三、填充題

(5)其積為奇數的機率為2

7﹒ 解答 35

解析 樣本空間的元素個數為

C

₂⁷

 21

﹒

(1)因為和大於 10 有 4,7﹐5,6﹐5,7﹐6,7 共 4 種﹐所以機率為 4 21﹒ (2)因為和小於 5 有 1,2﹐1,3 共 2 種﹐所以機率為 2

21﹒ (3)因為和為奇數﹐所以兩數為一奇數一偶數﹐其機率為

4 3

1 1 12 4

21 21 7 C C   ﹒

(4)因為差為偶數﹐所以兩數為二奇數或二偶數﹐其機率為

4 3

2 2 9 3

21 21 7 C C   ﹒

(5)因為積為奇數﹐所以兩數均為奇數﹐其機率為

4

2 6 2

21 21 7 C   ﹒ 故選(3)(5)﹒

三、填充題

1.用黑﹑白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形﹕

拼第 95 個圖需用到____________塊白色地磚﹒

解答 478

解析 令 an表第 n 個圖形所需之白磚數﹐則 a1  8﹐a2  13﹐a3  18﹐…表一等差﹐

a2  a1  a3  a2  5  d﹐

∴a95  a1  94d  8  94  5  478﹒

2.設 a﹐b﹐c 為正整數﹐若 alog5202  blog5205  clog52013  3﹐則 a  b  c  ____________﹒

解答 15

解析 alog5202  blog5205  clog52013  3

 log520(2^a  5^b  13^c)  3

 2^a  5^b  13^c  520³  (2³  5  13)³  2⁹  5³  13³

 a  b  c  9  3  3  15﹒

3.如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹒若DBC  30﹐

ABD  45﹐CD6﹐則線段 AD____________﹒

解答

72

解析 △BCD 中 6

2 2 12

sin 30 1

2 CD  R R 

 ﹐

△ABD 中 2

sin 45 AD  R

 ﹐∴ 2

2 sin 45 12 6 2 72 AD R    2   ﹒

第1個 第2個 第3個

A

B

C D

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P22/32

4.坐標空間中 xy 平面上有一正方形﹐其頂點為 O(0,0,0)﹐A(8,0,0)﹐B(8,8,0)﹐C(0,8,0)﹐另一點 P 在 xy 平面的 上方﹐且與 O﹑A﹑B﹑C 四點的距離皆等於 6﹒若 x  by  cz  d 為通過 A﹑B﹑P 三點的平面﹐則(b,c,d)  ____________﹒

解答 (0,2,8)

解析 坐標化﹐如圖﹐

2 2 2

36 (16 16) 4

PH OP OH     ﹐∴PH2﹐則 P 點的坐標為(4,4,2)﹐

(0,8, 0)

AB ﹐AP ( 4, 4, 2)﹐ABAP(16, 0,32)16(1, 0, 2)﹐

則 N (1, 0, 2)﹐所求平面 1  (x  8)  0  (y  0)  2  (z  0)  0  x  0y  2z  8﹐

則 b  0﹐c  2﹐d  8﹐故(b,c,d)  (0,2,8)﹒

5.設 a﹐b﹐x 皆為正整數且滿足 a  x  b 及 b  a  3﹒若用內插法從 loga﹐logb 求得 logx 的近似值為

1 2 1 2

log log log (1 2log3 log 2) (4log 2 log3)

3 3 3 3

x a b     ﹐則 x 的值為____________﹒

解答 47 解析 因為

1 1 2 1

(1 2log3 log 2) log(10 3 2) log 45

3   3   3 ﹐

2 2 4 2

(4log 2 log3) log(2 3) log 48

3  3  3 ﹐

所以 a  45﹐b  48﹒

又因為 1 2

log log log

3 3

x a b﹐ 所以 x 位於 45﹐48 的 2：1 位置﹒

故 1 45 2 48 2 1 47 x    

 ﹒

x

y z

O

P (4,4,2)

