高三上期末考數學題庫(40)

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/32

一、單選題

（ ）1.在如圖的棋盤方格中﹐隨機任意取兩個格子﹒選出的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）的 機率為 (1) 1 20 (2) 1 4 (3) 3 4 (4) 3 5 (5) 4 5. 解答 5 解析 4 4 4 2 1 1 16 2 4 5 C C C P C     .

（ ）2.設 a﹐b 為正實數﹐已知 log7a  11﹐log7b  13﹔試問 log7(a  b)之值最接近下列哪個選項﹖

(1)12 (2)13 (3)14 (4)23 (5)24﹒

解答 2

解析 log7a  11  a  711﹐

log7b  13  b  713﹐

log7(a  b)  log7(711 713)  log7[711(1  72)]  log7711 log750≒11  2  13﹒

（ ）3.令 a  2.610 _2.69_﹐b  _2.611 _2.610_﹐ 11 9 2.6 2.6 2 c  ﹒請選出正確的大小關係﹒ (1)a  b  c (2)a  c  b (3)b  a  c (4)b  c  a (5)c  b  a﹒ 解答 4 解析 因為 a  2.69_(2.6  ₁₎  _2.69 _1.6﹐ b  2.69_(2.62 _2.6)  _2.69 _4.16﹐ 2 9 2.6 1 9 2.6 ( ) 2.6 2.88 2 c    ﹐ 所以 b  c  a﹒ 故選(4)﹒ （ ）4.令橢圓



1﹕ 2 2 2 2 1 5 3 x _ y _ ﹐



2﹕ 2 2 2 2 2 5 3 x _ y _ ﹐



3﹕ 2 2 2 2 2 5 3 5 x _ y _ x 的長軸長分別為 l1﹑l2﹑l3﹒請問 下列哪一個選項是正確的﹖(1)l1 l2 l3 (2)l1 l2 l3 (3)l1 l2 l3 (4)l1 l3 12 (5)11 l3 l2﹒ 解答 4 解析



1： 2 2 2 2 1 5 3 x y    a  5  l1 2a  10﹐



2： 2 2 2 2 1 (5 2) (3 2) x y   a5 2l₂2a10 2﹐



3： 2 2 2 2 2 5 3 5 x _ y _ x_ 2 2 2 2 ( 5) 1 5 3 x _ y _{ } a  5 l3 2a  10﹐ ∴l1 l3 l2﹐故選(4)﹒

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/32 （ ）5.在職棒比賽中 ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值﹒其計算方式如下﹕若此投手共主投 n 局﹐其總責任失分為 E﹐則其 ERA 值為E 9 n ﹒有一位投手在之前的比賽中共主投了 90 局﹐ 且這 90 局中他的 ERA 值為 3.2﹒在最新的一場比賽中此投手主投 6 局無責任失分﹐則打完這 一場比賽後﹐此投手的 ERA 值成為 (1)2.9 (2)3.0 (3)3.1 (4)3.2 (5)3.3﹒ 解答 2 解析 9 3.2 32 90 E E     （分） ERA 32 9 3 96    ﹒ （ ）6.根據統計資料﹐在 A 小鎮當某件訊息發布後﹐t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1  2 kt_{)%﹐其中 k 是某個大於 0 的常數﹒今有某訊息﹐假設在發布後 3 小時之內已經有 70%的} 人口聽到該訊息﹒又設最快要 T 小時後﹐有 99%的人口已聽到該訊息﹐則 T 最接近下列哪一個 選項﹖ (1)5 小時 (2)71 2小時 (3)9 小時 (4) 1 11 2小時 (5)13 小時﹒ 解答 4 解析 依題意100(1 2 3 )% 70% 1 2 3 7 2 3 3 10 10 k k k           ﹐ 又_{100(1 2 )% 99% 1 2} 99 ₂ 1 ₍₂ 3 ₎3 1 ₍3₎3 1 100 100 100 10 100 T T kT kT kT k                ﹐

兩邊取 log 得 log 3 2 (log 3 1) 2

3 10 3 T _{  }T _{  } 6 6 6 11.5 log 3 1 0.4771 1 0.5229 T            ﹒ （ ）7.若 f(x)  x3 _2x2 _x  _{5﹐則多項式 g(x)}  _{f(f(x))除以(x}  _{2)所得的餘式為 (1)3 (2)5 (3)7 (4)9} (5)11﹒ 解答 5 解析 由餘式定理知﹐餘式為 g(2)  f(f(2))  f(23 ₂  ₂2 ₂  ₅₎  _f(3)  ₃3 ₂  ₃2 ₃  ₅  _11﹒ （ ）8.如圖﹐下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO ﹑ QO 之和等於零向量﹖ (1) AO (2) BO (3) CO (4) DO (5) EO ﹒ 解答 3 解析 由圖可知﹐POQOQOORQR﹐則COQR 0 ﹐故選(3)﹒ A B C D E O P Q A B C D E O P Q R

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/32 （ ）9.試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A(  n,0)與點 B(0,2)的直線亦通過點 P(7,k)﹐其 中 k 為某一正整數﹖ (1)2 個 (2)4 個 (3)6 個 (4)8 個 (5)無窮多個﹒ 解答 2 解析 2 0 2 ( 2) 14 0 ( ) 7 0 AB BP k m m n k n            ﹐ 1 2 7 14 2 14 7 2 1 n k n  1﹐2﹐7﹐14﹐k  16﹐9﹐4﹐3﹐故選(2)﹒

（ ）10.試問共有幾個角度



滿足 0



 180﹐且 cos(3



 60)﹐cos3



﹐cos(3



 60)依序成一等差

數列﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)5 個﹒

解答 3

解析 因為 cos(3



 60)﹐cos3



﹐cos(3



 60)成等差數列﹐ 所以 cos(3



 60)  cos(3



 60)  2cos3



﹒

利用和角公式展開﹐得(cos3



cos60 sin3



sin60)  (cos3



cos60 sin3



sin60)  2cos3



﹐ 整理得 2cos3



cos60 2cos3



 cos3



 0﹒

因為 0



 180 0 3



 540﹐所以 3



 90﹐270﹐450



 30﹐90﹐150﹒ 故選(3)﹒

（ ）11.坐標平面上給定兩點 A(1,0)與 B(0,1)﹐又考慮另外三點 P(



,1)﹐ (Q 3,6)與 R(2,log432)﹒令△

PAB 的面積為 p﹐△QAB 的面積為 q﹐△RAB 的面積為 r﹐請問下列哪一個選項是正確的﹖

(1)p  q  r (2)p  r  q (3)q  p  r (4)q  r  p (5)r  q  p﹒ 解答 1 解析 底邊相同﹐只須判別高之大小即可﹐ 1 1 0 1 1 x y AB：      x y ﹐ 1 1 3.14 ( , ) | | 2 2 2 p h d P AB 



  



 ﹐ 3 6 1 5 3 3.3 ( , ) | | 2 2 2 q h d Q AB        ﹐ 5 7 2 1 _3.5 2 2 ( , ) | | 2 2 2 r h d R AB       ﹐ ∴hp hq hr p  q  r﹐故選(1)﹒ （ ）12.放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T﹐該物質的質量會衰退成原來的一半﹒鉛製容器中 有兩種放射性物質 A﹐B﹐開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍﹐而 120 小時後兩 種物質的質量相同﹒已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時﹐請問物質 B 的半衰期為幾小時﹖ (1)8 小時 (2)10 小時 (3)12 小時 (4)15 小時 (5)20 小時﹒ 解答 1 解析 設 B 的半衰期為 T 小時﹐且開始記錄時 B 的質量為 n﹒依題意﹐ 得 120 120 7.5 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 T n n ﹐ 約去 n﹐得 120 16 1 1 2( ) ( ) 2 2 T   1 15 1 120 ( ) ( ) 2 2 T  ﹐ 即15 120 T  ﹐解得 T  8﹐故選(1)﹒

