一、單選題
（ ）1.在如圖的棋盤方格中﹐隨機任意取兩個格子﹒選出的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）的 機率為 (1) 1 20 (2) 1 4 (3) 3 4 (4) 3 5 (5) 4 5 . 解答 5 解析 4 4 4 2 1 1 16 2 4 5 C C C P C .（ ）2.設 a﹐b 為正實數﹐已知 log7a 11 log﹐ 7b 13﹔試問 log7(a + b)之值最接近下列哪個選項﹖ (1)12 (2)13 (3)14 (4)23 (5)24﹒
解答 2
解析 log7a 11 Þ a 711﹐
log7b 13 Þ b 713﹐
log7(a + b) log7(711 + 713) log7[711(1 + 72)] log7711 + log750≒11 + 2 13﹒
（ ）3.令 a 2.610 - 2.69﹐b 2.611 - 2.610﹐ 11 9 2.6 2.6 2 c -﹒請選出正確的大小關係﹒ (1)a > b > c (2)a > c > b (3)b > a > c (4)b > c > a (5)c > b > a﹒
解答 4 解析 因為 a 2.69(2.6 - 1) 2.69 ´ 1.6﹐ b 2.69(2.62 - 2.6) 2.69 ´ 4.16﹐ 2 9 2.6 1 9 2.6 ( ) 2.6 2.88 2 c - ´ ﹐ 所以 b > c > a﹒ 故選(4)﹒ （ ）4.令橢圓G1﹕ 2 2 2 2 1 5 3 x y + ﹐G2﹕ 2 2 2 2 2 5 3 x y + ﹐G3﹕ 2 2 2 2 2 5 3 5 x y x + 的長軸長分別為 l1﹑l2﹑l3﹒請問 下列哪一個選項是正確的﹖(1)l1 l2 l3 (2)l1 l2 < l3 (3)l1 < l2 < l3 (4)l1 l3 < 12 (5)11 < l3 < l2﹒ 解答 4 解析 G1： 2 2 2 2 1 5 3 x + y Þ a 5 Þ l1 2a 10﹐ G2： 2 2 2 2 1 (5 2) (3 2) x y + Þa5 2Þl22a10 2﹐ G3： 2 2 2 2 2 5 3 5 x y x + Þ 2 2 2 2 ( 5) 1 5 3 x- + y Þ a 5Þ l3 2a 10﹐ ∴l1 l3 < l2﹐故選(4)﹒
（ ）5.在職棒比賽中 ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值﹒其計算方式如下﹕若此投手共主 投 n 局﹐其總責任失分為 E﹐則其 ERA 值為 9 E n ´ ﹒有一位投手在之前的比賽中共主投了 90 局﹐且這 90 局中他的 ERA 值為 3.2﹒在最新的一場比賽中此投手主投 6 局無責任失分﹐則打完 這一場比賽後﹐此投手的 ERA 值成為 (1)2.9 (2)3.0 (3)3.1 (4)3.2 (5)3.3﹒ 解答 2 解析 90 9 3.2 32 E E ´ Þ （分） ERA 32 9 3 96 ´ ﹒ （ ）6.根據統計資料﹐在 A 小鎮當某件訊息發布後﹐t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1 - 2 - kt)%﹐其中 k 是某個大於 0 的常數﹒今有某訊息﹐假設在發布後 3 小時之內已經有 70%的人 口聽到該訊息﹒又設最快要 T 小時後﹐有 99%的人口已聽到該訊息﹐則 T 最接近下列哪一個選 項﹖ (1)5 小時 (2) 1 7 2 小時 (3)9 小時 (4) 1 11 2 小時 (5)13 小時﹒ 解答 4 解析 依題意 3 3 7 3 3 100(1 2 )% 70% 1 2 2 10 10 k k k - - -- Þ - Þ ﹐ 又 3 3 3 99 1 1 3 1 100(1 2 )% 99% 1 2 2 (2 ) ( ) 100 100 100 10 100 T T kT kT kT k - - - -- Þ - Þ Þ Þ ﹐ 兩邊取 log 得 3 log 2 (log3 1) 2 3 10 3 T T - Þ - 6 6 6 11.5 log3 1 0.4771 1 0.5229 T - - -Þ - - - ﹒ （ ）7.若 f(x) x3 - 2x2 - x + 5﹐則多項式 g(x) f(f(x))除以(x - 2)所得的餘式為 (1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11﹒ 解答 5 解析 由餘式定理知﹐餘式為 g(2) f(f(2)) f(23 - 2 ´ 22 - 2 + 5) f(3) 33 - 2 ´ 32 - 3 + 5 11﹒ （ ）8.如圖﹐下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO
﹑ QO
之和等於零向量﹖ (1) AO
(2) BO
(3) CO
(4) DO
(5) EO
﹒ 解答 3解析 由圖可知﹐PO QO QO OR QR
+ + ﹐則CO QR
+ 0 ﹐故選(3)﹒ （ ）9.試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A( - n,0)與點 B(0,2)的直線亦通過點 P(7,k)﹐其 中 k 為某一正整數﹖ (1)2 個 (2)4 個 (3)6 個 (4)8 個 (5)無窮多個﹒ 解答 2 解析 2 0 2 ( 2) 14 0 ( ) 7 0 AB BP k m m n k n - - Þ Þ - - - - ﹐ 1 2 7 14 2 14 7 2 1 n k -n 1 2 7 14﹐ ﹐ ﹐ ﹐k 16 9 4 3﹐ ﹐ ﹐ ﹐故選(2)﹒（ ）10.試問共有幾個角度q滿足 0° < q < 180°﹐且 cos(3q - 60°) cos3﹐ q﹐cos(3q + 60°)依序成一等差 數列﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)5 個﹒
解答 3
解析 因為 cos(3q - 60°) cos3﹐ q﹐cos(3q + 60°)成等差數列﹐ 所以 cos(3q - 60°) + cos(3q + 60°) 2cos3q﹒
利用和角公式展開﹐得(cos3q cos60° + sin3q sin60°) + (cos3q cos60° - sin3q sin60°) 2cos3q﹐ 整理得 2cos3q cos60° 2cos3q Þ cos3q 0﹒
因為 0° < q < 180° Þ 0° < 3q < 540°﹐所以 3q 90° 270﹐ ° 450﹐ ° Þ q 30° 90﹐ ° 150﹐ °﹒ 故選(3)﹒
（ ）11.坐標平面上給定兩點 A(1,0)與 B(0,1)﹐又考慮另外三點 P(p,1)﹐ ( 3,6)Q - 與 R(2,log432)﹒令 △PAB 的面積為 p﹐△QAB 的面積為 q﹐△RAB 的面積為 r﹐請問下列哪一個選項是正確的﹖ (1)p < q < r (2)p < r < q (3)q < p < r (4)q < r < p (5)r < q < p﹒ 解答 1 解析 底邊相同﹐只須判別高之大小即可﹐ 1 1 0 1 1 x y AB + Þ + - x y
： ﹐ 1 1 3.14 ( , ) | | 2 2 2 p h d P AB
p + - p ﹐ 3 6 1 5 3 3.3 ( , ) | | 2 2 2 q h d Q AB
- + - - ﹐ 5 7 2 1 3.5 2 2 ( , ) | | 2 2 2 r h d R AB + -
﹐ ∴hp < hq < hr Þ p < q < r﹐故選(1)﹒ （ ）12.放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T﹐該物質的質量會衰退成原來的一半﹒鉛製容器中 有兩種放射性物質 A﹐B﹐開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍﹐而 120 小時後兩種 物質的質量相同﹒已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時﹐請問物質 B 的半衰期為幾小時﹖ (1)8 小 時 (2)10 小時 (3)12 小時 (4)15 小時 (5)20 小時﹒解答 1 解析 設 B 的半衰期為 T 小時﹐且開始記錄時 B 的質量為 n﹒依題意﹐ 得 120 120 7.5 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 T n n ﹐ 約去 n﹐得 120 16 1 1 2( ) ( ) 2 2 T Þ 120 15 1 1 ( ) ( ) 2 2 T ﹐ 即 120 15 T ﹐解得 T 8﹐故選(1)﹒ （ ）13.某個手機程式﹐每次點擊螢幕上的數 a 後﹐螢幕上的數會變成 a2﹒當一開始時螢幕上的數 b 為正且連續點擊螢幕三次後﹐螢幕上的數接近 813﹒試問實數 b 最接近下列哪一個選項﹖ (1)1.7 (2)3 (3)5.2 (4)9 (5)81﹒ 解答 3 解析 依題意﹐得((b2)2)2 813 Þ b8 312﹒因此﹐ 12 3 8 2 3 3 27 5.2 b ﹒ 故選(3)﹒ （ ）14.在密閉的實驗室中﹐開始時有某種細菌 1 千隻﹐並且以每小時增加 8%的速率繁殖﹒如果依此 速率持續繁殖﹐則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項﹖ (1)9 千隻 (2)108 千隻 (3)2200千隻 (4)3200 千隻 (5)32000 千隻﹒ 解答 3 解析 所求 1 千隻 ´ (1 + 8%)100 令 x 1.08100
