“大范围”(Global)也可以译为整体、全局，它的原意是全球．它的对立面是局部．流形的局部 是欧几里得空间，在它上面有着丰富的结构，更有着各种坐标系，使我们很容易在上面开展数学分 析，因此，长期以来，数学分析基本上是局部分析．局部n维欧几里得空间，经过拼接之后，可以 成为各种各样的n维流形，所以，大范围分析也可以说是流形上的数学分析．它包括流形上的微积 分，流形上的微分方程，流形上的变分法，流形上的函数论及泛函分析等等．
虽然大范围分析这个名词在1965年才开始出现，可是它的内容至少已有一百多年的历史了．在 微分流形上考虑微分算子的思想至少可追溯到黎曼与贝尔特拉米．到19世纪八十年代，大数学家庞 加莱，已经在常微分方程论中引进几何方法，开创了微分方程定性理论的新方向．他一反过去具体 局部求解的方法，而着重研究大范围内解曲线的分布状况．他发现，微分方程的奇点起着关键的作 用，通过奇点的分类，对于解的性态有深入的了解，特别是提出了稳定性问题．后来的发展围绕着 稳定性，周期解及极限环等问题展开，而且很快在电路问题中找到应用．庞加莱去世之前，对狭义 三体问题(即其中一体的质量远远比其他二体为小)证明定理：(1)运动方程的解除了已知的雅可比积 分之外，不存在其他的解，并提出(2)存在无穷多周期解．他没能证明这点，只是把它归结成一个拓 扑定理，这就是所谓“庞加莱最后问题”．没有料到，他去世不到半年，这问题就被美国数学家柏 克霍夫解决．他还用拓扑方法研究回归问题(如一个星体经过一段时期后是否还回到原来位置附近)，
并用极小极大方法来推动动力系统的研究，这可以说是大范围分析的第一个分支．大约同时，有人 对环面上的微分方程进行充分的研究．
二十年代中期，柏克霍夫的学生莫尔斯(H．M．Morse，1892—1977)开创大范围变分法，也即 莫尔斯理论．莫尔斯理论把流形上的函数的临界点与流形的拓扑性质连系在一起．莫尔斯理论促进
了微分拓扑学的大发展，特别是证明了广义庞加莱猜想．
二十年代中期，美国数学家惠特尼开创了大范围分析的第三个分支——微分映射奇点理论，到 五十年代中期取得突破性进展，其后成为托姆的突变理论的基础．
大约同时，英国数学家浩治(W．Hodge， 1903—1975)应用流形上的微分算子来研究微分流形 的拓扑性质，即所谓调和积分理论或浩治理论．
数，所谓f的临界点就是使微分df在该点等于零的那些点x∈V，这实际上是函数取极大值或极小值的 点的推广．f的临界点集可以是V中任意闭集，因此，企图根据其临界点的性质来对C∞函数进行分类 似乎是不现实的．临界点称为非退化的，如果f在这点的某一邻域中的泰勒展开的二次项所构成的多 项式是一个非退化二次型；根据定义这个二次型的指数就是临界点的指数．只有非退化临界点并且 在这些点(它们必定是
关．
奇点理论的主要问题是通过某种等价关系来分类无穷可微映射f：M→N，f与f′看成等价，如 果f′=h f g，其中g和h分别是M和N的微分同胚，或者g和h分别是M和N的同胚．1955年，惠特 尼和托姆开创了研究奇点理论的大规模纲领．他们的新思想主要是集中注意于一般的映射．这个纲 领主要由麦泽尔(J．Mather，1942—)在60年代初的工作而大大推进了．他证明，拓扑稳定的映射总 构成ε(M，N)中的稠密开子集，但是对于微分稳定的映射，同样的论断只对某些明显走出的维数对 (m，n)(“好维数”)才成立．一般的映射总是拓扑稳定的，而在好维数下，一般的映射恒同于微分 稳定映射．这里证明的技术在于把微分稳定性的问题归结为所考虑映射的导网的相应问题，然后，
由于一个关键的结果，即拉格朗日把魏尔斯特拉斯的“预备定理”推广到C∞函数，从而可以运用交 换局部环理论这个工具．
四、多复变函数论
多复变解析函数论是单复变解析函数论的自然推广．早在19世纪末，就已经把单复变最简单的 结果平行地推广到多复变，而且尝试把一些一般定理，如魏尔斯特拉斯定理(整函数的表示问题)及 米塔格—列夫勒定理(亚纯函数的有理分式表示)推广到多复变情形．1895年，法国数学家库辛 (P．Cousin ，1867—1933)提出库辛第一问题和第二问题，即给定零点、极点作出相应亚纯函数问 题．库辛对函数定义域G是整个n元复空间C∞的情形(以及一些特殊情形)肯定地解决第一、第二问题，
但一般情形一直到1935年才由日本数学家冈洁(1901—1978)解决．他证明当G是全纯域时，库辛第一 问题永远可解．而第二问题即使对全纯域也还需要满足一定条件．这显示出全纯域的重要．但是多
