探討三角形的全等錯誤類型之研究—以國中三年級學生為例

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國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：施淑娟博士

探討三角形的全等錯誤類型之研究

—

—以國中三年級學生為例

以國中三年級學生為例

研究生：黃昭智撰

中華民國九十九年六月

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謝

謝誌

誌

終於畢業了！看著論文的完成，心中充滿感謝。首先感謝我的指導教授－施淑娟博士，在我念碩班的期間，每當研究中遇到瓶頸，老師總是不厭其煩地指導我，釐清我在研究上的盲點，讓我在撰寫論文的過程中學會謹慎思考的能力，並且可以順利的完成論文，這一切都謝謝老師這兩年的辛苦栽培。其次最要感謝的是口試委員郭伯臣教授與黃孝雲教授，在口試時提供我許多寶貴的意見，讓我的論文可以在修改後更加的完美的呈現。感謝研究所任課教授的教導及同學在這段日子的陪伴，尤其是怡松、晏如等夥伴，一路上互相的加油和協助都讓我感到很窩心，增加了完成論文的力量！還有謝謝測統所的敏嫻及埔鹽國中的賢祈在施測過程中給予我的幫助，另外還感謝幸芸好多事因為有你的協助，讓我能很有效率地完成，遇到問題都有你會幫我解決。此外還有感謝所有參與研究的學生，有你們認真的作答與面談，才能讓所有研究內容順利進行。最後，感謝我最愛的父母親，您們給我最大的自由，並義無反顧的支持我的決定與方向，每次都在我遇到挫折時給我鼓勵以及支持，沒有他們，沒有今日的我，希望畢業的這份喜悅和榮耀可以與您們分享，感謝您們！昭智僅誌 2010 年 6 月

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摘要

在國中階段，三角形的全等是最基本且很重要的幾何概念，本研究主要探討的是國三學生在學習三角形的全等時呈現的錯誤類型並探討其錯誤原因，研究者藉由設計的「三角形的全等單元測驗」來探討學生的錯誤類型，且輔以面談的方式找出錯誤類型背後的錯誤原因。另外根據測驗資料來瞭解學生學習三角形的全等是否也有城鄉差距的存在。正式施測樣本為彰化縣的四所國中十二個班級共計 340 個學生，面談樣本則從中抽取 13 名具有代表性錯誤的受試者。研究結果發現：一、國三學生在「三角形的全等」單元有二十三種主要錯誤類型，歸納為以下四大類：定義認知方面的錯誤、混淆相似概念的錯誤、猜測或無據的推論、粗心疏忽的錯誤。二、造成這些主要錯誤類型的原因可分為下列七點：對定義及公式的概念不清、先備知識的不足、學習經驗之間的互相干擾、由題目敘述或圖形進行猜測或無據的推論、解題的細心程度不夠、計算能力不足或計算上的粗心大意、學習者缺乏信心與意願。三、不論是對整體國三學生，或分別對高分組與低分組而言，城鄉因素對學生在學習三角形的全等單元的學習成效是有差異性，且均是城市地區優於鄉村地區的學校，另外在 S-P 表學生診斷分析結果中，顯示都市地區學校的 A 型學生（學習良好，穩定性高）佔 28.6%最高，而鄉村地區學校的 C'型學生（學習極不穩定，對測驗內容未充分瞭解）佔 28.4%最多。最後根據本研究之結果加以討論，並提出若干建議，希望能提供教材編輯者編寫教材及教師往後教學時的參考。關鍵字關鍵字關鍵字關鍵字：：：：三角形的全等三角形的全等三角形的全等三角形的全等、、、、錯誤類型錯誤類型、錯誤類型錯誤類型、、錯誤原因、錯誤原因錯誤原因、錯誤原因、、城鄉差距、城鄉差距城鄉差距城鄉差距

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Abstract

In junior hight school, the congruence of triangle is the most fundamental and

important geometric concepts,and what this study mainly explore is about the types of mistakes shown while 3 grades students in middle school are learning congruence of the triangles and to explore the reasons cause mistakes, the researchers are going to explore the types of mistakes made by students through "test in the unit of congruence of triangles" which is designed by researchers, and with the ways of interviews to find out the underlying reasons behind the type of mistakes. Also, according to data of tests,we are about to understand if there is the rural-urban divide in the learning of students to congruence of triangles . Formal test sample is the total 340 students from 12 classes in four middle schools in the Changhua County, and the interview samples is to draw out 13 subjects of typical mistakes .

