高尔顿(F．Galton， 1822—1911)在1889年出版的《自然遗传》(Natural In heritance)一书中，首 次提出“相关的概念以及其定量表征——相关系数．大约同时，他在一系列观察及测定的基础上，
提出了“回归”的概念，他观察到父代与子代的性状虽然有一定的相关性，但连续观察下去，则特 征逐步减退，而“回归”到平均值上，从而开创了回归分析．
英国科学家卡尔 皮尔逊(Karl Pearson 1857—1936)是高尔顿的学生，从1894年到1916年发表一 系列有关进化论的数学研究，其间发展了相关及回归理论，成功建立了生物统计学，他区别“总体”
与“样本”，1898年提出多重相关理论，指出由样本估计总体参数时要采用似然函数．1900年提出 拟合优度检验，为此引进χ2分布(在此之前，德国物理学家阿贝(E．Abbe， 1840—1905)在1863年 发表的论文中及德国测地学家海尔穆特(F． R．Helmert，1843—1917)在1875年都曾独立地发现χ2 分布)．这奠定了大样本理论的基础．数理统计学至此时处于描述统计学阶段，其后则是费舍尔 (R． A． Fisher，1890—1962)之后的推断统计学阶段．
推断统计学的先驱是英国医生哥塞特(W．Gosset， 1876—1937)，他使用笔名“学生”—student)，
他在1908年发现了大分布，开创了小样本理论，也即根据小样本来进行推断，这使得统计学由研究 集体现象转变为随机现象，对于其后的统计学的发展有决定性的意义．但他们推导极不完整，一直 到费舍尔加以严格证明并在1925年《研究人员用统计方法》一书中加以系统阐述之后，这种统计方 法才得到广泛的传播．
费舍尔把统计学变成为数学的一个分支，他强调统计方法的统一性，对近代数理统计的形式及 发展做出巨大的贡献．他提出许多重要的方法，建立了一些分支．他引进解消假设和显著性检验的 概念，成为假设检验理论的先驱．他列举一致性、有效性及充分性作为参数的估计量应有的性质．他 还提出“信息量”的概念．从1912年起，建立了以最大似然估计为中心的点估计理论．
1925年费舍尔与叶茨(F．Yates，1902—)合作创立实验设计这一分支，提出区组平方设计与拉 丁方．他的工作总结在1925年出版的《实验设计》一书中，他还在1923年发展了与实验设计相适应 的方差分析法．费舍尔另一项重要贡献是引进“可信分布”的概念，对于一些困难的问题如贝伦斯 (W．U．Behren-s)——费舍尔问题，提供简单解法．不过，费舍尔的思想方法偏于直观，数学方法 也欠严格，这有待于奈曼等人的工作加以发展．
原籍波兰的美国数学家奈曼(J．Neyman，1894—1981)在1925年9月到达伦敦，结识了英国统计 学界的人物，与卡尔 皮尔逊的儿子小皮尔逊(E．S．Pearson，1895—1980)建立起终生友谊．他们 合作(1928—1938)的头一篇在1928年6月发表的论文中就提出“备择假设”的概念，指出存在两类错 误，他们把假设H真确时而拒绝H所犯的错误称为第一类错误、把备择假设A真确时而接受H所犯的 错误称为第二类错误，从而开始使统计推断理论建立在新的数学基础上．他们引进检验功效函数的 概念，以此做为判断检验方法优劣的标准．奈曼还在1924年到1937年间建立置信区间概念，它建立 在概率的频率解释之上，奠定了区间估计理论的数学基础．
原籍罗马尼亚的美国数学家瓦尔德(A．Wald，1902—1950)1939年发展了统计判决函数理论，
在这个理论中，把推断程序全体作为一个整体来考虑，被命名为判决函数空间．它定义了其上的风 险函数，作为推断程序好坏的准则．他与费舍尔及奈曼不同的是把先验概率也考虑进去，对第二次 世界大战以后的统计数学影响极大．他的结果收入1950年出版的《统计决策函数》(statistical decision functions)一书中．他把估计理论及假设检验理论相结合，形成“决策理论”这一新的应用数学分 支．1943年起瓦尔德还发展了序贯分析，1947年他的《序贯分析》(Sequential analysis)的发表标志这 一新分支的诞生．