复变解析函数的定义域远比单复变复杂，而且多复变解析函数还具有不同于单复变函数的独特性 质，这就是1906年由德国数学家哈托格斯(F．Hartogs，1874—1933)发现的向内可解析开拓性：设 Cn中的域G内有一个紧集K，只要G—K是连通的，任何在G—K上全纯函数都可开拓到整个G上．这 个性质对n＝1是决不成立的，由此多复变函数走上自己独立的发展道路．对向外开拓，多复变情形 也不同于单复变情形，即总有开拓不出去的全纯函数，一般来讲，所有全纯函数都可以开拓到更大 的域中去．而不具有这种性质的域则称为全纯域．20世纪前半叶，多复变函数论的主要问题是研究 全纯域的刻划问题．为此哈托格斯及意大利数学家列维(E．E．Levi，1883—1917)引进伪凸性(也译 拟凸性)的概念，1910年列维提出列维问题：伪凸域是否全纯域？在这方面第一个重要结果是H 嘉 当及德国数学家图仑(P．Thullen，1907—)在1932年给出的：他们证明可以用全纯凸性来刻划全纯 域．但由全纯凸性过渡到伪凸性又经历了二十年．冈洁在1942年证明n=2的情形，到1953年才证明 一般情形，1954年诺盖(F．Norguet，1932—)及布列莫曼(H．J．Bremermann，1926—)也独立证明 同样结果，至此列维问题完全解决．
另外有一些沿着不同道路关于多复变解析函数的研究：德国数学家莱因哈特(K．Reinhardt)于 1921年开创的解析自同构的研究，博赫纳及伯格曼(S．Bergman， 1895—1977)从1922年开始的核 函数的研究．对单复变整函数及亚纯函数论的推广也并非易事，法图等还引出皮卡定理的反例：解 析映射f：C2→C2的函数行列式处处不为零，但f的象f(C2)在C2中的余集却具有非空开集．1930年，H 嘉 当证明解析映射的唯一性定理，但1926年，儒利雅把正规族理论推广到多复变．在几何函数论方面，
庞加莱早就知道C2中圆盘与双圆柱不双全纯等价．关于自守函数的推广有两个方向：一个方向是由 希尔伯特及他的学生布鲁门塔尔(L．Blumenthal， 1876—1944)在20世纪初的工作开拓的，另一个 方向是西格尔从1935年到1950年的工作开拓的，这些工作与代数数论、李群的无穷维表示与代数几 何学联系在一起，形成当前十分活跃的领域．
最早的多复变函数论的综述是奥斯古德1914年的书及1924年《函数论》第二卷第一版，但较全 面的总结则是1929年《函数论》第二卷第二版．其后的成就见于贝恩克(H．Behnke，1898—1979) 及图仑的
erlichen)1934年版及1948年出版的博赫纳及马丁(W．T．Martin，1911—)《多复变》(Several Complex Variables)两书中． 对于1950年以前的多复变，外尔在“半世纪的数学”一文中说“多复变解析函 数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶段”．实际上，从1951年起，在拓扑学、微分 几何学、抽象代数学、李群理论以及分析学的发展的共同作用下多复变函数论迎来一个崭新的时期．
首先，研究对象已由多元复数空间Cn中的域推广到复解析流形及解析空间．1951年德国数学家 施泰因(K．Stein，1913—)把全纯域的性质抽象出来，定义了后来以他命名的施泰因流形．它具有 许多好的性质，特别是在1951年H 嘉当及塞尔在其上引进层系数上同调及凝聚层的概念，用层上
同调来表述分析成果，特别是库辛第一、第二问题．这样一举解决定理A、B，反过来，用层上同调 刻划施泰因流形．德国数学家格劳尔特(H．Grau-ert，1930—)在1958年证明：复解析流形的相对紧 域，如是强伪凸，则是施泰因流形．1953年塞尔猜想：底及纤维均为施泰因空间，丛空间是否也是 施泰因空间？这个问题刺激了多复变特别是施泰因空间理论的发展．到1977年斯科达(H．Skoda)举 出一个反例．
复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面(一维复流形)的自然推广，但是许多自 然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流形．因为不是每一点都有 一个邻域与Cn双全纯等价．显然这是因为有奇点的缘故．为此，必需把研究对象由复流形大大推广，
这就是复空间或解析空间的概念．它们首先是由贝恩克和施泰因在1951年引进的．50年代中期起，
运用层上同调理论，格劳尔特、雷姆尔特(R．Remmert，1930—)及施泰因等人得出一系列基本结果．
解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射(紧集的原象是紧的)．关于正常映射的基本结 果是1960年格劳尔特征明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚层的各次直接象都是Y 的凝聚层．特别地f(X)是Y的解析子空间．另外，广中平祐还把奇点解消定理推广到解析空间．
