二維空間

假使有一張二維影像裡有管狀結構，像是血管、氣管或是神經，再經由一次傅立葉 轉換成頻譜之後。我們可以發現在頻譜上會有數條明顯的線性結構，且這數條線性結構 的方向就是管狀的方向，且因為是頻譜的關係，所以影像的中心點(若影像大小為 512x512，則中心點為(256，256))為此線的中心點。由下列影像來說明:

(a) (d)

(b) (e)

(c) (f)

圖 7 各種不同方向的管狀結構與其頻譜

圖7(a)、(b)、(c)都是有管狀結構的圖，而圖 7(d)是圖 7(a)經由傅立葉轉換而算出來 的頻譜，圖7(e)是圖 7(b)的頻譜，圖 7(f)是圖 7(c)的頻譜。觀察這 3 對影像可以發現，

只要影像裡有管狀結構的話，則在傅立葉轉換後的頻譜上，會有一條強烈intensity 的線 且其線的方向與管狀結構的方向垂直。也就是說，擷取出頻譜上的資訊，經由分析其頻 譜資訊後，則可以分析出此頻譜所對應的原影像裡是否擁有管狀結構。

現在有很多研究擷取管狀物的文獻中，通常都會遇到某一典型的困難，就是當有分 叉(bifurcation)的結構時。而我們的研究裡，若某 ROI(Region of Interest)裡有分叉的結構 時，分析其頻譜之資訊將能擷取出分叉管狀結構的方向。假使圖8(a)為一張有分叉結構 的影像，而把圖8(a)經由傅立業轉換後得到圖 8(b)，我們可以發現，在圖 8(b)裡上有二 條擁有強烈intensity 的線，而這二條線所指的方向剛剛好與圖 8(a)的分叉結構方向互相 垂直。因此，我們可以藉由分析頻譜的資訊去擷取出分叉結構的方向。

(a) (b)

圖 8 (a)為原圖，(b)為圖 a 的頻譜

( ^, ) ( ^{, ; ,} )

Energy

F u v dudv

G ^{θ ω =} ∫

^{θ ω}

公式2.4 是擷取頻譜上，以角度θ為中心，正負ω角度區域裡的能量GEnergy(θ，ω)，而 擷取此能量GEnergy的方法是以頻譜的中心點為軸心，根據取樣的角度θ與ω去算出此角度 上的頻譜能量大小。F(u，v；θ，ω)是頻譜上，以中心點為軸心，頻譜上所有的點與軸 心夾角介於θ+ω和θ-ω之間的點，如圖 9。在我們的研究中，為了擷取出最準確的主特徵 線跟特徵線方向，於是我們把取樣的角度θ值設定為 0 到 179 度，區間值為 1；ω值設定 為-5 到+5 度。而我們觀察頻譜，可以明顯的發現，特徵線都是以中心點為對稱點，所 以我們研究裡只取樣θ從 0 度到 179 度，區間值為 1。這樣就是說，在每一個角度都取樣 一次了。當然，如果想要更準確的話，可以把取樣的區間值調小(區間值小於 1)，不過 也會使得計算成本增加。

圖 9 算GEnergy時，對θ+ω與θ-ω之間的所有pixels積分

頻譜在經由公式2.4 運算後，對所有的GEnergy依角度值θ依序排好，會得到圖 10。由 這張圖可以找出數個peak點，而把這些peak做排序後，最大值的peak點所對應的角度就 是主特徵線所對應的角度。然而，再算出最大peak值後，把其角度換算成主特徵方向，

此主特徵方向就是主特徵線的方向。以此類推，若還有其他peak點，就可以去擷取次特 徵線跟次特徵方向。

圖 10 對GEnergy排序，θ從 0~179 度，區間值為 1。

而特徵方向的算式會因角度大小的不同而有不同公式。 由圖 11 可以清楚說明，假 使角度θ 小於或等於 90 度的話，就以公式(2.5)去算出所對應的特徵方向；若角度 θ 大 於90 的話，則以(2.6)去算。

圖 11 根據 θ 大小，去算出相對應的向量 粗的血管，其血液會比較多，因此intensity 會比較強烈，反應在頻譜上，則是會有比較 強烈的特徵能量。而分叉的血管因為血管比較細小且血液比較少，所以也會有強烈的特

徵能量，只是其特徵能量會比主特徵能量弱一些，如圖12。擁有最強烈特徵能量的線則

稱為主特徵線，其對應的方向稱為主特徵方向；而擁有次特徵能量的線稱為第二特徵線