B (8,8,0) A (8,0,0)

C (0,8,0)

H (4,4,0)

1 2

45 x 48 x y=logx

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P23/32

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P24/32

9.某高中已有一個長 90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道﹐跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐而中間是上下各一條的直線跑道﹐直線跑道與足 球練習場的長邊平行（如示意圖）﹒則圖中一條直線跑道 AB 長度的最大可能整數值為____________公尺﹒

解答 105 (x,y)  ____________﹒

解答 (  4,20)

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P25/32

11.設圓 O 之半徑為 24﹐OC26﹐ OC 交圓 O 於 A 點﹐ CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如下 圖﹐則 AB____________﹒（化為最簡分數）

解答 120 13

解析 由題意 24 12 cosCOD 2613

5 120 sin 24( )

13 13 AB OA AOB

     ﹒

12.某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞台﹑4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型﹒若同類型電視台 的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育台﹐則頻道的分配方式共有____________種﹒

解答 576 解析

所求 1  2!  2!  3!  4!  576﹒

↑ ↑ ↑ 體 新 綜

13.假設



1為坐標平面上一開口向上的拋物線﹐其對稱軸為 3

x 4 且焦距（焦點到頂點的距離）為1

8﹒若



1

與另一拋物線



2﹕y  x²恰交於一點﹐則



1的頂點之 y 坐標為____________﹒（化成最簡分數）

解答 9 8

解析 設



1﹕ 3 ² 1 ( ) 4 ( )

4 8

x   yk ﹐



2﹕y  x²代入



1﹐ 得 3 ² 1 ²

( ) ( )

4 2

x  x k  ² 9

3 ( ) 0 x  x 8k  ﹐

∵只有一交點﹐∴D  0﹐ ² 9

3 4( ) 0

D  8k   9 k8﹒

14.設實數 x 滿足 0  x  1﹐且 logx4  log2x  1﹐則 x  ____________﹒（化成最簡分數）

解答 1 4

解析 令 t  log2x﹐則 2 log 4_x 2log 2_x

  t

原式 2 ²

1 2 0 ( 2)( 1) 0 2

t t t t t t

        t      或 t  1 即 log2x   2 或 log2x  1

故 1

x4或 x  2（不合）﹒

A

O B

C D

體體 新新新 綜綜綜綜

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P26/32

15.設 u ﹐ v 為兩個長度皆為 1 的向量﹒若 u  v 與 u 的夾角為 75﹐則 u 與 v 的內積為____________

﹒（化為最簡根式）

解答 3 2



解析 依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得下圖﹒

推得 u 與 v 的夾角為 150﹒

故 3

1 1 cos150

u v     2 ﹒

16.坐標平面上﹐一圓與直線 x  y  1 以及直線 x  y  5 所截的弦長皆為 14﹒則此圓的面積為____________



﹒

解答 51

解析 因為兩平行直線 x  y  1  0 與 x  y  5  0 所截的弦等長﹐

且其距離為

2 2

| ( 1) ( 5) | 4 2 2 2 1 ( 1)

  

 

  ﹐

所以弦心距 1

2 2 2

d 2  ﹒因此﹐圓的半徑r 7²( 2 )²  51﹒ 故此圓的面積為 51



﹒

17.小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星﹕由天璇起 始向天樞的方向延伸便可找到北極星﹐其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍﹒」今小明將所 見的星空想像成一個坐標平面﹐其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為(7,11)﹒依上述資訊可以推得北極星 的坐標為____________﹒

解答 (  3,26)

解析 令北極星坐標為(x,y)

5

樞北 璇樞

 (x  7,y  11)  5(7  9,11  8)

 x  7   10 得 x   3

 y  11  15 得 y  26

∴ 北極星坐標為(  3,26) r

d d 7 7 7

7

x y

O

天璇(9,8) 天樞(7,11) 北(x,y)

