₁RF₂ F F_{1 2}2c。

又d₁d₂2 d d_{1 2} （∵d₁d₂  ），∴0 2 d d_{1 2} 2c， 故0 d d _{1 2} 。（注意！c² c 不一定²  ） b²

由定理 4 可知，若0 d d _{1 2} 時，直線 L 和橢圓  交兩點。 c² 情形 2

如圖 17，若A₁A₂ ，R d₁d₂ F F_{1 2}2c， 又d₁d₂2 d d_{1 2} （∵d₁d₂  ）， 0

∴2 d d_{1 2} 2c，故d d_{1 2} 。 c² 由定理 4 可知，

若0 d d _{1 2} 時，則直線 L 和橢圓c²  交兩點。 〈圖 17〉

定理 5 中當兩焦點F 、₁ F 在 L 的異側時，判斷條件「₂ 0 d d _{1 2} 」無法納入其他情形的判c² 斷條件「0 d d _{1 2}和b 比較大小」實在可惜！不過，只要做一點修改，就可使兩條件合而為一。 ²

《定義4》平面上定點P x y 到直線 :( , )_{0 0} L ax by c   的「有號」距離定為0

0 0

2 2

( , ) ax by c D P L

a b

 

  。

和d P L 比較，不難看出 ( , )( , ) D P L 是具有「正負號」的距離，可得 ( , ) | ( , ) |d P L  D P L 。因此，

可把定理5 修改如下：

《定理 6》給定平面上一直線 L 和一橢圓 :x²₂ y₂² 1 a b

   。設  的兩焦點為F 、₁ F 且₂ F F_{1 2}2c，



1,



1

D F L D ，D F L



2,



D2，不失一般性取a b ，則長軸長 2a（＞2c），短軸長

2 2

2b2 a c ，可得

(1) 若D D b²，則直線L 和橢圓 不相交。

證明：(1) 當 L 和 不相交時，∴F 、₁ F 必在 L 的同側，∴₂ d d_{1 2} D D_{1 2}，

(2) _{1 2} 15 1 15 1 14 7 ²

在文檔中 龍騰數亦優第24期 (頁 23-28)