本研究旨在了解學生在「三角形的全等」單元學習上的錯誤類型。不過國內 並沒有對三角形的全等單元錯誤類型的研究，但中小學的數學課程中，仍有幾何 概念或三角形相關的單元，而這些單元的知識和三角形的全等有關，因此研究者 將國內學者對於幾何或三角形相關的錯誤類型的研究結果整理如下段敘述，幫助 研究者對於瞭解學生在學習三角形的全等的錯誤類型。
吳慧真（1996）在「幾何證明探究教學之研究」中指出擷取三角形全等條件 時有兩種錯誤類型：一是不完整邊角的關係，二是所擷取的條件不成為全等條 件。另外幾何證明學習成就較低的學生，在「三角形全等」的證明表現，雖仍可 達到某種程度的能力，但他們傾向直接憶取視覺上的訊息，不能將資訊加以分析。
劉繕榜（1999）在「國中數學資優生尺規作圖表現之探討」研究中認為學 生在尺規作圖有以下四種錯誤類型：
（一）基本概念的錯誤影響解作圖題
學生在解作圖題時，利用一些錯誤的幾何概念或基本作圖知識來解 題。或許學生會利用自己的想法而解出題目所要求的圖形，但研究者認為 這樣的錯誤類型由於牽涉到概念本身，因此這樣的影響因素不只限於對作 圖本身產生不良的後果，這應該還牽涉幾何證明及解題本身。
（二）圖形會錯誤引導解題
歸納學生因為圖形而產生學生解作圖題時，而產生的錯誤共有三類：
1.草圖的錯誤引導
學生解作圖問題時，經由畫草圖的歷程去進行分析，由於自己所畫的草 圖，導致學生在分析時產生誤解，造成解作圖題時的錯誤。
2.給定圖形的錯誤引導
因圖形而產生作圖錯誤的是「給定圖形的錯誤引導」。這是由於學生在 解作圖題的過程中，利用了題幹中所給圖形中之特殊關係來作圖（姑且
不論圖形是否有這樣的關係），而造成學生在解作圖題時發生錯誤。
3.求作圖形的錯誤引導
因為圖形而發生錯誤的類型，有學生由於畫了「精準」的草圖，因而無 法想出作圖題的解法。畫草圖的用意在於學生在解作圖題時，幫助學生 分析，但由於學生畫了「精準」的草圖造成學生在解作圖題時，無法發 現已知圖形和未知圖形之間的關係，使得這樣的草圖反而妨礙了學生解 作圖題。
（三）解作圖題會受先前相關題目的影響
在解題中會聯想之前所解過的一些題目，包括解題策略、技巧等。
（四）解作圖後證明之錯誤類型
研究者分析出作圖題後的證明中表現出如下的弱點：加入未說明的條 件、推論錯誤以及證明未完成等。當研究者對該群國中數學資優生進行解 作圖後證明之錯誤類型分析時，發現學生普遍地發生三種錯誤類型，分別 是加入題目未說明的條件、循環論證及圖式證明等。
沈佩芳（2002）在「國小高年級學童的平面幾何圖形概念之探究」中發現學 生的平面幾何錯誤概念有以下幾點：
（一）三角形的錯誤概念 1.視覺辨識方面的錯誤
在辨認時會受到方位的影響，不承認底邊不是水平的三角形為三角形。
有的認為三角形一定要有直角，有的則是認為有等腰性質的才是三角 形。認為凹四邊形只要把其中的一條邊拉成直線就是三角形了，所以算 三角形。
2.組成要素的錯誤
對於三角形的內角和，有的學童知道是180度，但無法說出原因；有的 學童認為三角形的內角和是90度或360度，有的學童不知道三角形的內
角和幾度。有的會嘗試以量角器來找出答案。
（二）角的錯誤概念
1.視覺辨識方面的錯誤
認為兩條線交會的頂點處就是角，有的認為角是交會的兩條線，有的接 受兩條線是圓弧線的狀況。認為90度才是角，認為平角不是角。認為分 開的兩條線延伸後還是會併在一起，所以也算是角。
2.角的大小比較方面