The results of research show:

1. 9 grades have 23 main kinds of mistakes in the "congruence of triangles" unit ,which are grouped into the following four categories:the mistakes of aspects about the definition and formula ,the mistakes to mix up those alike concepts , speculation or inference without evidences, the mistakes of negligence and careless.

2. the reasons result these major types of mistakes can be divided into the following seven points:unclear concepts about the definition and formula, the lack of prior knowledge, interference between the learning experiences,to guess or make deduction without evidence through the description or graphic of question, not carefully enough to solve the problems, the lack of computing ability or the carelessness on computing, the lack of confidence and willingness of learners.

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3. whether it is to the whole 3 grades students in middle schools, or separately to the high score group and low score group,there are differences caused by the rural-urban factors in effects of learning the congruence of triangle unit to students , and it is that the schools in urban areas are both better than the schools in rural areas, and in the consequence of diagnosis and analysis of the S-P chart to the students , it shows that A-type students (learning well and high stability) in schools in urban areas are accounted for 28.6% which is the highest, and the C-type students ( very unstable in learning, not fully understand the contents of the test) in schools in rural areas are accounted for 28.4% which is the biggest number.

Finally, we are going to discuss it according to the consequence of the research, and to make several suggestions and hope thus to provide reference for the editors of teaching materials and for teachers when they are teaching.

Keywords: congruence of triangles, error patterns ,cause mistakes,

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目

次

第一章

緒論

緒論 ………1

緒論

第一節研究動機 ……….1 第二節研究目的 ……….4 第三節待答問題 ……….4 第四節名詞解釋 ……….5 第五節研究範圍與限制….………..7 第二章第二章第二章第二章

文獻探討

………...…9

第一節數學解題歷程的相關研究………9 第二節錯誤類型與成因的相關研究………..18 第三節三角形相關錯誤類型的研究………..25

第三章

研究方法

………33

第一節研究設計與架構……….33 第二節研究對象……….34 第三節研究工具……….35 第四節研究流程……….47 第五節資料處理與分析……….45

第四章

研究結果分析與討論

………49

第一節學生在三角形的全等學習單元測驗之作答情形與統計……….49 第二節學生在三角形的全等單元之錯誤類型……….55 第三節學生在三角形的全等單元之錯誤原因……….90 第四節城市與鄉村學生在三角形的全等學習成效的差異………105

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第五章

結論與建議

………109

第一節結論………109 第二節建議………113

參考文獻

參考文獻 ………115

中文部份………115 外文部份………118

附錄

附錄一教師對學生學習三角形的全等錯誤類型之調查問卷………121 附錄二自編學生學習三角形的全等單元測驗試卷………135 附錄三半結構性面談大綱………145 附錄三面談記錄………146

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圖目次

圖 3-1-1 研究架構圖………...33 圖 3-3-1 三角形的全等單元知識結構………...35 圖 3-4-1 研究流程圖………...42 圖 3-5-1 試題診斷分析圖…..……….47 圖 3-5-2 學生診斷分析圖…..……….47 圖 4-1-1 施測試題診斷分析圖………...53 圖 4-4-1 學生診斷分析類型直方圖……….107