logx log1.08100 100 ´ log1.08
108 27
100log 100log 100[3log 3 2log5]
100 25 ≒100(3 ´ 0.4771 - 2 ´ 0.6990) 100 ´ 0.0333 3.33≒log(103) + log2.… ∴x≒2200 故所求約為 2200 千隻﹒ （ ）15.已知以下各選項資料的迴歸直線（最適合直線）皆相同且皆為負相關﹐請選出相關係數最小 的選項﹒ (1) 2 3 5 1 13 1 x y (2) 2 3 5 3 10 2 x y (3) 2 3 5 5 7 3 x y (4) 2 3 5 9 1 5 x y (5) 2 3 5 7 4 4 x y 解答 5 解析 由迴歸直線的斜率 y x m r ﹐得 x y m r ﹒ 因為各選項的 m 及x都相等﹐且 m 為負﹐ 所以哪一個選項的y最小﹐其相關係數 r 就最小﹒計算各選項的y： (1) 16 64 16 96 3 3 y + + ﹒ (2) 4 25 9 38 3 3 y + + ﹒ (3) 0 4 4 8 3 3 y + + ﹒ (4) 16 16 0 32 3 3 y + + ﹒ (5) 4 1 1 6 3 3 y + + ﹒ 故選(5)﹒
（ ）16.令 a cos(p2)﹐試問下列哪一個選項是對的﹖ (1)a - 1 (2) - 1 < a £ 1 2 (3) 1 2 -< a £ 0 (4)0 < a £ 1 2 (5) 1 2 < a £ 1﹒ 解答 2 解析 a cos(p2) cos(9.86)﹐ p2 3.14 ´ 3.14 9.86≒ 為第三象限角且 3p £ 9.86 £ 10 3p ﹐∴- 1 £ a £ 1 2 -﹐ 故選(2)﹒ （ ）17.莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球﹒在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30°﹐到上午 10：10 仰角變成 34°﹒請利用下表判斷到上午 10：30 時﹐熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？ (1)39° (2)40° (3)41° (4)42° (5)43°﹒ 解答 3 解析 如圖﹐設底邊為 1 10﹐ ：00 時熱氣球高 a 10﹐ ：10 升高 x﹐ 則 10：30 再升高 2x﹒因為 tan 30 0.577 tan 34 0.675 a a x ° + ° ﹐ 所以 x 0.675 - 0.577 0.098﹒因此﹐ a + 3x 0.577 + 3 ´ 0.098 0.871 tan41°﹒ 故選(3)﹒ （ ）18.將 24 顆雞蛋分裝到紅﹑黃﹑綠的三個籃子﹒每個籃子都要有雞蛋﹐且黃﹑綠兩個籃子裡都裝 奇數顆﹒請選出分裝的方法數﹒ (1)55 (2)66 (3)132 (4)198 (5)253﹒ 解答 2 解析 設紅﹑黃﹑綠三個籃子各裝 x 2﹑ y - 1 2﹑ z - 1（x﹐y﹐z ）顆雞蛋﹒ 依題意﹐得 x + (2y - 1) + (2z - 1) 24 Þ x + 2y + 2z 26 由上式得知 x 為偶數﹐令 x 2m﹐則 2m + 2y + 2z 26﹐ 即求 m + y + z 13 之正整數解的個數﹐ 即求 m¢ + y¢ + z¢ 10 之非負整數解的個數﹐ 所以 3 10 1 12 10 10 11 12 66 1 2 C + - C ´ ´ ﹒ 故選(2)﹒
（ ）19.設正實數 b 滿足(log100)(logb) + log100 + logb 7﹒試選出正確的選項﹒ (1)1£ £b 10 (2) 10£ £b 10 (3)10£ £b 10 10 (4)10 10£ £b 100 (5)100£ £b 100 10﹒
解答 4
解析 因為 log100 2﹐所以
5 2log 2 log 7 3log 5 log
3 b+ + b Þ b Þ b ﹒ 解得 5 3 10 b ﹒ 又因為 5 3 2 3 2 10 <10 <10 ﹐所以10 10< <b 100﹒ 故選(4)﹒ （ ）20.某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈﹐當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定 為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半﹒例如下表中第二週成本上漲 100%﹐所以第二 週售價上漲 50%﹒依此定價方式以及下表的資訊﹐試選出正確的選項﹒ 【註：成本漲跌幅 - 當週成本 前週成本 前週成本 ﹐售價漲跌幅 - 當週售價 前週售價 前週售價 ﹒】 (1)120 x < y < 180 (2)120 < x < y < 180 (3)x < 120 < y < 180 (4)120 x < 180 < y (5)120 < x < 180 < y﹒ 解答 5 解析 因為第三週成本跌幅 50 100 50% 100 - -﹐ 所以該週售價跌幅 180 1 50% 180 2 x - - ´ ﹒解得 x 180 + 180 ´ ( - 25%) 135﹒ 又因為第四週成本漲幅 90 50 80% 50 - ﹐ 所以該週售價漲幅 135 1 80% 135 2 y - ´ ﹒解得 y 135 + 135 ´ 40% 189﹒ 故選(5)﹒ （ ）21.箱中有編號分別為 0 1 2 … 9﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 的十顆球﹒隨機抽取一球﹐將球放回後﹐再隨機抽取一 球﹒請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時﹐其出現的機率最大﹖ (1)0 (2)1 (3)4 (4)5 (5)9 解答 2
解析 設第一次取號為 x1﹐第二次取號為 x2 ∴ 兩球編號相減的絕對值為 1 的機率最大﹐故選(2) （ ）22.設 2 2 2 2 : y x 1 a b G - 為坐標平面上一雙曲線﹐且其通過第一象限的漸近線為 ﹒考慮動點(t,t2)﹐ 從時間 t 0 時出發﹒當 t > 0 時﹐請選出正確的選項﹒ (1)此動點不會碰到 G﹐也不會碰到 (2)此動點會碰到 G﹐但不會碰到 (3)此動點會碰到 ﹐但不會碰到 G (4)此動點會先碰到 G﹐再碰到 (5)此動點會先碰到 ﹐再碰到 G﹒ 解答 5 解析 動點(x, y) (t,t2)為拋物線 y x2上的點 x y O :y= xab y=x2 由上圖得知﹕此動點會先碰到（因為當 x > 0 且 x 接近 0 時﹐ 2 a x x b < ）﹐再碰到 G﹒ 故選(5)﹒ （ ）23.請問下面哪一個選項是正確的﹖ (1)37 < 73 (2)510 < 105 (3)2100 < 1030 (4)log23 1.5 (5)log211 < 3.5﹒ 解答 5 解析 (1)╳﹕37 (32)3 3 93 3 > 73 (2)╳﹕510 (52)5 255 > 105 (3)╳﹕2100 (210)10 (1024)10 > 1030 (103)10 (1000)10 (4)╳﹕ 2 log3 0.4771 log 3 1.585 1.5 log 2 0.301 >
(5)○﹕3.5 log 2 2 3.5 log2 27 log2 128 log 11 log> 2 2 121 故選(5)﹒ （ ）24.△ABC 內接於圓心為 O 之單位圓﹒若OA OB
+ + 3OC 0 ﹐則 ÐBAC 之度數為何﹖ (1)30° (2)45° (3)60° (4)75° (5)90°﹒ 解答 4 解析 因為OA OB
+ + 3OC 0 ﹐所以OB
+ 3OC -OA﹒ 由|OB
+ 3OC|2 -| OA|2Þ1 2 3+ OB OC
+ 3 1﹐ 得 3 2 OB OC
-﹒因此 3 cos 2 | || | OB OC BOC OB OC Ð
-﹐ 即 ÐBOC 150°﹒又因為圓周角為圓心角的一半﹐ 所以 1 75 2 BAC BOC Ð Ð ° ﹒故選(4)﹒ A B C O （ ）25.下表為常用對數表 log10N的一部分﹕ 請問 103.032最接近下列哪一個選項﹖ (1)101 (2)201 (3)1007 (4)1076 (5)2012 解答 4 解析 令 x 103.032logx log103.032 3 + 0.032 log103 + log100.032