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/32 （ ）13.某個手機程式﹐每次點擊螢幕上的數 a 後﹐螢幕上的數會變成 a2_{﹒當一開始時螢幕上的數 b 為} 正且連續點擊螢幕三次後﹐螢幕上的數接近 813_{﹒試問實數 b 最接近下列哪一個選項﹖ (1)1.7} (2)3 (3)5.2 (4)9 (5)81﹒ 解答 3 解析 依題意﹐得((b2₎2₎2 ₈₁3 _b8 ₃12_﹒因此﹐ 12 3 8 2 3 3 27 5.2 b    ﹒ 故選(3)﹒ （ ）14.在密閉的實驗室中﹐開始時有某種細菌 1 千隻﹐並且以每小時增加 8%的速率繁殖﹒如果依此 速率持續繁殖﹐則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項﹖ (1)9 千隻 (2)108 千隻 (3)2200 千隻 (4)3200 千隻 (5)32000 千隻﹒ 解答 3 解析 所求  1 千隻  (1  8%)100 令 x  1.08100

logx  log1.08100 ₁₀₀  _{log1.08 100log}108 _100log27 _{100[3log 3 2log 5]}

100 25     ≒100(3  0.4771  2  0.6990)  100  0.0333  3.33≒log(103₎  _log2.… ∴x≒2200 故所求約為 2200 千隻﹒ （ ）15.已知以下各選項資料的迴歸直線（最適合直線）皆相同且皆為負相關﹐請選出相關係數最小的 選項﹒ (1) 2 3 5 1 13 1 x y (2) 2 3 5 3 10 2 x y (3) 2 3 5 5 7 3 x y (4) 2 3 5 9 1 5 x y (5) 2 3 5 7 4 4 x y 解答 5 解析 由迴歸直線的斜率 y x m r





  ﹐得 x y m r





  ﹒ 因為各選項的 m 及



x都相等﹐且 m 為負﹐ 所以哪一個選項的



y最小﹐其相關係數 r 就最小﹒計算各選項的



y： (1) 16 64 16 96 3 3 y



    ﹒ (2) 4 25 9 38 3 3 y



    ﹒ (3) 0 4 4 8 3 3 y



    ﹒ (4) 16 16 0 32 3 3 y



    ﹒ (5) 4 1 1 6 3 3 y



    ﹒ 故選(5)﹒ （ ）16.令 a  cos(



2_{)﹐試問下列哪一個選項是對的﹖ (1)a}  _{1 (2)}  ₁  _a  1 2  (3) 1 2   a  0 (4)0  a 1 2 (5) 1 2 a  1﹒ 解答 2 解析 a  cos(



2₎  _cos(9.86)﹐



2 _3.14  _{3.14≒9.86 為第三象限角且 3}



 _9.86 10 3



﹐∴ 1  a  1 2  ﹐ 故選(2)﹒

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/32 （ ）17.莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球﹒在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30﹐到上午 10：10 仰角變成 34﹒請利用下表判斷到上午 10：30 時﹐熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？ (1)39 (2)40 (3)41 (4)42 (5)43﹒



30 34 39 40 41 42 43 sin



0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos



0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan



0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 解答 3 解析 如圖﹐設底邊為 1﹐10：00 時熱氣球高 a﹐10：10 升高 x﹐ 則 10：30 再升高 2x﹒因為 tan 30 0.577 tan 34 0.675 a a x           ﹐ 所以 x  0.675  0.577  0.098﹒因此﹐ a  3x  0.577  3  0.098  0.871  tan41﹒ 故選(3)﹒ （ ）18.將 24 顆雞蛋分裝到紅﹑黃﹑綠的三個籃子﹒每個籃子都要有雞蛋﹐且黃﹑綠兩個籃子裡都裝 奇數顆﹒請選出分裝的方法數﹒ (1)55 (2)66 (3)132 (4)198 (5)253﹒ 解答 2 解析 設紅﹑黃﹑綠三個籃子各裝 x﹑2y  1﹑2z  1（x﹐y﹐z ）顆雞蛋﹒ 依題意﹐得 x  (2y  1)  (2z  1)  24  x  2y  2z  26 由上式得知 x 為偶數﹐令 x  2m﹐則 2m  2y  2z  26﹐ 即求 m  y  z  13 之正整數解的個數﹐ 即求 m y z 10 之非負整數解的個數﹐ 所以 3 10 1 12 10 10 11 12 66 1 2 C   C     ﹒ 故選(2)﹒

（ ）19.設正實數 b 滿足(log100)(logb)  log100  logb  7﹒試選出正確的選項﹒ (1)

1

 

b

10

(2)

10

 

b

10

(3)

10

 

b

10 10

(4)

10 10

 

b

100

(5)

100

 

b

100 10

﹒

解答 4

解析 因為 log100  2﹐所以2log 2 log 7 3log 5 log 5

3 b  b  b  b ﹒ 解得 5 3 10 b ﹒ 又因為 5 3 2 3 2 10 10 10 ﹐所以10 10

 

b

100

﹒ 故選(4)﹒ 30°34° 2x x a 1

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/32 （ ）20.某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈﹐當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為 當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半﹒例如下表中第二週成本上漲 100%﹐所以第二週 售價上漲 50%﹒依此定價方式以及下表的資訊﹐試選出正確的選項﹒ 【註：成本漲跌幅當週成本 前週成本 前週成本 ﹐售價漲跌幅  當週售價 前週售價 前週售價 ﹒】 第一週 第二週 第三週 第四週 成本 50 100 50 90 售價 120 180 x y (1)120  x  y  180 (2)120  x  y  180 (3)x  120  y  180 (4)120  x  180  y (5)120  x  180  y﹒ 解答 5 解析 因為第三週成本跌幅 50 100 50% 100     ﹐ 所以該週售價跌幅 180 50% 1 180 2 x _{  } ﹒解得 x  180  180  (  25%)  135﹒ 又因為第四週成本漲幅 90 50 80% 50    ﹐ 所以該週售價漲幅 135 80% 1 135 2 y _{ } ﹒解得 y  135  135  40%  189﹒ 故選(5)﹒ （ ）21.箱中有編號分別為 0﹐1﹐2﹐…﹐9 的十顆球﹒隨機抽取一球﹐將球放回後﹐再隨機抽取一球 ﹒請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時﹐其出現的機率最大﹖ (1)0 (2)1 (3)4 (4)5 (5)9 解答 2 解析 設第一次取號為 x1﹐第二次取號為 x2 | x1 x2 | 0 1 4 5 9 情形 (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (9,9) (0,1)(1,0)(8,9) (1,2)(2,1)(9,8) (2,3)(3,2) (3,4)(4,3) (4,5)(5,4) (5,6)(6,5) (6,7)(7,6) (7,8)(8,7) (0,4)(4,0) (1,5)(5,1) (2,6)(6,2) (3,7)(7,3) (4,8)(8,4) (5,9)(9,5) (0,5)(5,0) (1,6)(6,1) (2,7)(7,2) (3,8)(8,3) (4,9)(9,4) (0,9) (9,0) 機率 10 10 10 18 10 10 12 10 10 10 10 10 2 10 10 ∴ 兩球編號相減的絕對值為 1 的機率最大﹐故選(2)

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/32 （ ）22.設 2 2 2 2 : y x 1 a b    為坐標平面上一雙曲線﹐且其通過第一象限的漸近線為 ﹒考慮動點(t,t2_)﹐從 時間 t  0 時出發﹒當 t  0 時﹐請選出正確的選項﹒ (1)此動點不會碰到﹐也不會碰到 (2)此動點會碰到﹐但不會碰到 (3)此動點會碰到 ﹐但不會碰到 (4)此動點會先碰到 ﹐再碰到 (5)此動點會先碰到 ﹐再碰到﹒ 解答 5 解析 動點(x, y)  (t,t2_{)為拋物線 y}  _x2_上的點 由上圖得知﹕此動點會先碰到 （因為當 x  0 且 x 接近 0 時﹐x2 ax b  ）﹐再碰到﹒ 故選(5)﹒ （ ）23.請問下面哪一個選項是正確的﹖ (1)37 ₇3 ₍₂₎₅10 ₁₀5 ₍₃₎₂100 ₁₀30 _(4)log 23  1.5 (5)log211  3.5﹒ 解答 5 解析 (1)╳﹕37 ₍₃2₎3 ₃  ₉3 ₃  ₇3 (2)╳﹕510 ₍₅2₎5 ₂₅5 ₁₀5 (3)╳﹕2100 ₍₂10₎10 ₍₁₀₂₄₎10 ₁₀30 ₍₁₀3₎10 ₍₁₀₀₀₎10 (4)╳﹕ 2 log 3 0.4771 log 3 1.585 1.5 log 2 0.301    

