三、填充題

7 　(2)其和小於⁵的機率為 1

7 　(3)其和為奇數的機率為 4

7 　(4)其差為偶數的機率為 5 7

(5)其積為奇數的機率為 2 7 ﹒ 　解答　 35

解析 樣本空間的元素個數為C²⁷21﹒

(3)因為和為奇數﹐所以兩數為一奇數一偶數﹐其機率為

4 3

1 1 12 4

21 21 7 C C  

﹒

(4)因為差為偶數﹐所以兩數為二奇數或二偶數﹐其機率為

4 3

2 2 9 3

21 21 7 C +C  

﹒

(5)因為積為奇數﹐所以兩數均為奇數﹐其機率為

4

2 6 2

21 21 7 C  

﹒ 故選(3)(5)﹒

三、填充題

1.用黑﹑白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形﹕

拼第 95 個圖需用到____________塊白色地磚﹒

　解答　 478

解析 令 an表第 n 個圖形所需之白磚數﹐則 a1  8﹐a2  13﹐a3  18 …﹐ 表一等差﹐

a2 - a1  a3 - a2  5  d﹐

∴a⁹⁵  a1 + 94d  8 + 94 ´ 5  478﹒

2.設 a﹐b﹐c 為正整數﹐若 alog5202 + blog5205 + clog52013  3﹐則 a + b + c  ____________﹒

　解答　 15

解析 alog⁵²⁰2 + blog5205 + clog52013  3 Þ log520(2^a ´ 5^b ´ 13^c)  3

Þ 2^a ´ 5^b ´ 13^c  520³  (2³ ´ 5 ´ 13)³  2⁹ ´ 5³ ´ 13³ Þ a + b + c  9 + 3 + 3  15﹒

3.如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹒若 ÐDBC  30°﹐

ÐABD  45°﹐CD ﹐則線段 AD  ____________﹒6 　解答　 72

解析 △BCD 中

2 2 6 12 sin 30 1

2 CD  RÞ R 

°

﹐

△ABD中 2

sin 45 AD  R

° ﹐∴

2 sin 45 12 2 6 2 72 AD R´ °  ´ 2  

﹒

4.坐標空間中 xy 平面上有一正方形﹐其頂點為 O(0,0,0)﹐A(8,0,0)﹐B(8,8,0)﹐C(0,8,0)﹐另一點 P 在 xy 平面的 上方﹐且與 O﹑A﹑B﹑C 四點的距離皆等於 6﹒若 x + by + cz  d 為通過 A﹑B﹑P 三點的平面﹐則(b,c,d)  ____________﹒

　解答　 (0,2,8)

解析 坐標化﹐如圖﹐

2 2 2

36 (16 16) 4

PH OP -OH  - +  ﹐∴PH2﹐則 P 點的坐標為(4,4,2)﹐

(0,8,0) AB



_﹐AP



 -( 4, 4,2)_﹐AB AP

 

´ (16,0,32) 16(1,0,2) _﹐

則



N (1,0, 2)﹐所求平面 1  (x - 8) + 0  (y - 0) + 2  (z - 0)  0 Þ x + 0y + 2z  8﹐

則 b  0﹐c  2﹐d  8﹐故(b,c,d)  (0,2,8)﹒

5.設 a﹐b﹐x 皆為正整數且滿足 a £ x £ b 及 b - a  3﹒若用內插法從 loga log﹐ b求得 logx 的近似值為

1 2 1 2

log log log (1 2log3 log 2) (4log 2 log3)

3 3 3 3

x a+ b + - + +

﹐則 x 的值為____________﹒

　解答　 47 解析 因為

1 1 2 1

(1 2log3 log 2) log(10 3 2) log 45 3 + - 3 ´  3

﹐

2 2 4 2

(4log 2 log3) log(2 3) log 48 3 + 3 ´ 3

﹐ 所以 a  45﹐b  48﹒

又因為

1 2

log log log

3 3

x a+ b

﹐ 所以 x 位於 45 48﹐ 的 2：1 位置﹒

故

1 45 2 48 2 1 47 x ´ + ´ 

+ ﹒

1 2

45 x 48 x y=logx

6.如圖所示（只是示意圖）﹐將梯子 AB 靠在與地面垂直的牆 AC 上﹐測得與水平地面的夾角 ÐABC 為 60°﹒

將在地面上的底 B 沿著地面向外拉 51 公分到點 F（即FB51公分）﹐此時梯子 EF 與地面的夾角 ÐEFC 之 正弦值為 sinÐEFC  0.6﹐則梯子長 AB  ____________公分﹒