經查表可知
0.0294 < 0.032 < 0.0334
Þ log1.07 < log100.032 < log1.08
Þ log103 + log1.07 < log103 + log100.032 < log103 + log1.08
Þ log1070 < log103.032 < log1080
∴ 1070 < x < 1080﹐故選(4)
（ ）26.在坐標平面上﹐以(1,1) ( ﹐ - 1,1) ( ﹐ - 1, - 1)及(1, - 1)等四個點為頂點的正方形﹐與圓 x2 + y2 + 2x + 2y + 1 0 有幾個交點﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒
解析 將圓改寫成標準式﹐得(x + 1)2 + (y + 1)2 1﹐ 得知其圓心為( - 1, - 1)﹐半徑為 1﹒ 由下圖得知此圓與正方形共有 2 個交點﹒ x y O (,1) (,-1) (-1,-1) (-1,1) 故選(2)﹒ （ ）27.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4 2﹐ ﹒如圖所示﹐通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45°的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐則 此交點 P 與中心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2 ﹒ 解答 2 解析 OP
斜角 45°﹐故 P 點坐標可設成(t,t)﹐t > 0﹐ 又 P 在 2 2 1 4 1 x + y 上﹐故 2 2 1 4 1 t +t ﹐t > 0﹐解得 4 5 t ﹐ 則 4 8 2 1.6 5 5 OP ´ ﹐故選(2)﹒ （ ）28.某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假﹒若甲﹑乙兩人隨機選擇休假日且兩 人的選擇互不相關﹐試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何﹖ (1) 1 3 (2) 8 21 (3) 3 7 (4) 10 21 (5) 11 21 ﹒ 解答 5解析 樣本空間的個數為C72´C72 441﹒ （正面解） 兩人在同一天休假可分成(恰一天相同)與(二天皆相同)兩種情形﹒ 根據機率的定義﹐得機率為 7 6 5 7 1 1 1 2 210 21 11 441 441 21 C ´C ´C +C + ﹒ （反面解） 因為兩人的二天休假皆不同天的機率為 7 5 2 2 210 10 441 441 21 C ´C ﹒ 所以兩人在同一天休假的機率為 10 11 1 21 21 - ﹒ 故選(5)﹒ （ ）29.第 1 天獲得 1 元﹑第 2 天獲得 2 元﹑第 3 天獲得 4 元﹑第 4 天獲得 8 元﹑依此每天所獲得的錢 為前一天的兩倍﹐如此進行到第 30 天﹐試問這 30 天所獲得的錢﹐總數最接近下列哪一個選 項﹖ (1)10,000 元 (2)1,000,000 元 (3)100,000,000 元 (4)1,000,000,000 元 (5)1,000,000,000,000元﹒ 解答 4 解析 利用等比級數求和公式﹐得 總數 1 + 2 + 22 + 23 + … + 229﹐ 30 30 1 (1 2 ) 2 1 1 2 - -- ﹒ 又因為 log230 30log2 30 ´ 0.3010 9.03 9 + 0.03﹐ 即其首數為 9﹐尾數為 0.03﹐所以 230 a ´ 109﹐其中 1 < a < 2﹐ 得知總數是最高位數字為 1 的十位數﹒ 故選(4)﹒ （ ）30.臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價（即最後一筆的成交價） 的漲﹑跌 7%範圍內變動﹒例如﹕某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元﹐則今天該支股 票每股的買賣價格必須在 93 元至 107 元之間﹒假設有某支股票的價格起伏很大﹐某一天的收盤 價是每股 40 元﹐次日起連續五個交易日以跌停板收盤（也就是每天跌 7%）﹐緊接著卻連續五 個交易日以漲停板收盤（也就是每天漲 7%）﹒請問經過這十個交易日後﹐該支股票每股的收 盤價最接近下列哪一個選項中的價格﹖ (1)39 元 (2)39.5 元 (3)40 元 (4)40.5 元 (5)41 元﹒ 解答 1 解析 依題意最後的收盤價為 40(1 - 7%)5(1 + 7%)5 40 ´ 0.935 ´ 1.075﹐ 又由對數表得
log(0.935 ´ 1.075) 5(log0.93 + log1.07) 5(0.9685 - 1 + 0.0294) 5( - 0.0021)
- 0.0105 - 1 + 0.9895 - 1 + log9.762 log0.9762﹐ 所以收盤價約為 40 ´ 0.9762 39.0480 39﹐故選(1)﹒
（ ）31.請問 sin73° sin146﹐ ° sin219﹐ ° sin292﹐ ° sin365﹐ °這五個數值的中位數是哪一個﹖ (1)sin73° (2)sin146° (3)sin219° (4)sin292° (5)sin365°﹒
解答 5
解析 利用換算公式﹐將角度化為銳角﹐得 sin146° sin(180° - 34°) sin34°﹐ sin219° sin(180° + 39°) - sin39°﹐ sin292° sin(360° - 68°) - sin68°﹐ sin365° sin(360° + 5°) sin5°﹒
所以 sin73° > sin146° > sin365° > sin219° > sin292°﹒ 得知中位數為 sin365°﹐故選(5)﹒ （ ）32.請問滿足絕對值不等式| 4x - 12 | £ 2x 的實數 x 所形成的區間﹐其長度為下列哪一個選項﹖ (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)6﹒ 解答 4 解析 分兩段討論如下﹕ 當 x ³ 3 時﹐原式為 4x - 12 £ 2x﹐得 x £ 6﹐即 3 £ x £ 6﹒ 當 x < 3 時﹐原式為 - (4x - 12) £ 2x﹐得 x ³ 2﹐即 2 £ x < 3﹒ 綜合上述﹐得 2 £ x £ 6﹐此區間長度為 6 - 2 4﹒ 故選(4)﹒ （ ）33.某疾病可分為兩種類型﹕第一類占 70%﹐可藉由藥物 A 治療﹐其每一次療程的成功率為 70%﹐且每一次療程的成功與否互相獨立﹔其餘為第二類﹐藥物 A 治療方式完全無效﹒在不知 道患者所患此疾病的類型﹐且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下﹐進行第二次療程成功的條件 機率最接近下列哪一個選項﹖ (1)0.25 (2)0.3 (3)0.35 (4)0.4 (5)0.45﹒ 解答 2 解析 依題意得下圖﹕ 某疾病 70% 30% 100% 第一類 第二類 失敗 成功 失敗 失敗 30% 70% 100% 失敗 成功 30% 70% 根據條件機率的定義﹐得 ( ) ( | ) ( ) P P P 第一次失敗 第二次成功 第二次成功 第一次失敗 第一次失敗 70% 30% 70% 70% 30% 30% 100% ´ ´ ´ + ´ 49 170 0.288﹒ 故選(2)﹒ （ ）34.甲﹑乙﹑丙三所高中的一年級分別有 3 4 5﹐ ﹐ 個班級﹒從這 12 個班級中隨機選取一班參加國 文抽考﹐再從未被抽中的 11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考﹒則參加抽考的兩個班級在同 一所學校的機率最接近以下哪個選項﹖ (1)21% (2)23% (3)25% (4)27% (5)29%﹒ 解答 5
解析 甲校（3 班）﹕ 3 2 3 12 11 66 p ´ 乙校（4 班）﹕ 4 3 6 12 11 66 p ´ 丙校（5 班）﹕ 5 4 10 12 11 66 p ´ 同校之機率為 3 6 10 19 0.288 28.8% 66 66 66+ + 66≒ 故選(5)﹒ （ ）35.假設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里﹒兩條筆直的公路交於丁鎮﹐其中之一通過 甲﹑乙兩鎮而另一通過丙鎮﹒今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45°﹐則丙﹑丁兩 鎮間的距離約為 (1)24.5 公里 (2)25 公里 (3)25.5 公里 (4)26 公里 (5)26.5 公里﹒ 解答 1 解析 △ACD 中 Ð1 120°﹐Ð2 45°﹐AC20﹐ 由正弦定理知 20 20 3 10 6 24.5 sin 45 sin120 2 CD CD Þ ° ° ﹐故選(1)﹒