(5)○﹕3.5log 22 3.5log2 27 log2 128log 11 log2  2 121 故選(5)﹒ （ ）24.△ABC 內接於圓心為 O 之單位圓﹒若OAOB 3OC 0 ﹐則BAC 之度數為何﹖ (1)30 (2)45 (3)60 (4)75 (5)90﹒ 解答 4 解析 因為OAOB 3OC 0 ﹐所以OB 3OC OA﹒ 由 2 2 |OB 3OC|  | OA| 1 2 3 OB OC  3 1﹐ 得 3 2 OB OC   ﹒因此cos 3 2 | || | OB OC BOC OB OC      ﹐ 即BOC  150﹒又因為圓周角為圓心角的一半﹐ 所以 1 75 2 BAC BOC     ﹒故選(4)﹒ x y O :y= xa b y=x2 A B C O

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/32 （ ）25.下表為常用對數表 log10N 的一部分﹕ N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 請問 103.032_{最接近下列哪一個選項﹖ (1)101 (2)201 (3)1007 (4)1076 (5)2012} 解答 4 解析 令 x  103.032

logx  log103.032 ₃  _0.032  _log103 _log100.032

經查表可知

0.0294  0.032  0.0334

 log1.07  log100.032 _log1.08

 log103 _log1.07  _log103 _log100.032 _log103 _log1.08

 log1070  log103.032 _log1080

∴ 1070  x  1080﹐故選(4) （ ）26.在坐標平面上﹐以(1,1)﹐(  1,1)﹐(  1,  1)及(1,  1)等四個點為頂點的正方形﹐與圓 x2 _y2 2x  2y  1  0 有幾個交點﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒ 解答 2 解析 將圓改寫成標準式﹐得(x  1)2 _(y  ₁₎2 _1﹐ 得知其圓心為(  1,  1)﹐半徑為 1﹒ 由下圖得知此圓與正方形共有 2 個交點﹒ 故選(2)﹒ x y O (,1) (,-1) (-1,-1) (-1,1)

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/32 （ ）27.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4 ﹐2﹒如圖所示﹐通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐則 此交點 P 與中心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4)

2.5

(5)

3.2

﹒ 解答 2 解析 OP斜角 45﹐故 P 點坐標可設成(t,t)﹐t  0﹐ 又 P 在 2 2 1 4 1 x _ y _ 上﹐故 2 2 1 4 1 t _t _ ﹐t  0﹐解得 4 5 t ﹐ 則 2 4 8 1.6 5 5 OP    ﹐故選(2)﹒ （ ）28.某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假﹒若甲﹑乙兩人隨機選擇休假日且兩人 的選擇互不相關﹐試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何﹖ (1)1 3 (2) 8 21 (3) 3 7 (4)10 21 (5) 11 21﹒ 解答 5 解析 樣本空間的個數為

C

7₂



C

7₂



441

﹒ （正面解） 兩人在同一天休假可分成(恰一天相同)與(二天皆相同)兩種情形﹒ 根據機率的定義﹐得機率為 7 6 5 7 1 1 1 2 210 21 11 441 441 21 C C C C _  _ ﹒ （反面解） 因為兩人的二天休假皆不同天的機率為 7 5 2 2 210 10 441 441 21 C C _{ } ﹒ 所以兩人在同一天休假的機率為1 10 11 21 21   ﹒ 故選(5)﹒ （ ）29.第 1 天獲得 1 元﹑第 2 天獲得 2 元﹑第 3 天獲得 4 元﹑第 4 天獲得 8 元﹑依此每天所獲得的錢 為前一天的兩倍﹐如此進行到第 30 天﹐試問這 30 天所獲得的錢﹐總數最接近下列哪一個選項 ﹖ (1)10,000 元 (2)1,000,000 元 (3)100,000,000 元 (4)1,000,000,000 元 (5)1,000,000,000,000 元﹒ 解答 4 解析 利用等比級數求和公式﹐得 總數  1  2  22 ₂3 _…  ₂29_﹐ 30 30 1 (1 2 ) 2 1 1 2       ﹒ 又因為 log230 _30log2  ₃₀  _0.3010  _9.03  ₉  _0.03﹐ 即其首數為 9﹐尾數為 0.03﹐所以 230 _a  ₁₀9_{﹐其中 1}  _a  _2﹐ 得知總數是最高位數字為 1 的十位數﹒ 故選(4)﹒ x y O 45o P

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/32 （ ）30.臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價（即最後一筆的成交價）的 漲﹑跌 7%範圍內變動﹒例如﹕某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元﹐則今天該支股 票每股的買賣價格必須在 93 元至 107 元之間﹒假設有某支股票的價格起伏很大﹐某一天的收 盤價是每股 40 元﹐次日起連續五個交易日以跌停板收盤（也就是每天跌 7%）﹐緊接著卻連續 五個交易日以漲停板收盤（也就是每天漲 7%）﹒請問經過這十個交易日後﹐該支股票每股的 收盤價最接近下列哪一個選項中的價格﹖ (1)39 元 (2)39.5 元 (3)40 元 (4)40.5 元 (5)41 元﹒ 解答 1 解析 依題意最後的收盤價為 40(1  7%)5₍₁  _7%)5 ₄₀  _0.935 _1.075_﹐ 又由對數表得

log(0.935 _1.075₎  _5(log0.93  _log1.07)  _5(0.9685  ₁  _0.0294)  ₅₍  _0.0021)

 0.0105  1  0.9895  1  log9.762  log0.9762﹐

所以收盤價約為 40  0.9762  39.0480  39﹐故選(1)﹒

（ ）31.請問 sin73﹐sin146﹐sin219﹐sin292﹐sin365這五個數值的中位數是哪一個﹖ (1)sin73

(2)sin146 (3)sin219 (4)sin292 (5)sin365﹒

解答 5

解析 利用換算公式﹐將角度化為銳角﹐得 sin146 sin(180 34)  sin34﹐ sin219 sin(180 39)  sin39﹐ sin292 sin(360 68)  sin68﹐ sin365 sin(360 5)  sin5﹒

因為在 0～90的範圍內﹐正弦值為正且角度愈大值愈大﹐

所以 sin73 sin146 sin365 sin219 sin292﹒

得知中位數為 sin365﹐故選(5)﹒ （ ）32.請問滿足絕對值不等式| 4x  12 |  2x 的實數 x 所形成的區間﹐其長度為下列哪一個選項﹖ (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)6﹒ 解答 4 解析 分兩段討論如下﹕ 當 x  3 時﹐原式為 4x  12  2x﹐得 x  6﹐即 3  x  6﹒ 當 x  3 時﹐原式為  (4x  12)  2x﹐得 x  2﹐即 2  x  3﹒ 綜合上述﹐得 2  x  6﹐此區間長度為 6  2  4﹒ 故選(4)﹒

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/32 （ ）33.某疾病可分為兩種類型﹕第一類占 70%﹐可藉由藥物 A 治療﹐其每一次療程的成功率為 70% ﹐且每一次療程的成功與否互相獨立﹔其餘為第二類﹐藥物 A 治療方式完全無效﹒在不知道患 者所患此疾病的類型﹐且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下﹐進行第二次療程成功的條件機率 最接近下列哪一個選項﹖ (1)0.25 (2)0.3 (3)0.35 (4)0.4 (5)0.45﹒ 解答 2 解析 依題意得下圖﹕ 根據條件機率的定義﹐得 ( ) ( | ) ( ) P P P   第一次失敗 第二次成功 第二次成功 第一次失敗 第一次失敗 70% 30% 70% 70% 30% 30% 100%       49 170   0.288﹒ 故選(2)﹒ （ ）34.甲﹑乙﹑丙三所高中的一年級分別有 3﹐4﹐5 個班級﹒從這 12 個班級中隨機選取一班參加國 文抽考﹐再從未被抽中的 11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考﹒則參加抽考的兩個班級在 同一所學校的機率最接近以下哪個選項﹖ (1)21% (2)23% (3)25% (4)27% (5)29%﹒ 解答 5 解析 甲校（3 班）﹕ 3 2 3 12 11 66 p   乙校（4 班）﹕ 4 3 6 12 11 66 p   丙校（5 班）﹕ 5 4 10 12 11 66 p   同校之機率為 3 6 10 19 0.288 28.8% 66666666≒  故選(5)﹒ （ ）35.假設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里﹒兩條筆直的公路交於丁鎮﹐其中之一通過 甲﹑乙兩鎮而另一通過丙鎮﹒今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45﹐則丙﹑丁兩 鎮間的距離約為 (1)24.5 公里 (2)25 公里 (3)25.5 公里 (4)26 公里 (5)26.5 公里﹒ 解答 1 解析 △ACD 中1  120﹐2  45﹐AC20﹐ 由正弦定理知 20 20 3 10 6 24.5 sin 45 sin120 2 CD CD        ﹐故選(1)﹒ 某疾病 70% 30% _100% 第一類 第二類 失敗 成功 失敗 失敗 30% 70% 100% 失敗 成功 30% 70% D(丁) B(乙) C(丙) A(甲) 20 12