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表目次

表 2-1-1 Polya 之數學解題歷程表……….…11 表 2-1-2 Schoenfeld 之數學解題相關問題表……….…...12 表 2-1-3 數學解題階段……….…..17 表 2-2-1 錯誤類型之相關研究……….…..19 表 2-2-2 錯誤類型的成因之相關研究………...21 表 2-3-1 三角形相關錯誤類型研究整理………...30 表 3-2-1 研究樣本人數之分配表………...34 表 3-3-1 教師問卷學生錯誤比例情形與題目適合度得分………...37 表 3-3-2 「三角形的全等單元測驗」預試試題難度與鑑別度統計表………...39 表 3-3-3 「三角形的全等單元測驗」施測題目之雙向細目表………...40 表 3-5-1 學生錯誤情形分配分析表………...46 表 4-1-1 三角形的全等性質評量結果統計表………...49 表 4-1-2 學生作答情形分配表………...51 表 4-1-3 試題診斷分析資料………...……52 表 4-2-1 三角形的全等單元測驗題型分類……...………55 表 4-2-2 第 1 題錯誤類型分析表………...57 表 4-2-3 第 14 題錯誤類型分析表……….58 表 4-2-4 第 2 題錯誤類型分析表………...59 表 4-2-5 第 15 題錯誤類型分析表……….60 表 4-2-6 第 3 題錯誤類型分析表………...61 表 4-2-7 第 16 題錯誤類型分析表……….62 表 4-2-8 第 4 題錯誤類型分析表………...63 表 4-2-9 第 17 題錯誤類型分析表……….64 表 4-2-10 第 26 題錯誤類型分析表……….65 表 4-2-11 第 5 題錯誤類型分析表………...66

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表 4-2-12 第 18 題錯誤類型分析表……….67 表 4-2-13 第 27 題錯誤類型分析表……….68 表 4-2-14 第 6 題錯誤類型分析表………...69 表 4-2-15 第 19 題錯誤類型分析表……….70 表 4-2-16 第 28 題錯誤類型分析表……….71 表 4-2-17 第 7 題錯誤類型分析表………...72 表 4-2-18 第 20 題錯誤類型分析表……….73 表 4-2-19 第 29 題錯誤類型分析表……….74 表 4-2-20 第 10 題錯誤類型分析表……….75 表 4-2-21 第 23 題錯誤類型分析表……….76 表 4-2-22 第 32 題錯誤類型分析表……….77 表 4-2-23 第 11 題錯誤類型分析表……….78 表 4-2-24 第 8 題錯誤類型分析表………...79 表 4-2-25 第 21 題錯誤類型分析表……….80 表 4-2-26 第 9 題錯誤類型分析表………...81 表 4-2-27 第 26 題錯誤類型分析表……….82 表 4-2-28 第 12 題錯誤類型分析表……….83 表 4-2-29 第 24 題錯誤類型分析表……….84 表 4-2-30 第 13 題錯誤類型分析表……….85 表 4-2-31 第 25 題錯誤類型分析表……….86 表 4-2-32 第 30 題錯誤類型分析表……….87 表 4-2-33 第 31 題錯誤類型分析表……….88 表 4-2-34 三角形的全等單元錯誤類型………...89 表 4-4-1 學生答對題數統計表……….105 表 4-4-2 城鄉地區學生答對題數分組統計表……….106 表 4-4-3 學生類型分析表……….107

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第一章

第一章緒論

緒論

本研究是以國中「三角形的全等」單元為研究領域，根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，藉由教師問卷、學生的紙筆測驗資料與面談過程，發現學生學習三角形的全等後所犯的錯誤類型及發生錯誤類型的成因。此外，也根據學生測驗資料來瞭解學生在三角形的全等的解題表現是否會因城鄉差距的因素而有所不同。本論文共分五章：第一章為緒論，第二章為文獻探討，第三章為研究方法，第四章為研究結果分析與討論，第五章為結論與建議。本章將針對研究動機、研究目的、待答問題、名詞解釋以及研究範圍與限制逐一進行闡述。

第一節

第一節研究動機

研究動機

根據國家科學委員會（1995）所做的調查指出，小學生在中年級以前最喜歡數學，喜歡數學的原因有：感到有趣、作業少、得分易。小學畢業前，喜歡數學者超過60％；而國中開始喜歡數學者減少至45％以下；國中畢業前仍然喜歡數學者已經剩不到30％；高中畢業前則少於23％。隨著年齡增加，所學的數學知識越多、領域更廣，學生卻對數學越來越懼怕、越來越排斥（楊慕珊，2008）。另外，臺灣學生學習成就評量資料庫（2010）的研究結果顯示出，學生喜愛數學的程度與學習數學的自信心對於學生學習成就表現的提升具有顯著性的影響。因此，培養學生學習數學的興趣，引發學生學習數學的動機，學習自信與學習成就表現都能有所提升。而研究者在多年的教學過程中，發現有許多學生很努力勤奮地學習數學，卻仍得不到成就感，長期充滿挫折造成這些學生對數學學習的恐懼，進而討厭數學。也有另一類學生，當學習上遇到錯誤時，只會以記憶數學概念、背誦數學算則去改正自己的錯誤，卻不了解發生問題的原因。這一類學生常是數學概念模糊、分數高卻不具有相對數學能力的孩子，並且在教師不知情的情況下逐漸厭惡