認為交會的兩條線要有一條是呈水平方位，才能正確比較角的大小。認 為角度最大是360度，所以總共有360種角，而且轉了一圈以後就不是角 了，還沒到一圈才叫做角。認為角最大只有360度，超過360度就開始重 複，所以角有很多種，但不是無限多種。認為角會隨著交會那兩條線的 長短而改變角的大小。
黃文達（2003）的「青少年的測量概念學習研究」認為學生常出現角度方面 的錯誤概念角包括：
（一）僅有靜態角的觀念，對動態角缺乏認識，且不清楚角的圖形表徵與角的大 小之間的連結關係。
（二）對於直角或角的估測缺乏認識。
（三）比較角的大小時會受到角的方位、角的邊長長短、角的弧線標示的影響。
（四）利用測量工具進行角的實測時，常會發生無法正確讀出量角器上的刻度，
或不知道使用量角器的正確操作方式等。
陳創義（2004）的「九年一貫數學能力指標詮釋：國中平面圖形部分」研 究中發現學生在論證形式上常有以舉例當作證明的錯誤概念。因此發展教學活 動：「舉例（支持例與反例）與證明的關係」，希望藉此幫助學生理解「舉例」
在數學證明中所扮演的角色與功能。一方面，讓學生自舉例支持命題的過程中，
察覺某些針對「所有」而形成的命題，以現存實例或舉例的方式並不足以證明，
故有提升至形式證明的必要；另一方面，則希望學生透過舉反例反駁命題的過 程，察覺數個反例與一個反例的效果相當，都足以反駁錯誤命題，進而相信一 個反例即可反駁命題。
在紀妙貞（2005）的「基於模糊理論與試題反應理論來探討國小中高年級學 童三角形的概念發展」可發現兒童在三角形的概念發展錯誤分成兩部分：
（一）視覺辨識方面：
1.旋轉圖形
（1）許多研究都指出學童對於旋轉圖形的判別是有困難的。因為旋轉 圖形牽涉到圖形位向的概念，致使學生在判別上產生困擾，不易 判別。
2.直角三角形
（1）認為三角形一定要有直角。
（2）認為直角三角形三個角都一樣大，都是直角。
（3）學童在辨識直角三角形時，直角三角形不同的方位對學童的辨識 能力是有所影響。 是直角在上的三角形，發現學童會忽略 其直角性質，而認為它是銳角三角形。
3.等腰三角形
（1）認為有等腰性質的才是三角形。
（2）把不是等腰三角形的三角形，看成兩邊一樣長。
（3）學童在辨識等腰三角形時，學童容易受等腰三角形方位變化影響。
4.鈍角三角形
（1）三角形角度張開超過135度時角度越大，學生越容易產生錯誤。
（2） 是鈍角在下的三角形，可能是受銳角在上的影響，自動 忽略其鈍角性質，而認為鈍角三角形是銳角三角形。
5.銳角三角形
容易誤判為直角三角形。
（二）組成要素方面：
1.三角形組成要素
（1）三角形的描述，兒童都是以「有三個角」的性質描述較多。
（2）兒童大都是以「邊的性質」來描述正三角形、等腰三角形。
（3）兒童可能認為這個圖形 有兩個三角形， 所以認為這個圖形 也算是三角形。
而張蕙質（2007）在「實施數學寫作活動之行動研究對國小學童數學態度與 數學成就之影響」研究中發現，國小四年級學童對於「角度」概念，常出現幾個 錯誤：
（一）在角的大小比較上，誤以為邊長比較長、線條較粗、弧度標示比較大，角 度就比較大。
（二）畫圖形角方面，以為只能從量角器的右邊看起，也因為不會看量角器的內、
外圈數字而有錯誤，更有些學童在畫圖形角時，以為線段上的任何一點都 可以當頂點來畫角。
（三）在角的保留概念上，以為角度會因圖形方位改變而改變。
根據上述文獻，研究者將這些錯誤類型結果區分為七部份：角視覺辨識方 面、角的大小比較方面、三角形組成要素、三角形視覺辨識、旋轉圖形視覺辨識 方面、證明方法上的錯誤、作圖方法上的錯誤等，說明如表2-3-1：
表2-3-1 三角形相關錯誤類型研究整理
表2-3-1 三角形相關錯誤類型研究整理（續）
研究動機