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/32

二、多選題

（ ）1.三角形 ABC 是一個邊長為 3 的正三角形﹐如下圖所示﹒若在每一邊的兩個三等分點中﹐各選取 一點連成三角形﹐則下列哪些選項是正確的﹖ (1)依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 (2) 這些可能連成的三角形中﹐恰有 2 個是銳角三角形 (3)這些可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是 直角三角形 (4)這些可能連成的三角形中﹐恰有 3 個是鈍角三角形 (5)這些可能連成的三角形 中﹐恰有 1 個是正三角形 解答 12 解析 (1)三角形有 2  2  2  8﹐即 △DIF﹑△DIG﹑△DHG﹑△DHF﹑△EIF﹑△EIG﹑△EHF﹑△EHG (2)銳角三角形﹕正三角形即是銳角三角形  △DHF﹑△EIG﹐共 2 個 (3)直角三角形﹕△DIF﹑△DIG﹑△EHF﹑△EIF﹑△EHG﹑△DHG﹐共 6 個 (4)鈍角三角形﹕共 0 個 (5)正三角形﹕△DHF﹑△EIG﹐共 2 個 故選(1)(2) （ ）2.一物體由坐標平面中的點(  3,6)出發﹐沿著向量 v 所指的方向持續前進﹐可以進入第一象限﹒ 請選出正確的選項﹕ (1) v (1, 2) (2) v (1, 1) (3) v (0.001,0) (4) v (0.001,1) (5) v  ( 0.001,1)﹒ 解答 234 解析 各向量的略圖如下（其中 v (1, 2) 的方向通過原點 O）﹕ 由上圖得知﹐選項(2)(3)(4)正確﹒ A B C A B C D E F G H I x y O v =(-0.001,1) v =(0.001,1) v =(0.001,0) v =(1,-2) v =(1,-1) (-3,6)

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/32 （ ）3.坐標平面上有一雙曲線﹐其漸近線為 x  y  0 和 x  y  0﹒關於此雙曲線的性質﹐請選出正確 的選項﹒ (1)此雙曲線的方程式為 2 2 2  2 1 x y r r 或 2 2 2  2  1 x y r r ﹐其中 r 為非零實數 (2)此雙曲 線的貫軸長等於共軛軸長 (3)若點(a,b)為此雙曲線在第一象限上一點﹐則當 a  1000 時﹐| a  b |  1 (4)若點(a,b)﹐(a,b)為此雙曲線在第一象限上兩點且 a  a﹐則 b  b (5)此雙曲線同時 對稱於 x 軸與 y 軸﹒ 解答 1245 解析 (1)因為漸近線的斜率為 ± 1﹐所以圖中的矩形為正方形﹐ 即貫軸長  共軛軸長﹒因此若是左右開﹐則為 2 2 2  2 1 x y r r ﹐若是上下開﹐則為 2 2 2  2  1 x y r r ﹒ (2)由(1)知此選項正確﹒ (3)錯﹗例如﹕當 2 2 2 2 1 1000 1000  x y 時﹐若 a  1001﹐則 2 2 2

1001

1000

(1001 1000)(1001 1000)

2001













b

﹐即

b



2001



45

﹐不滿足| a  b |  1﹒ (4)因為不論左右開或上下開﹐在第一象限的圖形都是遞增的﹐所以此選項正確﹒ (5)因為 x 軸與 y 軸為貫軸或共軛軸所在的直線﹐所以此選項正確﹒ 故選(1)(2)(4)(5)﹒ （ ）4.設



a﹕x  4y  az  10（a 為常數）﹐E1﹕x  2y  z  5 及 E2﹕2x  5y  4z  3 為坐標空間中的 三個平面﹒試問下列哪些敘述是正確的﹖ (1)存在實數 a 使得



a與 E1平行 (2)存在實數 a 使

得



a與 E1垂直 (3)存在實數 a 使得



a﹐E1﹐E2交於一點 (4)存在實數 a 使得



a﹐E1﹐E2交於

一直線 (5)存在實數 a 使得



a﹐E1﹐E2沒有共同交點﹒ 解答 235 解析 (1)若



a與 E1平行﹐則它們的法向量須平行﹐即 1 4 1 2 1 a     要成立﹐ 但找不到實數 a 使上式成立﹐所以



a不可能平行 E1 (2)若



a與 E1垂直﹐則它們的法向量垂直即(1,  4,a)與(1,  2,1)垂直﹐ 因此(1,  4,a)  (1,  2,1)  0 亦即 1  8  a  0﹐所以 a  9 (3)(4)(5)考慮方程組 ₁ 2 4 10 2 5 2 5 4 3 a x y az E x y z E x y z



     _{  }   _{   }  ： ： ： 由  得  2y  (a  1)z  5﹐由  2  得 y  2z  13﹐ 當 2 1 1 2 a     即 a  5 時﹐方程組恰有一組解﹐其幾何意義為三平面恰交於一點﹔ 當 2 1 5 1 2 13 a      即 a  5 時﹐方程組無解﹐其幾何意義為三平面沒有共同交點﹔ 找不到實數 a 滿足 2 1 5 1 2 13 a      ﹐所以此方程組不可能無限多組解﹐ 亦即三平面不可能交成一直線 故選(2)(3)(5)﹒ x y O y=x y=－x

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/32 （ ）5.坐標空間中﹐在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切﹐設其球心分別為 A﹐B﹐C﹒今將第 四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方﹐且與這三個球都相切並保持穩定﹒設第四個球的球心 為 P﹐試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)點 A﹐B﹐C 所在的平面和 xy 平面平行 (2)三角形 ABC 是一個正三角形 (3)三角形 PAB 有一邊長為 2 (4)點 P 到直線 AB 的距離為 3 (5)點 P 到 xy 平面的距離為

1



3

﹒ 解答 124 解析 四球心連成一邊長為 2 之正四面體﹐如圖所示﹐ (1)○ (2)○ (3)╳﹕△PAB 為正三角形 (4)○ (5)╳﹕正四面體之高為 6 2 2 6 3   3 ﹐∴P 到 xy 平面之距離為 2 6 1 3  故選(1)(2)(4)﹒ （ ）6.在坐標平面上﹐圓 C 的圓心在原點且半徑為 2﹐已知直線 L 與圓 C 相交﹐請問 L 與下列哪些圖 形一定相交﹖ (1)x 軸 (2) ( )1 2 x y (3)x2 _y2 _{3 (4)(x}  ₂₎2 _y2 _{16 (5)} 2 2 1 9 4 x _ y _ ﹒ 解答 45 解析 ∵直線 L 與圓 C 相交﹐∴包含圓 C 的圖形必與 L 相交﹐ (1)╳﹕若 L//x 軸﹐則不相交 (2)╳﹕若 L 為 y  1﹐則不相交 (3)╳﹕若 L 為 y  1.8﹐則與 x2 _y2 _{3 不相交} (4)○﹕(x  2)2 _y2 _{16 包含 x}2 _y2 _{4﹐∴L 與(x}  ₂₎2 _y2 _{16 必相交} (5)○﹕ 2 2 1 9 4 x _ y _ 包含 x2 _y2 _{4﹐∴L 與} 2 2 1 9 4 x _ y _ 必相交 故選(4)(5)﹒ 2 ₂ 2 1 1 A C B P 3 x L (0,0) (2,0) y y x L: y 1 (0,0) 1 y 1 2 x (2,0) _O x y 2 L: y y x 2 (0,0) 2 6 y x 3 (0,0) 2 2 3