二、多選題
（ ）1.三角形 ABC 是一個邊長為 3 的正三角形﹐如下圖所示﹒若在每一邊的兩個三等分點中﹐各選取 一點連成三角形﹐則下列哪些選項是正確的﹖ (1)依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 (2) 這些可能連成的三角形中﹐恰有 2 個是銳角三角形 (3)這些可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是 直角三角形 (4)這些可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是鈍角三角形 (5)這些可能連成的三角形 中﹐恰有 1 個是正三角形 解答 12 解析 (1)三角形有 2 ´ 2 ´ 2 8﹐即 △DIF﹑△DIG﹑△DHG﹑△DHF﹑△EIF﹑△EIG﹑△EHF﹑△EHG (2)銳角三角形﹕正三角形即是銳角三角形 Þ △DHF﹑△EIG﹐共 2 個 (3)直角三角形﹕△DIF﹑△DIG﹑△EHF﹑△EIF﹑△EHG﹑△DHG﹐共 6 個 (4)鈍角三角形﹕共 0 個 (5)正三角形﹕△DHF﹑△EIG﹐共 2 個故選(1)(2) （ ）2.一物體由坐標平面中的點( - 3,6)出發﹐沿著向量 v
所指的方向持續前進﹐可以進入第一象 限﹒請選出正確的選項﹕ (1)
v (1, 2)- (2)
v (1, 1)- (3)
v (0.001,0) (4) (0.001,1) v
(5)
v -( 0.001,1)﹒ 解答 234 解析 各向量的略圖如下（其中
v (1, 2)- 的方向通過原點 O）﹕ x y O v =(-0.001,1) v =(0.001,1) v =(0.001,0) v =(1,-2) v =(1,-1) (-3,6) 由上圖得知﹐選項(2)(3)(4)正確﹒ （ ）3.坐標平面上有一雙曲線﹐其漸近線為 x - y 0 和 x + y 0﹒關於此雙曲線的性質﹐請選出正確 的選項﹒ (1)此雙曲線的方程式為 2 2 2 - 2 1 x y r r 或 2 2 2 - 2 -1 x y r r ﹐其中 r 為非零實數 (2)此雙曲線 的貫軸長等於共軛軸長 (3)若點(a,b)為此雙曲線在第一象限上一點﹐則當 a > 1000 時﹐| a - b | < 1 (4)若點(a,b) (﹐ a¢,b¢)為此雙曲線在第一象限上兩點且 a < a¢﹐則 b < b¢ (5)此雙曲線同時對 稱於 x 軸與 y 軸﹒ 解答 1245 解析 (1)因為漸近線的斜率為 ± 1﹐所以圖中的矩形為正方形﹐ 即貫軸長 共軛軸長﹒因此若是左右開﹐則為 2 2 2 - 2 1 x y r r ﹐若是上下開﹐則為 2 2 2 - 2 -1 x y r r ﹒ (2)由(1)知此選項正確﹒ (3)錯﹗例如﹕當 2 2 2 2 1 1000 -1000 x y 時﹐若 a 1001﹐則 21001 10002- 2(1001 1000)(1001 1000) 2001- + b ﹐即b 2001 45 ﹐不滿足| a - b | < 1﹒ (4)因為不論左右開或上下開﹐在第一象限的圖形都是遞增的﹐所以此選項正確﹒ (5)因為 x 軸與 y 軸為貫軸或共軛軸所在的直線﹐所以此選項正確﹒故選(1)(2)(4)(5)﹒ x y O y=x y=－x （ ）4.設pa﹕x - 4y + az 10（a 為常數）﹐E1﹕x - 2y + z 5 及 E2﹕ x - 5y + 4z - 3 為坐標空間中的2 三個平面﹒試問下列哪些敘述是正確的﹖ (1)存在實數 a 使得pa與 E1平行 (2)存在實數 a 使
得pa與 E1垂直 (3)存在實數 a 使得pa﹐E1﹐E2交於一點 (4)存在實數 a 使得pa﹐E1﹐E2交於一 直線 (5)存在實數 a 使得pa﹐E1﹐E2沒有共同交點﹒ 解答 235 解析 (1)若pa與 E1平行﹐則它們的法向量須平行﹐即 1 4 1 2 1 a - - 要成立﹐ 但找不到實數 a 使上式成立﹐所以pa不可能平行 E1 (2)若pa與 E1垂直﹐則它們的法向量垂直即(1, - 4,a)與(1, - 2,1)垂直﹐ 因此(1, - 4,a) ´ (1, - 2,1) 0 亦即 1 + 8 + a 0﹐所以 a - 9 (3)(4)(5)考慮方程組 1 2 4 10 2 5 2 5 4 3 a x y az E x y z E x y z p - + - + - + - ： ： ： j k l 由 - 得 - 2y + (a - 1)z 5﹐由 ´ 2 - 得 y - 2z 13﹐ 當 2 1 1 2 a - - - 即 a 5 時﹐方程組恰有一組解﹐其幾何意義為三平面恰交於一點﹔ 當 2 1 5 1 2 13 a - - - 即 a 5 時﹐方程組無解﹐其幾何意義為三平面沒有共同交點﹔ 找不到實數 a 滿足 2 1 5 1 2 13 a - - - ﹐所以此方程組不可能無限多組解﹐ 亦即三平面不可能交成一直線 故選(2)(3)(5)﹒ （ ）5.坐標空間中﹐在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切﹐設其球心分別為 A﹐B﹐C﹒今將第 四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方﹐且與這三個球都相切並保持穩定﹒設第四個球的球心 為 P﹐試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)點 A﹐B﹐C 所在的平面和 xy 平面平行 (2)三角形 ABC是一個正三角形 (3)三角形 PAB 有一邊長為 2 (4)點 P 到直線 AB 的距離為 3 (5)點 P到 xy 平面的距離為1+ 3﹒ 解答 124 解析 四球心連成一邊長為 2 之正四面體﹐如圖所示﹐
(1)○ (2)○ (3)╳﹕△PAB 為正三角形 (4)○ (5)╳﹕正四面體之高為 6 2 6 2 3 ´ 3 ﹐∴P 到 xy 平面之距離為 2 6 1 3 + 故選(1)(2)(4)﹒ （ ）6.在坐標平面上﹐圓 C 的圓心在原點且半徑為 2﹐已知直線 L 與圓 C 相交﹐請問 L 與下列哪些圖 形一定相交﹖ (1)x 軸 (2) 1 ( ) 2 x y (3)x2 + y2 3 (4)(x - 2)2 + y2 16 (5) 2 2 1 9 4 x y + ﹒ 解答 45 解析 ∵直線 L 與圓 C 相交﹐∴包含圓 C 的圖形必與 L 相交﹐ (1)╳﹕若 L//x 軸﹐則不相交 (2)╳﹕若 L 為 y - 1﹐則不相交 (3)╳﹕若 L 為 y 1.8﹐則與 x2 + y2 3 不相交 (4)○ (﹕ x - 2)2 + y2 16 包含 x2 + y2 4﹐∴L 與(x - 2)2 + y2 16 必相交 (5)○﹕ 2 2 1 9 4 x y + 包含 x2 + y2 4﹐∴L 與 2 2 1 9 4 x y + 必相交 故選(4)(5)﹒ （ ）7.以下各數何者為正﹖ (1) 2-32 (2)log23 - 1 (3)log32 - 1 (4) 12 log 3 (5) 13 1 log 2 ﹒ 解答 125 解析 (1) 1 2 2 2 ﹐32 2 13 ﹐ 因為底數 2 比 1 大﹐所以指數越大其值越大﹐ 因此 2>32即 2-32為正﹒ (2)因 3 > 2﹐所以 log23 > log22（因底數 2 比 1 大）﹐ 即 log23 > 1﹐故 log23 - 1 為正﹒ (3)因 3 > 2﹐所以 log33 > log32（因底數 3 比 1 大）﹐ 即 1 > log32﹐故 log32 - 1 為負﹒ (4) 1 1 2 2 2
log 3 log 3 - -log 3 0< ﹒ (5) 1 1 1 3 3 3 1
log log 2 log 2 0
2
- >
（ ）8.坐標平面上﹐在函數圖形 y 2x上﹐標示 A﹑B﹑C﹑D 四個點﹐其 x 坐標分別為 - 1 0 1﹑ ﹑ ﹑ 2﹒請選出正確的選項﹒ (1)點 B 落在直線 AC 下方 (2)在直線 AB﹑直線 BC﹑直線 CD 中﹐以 直線 CD 的斜率最大 (3)A﹑B﹑C﹑D 四個點﹐以點 B 最靠近 x 軸 (4)直線 y 2x 與 y 2x的圖 形有兩個交點 (5)點 A 與點 C 對稱於 y 軸﹒ 解答 124 解析 依題意﹐得 1 ( 1, ) 2 -A ﹐B(0,1)﹐C(1,2)﹐D(2,4)﹒ (1)因為 y 2x的圖形凹口向上﹐所以 B 在AC
下方﹒ (2)由下圖﹐得知CD