　解答　 170

7.設 a﹐b﹐c﹐d﹐e﹐x﹐y﹐z 皆為實數﹐考慮矩陣相乘﹕

3 7

因為圖中二個直角三角形相似﹐所以 3 72

24 5 5 14.4 x  Þ x 

﹐ 故底圓的直徑為 14.4 公尺﹒

9.某高中已有一個長 90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道﹐跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐而中間是上下各一條的直線跑道﹐直線跑道與足 球練習場的長邊平行（如示意圖）﹒則圖中一條直線跑道 AB 長度的最大可能整數值為____________公尺﹒

足球練習場

直線跑道

右邊 跑道 左邊

跑道

A B

　解答　 105

解析 設內圈左右兩半圓的半徑都是 r 公尺﹒因為內圈總長度 400 公尺﹐

所以

400 2

2 2 400 200

2

r AB AB pr r

p +  Þ  ^-  -p

公尺﹒

當

60 30 r 2 

時﹐AB有最大值 200 - 30p  200 - 30 ´ 3.14  105.8 公尺﹒

故AB的最大可能整數值為 105 公尺﹒

10.坐標平面上有四點 O(0,0)﹐A( - 3, - 5)﹐B(6,0)﹐C(x,y)﹒今有一質點在 O 點沿 AO



方向前進 AO 距離後停 在 P﹐再沿 BP



方向前進 2BP 距離後停在 Q﹒假設此質點繼續沿CQ



方向前進 3CQ 距離後回到原點 O﹐則 (x,y)  ____________﹒

　解答　 ( - 4,20)

解析 AO



(3,5)_{﹐∴P(3,5)﹐}

2 1 PQ BP 

﹐ 由分點公式﹕

3 12 3

3 x¢ x

+ ¢

 Þ 

-﹐

5 0 15

3 y¢ y

+ ¢

 Þ 

Þ Q( - 3,15)﹐

又

1 3 CQ QO

﹐

3 0

3 4

4 x+ x -  Þ 

-﹐

3 0

15 20

4 y+ y

 Þ 

﹐∴C( - 4,20)﹒

11.設圓 O 之半徑為 24﹐OC26﹐OC 交圓 O 於 A 點﹐CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如下 圖﹐則 AB  ____________﹒（化為最簡分數）

A

O B

C D

　解答　 120

13

解析 由題意

24 12 cosÐCOD 26 13

5 120 sin 24( )

13 13 AB OA AOB

Þ  Ð  

﹒

12.某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞台﹑4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型﹒若同類型電視台 的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育台﹐則頻道的分配方式共有____________種﹒

　解答　 576 解析

所求 1 ´ 2! ´ 2! ´ 3! ´ 4!  576﹒

↑ ↑ ↑ 體 新 綜

13.假設G1為坐標平面上一開口向上的拋物線﹐其對稱軸為 3 x -4

且焦距（焦點到頂點的距離）為 1

8 ﹒若G1

與另一拋物線G2﹕y  x²恰交於一點﹐則G1的頂點之 y 坐標為____________﹒（化成最簡分數）

　解答　 9 8

解析 設G1﹕

17.小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星﹕由天璇

若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3 ﹐則線段 PR 的長度為____________﹒

　解答　 7

解析 ∵　APQR 為平行四邊形﹐∴　ÐPAR  ÐBPQ  ÐQRC  60°

Þ　△PBQ﹑△RQC 為正三角形 令AP x ﹐BPAR13-x

1 APR 2

 