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/32 （ ）7.以下各數何者為正﹖ (1) ₂3_{2 (2)log} 23  1 (3)log32  1 (4) ₁ 2 log 3 (5) 1 3 1 log 2﹒ 解答 125 解析 (1) 1 2 2 2 ﹐ 1 3₂₂3_﹐ 因為底數 2 比 1 大﹐所以指數越大其值越大﹐ 因此 ₂3_{2即 2}3_2為正﹒ (2)因 3  2﹐所以 log23  log22（因底數 2 比 1 大）﹐ 即 log23  1﹐故 log23  1 為正﹒ (3)因 3  2﹐所以 log33  log32（因底數 3 比 1 大）﹐ 即 1  log32﹐故 log32  1 為負﹒ (4) ₁ 1 ₂ 2 2

log 3log  3 log 30﹒

(5) 1

1

1 3 3

3 1

log log 2 log 2 0

2      ﹒ （ ）8.坐標平面上﹐在函數圖形 y  2x_{上﹐標示 A﹑B﹑C﹑D 四個點﹐其 x 坐標分別為}  _{1﹑0﹑1﹑2} ﹒請選出正確的選項﹒ (1)點 B 落在直線 AC 下方 (2)在直線 AB﹑直線 BC﹑直線 CD 中﹐以 直線 CD 的斜率最大 (3)A﹑B﹑C﹑D 四個點﹐以點 B 最靠近 x 軸 (4)直線 y  2x 與 y  2x_的 圖形有兩個交點 (5)點 A 與點 C 對稱於 y 軸﹒ 解答 124 解析 依題意﹐得 ( 1, )1 2  A ﹐B(0,1)﹐C(1,2)﹐D(2,4)﹒ (1)因為 y  2x_{的圖形凹口向上﹐所以 B 在AC下方﹒} (2)由下圖﹐得知CD的斜率最大﹒ (3)由下圖﹐得知點 A 最靠近 x 軸﹒ (4)兩圖形恰交於 C﹐D 兩點﹒ (5)因為 A﹐C 兩點不等高﹐所以不對稱於 y 軸﹒ 故選(1)(2)(4)﹒ （ ）9.如下圖所示﹐坐標平面上一鳶形 ABCD﹐其中 A﹐C 在 y 軸上﹐B﹐D 在 x 軸上﹐且ABAD2 ﹐BCCD4﹐AC5﹒令

m

_AB﹐

m

_BC﹐m_CD﹐

m

_DA分別表直線 AB﹐BC﹐CD﹐DA 之斜率﹒ 試問以下哪些敘述成立﹖ (1)此四數值中以

m

_AB為最大 (2)此四數值中以

m

_BC為最小 (3) BC CD

m

 

m

(4)

m

_AB



m

_BC

 

1

(5)

m

_CD



m

_DA



0

﹒ 解答 235 解析 (1)╳﹕m_CD最大 (2)○ (3)○﹕BC﹐CD對 y 軸成對稱 (4)╳﹕∵52 ₂2 ₄2_{﹐∴AB與BC不垂直} (5)○ 故選(2)(3)(5)﹒ x y O A C B D x y O A C B D 2 2 4 4 x y O A B C D y=2x y=2x

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/32 （ ）10.下列各直線中﹐請選出和 z 軸互為歪斜線的選項﹒(1) ₁ : 0 0 x L z      (2) 2 0 : 1 y L x z       (3) ₃ : 0 1 z L x y       (4) 4 1 : 1 x L y      (5) 5 1 : 1 y L z      ﹒ 解答 35 解析 將 z 軸及 5 個選項的方程式均改寫為參數式﹕ z 軸﹕ 0 0 x y z t         （t ）﹐L1﹕ ₁ 0 0 x y t z         （t₁ ）﹐L2﹕ 2 2 0 1 x t y z t          （t₂ ）﹐ L3﹕ 3 3 1 0 x t y t z          （t₃ ）﹐L4﹕ 4 1 1 x y z t         （t₄ ）﹐L5﹕ 5 1 1 x t y z         （t₅ ）﹒ (1)z 軸與 L1聯立﹐解得 x  0﹐y  0﹐z  0﹐即交一點(0,0,0)﹒ (2)z 軸與L₂聯立﹐解得 x  0﹐y  0﹐z  1﹐即交一點(0,0,1)﹒ (3)z 軸與 L3聯立﹐無解﹐即不相交﹒ 又方向向量 v_z (0,0,1)與v3 (1, 1,0) 不平行﹐所以歪斜﹒ (4)因為方向向量 vz (0,0,1)與v4 (0,0,1)平行﹐所以不是歪斜﹒ (5)z 軸與 L5聯立﹐無解﹐即不相交﹐ 又方向向量 vz (0,0,1)與v5 (1,0,0)不平行﹐所以歪斜﹒ 故選(3)(5)﹒ （ ）11.從 1﹐2﹐…﹐10 這十個數中隨意取兩個﹐以 p 表示其和為偶數之機率﹐q 表示其和為奇數之 機率﹒請問下列哪些敘述是正確的﹖ (1) p  q  1 (2) p  q (3) | p  q |  1 10 (4) | p  q |  1 20 (5) p  1 2﹒ 解答 14 解析 因為若兩數的和為偶數﹐則兩數必都是奇數或都是偶數﹐ 所以 p  5 5 2 2 10 2 C C C + _10 10 45  4 9﹒ 又若兩數的和為奇數﹐則兩數必是一奇數一偶數﹐ 所以 q  5 5 1 2 10 2 C C C  25 45 5 9 ﹒ 故選(1)(4)﹒

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/32

（ ）12.假設實數 a1﹐a2﹐a3﹐a4是一個等差數列﹐且滿足 0  a1 2 及 a3 4﹒若定義 bn

2

an﹐則以下

哪些選項是對的﹖ (1) b1﹐b2﹐b3﹐b4是一個等比數列 (2) b1 b2 (3) b2 4 (4) b4 32 (5) b2 b4 256. 解答 12345 解析 ∵

2

an n

b



﹐∴ 1 2 3 4 1

2 ,

2

2 ,

3

2 ,

4

2

a a a a

b



b



b



b



. (1)○﹕ 2 2 1 1 2 1 2 2 2 , 2 a a a d a b b     3 3 2 2 3 2 2 2 2 , 2 a a a d a b b     ∴<bn>為等比數列. (2)○﹕∵0  a1 2﹐a3 4﹐表示公差 d  0﹐ 即 a1 a2 a3 a4

2

a1



2

a2



2

a3



2

a4 b1 b2 b3 b4. (3)○﹕∵0  a1 2﹐a3 4﹐ ∴4  a1 a3 6 2 1 3 3 2 a a    2  a2 3（a2為 a1﹐a3之等差中項）  22 2 3

2

a



2

 4  b2 8. (4)○﹕2  a3 a1 4 2  2d  4 1  d  2﹐ a4 a3 d  4  d  5﹐ 4 5

2

a



2

 b4 32. (5)○﹕ 2 4 2 4 2 4

2

2

2

a a a a

b

 

b





 ₂2a3 ₂8_256. （ ）13.設 a1 1 且 a1﹐a2﹐a3﹐…為等差數列﹒請選出正確的選項﹕ (1)若 a100 0﹐則 a1000 0 (2) 若 a100 0﹐則 a1000 0 (3)若 a1000 0﹐則 a100 0 (4)若 a1000 0﹐則 a100 0 (5)a1000 a10 10(a100 a1)﹒ 解答 235 解析 設公差為 d﹒利用公式 an a1 (n  1)d﹐得 a100 1  99d﹐a1000 1  999d﹒ (1)反例﹕當 d  0.01 時﹐a100 1  0.99  0.01  0﹐但 a1000 1  9.99  8.99  0﹒ (2)若 a100 1  99d  0﹐即 1 99 d   ﹐所以 ₁₀₀₀ 1 999 1 999 0 99 a   d   ﹒ (3)若 a1000 1  999d  0﹐即 1 999 d  ﹐所以 ₁₀₀ 1 99 1 99 0 999 a   d    ﹒ (4)反例﹕當 d  0.01 時﹐則 a1000 1  9.99  8.99  0﹐但 a100 1  0.99  0.01  0﹒ (5)因為 a1000 a10 (1  999d)  (1  9d)  990d﹐ 10(a100 a1)  10(1  99d  1)  990d﹐ 所以 a1000 a10 10(a100 a1)﹒ 故選(2)(3)(5)﹒ （ ）14.所謂某個年齡範圍的失業率﹐是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比﹐以百分數表達 （進行統計分析時﹐所有年齡以整數表示）﹒下表為去年某國四個年齡範圍的失業率﹐其中的 年齡範圍有所重疊﹒ 年齡範圍（歲） 35～44 35～39 40～44 45～49 失業率（%） 12.66 9.80 13.17 7.08 請根據上表選出正確的選項﹕ (1)在上述四個年齡範圍中﹐以 40～44 歲的失業率為最高 (2)40～44 歲勞動力人數多於 45～49 歲勞動力人數 (3)40～49 歲的失業率等於(13.17 7.08)% 2  (4)35～39 歲勞動力人數少於 40～44 歲勞動力人數 (5)如果 40～44 歲的失業率降低﹐則 45～ 49 歲的失業率會升高﹒