的斜率最大﹒ (3)由下圖﹐得知點 A 最靠近 x 軸﹒ (4)兩圖形恰交於 C﹐D 兩點﹒ (5)因為 A﹐C 兩點不等高﹐所以不對稱於 y 軸﹒ 故選(1)(2)(4)﹒ （ ）9.如下圖所示﹐坐標平面上一鳶形 ABCD﹐其中 A﹐C 在 y 軸上﹐B﹐D 在 x 軸上﹐且AB AD 2 ﹐BC CD ﹐4 AC ﹒令5 m ﹐AB m ﹐BC m ﹐CD m 分別表直線 AB﹐BC﹐CD﹐DA 之斜率﹒DA 試問以下哪些敘述成立﹖ (1)此四數值中以m 為最大 (2)此四數值中以AB m 為最小 (3)BC BC CD m -m (4)mAB´mBC -1 (5)mCD+mDA> ﹒0 解答 235 解析 (1)╳﹕mCD最大 (2)○ (3)○﹕BC﹐CD對 y 軸成對稱 (4)╳﹕∵52 22 + 42﹐∴AB與BC不垂直 (5)○ 故選(2)(3)(5)﹒ （ ）10.下列各直線中﹐請選出和 z 軸互為歪斜線的選項﹒(1) 1 0 : 0 x L z (2) 2 0 : 1 y L x z + (3) 3 0 : 1 z L x y + (4) 4 1 : 1 x L y (5) 5 1 : 1 y L z ﹒ 解答 35 解析 將 z 軸及 5 個選項的方程式均改寫為參數式﹕ z軸﹕ 0 0 x y z t （t ）﹐L1﹕ 1 0 0 x y t z （t1 ）﹐L2﹕ 2 2 0 1 x t y z t - （t2 ）﹐ L3﹕ 3 3 1 0 x t y t z - （t3 ）﹐L4﹕ 4 1 1 x y z t （t4 ）﹐L5﹕ 5 1 1 x t y z （t5 ）﹒ x y O A B C D y=2x y=2x(1)z軸與 L1聯立﹐解得 x 0﹐y 0﹐z 0﹐即交一點(0,0,0)﹒ (2)z軸與L2聯立﹐解得 x 0﹐y 0﹐z 1﹐即交一點(0,0,1)﹒ (3)z軸與 L3聯立﹐無解﹐即不相交﹒ 又方向向量
vz (0,0,1)與
v3 (1, 1,0)- 不平行﹐所以歪斜﹒ (4)因為方向向量
vz (0,0,1)與
v4 (0,0,1)平行﹐所以不是歪斜﹒ (5)z軸與 L5聯立﹐無解﹐即不相交﹐ 又方向向量
vz (0,0,1)與
v5 (1,0,0)不平行﹐所以歪斜﹒ 故選(3)(5)﹒ （ ）11.從 1 2 … 10﹐ ﹐ ﹐ 這十個數中隨意取兩個﹐以 p 表示其和為偶數之機率﹐q 表示其和為奇數之 機率﹒請問下列哪些敘述是正確的﹖ (1) p + q 1 (2) p q (3) | p - q | £ 1 10 (4) | p - q | ³ 1 20 (5) p ³ 1 2 ﹒ 解答 14 解析 因為若兩數的和為偶數﹐則兩數必都是奇數或都是偶數﹐ 所以 p 5 5 2 2 10 2 C C C + 10 10 45 + 4 9 ﹒ 又若兩數的和為奇數﹐則兩數必是一奇數一偶數﹐ 所以 q 5 5 1 2 10 2 C C C 25 45 5 9 ﹒ 故選(1)(4)﹒ （ ）12.假設實數 a1﹐a2﹐a3﹐a4是一個等差數列﹐且滿足 0 < a1 < 2 及 a3 4﹒若定義 bn 2n a ﹐則以下 哪些選項是對的﹖ (1) b1﹐b2﹐b3﹐b4是一個等比數列 (2) b1 < b2 (3) b2 > 4 (4) b4 > 32 (5) b2 ´ b4 256. 解答 12345 解析 ∵bn 2an﹐∴ 1 2 ,1 2 2 ,2 3 2 ,3 4 24 a a a a b b b b . (1)○﹕ 2 2 1 1 2 1 2 2 2 , 2 a a a d a b b - 3 3 2 2 3 2 2 2 2 , 2 a a a d a b b - ∴<bn>為等比數列. (2)○﹕∵0 < a1 < 2﹐a3 4﹐表示公差 d > 0﹐ 即 a1 < a2 < a3 < a4Þ 21 22 23 2 4 a a < a < < a Þ b1 < b2 < b3 < b4. (3)○﹕∵0 < a1 < 2﹐a3 4﹐∴4 < a1 + a3 < 6Þ 1 3 2 3 2 a +a < < Þ 2 < a2 < 3（a2為 a1﹐a3之等差中項） Þ 22 <2a2 <23 Þ 4 < b2 < 8. (4)○ 2 ﹕ < a3 - a1 < 4Þ 2 < 2d < 4Þ 1 < d < 2﹐ a4 a3 + d 4 + d > 5﹐ 2a4 >25 Þ b4 > 32. (5)○﹕b2´ b4 2a2 ´2a4 2a2+a4 22a3 28256.
（ ）13.設 a1 1 且 a1﹐a2﹐a3﹐ 為等差數列﹒請選出正確的選項﹕ (1)若 a100 > 0﹐則 a1000 > 0 (2)… 若 a100 < 0﹐則 a1000 < 0 (3)若 a1000 > 0﹐則 a100 > 0 (4)若 a1000 < 0﹐則 a100 < 0 (5)a1000 - a10 10(a100 - a1)﹒ 解答 235 解析 設公差為 d﹒利用公式 an a1 + (n - 1)d﹐得 a100 1 + 99d﹐a1000 1 + 999d﹒ (1)反例﹕當 d - 0.01 時﹐a100 1 - 0.99 0.01 > 0﹐但 a1000 1 - 9.99 - 8.99 < 0﹒ (2)若 a100 1 + 99d < 0﹐即 1 99 d< -﹐所以 1000 999 1 999 1 0 99 a + d< - < ﹒ (3)若 a1000 1 + 999d > 0﹐即 1 999 d > -﹐所以 100 99 1 99 1 0 999 a + d > - > ﹒ (4)反例﹕當 d - 0.01 時﹐則 a1000 1 - 9.99 - 8.99 < 0﹐但 a100 1 - 0.99 0.01 > 0﹒ (5)因為 a1000 - a10 (1 + 999d) - (1 + 9d) 990d﹐ 10(a100 - a1) 10(1 + 99d - 1) 990d﹐ 所以 a1000 - a10 10(a100 - a1)﹒ 故選(2)(3)(5)﹒ （ ）14.所謂某個年齡範圍的失業率﹐是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比﹐以百分數表達 （進行統計分析時﹐所有年齡以整數表示）﹒下表為去年某國四個年齡範圍的失業率﹐其中的 年齡範圍有所重疊﹒ 請根據上表選出正確的選項﹕ (1)在上述四個年齡範圍中﹐以 40～44 歲的失業率為最高 (2)40～44 歲勞動力人數多於 45～49 歲勞動力人數 (3)40～49 歲的失業率等於 13.17 7.08 ( )% 2 + (4)35～39 歲勞動力人數少於 40～44 歲勞動力人數 (5)如果 40～44 歲的失業率降低﹐則 45～ 49歲的失業率會升高﹒ 解答 14 解析 設各範圍的勞動人數如下﹕ (1)在失業率中﹐以 13.17%最大﹒ (2)僅由題意﹐不能確定 b > c﹒ (3)40～49 歲的失業率為 13.17% 7.08% b c b c ´ + ´ + ﹐不一定等於 13.17 7.08 ( )% 2 + ﹒ (4)因為 9.80% 13.17% 12.66% a b a b ´ + ´ + ﹐即
9.80a + 13.17b 12.66(a + b) Þ 2.86a 0.51b﹐所以 a < b﹒ (5)僅由題意﹐不能推得此結論﹒ 故選(1)(4)﹒ （ ）15.坐標平面中﹐向量 w
與向量
v (2, 5)互相垂直且等長﹒請問下列哪些選項是正確的﹖ (1) 向量 w
必為 ( 5, 2)- 或( 5,2)- (2)向量 v
+ w 與 v
- w 等長 (3)向量 v
+ w 與 w
的夾角可 能為 135° (4)若向量 u
a v b w+ ﹐其中 a﹐b 為實數﹐則向量 u
的長度為 a2+b2 (5)若向 量 (1,0) c v d w
+ ﹐其中 c﹐d 為實數﹐則 c > 0﹒ 解答 125 解析 (1)○﹕設
w ( , )a b ﹐ ∵
w v 且|
w | | v |﹐∴ 2 2 2 5 0 9 a b a b + + ﹐解得( , ) ( 5, 2)a b - 或(- 5,2) (2)○﹕ ∵|
v | | w |且
v w ﹐∴|
v + w | | v - w | 2 | v | 2 | w | (3)╳﹕
v + w 和
w 的夾角為 45° (4)╳﹕|
u |2|a v +b w |2a2| v |2+2ab v w b + 2| w |2（∵
v w ﹐∴
v w 0） (a2 + b2) ´ 9 Þ|
u | 3 a2+b2 (5)○﹕若
w ( 5, 2)- ﹐(1,0)c(2, 5)+d( 5, 2) 2 5 1 2 9 5 2 0 c d c c d + Þ Þ - ﹐d 95 若