平行四邊形 APQR 面積 Þ　

1 1

( )(13 ) sin 60 (20 3) 2 x - x ° 2

Þ　x² - 13x + 40  0　Þ　(x - 8)(x - 5)  0　Þ　x  8 或 5

∴　PR 8²+5²-   2 8 5 cos 60°  49 7

20.設 P 為雙曲線

2 2

9 16 1 x y

- 

上的一點且位在第一象限﹒若 F1﹑F2為此雙曲線的兩個焦點﹐且PF ：¹ PF  ² 1：3﹐則△F1PF2的周長為____________﹒

　解答　 22 解析 由G_：

2 2

9 16 1 x y

- 

知 a  3﹐b  4﹐c a²+b² 5﹐ 依題意﹐令PF¹k﹐PF²3k﹐k > 0﹐

並由雙曲線的定義|PF¹-PF²| 2 a﹐得| k - 3k |  6 Þ k  3﹐

又F F^{1 2}2c10﹐故周長  3 + 9 + 10  22﹒

21.一隻青蛙位於坐標平面的原點﹐每步隨機朝上﹑下﹑左﹑右跳一單位長﹐總共跳了四步﹒青蛙跳了四步 後恰回到原點的機率為____________﹒（化成最簡分數）

　解答　 9 64

解析 樣本空間個數為 4⁴  256﹒

跳回原點的情形﹐可分以下 3 類﹕

(1)上﹐下﹐左﹐右﹕有 4!  24 種﹒

(2)上﹐上﹐下﹐下﹕有

4! 6 2! 2!

種﹒

(3)左﹐左﹐右﹐右﹕有

4! 6 2! 2!

種﹒

共 24 + 6 + 6  36 種﹒ 子方向偏了 28 度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為____________公尺﹒

（小數點後第一位以下四捨五入﹐sin28°  0.4695 cos28﹐ °  0.8829）

　解答　 6.1 解析 依題意﹐得

cos62°  2.85

BC ﹐即 2.85 2.85 2.85 cos62 sin 28 0.4695 6.1

    單位﹐則目前此礦物中 A﹑B﹑C 物質之質量分別為(1)____________ (2)____________ (3)____________﹐ ﹐ 公 克﹒ 點﹐則____________為 L 的方向向量﹒

　解答　 (2, - 1, - 3)

解析 ∵P 為 L 上距離原點 O 最近的點﹐∴OP



L_﹐^OP

^

^(2,1,1)_﹐ 又平面 H 的法向量



n _﹐



n L_﹐

^

^{n (1, 1,1)-} _﹐

L的方向向量

1 1 1 2 2 1

( , , ) (2, 1, 3) 1 1 1 1 1 1

d OP´ n  

--

- - -

﹒

25.坐標平面中 A(a,3)﹐B(16,b)﹐C(19,12)三點共線﹒已知 C 不在 A﹑B 之間﹐且AC : BC3 : 1﹐則 a + b  ____________﹒

　解答　 19

解析 如圖﹐因為AB : BC2 : 1﹐所以由分點公式﹐得

38 3 24 (16, ) ( , )

3 3

b  a+ +

﹒ 解得 a  10﹐b  9﹐即 a + b  19﹒

26.坐標空間中有四點 A(2,0,0)﹐B(3,4,2)﹐C( - 2,4,0)與 D( - 1,3,1)﹒若點 P 在直線 CD 上變動﹐則內積 PA PB

 

之最小可能值為____________﹒（化為最簡分數）

　解答　 5 4

解析 利用直線參數式CD



_﹕^{  -}^{zxy + - +042tt t,t }



﹐設點 P( - 2 + t,4 - t,t)﹒因為 (4 , 4 , ) (5 , ,2 )

PA PB

 

  - - + -  -t t t t t -t

　　　  (4 - t)(5 - t) + ( - 4 + t)t + ( - t)(2 - t) 　　　  3t² - 15t + 20

　　　

5 2 5 3( )

2 4

 t- +

﹒ 所以當

5 t 2

時﹐PA PB

 

 _有最小值⁵_4﹒

27.設 A(1,0)與 B(b,0)為坐標平面上的兩點﹐其中 b > 1﹒若拋物線G_：y²  4x 上有一點 P 使得△ABP 為一正三 角形﹐則 b  ____________﹒

　解答　 5

解析 如圖﹐在第一﹑四象限上各有一點 P﹐可使△ABP 為正三角形且兩點互相對稱於 x 軸﹐

又因△ABP 是邊長為 b - 1 的正三角形﹐所以 P 點的坐標為

1 3( 1)