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/32 解答 14 解析 設各範圍的勞動人數如下﹕ 年齡範圍（歲） 35～39 40～44 45～49 勞動人數（人） a b c (1)在失業率中﹐以 13.17%最大﹒ (2)僅由題意﹐不能確定 b  c﹒ (3)40～49 歲的失業率為b 13.17% c 7.08% b c     ﹐不一定等於 13.17 7.08 ( )% 2  ﹒ (4)因為a 9.80% b 13.17% 12.66% a b    _  ﹐即

9.80a  13.17b  12.66(a  b)  2.86a  0.51b﹐所以 a  b﹒ (5)僅由題意﹐不能推得此結論﹒ 故選(1)(4)﹒ （ ）15.坐標平面中﹐向量 w 與向量 v (2, 5)互相垂直且等長﹒請問下列哪些選項是正確的﹖ (1) 向量 w 必為 ( 5, 2) 或( 5, 2) (2)向量 v  w 與 v  w 等長 (3)向量 v  w 與 w 的夾角 可能為 135 (4)若向量 u a v b w ﹐其中 a﹐b 為實數﹐則向量 u 的長度為 2 2 a b (5) 若向量 (1,0) c v d w ﹐其中 c﹐d 為實數﹐則 c  0﹒ 解答 125 解析 (1)○﹕設 w ( , )a b ﹐ ∵ w  v 且| w || v |﹐∴ 2 2 2 5 0 9 a b a b  _{ }      ﹐解得( , )a b ( 5, 2) 或( 5, 2) (2)○﹕ ∵| v || w |且 v  w ﹐∴| v  w || v  w | 2 | v | 2 | w | (3)╳﹕ v  w 和 w 的夾角為 45 (4)╳﹕ 2 2 2 2 2 2 | u | |a v b w | a | v | 2ab v wb | w | （∵ v  w ﹐∴ v  w 0）  (a2 _b2₎  ₉ 2 2 | u | 3 a b    (5)○﹕若 w ( 5, 2) ﹐(1,0)c(2, 5)d( 5, 2) 2 5 1 2 9 5 2 0 c d c c d     _      ﹐ 5 9 d  若 w  ( 5, 2)﹐(1,0)c(2, 5) d( 5, 2) 2 5 1 2 9 5 2 0 c d c c d     _      ﹐ 5 9 d   由得 c  0 故選(1)(2)(5)﹒ v w v w v w _{v w} v w vw

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/32 （ ）16.某年學科能力測驗小華的成績為：國文 11 級分﹑英文 12 級分﹑數學 9 級分﹑自然 9 級分﹑社 會 12 級分﹒他考慮申請一些校系﹐表 1 為大考中心公布的學測各科成績標準；表 2 是他最有 興趣的五個校系規定的申請檢定標準﹐依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩 選﹒例如甲校系規定國文成績須達均標﹑英文須達前標﹑且社會須達均標；丙校系則規定英文 成績須達均標﹑且數學或自然至少有一科達前標﹒表 2 空白者表示該校系對該科成績未規定檢 定標準﹒ 表 1 學測各科成績標準 頂標 前標 均標 後標 底標 國文 13 12 10 9 7 英文 14 12 9 6 4 數學 12 10 7 4 3 自然 13 11 9 6 5 社會 13 12 10 8 7 表 2 校系篩選規定 國文 英文 數學 自然 社會 甲校系 均標 前標 均標 乙校系 前標 均標 前標 丙校系 均標 一科達前標 丁校系 一科達前標 均標 均標 戊校系 均標 前標 均標 前標 根據以上資訊﹐試問小華可以考慮申請哪些校系（會被列入篩選）﹖ (1)甲校系 (2)乙校系 (3)丙校系 (4)丁校系 (5)戊校系﹒ 解答 14 解析 由表 1 得知：國文達均標﹐英文達前標﹐數學達均標﹐自然達均標﹐社會達前標﹒ 再由表 2 得知：可通過甲與丁兩校系﹐而乙﹑丙﹑戊三校系不通過﹒ 故選(1)(4)﹒ （ ）17.試問下列哪些選項中的二次曲線﹐其焦點（之一）是拋物線 y2 _{2x 的焦點﹖ (1)} 2 1 1 ( ) 2 4 y x  (2) 2 2 1 4 3 x _ y _ (3) 2 2 4 1 3 y x   (4)8x2 _8y2 _{1 (5)4x}2 _4y2 _1﹒ 解答 134 解析 將拋物線 y2 _{2x 改寫為標準式( 0)}2 ₄ 1 _{( 0)} 2 y    x ﹐得 1 2 c ﹒ 因為頂點為(0,0)﹐開口向右﹐所以焦點為(0 ,0) ( ,0)1 2 c   ﹒ (1)由拋物線的標準式( 1)2 4 1 ( 1) 2 4 4 x    y ﹐得 1 4 c ﹒ 因為頂點為( ,1 1) 2 4 ﹐開口向上﹐所以焦點為 1 1 1 ( , ) ( ,0) 2   4 c 2 ﹒ (2)由橢圓的標準式 2 2 1 4 3 x _ y _ ﹐得

c



4 3 1

 

﹒ 因為中心為(0,0)﹐長軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為(0 ± c,0)  ( ± 1,0)﹒

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P20/32 (3)由橢圓的標準式 2 2 1 3 1 4 x _ y _ ﹐得 1 3 1 4 2 c   ﹒ 因為中心為(0,0)﹐長軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為(0 ,0) ( 1,0) 2 c    ﹒ (4)由雙曲線的標準式 2 2 1 1 1 8 8 x _ y _ ﹐得 1 1 1 8 8 2 c   ﹒ 因為中心為(0,0)﹐貫軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為(0 ,0) ( 1,0) 2 c    ﹒ (5)由雙曲線的標準式 2 2 1 1 1 4 4 x _ y _ ﹐得 1 1 1 4 4 2 c   ﹒ 因為中心為(0,0)﹐貫軸在 x 軸上﹐所以兩焦點為(0 ,0) ( 1 ,0) 2 c    ﹒ 故選(1)(3)(4)﹒ （ ）18.關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹕ (1)

13



3.5

(2)

13



3.6

(3)

13



3



10

(4)

13



3



16

(5) 1 0.6 13 3  ﹒ 解答 14 解析 (1)因為 3.52 _12.25  _13﹐所以

₁₃



_3.5

_﹒ (2)因為 3.62 _12.96  _13﹐所以

₁₃



_3.6

_﹒ (3)因為_{( 3} ₁₀₎2 _{13 2 30}_13﹐所以

₃



₁₀



₁₃

_﹐即

₁₃



₃



₁₀

_﹒ (4)因為( 13 3)216 2 39 16﹐所以

13



3



16

﹒ (5) 1 13 3 3.7 1.8 6 0.6 10 10 10 13 3        ﹒ 故選(1)(4)﹒ （ ）19.設為坐標平面上的圓﹐點(0,0)在的外部且點(2,6)在的內部﹒請選出正確的選項﹒ (1) 的圓心不可能在第二象限 (2)的圓心可能在第三象限且此時的半徑必定大於 10 (3)的 圓心可能在第一象限且此時的半徑必定小於 10 (4)的圓心可能在 x 軸上且此時圓心的 x 坐 標必定小於 10 (5)的圓心可能在第四象限且此時的半徑必定大於 10﹒ 解答 5 解析 點(0,0)與(2,6)連線段的中垂線為 3 1( 1) 3 y   x  x  3y  10﹒ 依題意﹐利用「中垂線上的點到兩端點等距離」的性質﹐ 得知圓心落在半平面 x  3y  10 的區域內﹐ 即點(2,6)那一側﹒ 故選(5)﹒ (2,6) 10 O y x x+3y=10

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P21/32 （ ）20.從 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐7 這七個數字中隨機任取兩數﹒試選出正確的選項﹒ (1)其和大於10 的機率為1 7 (2)其和小於 5 的機率為 1 7 (3)其和為奇數的機率為 4 7 (4)其差為偶數的機率為 5 7 (5)其積為奇數的機率為2 7﹒ 解答 35 解析 樣本空間的元素個數為

C

₂7



21

﹒ (1)因為和大於 10 有 4,7﹐5,6﹐5,7﹐6,7 共 4 種﹐所以機率為 4 21﹒ (2)因為和小於 5 有 1,2﹐1,3 共 2 種﹐所以機率為 2 21﹒ (3)因為和為奇數﹐所以兩數為一奇數一偶數﹐其機率為 4 3 1 1 12 4 21 21 7 C C _{ } ﹒ (4)因為差為偶數﹐所以兩數為二奇數或二偶數﹐其機率為 4 3 2 2 9 3 21 21 7 C C _{ } ﹒ (5)因為積為奇數﹐所以兩數均為奇數﹐其機率為 4 2 6 2 21 21 7 C _{ } ﹒ 故選(3)(5)﹒

