六、判斷直線和拋物線的相交情形 》

〈圖31〉 〈圖 32〉

可是為什麼定理 9 還有「m m ₁或m 」的情形呢？只要定義「雙曲線₂  分別和其漸近線₂ L₁ 和L 相交於無窮遠點₂ P 和₁ P 」，則定理 9 中「₂ m m ₁或m 」的情形可用下表說明，其實可以看₂ 成「L 和 都交於兩點」。 ₂

定理9「m m ₁或m 」條件 ₂ 相交情形 (1)|D₁| b L L 或₁ L₂和₂交於P 和₁ P ₂ (2)|D₁| b L和₂交於P和P （₁ 或P ） ₂

利用「雙曲線和其漸近線交於無窮遠點」的新看法，定理 9 就可敘述成和定理 6「等價」

的形式，如下：

《定理9A》「無窮遠點」觀點，假設同定理 9，

(1) 若D D_{1 2}b²，則直線L 和雙曲線 不相交。

(2) 若D D_{1 2}b²，則直線L 和雙曲線 交一點，即直線 L 是雙曲線  的切線。

(3) 若D D_{1 2} ，則直線 L 和雙曲線  交兩點。（包含交點是「無窮遠點」的情形） b² 只要將定理 6 中的D D 改為_{1 2} D D_{1 2}就可得出定理9A。這一點可以用兩個定理中「相切」

的情形來看，若直線L 和橢圓相切，則F 、₁ F 必在 L 的同側，故₂ D D 的值必為正；而若直線 L_{1 2} 和雙曲線相切，則F 、₁ F 必在 L 的異側，故₂ D D 的值必為負。其實用「不相交」的情形來理解_{1 2} 也可以。

從變換 T 來看，「直線和橢圓的相交情形」及「直線和雙曲線的相交情形」是「等價地」，

也就是這兩種相交情形是「同構的」。相信這個深刻的結果會令許多唸過高中數學的人大吃一 驚！

六、判斷直線和拋物線的相交情形 》

處理完「直線和橢圓、雙曲線的相交情形」，剩下的當然就是「直線和拋物線的相交情形」，

不過使用「代數觀點」的解法在計算上並不會造成太多的麻煩，這是因為拋物線 的方程式不 管是上下型或左右型，都含有x 或 y 的一次項。所以，把直線方程式 :L ax by c   代入拋物0 線 方程式x²4cy或y²4cx，得到x 或 y 的一元二次方程式，再利用判別式判斷相交情形的 計算並不難。不過，為了完整性還是把「幾何觀點」的解法說明一下。

能找出「直線和橢圓、雙曲線的相交情形」判斷定理，主要是利用定理 2 和定理 3 的幾何 極值性質，可是在拋物線的情形，沒有類似的性質可用。因此，要另外找替代的性質來推導，

我們先寫出兩個定義：

《定義7》給定平面上一定點F 及一直線 L，則滿足PF d P L ( , )的動點P 所成的圖形是拋物線，

其中F 和 L 分別稱為拋物線的焦點及準線。

《定義8》若一直線L 和一拋物線只有一交點，則稱 L 是此拋物線的切線。

接下來，觀察「一直線L 和拋物線₁  相切的圖形」，如圖 33：

〈圖33〉

設切點P 對 L 做的垂足是 H，可得 PH PF，由圖33 可看出「過P 的切線L 似乎是 HF 的₁ 中垂線」，該如何證明呢？其實這一點不用擔心，筆者在民國99 年 12 月的《數學傳播》季刊中，

張海潮先生的文章已經引用此一性質，有興趣的讀者可自行查閱參考資料的第2 點。下面定理 給出完整的敘述：

《定理10》給定平面上一拋物線 ，其焦點為 F、準線為L。若直線L 和₁  相切於點 P，P 向 L 做的垂足為H，則切線L 就是 HF 的中垂線。 ₁

證明：參考資料第2 點《數學傳播》第 34 卷第 4 期〈拋物線的斜角坐標方程式和拋物線弓形面 積〉第24~30 頁。

由上面的定理，可以找出「判斷直線和拋物線相交情形」的幾何解法，如下所述：

《定理11》給定平面上一直線L 和一拋物線₁ （其焦點為 F、準線為 L），設 F 對L 做的對稱點₁ 為F ，可得

(1) 若F 和 F 在 L 的異側，則直線L 和拋物線₁  不相交。

(2) 若F 在 L 上，則直線L 和拋物線₁  交一點且相切。

(3) 若F 和 F 在 L 的同側，且

○¹ L 不平行₁  的對稱軸，則直線L 和拋物線₁  交兩點。

○² L 平行₁  的對稱軸，則直線L 和拋物線₁  交一點但不相切。

證明：(1) 如圖 34，任取L 上一點 P， ₁ ∵F 和F 對稱L ，∴ PF₁ PF，

∵F 和 F 在 L 的異側，∴PF d P L( , )， 可得PF d P L ( , )，

由定義 7 可知P 在 外，故L 和₁  不相交。

(2) 若F 在 L 上，分三種情形用窮舉法討論：

(a)設L 和₁  不相交，

由(1)可知F 和 F 在 L 的異側，但因 F 在 L 上，故矛盾。

(b)設L 和₁  交兩點於P 、₁ P ，如圖 35， ₂ 由P 對 L 做垂足₁ H ， ₁

      ∵P 在₁  上，∴P F₁ P H_{1 1}， ∵F 和F 對稱L ，∴₁ P F₁ P F₁ ，

可得P H_{1 1}P F₁ ，但因PH F_{1 1}   ，故矛盾。 90 由上可知，L 和₁  交一點且相切。

〈圖 35〉

(3) 若F 和 F 在 L 的同側，且

      ○¹ L 不平行₁  的對稱軸，分三種情形用窮舉法討論：

(a)若L 和₁  不相交，

由(1)可知F 和 F 在 L 的異側，矛盾。

(b)若L 和₁  交一點且相切，

由(2)可知F 在 L 上，矛盾。

由上可知，L 和₁  交兩點。

○² L 平行₁  的對稱軸，如圖 36 明顯地，L 和₁  交一點但不相切。 〈圖 36〉

在給出常見題型說明前，因為使用定理 11 必須用到「一點對一直線做對稱點」的公式，先 說明如下：

《定理12》給定平面上一定點P x y 和一直線 :( , )_{0 0} L ax by c   ，則 P 對 L 做的對稱點0 2 ( , ) 1

| |

P P D P L N

N

    

 



是L 的法向量。

證明：利用向量即可導出。

以下給出常見題型做為說明：

例7：依序判斷L x y₁:    ，1 0 L x y₂:   ，0 L x y₃:    ，2 0 L y₄:  和拋物線2 :y²4x的 相交情形。

解：先求出 的焦點 (1,0)F 、準線L x:   及對稱軸1 M y:  。 0 設F 對L₁~L 做的對稱點分別為₄ F₁~F₄ ，

(1) ∵ ₁ 1 0 1 1

(1,0) 2 (1,1) (1,0) (2,2) ( 1, 2)

2 2

F            ，

∴F 在 L 上，故₁ L 和₁  相切。

(2) ∵ ₂ 1 1

(1,0) 2 (1,1) (1,0) (1,1) (0, 1) 2 2

F          ，

∴F  和 F 在 L 的同側且L //M ，故L 和 交兩點，如圖 37。 〈圖 37〉

(3) ∵ ₃ 1 0 2 1

七、直線與拋物線相交情形與直線與圓、橢圓、雙曲線的相交情形之間