1946年瑞典统计学家克拉美(H．Cramer，1893—)的《统计学的数学方法》(Mathematical Methods of St-atistics)把统计数学建立在现代测度论的严密基础上，标志着作为数学的重要分支——数理统计 学最终形成自己的科学体系．
四、运筹数学
运筹学的产生是第二次世界大战前后的事．1933年希特勒在德国掌权，英国就开始进行适当的 准备来防御可能发生的空袭．结果在1937年末研制出雷达和飓风式战斗机．但是1938年7月进行的 空战演习中，雷达和战斗机临时凑和，不能形成一个有效的空防体系．因此，当时英国在海岸的雷 达研制工作的领导人罗维(A．P．Rowe)建议进行关于雷达战斗机系统的运用方面(与纯技术方面相 对立)的研究工作，他还创造出“运用的研究”(operational research)一即运筹学这个词来称呼这种研 究工作，这可以说运筹学正式诞生．他和威廉斯(E．C． Willia-ms)发展了发现和预防空袭的方法，
并且在布莱开特(P．M．S．Blackett 1897—1974)直接领导下，成立了运筹小组．这些直接导致英 国防空体系根本上的改进，在1940年8、9月间经受住了决定性的考验．美国参战之后，在1942年底，
美国也进行类似的研究工作．由于从事战时工作的科学家在战后大力倡导，而使运筹学的理论和应 用在战后得到了蓬勃的发展，并由军用扩大到民用许多领域，产生许多分支学科．主要学科是数学 规划(包含线性规划、非线性规划、整数规划、组合最优化乃至动态规划等)、对策论、排队论、库 存论、搜索论、决策分析等．
规划问题从数学上讲是具有约束的最优化问题．如线性规划是考虑在线性等式及不等式组的条 件下求线性目标函数的极值问题．它在经济上的应用，来源于冯 诺伊曼1928年证明的对策论基本 定理——极大极小定理．后来列昂节夫(W．Leontiev，1906—)关于投入产出分析在1941年提出的模 型及1944年冯 诺伊曼及摩根施坦(Morgenstern，1902—1977)在他们的名著《对策论及经济行为》
(Theory of Games and Economic Be-havior)中更提出竞争模型．库普曼斯(T．C．Koopmans，1910—
1985)在1951年出版《生产与配置的活动分析》中独立地对线性规划的创建及发展作出贡献，并因此 获1975年诺贝尔经济学奖．其中把线性规划问题化为数学上凸集或凸体的理论，其中线性不等式及 凸体的对偶性起着关键的作用．这方面的理论可追溯到蒙日(1781)及傅里叶(1823)关于n维欧氏空间 内凸锥、凸多面体理论，匈牙利数学家法卡斯(J．Farkas，1847—1930)给出特殊线性规划问题有解 的充分必要条件，1956年塔克尔(A．W．Tucker，1915—)给出一般解的存在条件．这些理论在数学 上已成为独立的学科，并由欧氏空间推广到函数空间及一般的拓扑线性空间．对于应用问题，更重 要的是实用的计算方法：在这方面苏联的数学家康托洛维奇(Л.В.Канторвич，1912—1986) 在1939年已做了先驱性工作，著有《生产组织与计划工作中的数学方法》，并因此获1976年诺贝尔 经济学奖，由于当时环境，长期未受到注意．现代实用的方法主要是丹齐格(G．B．Dantzig， 1917
—)在1947年提出的单形法，其后有一系列变形及改进，这种方法可以编成程序在计算机上运用，1977 年苏联的哈奇洋(Л.Г.Хачиян)、1983年印度的卡马卡(A．Karmarkar)作出许多改进．
当线性规划的条件有各种变化时，得出各种规划，它们的解法基础大都仍基于线性规划的研究 结果．当限定一部分为全部变元取整数值时，称为整数规划．求解整数规划，首先由戈莫瑞
