三維空間

在三維空間上，要擷取特徵線跟特徵方向會比二維空間還要複雜一些。由於三維空 間經由傅立葉轉換後是一個三維頻譜，所以無法很直接的擷取出頻譜的特徵線跟特徵方 向。但此頻譜中心點跟二維空間頻譜一樣，都是intensity最強烈的地方，也就是所有特 徵線的中點，但是如果想使用公式(2.4)去算出GEnergy，將會算出某θ所有slice的Energy，

如圖33。所以經由GEnergy (u，v；θ，ω)算出來的能量是某一切面，所以我們想出了一個 辦法來解決此問題。

圖 33 直接使用公式(2.4)，從 3D頻譜算出來的GEnergy

首先，圖34(a)是個有管狀結構的 ROI，而圖 34(b)是圖 34(a)經由一次傅立葉轉換後 的頻譜，我們的研究發現，若某管狀結構經由一次傅立葉轉換後，會在頻譜上有數個擁 有強烈intensity 的面，而這些面的法線方向與管狀結構的方向是平行的，且越靠近中心 位置的面會擁有越強烈的 intensity。這也就是說，在三維頻譜裡，我們要擷取的的是特 徵面(feature plane)，而不是特徵線。但是，很難在一個三維空間中，擷取出有最強烈 intensity 的特徵面，就算是以水平角度取 0-359，區間值為 1；垂直角度取 0-359，區間

值為1，這樣就需要算出 360*360=129600 個平面，比起二維空間需要多花費 720N 倍的 計算時間，若空間大小為NxN(2 維只取樣 0-179，區間值 1)。

(a)

(b)

圖 34 (a)3D ROI 裡有一管狀結構(b)經過一次 FFT 後的 3D 頻譜

於是我們再對此三維頻譜經過處理後，再做一次傅立葉轉換，也就是前前後後做了 二次傅立葉轉換，會發現這些有強烈intensity 的面會在轉換後變成一條強烈 intensity 的 線，如圖35 所示。且在中心的位置(X/2，Y/2，Z/2)會擁有最強烈的 intensity。

圖 35 經過二次 FFT 後的頻譜，其中心位置擁有最強烈 intensity

經由二次傅立葉轉換後的頻譜，雖然把擷取的難度由特徵面變成特徵線，但還不能 直接擷取出特徵線，因為要在三維上擷取需要花費龐大的計算時間。而由於頻譜有一性 質，就是頻譜經過 Shift 後，所有的 intensity 會以頻譜的中心位置有對稱性，因此我們 只要把三維頻譜由xy 平面向 z 軸投影(或 yz 平面向 x 軸投影，或 zx 平面向 y 軸投影)，

把三維頻譜投影成一個二維頻譜，如圖36。

圖 36 把 3D 頻譜投影成一 2D 頻譜

把三維頻譜投影成二維頻譜後，我們就可以使用公式(2.4)來擷取出特徵能量GEnergy

了。但擷取出的特徵線跟特徵方向並非三維頻譜的，所以要算出三維ROI的特徵線跟特 徵方向需要下面幾個步驟:

1. 將三維頻譜投影至二維頻譜。

2. 將步驟 1 投影的 2 維頻譜使用公式(2.4)算出此二維頻譜的主特徵線跟主特徵方 向和次特徵線與次特徵方向。

3. 使用步驟 2 算出來的二個特徵方向去步驟 1 的三維頻譜裡，切出相對應的二維 頻譜，如圖37 與圖 38 所示。

4. 步驟 3 將會切出二個二維頻譜，再將這二個二維頻譜使用公式(2.4)去算出特徵 線與特徵方向，找出這裡面擁有最大的GEnergy，此GEnergy將是這三維頻譜的主特 徵線與主特徵方向。

圖 37 由投影的二維頻譜去算出此頻譜的主特徵方向

圖 38 根據主特徵方向去三維頻譜切出相對應的一個二維頻譜