75o

75o 150o

u

u

+

v v

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P27/32

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P28/32

20.設 P 為雙曲線

2 2

9 16 1

x  y  上的一點且位在第一象限﹒若 F1﹑F2為此雙曲線的兩個焦點﹐且PF ：₁ PF₂ 1：3﹐則△F1PF2的周長為____________﹒

解答 22 解析 由



：

2 2

9 16 1

x  y  知 a  3﹐b  4﹐c a²b² 5﹐ 依題意﹐令PF₁k﹐PF₂3k﹐k  0﹐

並由雙曲線的定義|PF₁PF₂|2a﹐得| k  3k |  6  k  3﹐

又F F_{1 2} 2c10﹐故周長  3  9  10  22﹒

21.一隻青蛙位於坐標平面的原點﹐每步隨機朝上﹑下﹑左﹑右跳一單位長﹐總共跳了四步﹒青蛙跳了四步後 恰回到原點的機率為____________﹒（化成最簡分數）

解答 9 64

解析 樣本空間個數為 4⁴  256﹒

跳回原點的情形﹐可分以下 3 類﹕

(1)上﹐下﹐左﹐右﹕有 4!  24 種﹒

(2)上﹐上﹐下﹐下﹕有 4!

2! 2!6種﹒

(3)左﹐左﹐右﹐右﹕有 4!

2! 2!6種﹒

共 24  6  6  36 種﹒

故所求機率為 36 9 25664﹒

22.下圖為汽車迴轉示意圖﹒汽車迴轉時﹐將方向盤轉動到極限﹐以低速讓汽車進行轉向圓周運動﹐汽車轉向 時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑﹐如圖中的 BC 即是﹒已知在低速前進時﹐圖中 A 處的輪胎行進方向與

AC 垂直﹐B 處的輪胎行進方向與 BC 垂直﹒在圖中﹐已知軸距AB 為 2.85 公尺﹐方向盤轉到極限時﹐輪子 方向偏了 28 度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為____________公尺﹒

（小數點後第一位以下四捨五入﹐sin28  0.4695﹐cos28  0.8829）

解答 6.1

解析 依題意﹐得cos 62  2.85 BC ﹐即 2.85 2.85 2.85 cos62 sin 28 0.4695 6.1

   

 

BC ﹒

x y

O

F2 F1

P

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P29/32 為 8 單位﹐則目前此礦物中 A﹑B﹑C 物質之質量分別為(1)____________﹐(2)____________﹐

(3)____________公克﹒ 點﹐則____________為 L 的方向向量﹒

解答 (2,  1,  3)

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P30/32

26.坐標空間中有四點 A(2,0,0)﹐B(3,4,2)﹐C(  2,4,0)與 D(  1,3,1)﹒若點 P 在直線 CD 上變動﹐則內積 PA PB 之最小可能值為____________﹒（化為最簡分數）

解答 5 4

解析 利用直線參數式CD﹕ 0

2 4 ,

z t

x t

y t t

 

  

  





﹐設點 P(  2  t,4  t,t)﹒因為

(4 , 4 , ) (5 , , 2 ) PA PB       t t t t t t

 (4  t)(5  t)  (  4  t)t  (  t)(2  t)  3t²  15t  20

5 ² 5 3( )

2 4

 t  ﹒

所以當 5

t 2時﹐PA PB 有最小值5 4﹒

27.設 A(1,0)與 B(b,0)為坐標平面上的兩點﹐其中 b  1﹒若拋物線



：y²  4x 上有一點 P 使得△ABP 為一正三 角形﹐則 b  ____________﹒

解答 5

解析 如圖﹐在第一﹑四象限上各有一點 P﹐可使△ABP 為正三角形且兩點互相對稱於 x 軸﹐

又因△ABP 是邊長為 b  1 的正三角形﹐所以 P 點的坐標為 1 3( 1)

( , )