( , )

2 2

b+  b

-﹐

由於 P 點在G_：y²  4x 上﹐代入得

3 2 1

( 1) 4( )

4 2

b b+

- 

Þ3b² - 14b - 5  0 Þ 1 b -3

或 5﹐但 b > 1﹐故 b  5﹒

28.在數線上有一個運動物體從原點出發﹐在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳 1 個單位﹐跳動過程 可重複經過任何一點﹒若經過 6 次跳動後運動物體落在點 + 4 處﹐則此運動物體共有____________種不同的 跳動方法﹒

　解答　 6

解析 此跳動必為 5 正 1 負（+ + + + + -）﹐依有相同元素排列 6!

5! 6﹒

29.一個房間的地面是由 12 個正方形所組成﹐如下圖﹒今想用長方形瓷磚鋪滿地面﹐已知每一塊長方形瓷磚

可以覆蓋兩個相鄰的正方形﹐即 或 ﹐則用 6 塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有____________種﹒

　解答　 11

解析 原圖形是由兩個 2 ´ 3 矩形所組成﹐分兩類討論﹕

排出兩個 2 ´ 3 矩形﹕

　排出一個 2 ´ 3 矩形有底下 3 種方法﹒

　　利用乘法原理得﹐排出兩個 2 ´ 3 矩形有 3 ´ 3  9 種方法﹒

‚沒有排出 2 ´ 3 矩形﹕

　排法有底下 2 種﹒

　　故共 9 + 2  11 種方法﹒

30.如圖（此為示意圖）﹐在△ABC 中﹐ AD 交 BC 於 D 點﹐ BE 交 AD 於 E 點﹐且 ÐACB  30°﹐ÐEDB  60°﹐ÐAEB  120°﹒若CD15﹐ED ﹐則 AB  ____________﹒7

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P32/32 60°60° 60°

30°

30°

8

7

15 A

D B 120°

7 120°

E

60°

30°

7

15 A

C

D 120° B E

　解答　 13

解析 依題意﹐可推得△BDE 為正三角形﹐△ACD 為等腰三角形﹒

因此﹐BE7﹐ AE15 7 8-  ﹒ 在△ABE 中﹐利用餘弦定理﹐得

2 82 72 2 8 7 cos120

AB  + - ´ ´ ´ ° 64 49 56 169+ +  ﹒ 故AB13﹒

31.在坐標平面上﹐設直線 L﹕y  x + 2 與拋物線G：x²  4y 相交於 P﹑Q 兩點﹒若 F 表拋物線G 的焦點﹐則 PF QF+  ____________﹒

　解答　 10 解析 ²

2 4 y x

x y

  +

 







j k

由代入‚得 x²  4(x + 2) Þ x² - 4x - 8  0 Þx 2 2 3﹐y 4 2 3﹐ 因此P(2 2 3,4 2 3)- - ﹐Q(2 2 3,4 2 3)+ + ﹐

又由拋物線的定義知﹕PF d P L ( , )¹ ﹐QF d Q L ( , )¹ ﹐ 其中 L1﹕y  - 1 為拋物線 x²  4y 的準線﹐

故PF QF d P L+  ( , )¹ +d Q L( , ) (5 2 3) (5 2 3) 10¹  - + +  ﹒

32.阿德賣 100 公斤的香蕉﹐第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部分﹐第二天降價為每公斤 36 元；第三天再降 為每公斤 32 元﹐到第三天全部賣完﹐三天所得共為 3720 元﹒假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 t﹐可 算得第二天賣出香蕉的公斤數為 at + b﹐其中 a  (1)____________﹐b  (2)____________﹒

　解答　 (1) - 2;(2)70

解析 依題意﹐可列得 40(100 - (at + b + t)) + 36(at + b) + 32t  3270﹐

整理得(280 - 4b) + ( - 4a - 8)t  0﹒

因為是恆等式﹐所以

280 4 0 4 8 0

b a

- 

- - 

 ﹒

解得 a  - 2﹐b  70﹒

在文檔中 高三上期末考數學題庫(40) (頁 22-34)