与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价(存在一对一的保角或共形映射)．庞 加莱早就指出二维复数空间C2中球体丨Z1丨2＋丨Z2丨2＜1与双柱丨Z1丨＜1，丨Z2丨＜1之间不存在 双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出．也知道Cn中存在单连通的全纯域，它没有非 平凡的自同构．一般的解析空间的自同构群，只有个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只 有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如果Cn中两个严格伪凸域D1，D2之间存在映上同构，则该同构 可扩张或包含边界的微分同胚．1980年以后，有人给出简短的证明．
与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年
于紧黎曼面与光滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，
但在方法上却有微分几何学及分析上的好处．
非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流 形(浩治流形)才是代数流形．凯勒流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来 的，它可看成黎曼面上调和函数论在复流形上的推广．调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和 积分表示出来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲 率与拓扑性质联系起来．
1963年美国数学家柯恩(J．J．Kohn，1932—)对重要的伪凸流形，
方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治—小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非紧、带边缘 复流形上．
五、抽象代数几何学和丢番图方程
古典代数几何学主要研究三维复射影空间Pn(C)中的代数曲面和代数曲线，实际上与复分析不可 分．但是无论从理论上还是从应用上讲，都要求对代数几何学作推广．例如把基本定理——黎曼—
洛赫定理推广到代数曲面及高维代数簇上，多个代数簇的交截问题，舒伯特(H．Schubert，1848—
1911)的计数几何的严密基础问题(这是希尔伯特第十五问题)等，尤其是许多数论问题更要求有限域 的求解．这些都促使代数几何学的抽象化．从30年代起，抽象代数学、代数拓扑学、微分几何学的 发展为代数几何学的抽象化提供了许多新工具，尤其是四十、五十年代层论中层的上同调及纤维丛 的思想及同调代数方法更导致代数几何学基础的两次革新，并在不定方程上取得两次大突破，这是 抽象代数几何学的突出成就．
第一次革新是抽象代数几何学的基础的建立，它反映在魏伊1946年出版的《代数几何学基础》
(Foundations of Algeb-raic Geometry，1962年第二版)一书中．虽然从30年代起，范 德 瓦尔登在 十几篇论文中已经为代数几何学一些概念(如“一般点”)给了严密的定义，但“交截重数”的概念 仍然成问题．魏伊解决了这个问题，他还把定义域由复数扩充到一般的代数封闭域(特别是特征不等 于0的域，从而为数论问题的解决打通道路)．他还第一次把代数簇的概念由射影空间中解放出来，
也就是给出一个“内在的”定义．相应地对于代数簇的其他概念也作了推广．1949年魏伊又把纤维 空间概念引进理论当中．运用新的代数几何学工具，他于1948年成功地证明有限域上曲线的黎曼猜 想，1949年提出更一般代数簇上的黎曼猜想，并证明一些特殊情形．这个所谓“魏伊猜想”推动了 其后二、三十年的代数几何学再一次更新．
第二次革新主要是格罗登迪克所建立的“概型”的庞大理论．概型理论把所有交换代数学都包 括进去．它来源于1955年塞尔的工作．塞尔把多复变函数论中层的语言引到抽象代数簇上，把抽象 代数簇定义为环式空间，这样代数簇成为具有查瑞斯基拓扑的拓扑空间，从而可以建立上同调理论，
这样可以给出算术亏格等古典不变量一个上同调解释．1958年，格罗登迪克定义了比代数簇远为一 般的概型概念，在其后十多年里，运用上同调理论，不仅推广了一系列古典定理，如查瑞斯基的主 要定理，而且得出了一系列辉煌的新成就．
1．黎曼—洛赫定理的推广
1951年小平邦彦把代数曲线的黎曼—洛赫定理推广到代数曲面情形，把原来意大利数学家的不 等式变成等式．照这样推广下去到高维存在许多困难，德国数学家希策布鲁赫当时在普林斯顿高等 研究院同小平邦彦的讨论得知塞尔了解如何把黎曼—洛赫定理中的不变量用上同调来表示，从而得