(R．E．Gomory，1929—)于1959年提出来．如果目标函数或约束条件中包括非线性函数，就称为非 线性规划．在极值在边界上达到的简单条件下，库恩(H．W．Kuhn)及塔克尔早在1951年就发展了 拉格朗日乘子法予以解决，而一般情形唯一性的讨论十分困难，只有当凸函数或凸区域的情形可以 通过推广线性规划而解决，这发展成凸规划．在目标函数为正定二次函数(因而是凸函数)这种特殊 二次规划情形下，还可以得出更有效的算法，毕利(E．M．L．Beale)于1959年提出的方法可以说是 单形法的直接推广，其后还有各种各样方法的混合及改进．六十年代发展出另一种应用很广的几何 规划，其目标函数变元的幂次不一定是整数．运筹学处理另一大类随机性模型，此外还有无约束的 最优化问题．
1957年美国数学家贝尔曼(R．Bellman，1920—1984)提出另一种最优化技术——动态规划．它 把问题分为一串子问题，它与变分法及邦德里亚金极大原理有关，更适于用微分方程来表述，却应 用于离散的组合问题．它在运筹学及控制理论中都有着广泛的应用．
在第二次世界大战前就开始研究的随机模型的运筹学理论有排队论和对策论．战后还有价值 论、决策论、搜索论、模拟论等等．排队论的问题随着公用服务事业的发展而提出来，特别是售票 窗口的设置及电话线路设计等问题．最早1907年约翰森(Jo-hannsen)及1909年厄朗(A．K．Erlang)开 始研究特殊情形，至1953年肯达尔(D．G．Kendall，1918—)引进标准记号，并应用马尔科夫链理论，
正式建立了系统的排队论．基弗(J．Kiefer， 1924—1981)及沃尔弗维兹(J．Wolfowitz，1910—1981) 在1955年更建立了多窗口排队系统理论．
第五节 中国现代数学的发展
中国传统数学在宋元时期达到高峰，以后渐走下坡路．20世纪重登世界数学舞台的中国现代数 学，主要是在西方数学影响下进行的．
西方数学比较完整地传入中国，当以徐光启(1562—1633)和利玛窦(Mattao Ricci， 1552—1610) 翻译出版《几何原本》前六卷为肇始，时在1607年．清朝初年的康熙帝玄烨(1654—1722)，曾相当 重视数学，邀请西方传教士进宫讲解几何学、测量术和历法，但只是昙花一现．鸦片战争之后，中 国门户洞开，再次大规模吸收西方数学，其主要代表人物是李善兰(1811—1882)．他熟悉中国古代 算学，又善于汲取西方数学的思想．1859年，李善兰和英国教士伟烈亚力(Alexander Wylie，1815
—1887)合译美国数学家鲁米斯(Elias Loomis， 1811—1889)所著的《代微积拾级》(Elements of AnalyticalGeometry and of the Differenfial and Integral Calculus)，使微积分学思想首次在中国传播，
并影响日本．李善兰在组合数学方面很有成就．著称于世的有李善兰恒等式：
1866年，北京同文馆增设天文算学馆，聘李善兰为第一位数学教习．由于清廷政治腐败，数学
发展十分缓慢．反观日本，则是后来居上．日本在1870年代还向中国学习算学，《代微积拾级》是 当时日本所能找到的最好的微积分著作．但到1894年的甲午战争之后，中日数学实力发生逆 转． 1898年，中国向日本大量派遣留学生，其中也包括数学方面的留学生．
1911年辛亥革命之前，有三位留学国外的数学家最负盛名．第一位是冯祖荀(1880—1940)，浙 江杭县人．1904年去日本京都第一高等学校就读，然后升入京都帝国大学研修数学．回国后曾在北 京大学长期担任数学系系主任．第二位是秦汾(1887—1971)，江苏嘉定人．1907年和1909年在哈佛 大学获学士和硕士学位．回国后写过许多数学教材．担任北京大学理科学长及东南大学校长之后，
弃学从政，任过财政部次长等．郑桐荪(1887—1963)在美国康奈尔大学获学士学位(1907)，以后在创 建清华大学数学系时颇有贡献．
由于1908年美国退回部分庚子赔款，用于青年学生到美国学习．因此，中国最早的数学博士多 在美国获得．胡明复(1891—1927)于1917年以论文“具边界条件的线性微积分方程”(Lin-ear Integro-Differential Equations with BoundaryCondition)，在哈佛大学获博士学位，是中国以现代数学 研究获博士学位的第一人．他返国后办大同大学，参与《科学》杂志的编辑，很有声望，惜因溺水 早逝．1918年，姜立夫(1890—1978)亦在哈佛大学获博士学位，专长几何．他回国后办南开大学，