w -( 5, 2)﹐(1,0)c(2, 5)+ -d( 5,2) 2 5 1 2 9 5 2 0 c d c c d - Þ Þ + ﹐d - 95 由得 c > 0 故選(1)(2)(5)﹒ （ ）16.某年學科能力測驗小華的成績為：國文 11 級分﹑英文 12 級分﹑數學 9 級分﹑自然 9 級分﹑社 會 12 級分﹒他考慮申請一些校系﹐表 1 為大考中心公布的學測各科成績標準；表 2 是他最有興 趣的五個校系規定的申請檢定標準﹐依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩 選﹒例如甲校系規定國文成績須達均標﹑英文須達前標﹑且社會須達均標；丙校系則規定英文 成績須達均標﹑且數學或自然至少有一科達前標﹒表 2 空白者表示該校系對該科成績未規定檢 定標準﹒根據以上資訊﹐試問小華可以考慮申請哪些校系（會被列入篩選）﹖ (1)甲校系 (2)乙校系 (3)丙校系 (4)丁校系 (5)戊校系﹒ 解答 14 解析 由表 1 得知：國文達均標﹐英文達前標﹐數學達均標﹐自然達均標﹐社會達前標﹒ 再由表 2 得知：可通過甲與丁兩校系﹐而乙﹑丙﹑戊三校系不通過﹒ 故選(1)(4)﹒ （ ）17.試問下列哪些選項中的二次曲線﹐其焦點（之一）是拋物線 y2 2x 的焦點﹖ (1) 2 1 1 ( ) 2 4 y x- - (2) 2 2 1 4 3 x y + (3) 2 2 4 1 3 y x + (4)8x2 - 8y2 1 (5)4x2 - 4y2 1﹒ 解答 134 解析 將拋物線 y2 2x 改寫為標準式 2 1 ( 0) 4 ( 0) 2 y- ´ ´ -x ﹐得 1 2 c ﹒ 因為頂點為(0,0)﹐開口向右﹐所以焦點為 1 (0 ,0) ( ,0) 2 c + ﹒ (1)由拋物線的標準式 2 1 1 1 ( ) 4 ( ) 2 4 4 x- ´ ´ +y ﹐得 1 4 c ﹒ 因為頂點為 1 1 ( , ) 2 -4 ﹐開口向上﹐所以焦點為 1 1 1 ( , ) ( ,0) 2 - + 4 c 2 ﹒ (2)由橢圓的標準式 2 2 1 4 3 x + y ﹐得c 4 3 1- ﹒ 因為中心為(0,0)﹐長軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為(0 ± c,0) ( ± 1,0)﹒ (3)由橢圓的標準式 2 2 1 3 1 4 x + y ﹐得 3 1 1 4 2 c - ﹒ 因為中心為(0,0)﹐長軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為 1 (0 ,0) ( ,0) 2 c ﹒
(4)由雙曲線的標準式 2 2 1 1 1 8 8 x - y ﹐得 1 1 1 8 8 2 c + ﹒ 因為中心為(0,0)﹐貫軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為 1 (0 ,0) ( ,0) 2 c ﹒ (5)由雙曲線的標準式 2 2 1 1 1 4 4 x y - ﹐得 1 1 1 4 4 2 c + ﹒ 因為中心為(0,0)﹐貫軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為 1 (0 ,0) ( ,0) 2 c ﹒ 故選(1)(3)(4)﹒ （ ）18.關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹕ (1) 13 3.5> (2) 13 3.6< (3) 13- 3> 10 (4) 13+ 3> 16 (5) 1 0.6 13- 3 > ﹒ 解答 14 解析 (1)因為 3.52 12.25 < 13﹐所以 13 3.5> ﹒ (2)因為 3.62 12.96 < 13﹐所以 13 3.6> ﹒ (3)因為( 3+ 10)213 2 30 13+ > ﹐所以 3+ 10> 13﹐即 13- 3< 10﹒ (4)因為( 13+ 3)216 2 39 16+ > ﹐所以 13+ 3> 16﹒ (5) 1 13 3 3.7 1.8 6 0.6 10 10 10 13 3 + + < < - ﹒ 故選(1)(4)﹒ （ ）19.設 G 為坐標平面上的圓﹐點(0,0)在 G 的外部且點(2,6)在 G 的內部﹒請選出正確的選項﹒ (1)G 的圓心不可能在第二象限 (2)G 的圓心可能在第三象限且此時 G 的半徑必定大於 10 (3)G 的圓 心可能在第一象限且此時 G 的半徑必定小於 10 (4)G 的圓心可能在x軸上且此時圓心的 x 坐標 必定小於 10 (5)G 的圓心可能在第四象限且此時 G 的半徑必定大於 10﹒ 解答 5 解析 點(0,0)與(2,6)連線段的中垂線為 1 3 ( 1) 3 y- - x -Þ x + 3y 10﹒ 依題意﹐利用「中垂線上的點到兩端點等距離」的性質﹐ 得知圓心落在半平面 x + 3y > 10 的區域內﹐ 即點(2,6)那一側﹒ 故選(5)﹒ (2,6) 10 O y x x+3y=10
（ ）20.從 1 2 3 4 5 6 7﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 這七個數字中隨機任取兩數﹒試選出正確的選項﹒ (1)其和大於10 的機率為 1 7 (2)其和小於5的機率為 1 7 (3)其和為奇數的機率為 4 7 (4)其差為偶數的機率為 5 7 (5)其積為奇數的機率為 2 7 ﹒ 解答 35 解析 樣本空間的元素個數為C2721﹒ (3)因為和為奇數﹐所以兩數為一奇數一偶數﹐其機率為 4 3 1 1 12 4 21 21 7 C C ﹒ (4)因為差為偶數﹐所以兩數為二奇數或二偶數﹐其機率為 4 3 2 2 9 3 21 21 7 C +C ﹒ (5)因為積為奇數﹐所以兩數均為奇數﹐其機率為 4 2 6 2 21 21 7 C ﹒ 故選(3)(5)﹒
三、填充題
1.用黑﹑白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形﹕ 拼第 95 個圖需用到____________塊白色地磚﹒ 解答 478 解析 令 an表第 n 個圖形所需之白磚數﹐則 a1 8﹐a2 13﹐a3 18 …﹐ 表一等差﹐ a2 - a1 a3 - a2 5 d﹐ ∴a95 a1 + 94d 8 + 94 ´ 5 478﹒2.設 a﹐b﹐c 為正整數﹐若 alog5202 + blog5205 + clog52013 3﹐則 a + b + c ____________﹒
解答 15
解析 alog5202 + blog5205 + clog52013 3
Þ log520(2a ´ 5b ´ 13c) 3 Þ 2a ´ 5b ´ 13c 5203 (23 ´ 5 ´ 13)3 29 ´ 53 ´ 133 Þ a + b + c 9 + 3 + 3 15﹒ 3.如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹒若 ÐDBC 30°﹐ ÐABD 45°﹐CD ﹐則線段 AD ____________﹒6 解答 72
解析 △BCD 中 6 2 2 12 1 sin 30 2 CD R R Þ ° ﹐ △ABD中sin 45 2 AD R ° ﹐∴ 2 2 sin 45 12 6 2 72 2 AD R´ ° ´ ﹒ 4.坐標空間中 xy 平面上有一正方形﹐其頂點為 O(0,0,0)﹐A(8,0,0)﹐B(8,8,0)﹐C(0,8,0)﹐另一點 P 在 xy 平面的 上方﹐且與 O﹑A﹑B﹑C 四點的距離皆等於 6﹒若 x + by + cz d 為通過 A﹑B﹑P 三點的平面﹐則(b,c,d) ____________﹒ 解答 (0,2,8) 解析 坐標化﹐如圖﹐ 2 2 2 36 (16 16) 4 PH OP -OH - + ﹐∴PH2﹐則 P 點的坐標為(4,4,2)﹐ (0,8,0) AB
﹐AP
-( 4, 4,2)﹐AB AP
´ (16,0,32) 16(1,0,2) ﹐ 則
N (1,0, 2)﹐所求平面 1 (x - 8) + 0 (y - 0) + 2 (z - 0) 0 Þ x + 0y + 2z 8﹐ 則 b 0﹐c 2﹐d 8﹐故(b,c,d) (0,2,8)﹒5.設 a﹐b﹐x 皆為正整數且滿足 a £ x £ b 及 b - a 3﹒若用內插法從 loga log﹐ b求得 logx 的近似值為
1 2 1 2
log log log (1 2log3 log 2) (4log 2 log3)
3 3 3 3 x a+ b + - + + ﹐則 x 的值為____________﹒ 解答 47 解析 因為 2 1 1 1
(1 2log3 log 2) log(10 3 2) log 45
3 + - 3 ´ 3 ﹐
4
2 2 2
(4log 2 log3) log(2 3) log 48
3 + 3 ´ 3 ﹐
所以 a 45﹐b 48﹒
又因為
1 2
log log log
3 3 x a+ b ﹐ 所以 x 位於 45 48﹐ 的 2：1 位置﹒ 故 1 45 2 48 47 2 1 x ´ + ´ + ﹒ 1 2 45 x 48 x y=logx
6.如圖所示（只是示意圖）﹐將梯子 AB 靠在與地面垂直的牆 AC 上﹐測得與水平地面的夾角 ÐABC 為 60°﹒ 將在地面上的底 B 沿著地面向外拉 51 公分到點 F（即FB51公分）﹐此時梯子 EF 與地面的夾角 ÐEFC 之 正弦值為 sinÐEFC 0.6﹐則梯子長 AB ____________公分﹒ 解答 170 解析 設AB EF x﹒因為 ÐABC 60°﹐所以 2 x BC ﹒ 又因為 3 sin 5 EFC Ð ﹐所以 51 4 2 cos 5 x EFC x + Ð Þ 5 255 4 2x x + ﹒ 解得 x 170﹒故AB170﹒ 7.設 a﹐b﹐c﹐d﹐e﹐x﹐y﹐z 皆為實數﹐考慮矩陣相乘﹕ 3 7 3 5 7 0 7 4 6 1 2 11 23 a b x c d y e z - - - ﹐則 y ____________﹒（化成最簡分數） 解答 7 2 解析 根據矩陣乘法的定義﹐得 3 4 0 5 6 7 7 7 2 23 c d c d y c de e - - + + + ‚ ƒ „ ﹐ 由解得 e 8﹒ 代入後﹐再與聯立﹐得 c 7﹐ 21 4 d -﹒ 代入﹐得 21 7 5 7 6 ( ) 4 2 y ´ + ´ - ﹒ 8.地面上甲﹑乙兩人從同一地點同時開始移動﹒甲以每秒 4 公尺向東等速移動﹐乙以每秒3公尺向北等速移 動﹒在移動不久之後﹐他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了6秒後才又相見﹒此圓柱體建築物底圓的 直徑為____________公尺﹒ 解答 14.4 解析 依題意﹐圖示如下﹕ 5k 4k A 24 B 3k x 東 北 經 6 秒甲走AB ´ 6 4 24公尺﹒ A E C F B