三、填充題

1.用黑﹑白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形﹕ 拼第 95 個圖需用到____________塊白色地磚﹒ 解答 478 解析 令 an表第 n 個圖形所需之白磚數﹐則 a1 8﹐a2 13﹐a3 18﹐…表一等差﹐ a2 a1 a3 a2 5  d﹐ ∴a95 a1 94d  8  94  5  478﹒

2.設 a﹐b﹐c 為正整數﹐若 alog5202  blog5205  clog52013  3﹐則 a  b  c  ____________﹒

解答 15

解析 alog5202  blog5205  clog52013  3

 log520(2a 5b 13c)  3  2a 5b 13c 5203 ₍₂3 ₅  ₁₃₎3 ₂9 ₅3 ₁₃3  a  b  c  9  3  3  15﹒ 3.如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹒若DBC  30﹐ ABD  45﹐CD6﹐則線段 AD____________﹒ 解答

72

解析 △BCD 中 2 2 6 12 1 sin 30 2 CD R R      ﹐ △ABD 中 2 sin 45 AD R   ﹐∴ 2 2 sin 45 12 6 2 72 2 AD R      ﹒ 第1個 第2個 第3個 A B C D

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P22/32 4.坐標空間中 xy 平面上有一正方形﹐其頂點為 O(0,0,0)﹐A(8,0,0)﹐B(8,8,0)﹐C(0,8,0)﹐另一點 P 在 xy 平面的 上方﹐且與 O﹑A﹑B﹑C 四點的距離皆等於 6﹒若 x  by  cz  d 為通過 A﹑B﹑P 三點的平面﹐則(b,c,d)  ____________﹒ 解答 (0,2,8) 解析 坐標化﹐如圖﹐ 2 2 2 36 (16 16) 4 PH OP OH     ﹐∴PH2﹐則 P 點的坐標為(4,4,2)﹐ (0,8, 0) AB ﹐AP ( 4, 4, 2)﹐ABAP(16, 0,32)16(1, 0, 2)﹐ 則 N (1, 0, 2)﹐所求平面 1  (x  8)  0  (y  0)  2  (z  0)  0  x  0y  2z  8﹐ 則 b  0﹐c  2﹐d  8﹐故(b,c,d)  (0,2,8)﹒

5.設 a﹐b﹐x 皆為正整數且滿足 a  x  b 及 b  a  3﹒若用內插法從 loga﹐logb 求得 logx 的近似值為

1 2 1 2

log log log (1 2log3 log 2) (4log 2 log3)

3 3 3 3 x a b     ﹐則 x 的值為____________﹒ 解答 47 解析 因為 2 1 1 1

(1 2log3 log 2) log(10 3 2) log 45

3   3   3 ﹐

4

2 2 2

(4log 2 log3) log(2 3) log 48

3  3  3 ﹐

所以 a  45﹐b  48﹒

又因為log 1log 2log

3 3 x a b﹐ 所以 x 位於 45﹐48 的 2：1 位置﹒ 故 1 45 2 48 47 2 1 x      ﹒ x y z O P (4,4,2) B (8,8,0) A (8,0,0) C (0,8,0) H (4,4,0) 1 2 45 x 48 x y=logx

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P23/32 6.如圖所示（只是示意圖）﹐將梯子 AB 靠在與地面垂直的牆 AC 上﹐測得與水平地面的夾角ABC 為 60﹒ 將在地面上的底 B 沿著地面向外拉 51 公分到點 F（即FB51公分）﹐此時梯子 EF 與地面的夾角EFC 之正弦值為 sinEFC  0.6﹐則梯子長 AB____________公分﹒ 解答 170 解析 設ABEFx﹒因為ABC  60﹐所以 2 x BC ﹒ 又因為sin 3 5 EFC   ﹐所以 51 ₄ 2 cos 5 x EFC x     255 5 4 2x x   ﹒ 解得 x  170﹒故AB170﹒ 7.設 a﹐b﹐c﹐d﹐e﹐x﹐y﹐z 皆為實數﹐考慮矩陣相乘﹕ 3 7 3 5 7 0 7 4 6 1 2 11 23 a b x c d y e z          _     _{ }           ﹐則 y  ____________﹒（化成最簡分數） 解答 7 2 解析 根據矩陣乘法的定義﹐得 3 4 0 5 6 7 7 7 2 23 c d c d y c de e                 ﹐ 由解得 e  8﹒ 代入後﹐再與聯立﹐得 c  7﹐ 21 4 d   ﹒ 代入﹐得 5 7 6 ( 21) 7 4 2 y      ﹒ 8.地面上甲﹑乙兩人從同一地點同時開始移動﹒甲以每秒 4 公尺向東等速移動﹐乙以每秒 3 公尺向北等速移動 ﹒在移動不久之後﹐他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了 6 秒後才又相見﹒此圓柱體建築物底圓的直 徑為____________公尺﹒ 解答 14.4 解析 依題意﹐圖示如下﹕ 經 6 秒甲走AB  6 4 24公尺﹒ 因為圖中二個直角三角形相似﹐所以 3 72 14.4 24 5 5 x x     ﹐ 故底圓的直徑為 14.4 公尺﹒ 5k 4k A 24 B 3k x 東 北 A E C F B

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P24/32 9.某高中已有一個長 90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道﹐跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐而中間是上下各一條的直線跑道﹐直線跑道與足 球練習場的長邊平行（如示意圖）﹒則圖中一條直線跑道 AB 長度的最大可能整數值為____________公尺﹒ 解答 105 解析 設內圈左右兩半圓的半徑都是 r 公尺﹒因為內圈總長度 400 公尺﹐ 所以2 2 400 400 2 200 2 r r AB AB



r



      



公尺﹒ 當 60 30 2 r  時﹐AB有最大值 200  30



 200  30  3.14  105.8 公尺﹒ 故AB的最大可能整數值為 105 公尺﹒ 10.坐標平面上有四點 O(0,0)﹐A(  3,  5)﹐B(6,0)﹐C(x,y)﹒今有一質點在 O 點沿 AO 方向前進 AO 距離後停 在 P﹐再沿BP方向前進 2BP 距離後停在 Q﹒假設此質點繼續沿 CQ 方向前進 3CQ 距離後回到原點 O﹐則 (x,y)  ____________﹒ 解答 (  4,20) 解析 AO(3,5)﹐∴P(3,5)﹐ 2 1 PQ BP  ﹐ 由分點公式﹕3 12 3 3 x x   _     ﹐5 0 15 3 y y   _     Q(  3,15)﹐ 又 1 3 CQ QO ﹐ 3 0 3 4 4 x x       ﹐15 3 0 20 4 y y     ﹐∴C(  4,20)﹒ 足球練習場 直線跑道 右 邊 跑 道 左 邊 跑 道 A B x y O A( 3, 5) P(3,5) C(x, y) Q(x',y') 2 1 B(6,0)

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P25/32 11.設圓 O 之半徑為 24﹐OC26﹐ OC 交圓 O 於 A 點﹐ CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如下 圖﹐則 AB____________﹒（化為最簡分數） 解答 120 13 解析 由題意cos 24 12 26 13 COD    5 120 sin 24( ) 13 13 AB OA AOB      ﹒ 12.某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞台﹑4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型﹒若同類型電視台 的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育台﹐則頻道的分配方式共有____________種﹒ 解答 576 解析 所求 1  2!  2!  3!  4!  576﹒ ↑ ↑ ↑ 體 新 綜 13.假設



1為坐標平面上一開口向上的拋物線﹐其對稱軸為 3 4 x  且焦距（焦點到頂點的距離）為1 8﹒若



1 與另一拋物線



2﹕y  x2恰交於一點﹐則



1的頂點之 y 坐標為____________﹒（化成最簡分數） 解答 9 8 解析 設



1﹕ 2 3 1 ( ) 4 ( ) 4 8 x   yk ﹐



2﹕y  x2代入



1﹐ 得₍ 3₎2 1₍ 2 ₎ 4 2 x  x k  2 _{3 (}9 _{) 0} 8 x  x k  ﹐ ∵只有一交點﹐∴D  0﹐ 32 4(9 ) 0 8 D  k   9 8 k ﹒ 14.設實數 x 滿足 0  x  1﹐且 logx4  log2x  1﹐則 x  ____________﹒（化成最簡分數） 解答 1 4 解析 令 t  log2x﹐則 2 log 4_x 2log 2_x t   原式 2 _{t 1 t}2 _{t 2 0 (t 2)(t 1) 0 t 2} t               或 t  1 即 log2x  2 或 log2x  1 故 1 4 x 或 x  2（不合）﹒ A O B C D 體體 新新新 綜綜綜綜