人才辈出，如陈省身、江泽涵、吴大任等，姜立夫是中国现代数学的先驱，曾任中央研究院数学研 究所首任所长．
本世纪20年代，中国各地的大学纷纷创办数学系．自国外留学回来的数学家担任教授，开始培 养中国自己的现代数学人才．其中比较著名的有熊庆来(1893—1969)，1913年赴法国学采矿，后改 攻数学．1921年回国后在东南大学、清华大学等校任数学教授，声誉卓著．1931年再度去法国留学，
获博士学位(1933)，以研究无穷级整函数与亚纯函数而闻名于世．
陈建功(1893—1971)和苏步青(1902一)先后毕业于日本东北帝国大学数学系．他们分别于1930 年和1931年回国，在浙江大学担任数学教授．由于锐意进取，培植青年，使浙江大学成为我国南方 最重要的数学中心．陈建功以研究三角函数论、单叶函数论及函数逼近论著称．他在1928年发表的
《关于具有绝对收敛傅里叶级数的函数类》，指出：有绝对收敛三角级数的函数的充要条件是杨 (Young)氏函数，此结果与英国数学大家哈代(G．H．Hardy)和李特尔伍德(J． E． Littlewood)同时 得到．这可以标志中国数学研究的论文已能达到国际水平．苏步青以研究射影微分几何而著称于 世．他的一系列著作《射影曲线概论》，《一般空间微分几何》、《射影曲面概论》等，在国内外 都产生相当影响，曾被称为中国的微分几何学派．1952年，他们从浙江大学转到上海复旦大学，使 复旦大学数学系成为中国现代数学的重要基地．
1930年前后，清华大学数学系居于中国数学发展的中心地位．系主任是熊庆来，郑桐荪是资深 教授．另外两位教授都在1928年毕业于美国芝加哥大学数学系，获博士学位．其中孙光远(1897—1984) 专长微分几何，他招收了中国的第一名数学硕士生(陈省身)，杨武之(1898—1975)则专长代数和数论，
以研究华林(Waring)问题著称．这时的清华，有两个杰出的青年学者，这就是来自南开大学的陈省 身和自学成才的华罗庚．陈身省于1911年生于浙江嘉兴．1926年入南开大学，1930年毕业后转到清 华，翌年成为孙光远的研究生，专习微分几何．1934年去汉堡大学，在布拉士开(W．Bla-schke)指 导下获博士学位(1936)，旋去巴黎，在嘉当(E．Cartan)处进行访问，得其精华．1937年回国后在西 南联大任教．抗日战争时期，受外尔(H．Weyl)之邀到美国普林斯顿高等研究院从事研究，以解决 高维的高斯—邦内(Gauss—Bonnet)公式，提出后来被称为“陈省身类”的重要不变量，为整体微分 几何奠定基础，其影响遍及整个数学．抗日战争结束后返国，任中央研究院数学研究所代理所长，
培植青年数学家．1949年去美国．1983年获世界5高数学奖之一的沃尔夫奖(WilfPrize)．
华罗庚(1910—1985)是传奇式的数学家．他自学成才，1929年他只是江苏金坛中学的一名职员，
却发表了《苏家驹之代数的五次方程解法不能成立之理由》，此文引起清华大学数学教授们的注意，
系主任熊庆来遂聘他到清华任数学系的文书华罗庚最初随杨武之学习数论，在华林问题上很快作出 了成果，破例被聘为教员．1936年去英国剑桥大学，接受哈代的指导．抗日战争时期，华罗庚写成
《堆垒素数论》，系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德的圆法，维诺格拉多夫(И．М．В иноградов)的三角和估计方法，以及他本人的方法．发表至今已40年，主要结果仍居世界 领先地位，仍是一部世界数学名著．战后曾去美国．1950年返回中国，担任中国科学院数学研究所 的所长．他在数论，代数，矩阵几何，多复变函数论以及普及数学上的成就，使他成为世界级的著 名数学家．他的名字在中国更是家喻户晓，成为“聪敏”、“勤奋”的同义语．
三十年代初的清华大学，汇集了许多优秀的青年学者．在数学系先后就读的有柯召(1910—)，