2 2

b  b ﹐

由於 P 點在



：y²  4x 上﹐代入得3 ² 1 ( 1) 4( )

4 2

b b

 

3b²  14b  5  0  1

b 3或 5﹐但 b  1﹐故 b  5﹒

28.在數線上有一個運動物體從原點出發﹐在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳 1 個單位﹐跳動過程可 重複經過任何一點﹒若經過 6 次跳動後運動物體落在點  4 處﹐則此運動物體共有____________種不同的 跳動方法﹒

解答 6

解析 此跳動必為 5 正 1 負（     ）﹐依有相同元素排列6!

5! 6﹒

x y

O A M B(b,0) (1,0)

b+1,0 2 y²=4 x P

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P31/32

29.一個房間的地面是由 12 個正方形所組成﹐如下圖﹒今想用長方形瓷磚鋪滿地面﹐已知每一塊長方形瓷磚

可以覆蓋兩個相鄰的正方形﹐即 或 ﹐則用 6 塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有____________種﹒

解答 11

解析 原圖形是由兩個 2  3 矩形所組成﹐分兩類討論﹕

排出兩個 2  3 矩形﹕

排出一個 2  3 矩形有底下 3 種方法﹒

利用乘法原理得﹐排出兩個 2  3 矩形有 3  3  9 種方法﹒

沒有排出 2  3 矩形﹕

排法有底下 2 種﹒

故共 9  2  11 種方法﹒

30.如圖（此為示意圖）﹐在△ABC 中﹐ AD 交 BC 於 D 點﹐ BE 交 AD 於 E 點﹐且ACB  30﹐EDB  60

﹐AEB  120﹒若CD15﹐ED7﹐則 AB____________﹒

解答 13

解析 依題意﹐可推得△BDE 為正三角形﹐△ACD 為等腰三角形﹒

因此﹐BE7﹐ AE15 7 8﹒ 在△ABE 中﹐利用餘弦定理﹐得

2 82 72 2 8 7 cos120

AB        6449 56 169  ﹒ 故AB13﹒

60°

30°

7

15 A

C

D 120° B E

60°

60°

60°

30°

30°

8

7

15 A

C

D B

120°

7 120°

E

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P32/32

31.在坐標平面上﹐設直線 L﹕y  x  2 與拋物線



：x²  4y 相交於 P﹑Q 兩點﹒若 F 表拋物線



的焦點﹐則 PFQF____________﹒

解答 10 解析 ₂ 2

4 y x

x y

  

 



由代入得 x²  4(x  2)  x²  4x  8  0 

x   2 2 3

﹐y 4 2 3﹐ 因此P(2 2 3, 4 2 3)  ﹐Q(2 2 3, 4 2 3)  ﹐

又由拋物線的定義知﹕PFd P L( , ₁)﹐QFd Q L( , ₁)﹐ 其中 L1﹕y   1 為拋物線 x²  4y 的準線﹐

故PFQFd P L( , ₁)d Q L( , ₁) (5 2 3) (5 2 3) 10   ﹒

32.阿德賣 100 公斤的香蕉﹐第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部分﹐第二天降價為每公斤 36 元；第三天再降 為每公斤 32 元﹐到第三天全部賣完﹐三天所得共為 3720 元﹒假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 t﹐可 算得第二天賣出香蕉的公斤數為 at  b﹐其中 a  (1)____________﹐b  (2)____________﹒

解答 (1)  2;(2)70

解析 依題意﹐可列得 40(100  (at  b  t))  36(at  b)  32t  3270﹐

整理得(280  4b)  (  4a  8)t  0﹒

因為是恆等式﹐所以 280 4 0 4 8 0

b a

 

  

 ﹒

解得 a   2﹐b  70﹒

P F

Q

O x

y

L₁: y = 1 L: y =x+2 : x²=4y

在文檔中 高三上期末考數學題庫(40) (頁 21-32)