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P26/32 15.設 u ﹐ v 為兩個長度皆為 1 的向量﹒若 u  v 與 u 的夾角為 75﹐則 u 與 v 的內積為____________ ﹒（化為最簡根式） 解答 3 2  解析 依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得下圖﹒ 推得 u 與 v 的夾角為 150﹒ 故 1 1 cos150 3 2 u v      ﹒ 16.坐標平面上﹐一圓與直線 x  y  1 以及直線 x  y  5 所截的弦長皆為 14﹒則此圓的面積為____________



﹒ 解答 51 解析 因為兩平行直線 x  y  1  0 與 x  y  5  0 所截的弦等長﹐ 且其距離為 2 2 | ( 1) ( 5) | 4 2 2 2 1 ( 1)        ﹐ 所以弦心距 1 2 2 2 2 d   ﹒因此﹐圓的半徑 2 2 7 ( 2 ) 51 r   ﹒ 故此圓的面積為 51



﹒ 17.小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星﹕由天璇起 始向天樞的方向延伸便可找到北極星﹐其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍﹒」今小明將所 見的星空想像成一個坐標平面﹐其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為(7,11)﹒依上述資訊可以推得北極星 的坐標為____________﹒ 解答 (  3,26) 解析 令北極星坐標為(x,y) 5  樞北 璇樞  (x  7,y  11)  5(7  9,11  8)  x  7  10 得 x  3  y  11  15 得 y  26 ∴ 北極星坐標為(  3,26) r d d 7 7 7 7 x y O 天璇(9,8) 天樞(7,11) 北(x,y) 75o 75o 150o

u

v

u

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1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P27/32 18.某一公司﹐有 A﹑B﹑C 三個營業據點﹐開始時各有 36 位營業員﹐為了讓營業員了解各據點業務狀況﹐所 以進行兩次調動﹒每次調動都是﹕將當時 A 據點營業員中的1 6調到 B 據點﹑ 1 6調到 C 據點﹔將當時 B 據點 營業員中的1 6調到 A 據點﹑ 1 3調到 C 據點﹔將當時 C 據點營業員中的 1 6調到 A 據點﹑ 1 6調到 B 據點﹒則 兩次的調動後﹐C 據點有____________位營業員﹒ 解答 44 解析 依題意﹐利用轉移矩陣﹐得 第一次調動後為 2 1 1 3 6 6 _{36 36} 1 1 1 36 30 6 2 6 36 42 1 1 2 6 3 3                 _            _{    }       ﹐ 第二次調動後為 2 1 1 3 6 6 _{36 36} 1 1 1 30 28 6 2 6 42 44 1 1 2 6 3 3                 _            _{    }       ﹒ 故 C 有 44 位營業員﹒ 19.在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P﹑Q﹑R﹐使得 APQR 形成一平行四邊形﹐如下圖所示﹕ 若平行四邊形 APQR 的面積為

20 3

﹐則線段 PR 的長度為____________﹒ 解答 7 解析 ∵ APQR 為平行四邊形﹐∴ PAR BPQ QRC  60  △PBQ﹑△RQC 為正三角形 令APx﹐BPAR13x 1 2 APR   平行四邊形 APQR 面積  1( )(13 ) sin 60 1(20 3) 2 x  x  2  x2 _13x  ₄₀  ₀  _(x  _8)(x  ₅₎  ₀  _x  _{8 或 5} ∴ 2 2 8 5 2 8 5 cos 60 49 7 PR         A B C P Q R

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P28/32 20.設 P 為雙曲線 2 2 1 9 16 x _ y _ 上的一點且位在第一象限﹒若 F1﹑F2為此雙曲線的兩個焦點﹐且PF ：₁ PF₂ 1：3﹐則△F1PF2的周長為____________﹒ 解答 22 解析 由



： 2 2 1 9 16 x _ y _ 知 a  3﹐b  4﹐ 2 2 5 c a b  ﹐ 依題意﹐令PF₁k﹐PF23k﹐k  0﹐ 並由雙曲線的定義|PF₁PF₂|2a﹐得| k  3k |  6  k  3﹐ 又F F_{1 2} 2c10﹐故周長  3  9  10  22﹒ 21.一隻青蛙位於坐標平面的原點﹐每步隨機朝上﹑下﹑左﹑右跳一單位長﹐總共跳了四步﹒青蛙跳了四步後 恰回到原點的機率為____________﹒（化成最簡分數） 解答 9 64 解析 樣本空間個數為 44 _256﹒ 跳回原點的情形﹐可分以下 3 類﹕ (1)上﹐下﹐左﹐右﹕有 4!  24 種﹒ (2)上﹐上﹐下﹐下﹕有 4! 6 2! 2! 種﹒ (3)左﹐左﹐右﹐右﹕有 4! 6 2! 2! 種﹒ 共 24  6  6  36 種﹒ 故所求機率為 36 9 25664﹒ 22.下圖為汽車迴轉示意圖﹒汽車迴轉時﹐將方向盤轉動到極限﹐以低速讓汽車進行轉向圓周運動﹐汽車轉向 時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑﹐如圖中的 BC 即是﹒已知在低速前進時﹐圖中 A 處的輪胎行進方向與 AC 垂直﹐B 處的輪胎行進方向與 BC 垂直﹒在圖中﹐已知軸距AB 為 2.85 公尺﹐方向盤轉到極限時﹐輪子 方向偏了 28 度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為____________公尺﹒ （小數點後第一位以下四捨五入﹐sin28 0.4695﹐cos28 0.8829） 解答 6.1 解析 依題意﹐得cos 62  2.85 BC ﹐即 2.85 2.85 2.85 6.1 cos62 sin 28 0.4695       BC ﹒ x y O F2 F1 P

1091 高三數學期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P29/32 23.一礦物內含 A﹑B﹑C 三種放射性物質﹐放射出同一種輻射﹒已知 A﹑B﹑C 每公克分別會釋放出 1 單位﹑ 2 單位﹑1 單位的輻射強度﹐又知 A﹑B﹑C 每過半年其質量分別變為原來質量的1 2﹑ 1 3﹑ 1 4倍﹒於一年前 測得此礦物的輻射強度為 66 單位﹐而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位﹐且目前此礦物的輻射強度 為 8 單位﹐則目前此礦物中 A﹑B﹑C 物質之質量分別為(1)____________﹐(2)____________﹐ (3)____________公克﹒ 解答 (1)4;(2)1;(3)2 解析 設 A﹑B﹑C 一年前分別有 x﹐y﹐z 公克﹐ 2 66 1 2 1 22 2 3 4 1 2 1 8 4 9 16 x y z x y z x y z        _{  }    _{  }   2 66 4 1 44 3 2 8 1 32 9 4 x y z x y z x y z              _{  }     2 1 22 3y2z ﹐    10 3 34 9 y4z  4 3 132 40 27 1224 y z y z     _{ }    10    3z  96﹐z  32﹐y  9﹐x  16﹐ 則目前此礦物 A﹑B﹑C 物質之質量分別為 1 2 16( ) 2 ﹐ 2 1 9( ) 3 ﹐ 2 1 32( ) 4  4﹐1﹐2（公克）﹒ 24.H﹕x  y  z  2 為坐標空間中一平面﹐L 為平面 H 上的一直線﹒已知點 P(2,1,1)為 L 上距離原點 O 最近的 點﹐則____________為 L 的方向向量﹒ 解答 (2,  1,  3) 解析 ∵P 為 L 上距離原點 O 最近的點﹐∴OPL﹐OP(2,1,1)﹐ 又平面 H 的法向量 n ﹐ n L﹐ n (1, 1,1) ﹐ L 的方向向量 ( 1 1 1 2 2, , 1 ) (2, 1, 3) 1 1 1 1 1 1 d OP n       ﹒ 25.坐標平面中 A(a,3)﹐B(16,b)﹐C(19,12)三點共線﹒已知 C 不在 A﹑B 之間﹐且AC : BC3 : 1﹐則 a  b  ____________﹒ 解答 19 解析 如圖﹐因為AB : BC2 : 1﹐所以由分點公式﹐得(16, ) ( 38 3 24, ) 3 3 a b    ﹒ 解得 a  10﹐b  9﹐即 a  b  19﹒

1

2

A

B

C