因為圖中二個直角三角形相似﹐所以 3 72 14.4 24 5 5 x x Þ ﹐ 故底圓的直徑為 14.4 公尺﹒ 9.某高中已有一個長 90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道﹐跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐而中間是上下各一條的直線跑道﹐直線跑道與足 球練習場的長邊平行（如示意圖）﹒則圖中一條直線跑道 AB 長度的最大可能整數值為____________公尺﹒ 足球練習場 直線跑道 右 邊 跑 道 左 邊 跑 道 A B 解答 105 解析 設內圈左右兩半圓的半徑都是 r 公尺﹒因為內圈總長度 400 公尺﹐ 所以 400 2 2 2 400 200 2 r r AB AB p r p + Þ - -p 公尺﹒ 當 60 30 2 r 時﹐AB有最大值 200 - 30p 200 - 30 ´ 3.14 105.8 公尺﹒ 故AB的最大可能整數值為 105 公尺﹒ 10.坐標平面上有四點 O(0,0)﹐A( - 3, - 5)﹐B(6,0)﹐C(x,y)﹒今有一質點在 O 點沿 AO
方向前進 AO 距離後停 在 P﹐再沿 BP
方向前進 2BP 距離後停在 Q﹒假設此質點繼續沿CQ
方向前進 3CQ 距離後回到原點 O﹐則 (x,y) ____________﹒ 解答 ( - 4,20) 解析 AO
(3,5)﹐∴P(3,5)﹐ 2 1 PQ BP ﹐ 由分點公式﹕ 12 3 3 3 x x ¢ + ¢ Þ -﹐ 0 5 15 3 y y ¢ + ¢ Þ Þ Q( - 3,15)﹐ 又 1 3 CQ QO ﹐3 0 3 4 4 x x + - Þ -﹐ 3 0 15 20 4 y y + Þ ﹐∴C( - 4,20)﹒ 11.設圓 O 之半徑為 24﹐OC26﹐OC 交圓 O 於 A 點﹐CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如下 圖﹐則 AB ____________﹒（化為最簡分數） A O B C D 解答 120 13 解析 由題意 24 12 cos 26 13 COD Ð 5 120 sin 24( ) 13 13 AB OA AOB Þ Ð ﹒ 12.某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞台﹑4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型﹒若同類型電視台 的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育台﹐則頻道的分配方式共有____________種﹒ 解答 576 解析 所求 1 ´ 2! ´ 2! ´ 3! ´ 4! 576﹒ ↑ ↑ ↑ 體 新 綜 13.假設G1為坐標平面上一開口向上的拋物線﹐其對稱軸為 3 4 x -且焦距（焦點到頂點的距離）為 1 8 ﹒若G1 與另一拋物線G2﹕y x2恰交於一點﹐則G 1的頂點之 y 坐標為____________﹒（化成最簡分數） 解答 9 8
解析 設G1﹕ 2 3 1 ( ) 4 ( ) 4 8 x+ y k -﹐G2﹕y x2代入G1﹐ 得 2 2 3 1 ( ) ( ) 4 2 x+ x -k Þ 2 3 (9 ) 0 8 x + x+ +k ﹐ ∵只有一交點﹐∴D 0﹐ 2 9 3 4( ) 0 8 D - +k Þ 9 8 k ﹒ 14.設實數 x 滿足 0 < x < 1﹐且 logx4 - log2x 1﹐則 x ____________﹒（化成最簡分數） 解答 1 4 解析 令 t log2x﹐則 2 log 4 2log 2x x t 原式 2 2 1 2 0 ( 2)( 1) 0 2 t t t t t t t Þ - Þ + - Þ + Þ -或 t 1 即 log2x - 2 或 log2x 1 故 1 4 x 或 x 2（不合）﹒ 15.設 u
﹐ v
為兩個長度皆為 1 的向量﹒若 u
+ v 與 u
的夾角為 75°﹐則 u
與 v
的內積為___________ _﹒（化為最簡根式） 解答 3 2 解析 依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得下圖﹒ 推得
u 與
v 的夾角為 150°﹒ 故 3 1 1 cos150 2 u v ´ ´ ° - -
﹒ 16.坐標平面上﹐一圓與直線 x - y 1 以及直線 x - y 5 所截的弦長皆為 14﹒則此圓的面積為___________ _p﹒ 解答 51 解析 因為兩平行直線 x - y - 1 0 與 x - y - 5 0 所截的弦等長﹐ 且其距離為 2 2 | ( 1) ( 5) | 4 2 2 2 1 ( 1) - - - + -﹐ 所以弦心距 1 2 2 2 2 d ´ ﹒因此﹐圓的半徑r 72+( 2)2 51﹒ 故此圓的面積為 51p﹒17.小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星﹕由天璇 起始向天樞的方向延伸便可找到北極星﹐其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍﹒」今小明將 所見的星空想像成一個坐標平面﹐其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為(7,11)﹒依上述資訊可以推得北極 星的坐標為____________﹒ 解答 ( - 3,26) 解析 令北極星坐標為(x,y) 5
樞北 璇樞 Þ (x - 7,y - 11) 5(7 - 9,11 - 8) Þ x - 7 - 10 得 x - 3 Þ y - 11 15 得 y 26 ∴ 北極星坐標為( - 3,26) 18.某一公司﹐有 A﹑B﹑C 三個營業據點﹐開始時各有 36 位營業員﹐為了讓營業員了解各據點業務狀況﹐所 以進行兩次調動﹒每次調動都是﹕將當時 A 據點營業員中的 1 6 調到 B 據點﹑ 1 6 調到 C 據點﹔將當時 B 據點 營業員中的 1 6 調到 A 據點﹑ 1 3 調到 C 據點﹔將當時 C 據點營業員中的 1 6 調到 A 據點﹑ 1 6 調到 B 據點﹒則兩 次的調動後﹐C 據點有____________位營業員﹒ 解答 44 解析 依題意﹐利用轉移矩陣﹐得 第一次調動後為 2 1 1 3 6 6 36 36 1 1 1 36 30 6 2 6 36 42 1 1 2 6 3 3 ﹐ 第二次調動後為 2 1 1 3 6 6 36 36 1 1 1 30 28 6 2 6 42 44 1 1 2 6 3 3 ﹒ 故 C 有 44 位營業員﹒ 19.在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P﹑Q﹑R﹐使得 APQR 形成一平行四邊形﹐如下圖所 示﹕若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3 ﹐則線段 PR 的長度為____________﹒ 解答 7 解析 ∵ APQR 為平行四邊形﹐∴ ÐPAR ÐBPQ ÐQRC 60° Þ △PBQ﹑△RQC 為正三角形 令AP x ﹐BPAR13-x 1 2 APR 平行四邊形 APQR 面積 Þ 1 1 ( )(13 ) sin 60 (20 3) 2 x - x ° 2 Þ x2 - 13x + 40 0 Þ (x - 8)(x - 5) 0 Þ x 8 或 5 ∴ PR 82+52- 2 8 5 cos 60° 49 7 20.設 P 為雙曲線 2 2 1 9 16 x y - 上的一點且位在第一象限﹒若 F1﹑F2為此雙曲線的兩個焦點﹐且PF ：1 PF 2 1：3﹐則△F1PF2的周長為____________﹒ 解答 22 解析 由G： 2 2 1 9 16 x y - 知 a 3﹐b 4﹐c a2+b2 5﹐ 依題意﹐令PF1k﹐PF23k﹐k > 0﹐ 並由雙曲線的定義|PF1-PF2| 2 a﹐得| k - 3k | 6 Þ k 3﹐ 又F F1 22c10﹐故周長 3 + 9 + 10 22﹒ 21.一隻青蛙位於坐標平面的原點﹐每步隨機朝上﹑下﹑左﹑右跳一單位長﹐總共跳了四步﹒青蛙跳了四步 後恰回到原點的機率為____________﹒（化成最簡分數） 解答 9 64 解析 樣本空間個數為 44 256﹒ 跳回原點的情形﹐可分以下 3 類﹕ (1)上﹐下﹐左﹐右﹕有 4! 24 種﹒ (2)上﹐上﹐下﹐下﹕有 4! 6 2! 2! 種﹒ (3)左﹐左﹐右﹐右﹕有 4! 6 2! 2! 種﹒
共 24 + 6 + 6 36 種﹒ 故所求機率為 36 9 25664﹒ 22.下圖為汽車迴轉示意圖﹒汽車迴轉時﹐將方向盤轉動到極限﹐以低速讓汽車進行轉向圓周運動﹐汽車轉 向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑﹐如圖中的 BC 即是﹒已知在低速前進時﹐圖中 A 處的輪胎行進方向 與 AC 垂直﹐B 處的輪胎行進方向與 BC 垂直﹒在圖中﹐已知軸距 AB 為2.85公尺﹐方向盤轉到極限時﹐輪 子方向偏了 28 度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為____________公尺﹒ （小數點後第一位以下四捨五入﹐sin28° 0.4695 cos28﹐ ° 0.8829） 解答 6.1 解析 依題意﹐得 2.85 cos62° BC ﹐即 2.85 2.85 2.85 6.1 cos62 sin 28 0.4695 ° ° BC ﹒ 23.一礦物內含 A﹑B﹑C 三種放射性物質﹐放射出同一種輻射﹒已知 A﹑B﹑C 每公克分別會釋放出 1 單位﹑ 2單位﹑1 單位的輻射強度﹐又知 A﹑B﹑C 每過半年其質量分別變為原來質量的 1 2 ﹑ 1 3 ﹑ 1 4 倍﹒於一年前測 得此礦物的輻射強度為 66 單位﹐而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位﹐且目前此礦物的輻射強度為 8 單位﹐則目前此礦物中 A﹑B﹑C 物質之質量分別為(1)____________ (2)____________ (3)____________﹐ ﹐ 公 克﹒ 解答 (1)4;(2)1;(3)2 解析 設 A﹑B﹑C 一年前分別有 x﹐y﹐z 公克﹐ 2 66 1 2 1 22 2 3 4 1 2 1 8 4 9 16 x y z x y z x y z + + + + + + Þ 2 66 4 1 44 3 2 8 1 32 9 4 x y z x y z x y z + + + + + + j k l - Þ 2 1 22 3y+2z ﹐ - Þ 10 3 34 9 y+4z Þ 4 3 132 40 27 1224 y z y z + + m n ´ 10 - Þ 3z 96﹐z 32﹐y 9﹐x 16﹐ 則目前此礦物 A﹑B﹑C 物質之質量分別為 2 1 16( ) 2 ﹐ 2 1 9( ) 3 ﹐ 2 1 32( ) 4 Þ 4 1 2﹐ ﹐ （公克）﹒ 24.H﹕x - y + z 2 為坐標空間中一平面﹐L 為平面 H 上的一直線﹒已知點 P(2,1,1)為 L 上距離原點 O 最近的 點﹐則____________為 L 的方向向量﹒
解答 (2, - 1, - 3) 解析 ∵P 為 L 上距離原點 O 最近的點﹐∴OP
L﹐OP
(2,1,1)﹐ 又平面 H 的法向量
n ﹐
n L﹐
n (1, 1,1)- ﹐ L的方向向量 1 1 1 2 2 1 ( , , ) (2, 1, 3) 1 1 1 1 1 1 d OP´ n --- - -
﹒ 25.坐標平面中 A(a,3)﹐B(16,b)﹐C(19,12)三點共線﹒已知 C 不在 A﹑B 之間﹐且AC : BC3 : 1﹐則 a + b ____________﹒ 解答 19 解析 如圖﹐因為AB : BC2 : 1﹐所以由分點公式﹐得 38 3 24 (16, ) ( , ) 3 3 a b + + ﹒ 解得 a 10﹐b 9﹐即 a + b 19﹒ 26.坐標空間中有四點 A(2,0,0)﹐B(3,4,2)﹐C( - 2,4,0)與 D( - 1,3,1)﹒若點 P 在直線 CD 上變動﹐則內積 PA PB
之最小可能值為____________﹒（化為最簡分數） 解答 5 4 解析 利用直線參數式CD
﹕ 0 2 4 , z t x t y t t + - + - ﹐設點 P( - 2 + t,4 - t,t)﹒因為 (4 , 4 , ) (5 , ,2 ) PA PB
- - + - -t t t t t -t (4 - t)(5 - t) + ( - 4 + t)t + ( - t)(2 - t) 3t2 - 15t + 20 2 5 5 3( ) 2 4 t - + ﹒ 所以當 5 2 t 時﹐PA PB
有最小值 5 4﹒27.設 A(1,0)與 B(b,0)為坐標平面上的兩點﹐其中 b > 1﹒若拋物線G：y2 4x 上有一點 P 使得△ABP 為一正三 角形﹐則 b ____________﹒ 解答 5 解析 如圖﹐在第一﹑四象限上各有一點 P﹐可使△ABP 為正三角形且兩點互相對稱於 x 軸﹐ 又因△ABP 是邊長為 b - 1 的正三角形﹐所以 P 點的坐標為 1 3( 1) ( , ) 2 2 b+ b -﹐
由於 P 點在G：y2 4x 上﹐代入得 2 3 1 ( 1) 4( ) 4 2 b b- + Þ3b2 - 14b - 5 0 Þ 1 3 b -或 5﹐但 b > 1﹐故 b 5﹒ 28.在數線上有一個運動物體從原點出發﹐在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳 1 個單位﹐跳動過程 可重複經過任何一點﹒若經過 6 次跳動後運動物體落在點 + 4 處﹐則此運動物體共有____________種不同的 跳動方法﹒ 解答 6 解析 此跳動必為 5 正 1 負（+ + + + + -）﹐依有相同元素排列 6! 5! 6﹒ 29.一個房間的地面是由 12 個正方形所組成﹐如下圖﹒今想用長方形瓷磚鋪滿地面﹐已知每一塊長方形瓷磚 可以覆蓋兩個相鄰的正方形﹐即 或 ﹐則用 6 塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有____________種﹒ 解答 11 解析 原圖形是由兩個 2 ´ 3 矩形所組成﹐分兩類討論﹕ 排出兩個 2 ´ 3 矩形﹕ 排出一個 2 ´ 3 矩形有底下 3 種方法﹒ 利用乘法原理得﹐排出兩個 2 ´ 3 矩形有 3 ´ 3 9 種方法﹒ 沒有排出 2 ´ 3 矩形﹕ 排法有底下 2 種﹒ 故共 9 + 2 11 種方法﹒
30.如圖（此為示意圖）﹐在△ABC 中﹐ AD 交 BC 於 D 點﹐ BE 交 AD 於 E 點﹐且 ÐACB 30°﹐ÐEDB 60°﹐ÐAEB 120°﹒若CD15﹐ED ﹐則 AB ____________﹒7 1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P32/32 60°60° 60° 30° 30° 8 7 15 A D B 120° 7 120° E
60° 30° 7 15 A C D B 120° E 解答 13 解析 依題意﹐可推得△BDE 為正三角形﹐△ACD 為等腰三角形﹒ 因此﹐BE7﹐ AE15 7 8- ﹒ 在△ABE 中﹐利用餘弦定理﹐得 2 2 2 8 7 2 8 7 cos120 AB + - ´ ´ ´ ° 64 49 56 169+ + ﹒ 故AB13﹒ 31.在坐標平面上﹐設直線 L﹕y x + 2 與拋物線G：x2 4y 相交於 P﹑Q 兩點﹒若 F 表拋物線G 的焦點﹐則 PF QF+ ____________﹒ 解答 10 解析 2 2 4 y x x y + j k 由代入得 x2 4(x + 2) Þ x2 - 4x - 8 0 Þx 2 2 3﹐y 4 2 3﹐ 因此P(2 2 3,4 2 3)- - ﹐Q(2 2 3,4 2 3)+ + ﹐ 又由拋物線的定義知﹕PF d P L ( , )1 ﹐QF d Q L ( , )1 ﹐ 其中 L1﹕y - 1 為拋物線 x2 4y 的準線﹐ 故PF QF d P L+ ( , )1 +d Q L( , ) (5 2 3) (5 2 3) 101 - + + ﹒ 32.阿德賣 100 公斤的香蕉﹐第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部分﹐第二天降價為每公斤 36 元；第三天再降 為每公斤 32 元﹐到第三天全部賣完﹐三天所得共為 3720 元﹒假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 t﹐可 算得第二天賣出香蕉的公斤數為 at + b﹐其中 a (1)____________﹐b (2)____________﹒ 解答 (1) - 2;(2)70 解析 依題意﹐可列得 40(100 - (at + b + t)) + 36(at + b) + 32t 3270﹐ 整理得(280 - 4b) + ( - 4a - 8)t 0﹒
因為是恆等式﹐所以 280 4 0 4 8 0 b a - - - ﹒ 解得 a - 2﹐b 70﹒