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數學。因此，要讓學生數學能力提升，首要的任務就是要讓學生愛上數學，其核心就是教師能瞭解學生「錯誤」，在教學過程中適時予以糾正，幫助學生能糾正自己的「錯誤」。 Whitney(1985)曾提到在教學的現場，學生不能理解數學在教什麼，而教學者又誤認為是學生自己努力不夠，便要求他們不停地反覆練習、計算出正確答案，如此必將這些焦慮不安的孩子推入更大的危機。所以教師想要學生進行有意義的學習，那就必須以學童的角度來看待「學習」這件事。因此教師在學生的學習過程中，除教導學生新的知識及概念之外，更重要的是了解學生的學習狀況，適時糾正學生在學習過程中產生的錯誤，如此才能引導學生建立正確的數學概念（祝仰濤，2003）。 Schwarzenberger(1984)也表示錯誤的解答事實上和正確的解答一樣的重要，錯誤更能幫助我們了解數學概念的來龍去脈。所以錯誤是學習的重要資源，教師讓學生真正知道自己學習上的迷思，而不是因教師說那是錯的，學生就承認那是錯的。在許多探討改變學生錯誤概念的研究中皆指出，若能針對學生的錯誤概念成因，利用認知衝突，引起學生認知上的不平衡，再進行認知調整，將有助學生得到正確的概念。因此在瞭解學生錯誤概念成因之後，試圖針對學生的錯誤成因，設計可以誘發認知衝突的活動，讓學生了解原有的想法是錯誤的，或對自己原有的想法產生懷疑，再針對關鍵性的概念，調整原有的錯誤概念（李永貞，2008）。我們要強調的是，學習上少不了犯錯的過程，但只有去瞭解並糾正錯誤，才能踏上正確的學習途徑。雖然「犯錯」是有價值的存在，但如果沒有即時改正，則會讓錯誤的概念固著於學生認知中，使學生往後持續一段很長的時間犯相同的系統性錯誤，影響學習的效果。若能讓學生認識錯誤，則錯誤可以是一個新的學習機會，化危機為轉機（郭丁熒，1992）。錯誤是一個訊息，它代表學生們的想法且有助於學生去瞭解數學，學生在數學解題過程中產生錯誤時，教師應該要透過學生錯誤的解答去瞭解學生的真正內

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在想法，進而找出學生形成迷思概念的原因。並且教師必須指導學生瞭解錯誤，避免錯誤再度發生。另一方面對教師而言，瞭解錯誤能幫助其在教學上注意學生的學習困難，並且可提供教師在命題評量時的參考：針對學生常犯的錯誤概念，以偵測學生學習困難所在。因此，本研究希望藉著教師問卷、學生的紙筆測驗資料與面談過程，發現學生學習三角形的全等後所犯的錯誤類型及發生錯誤類型的成因；而結果可提供教學者在教學之前，針對學生容易發生錯誤之學習情況，擬定教學的方案，在教學之後，能幫助教學者瞭解學生的錯誤模式，作為補救教學參考，乃本研究之動機所在。此外，在全國基本學力測驗的成績分布顯示，國中生在數學及英語兩科成績出現明顯的雙峰現象，且與城鄉差距有高度正相關，亦即偏遠離島鄉村地區數學與英語科成績普遍低落，且低於都會地區，而教育部也把「國中學習弱勢學生比率偏高之學校」納入教育優先區的指標中，因此本研究根據測驗結果，瞭解城市、鄉鎮地區學生在三角形的全等單元學習情況，探討城鄉因素對三角形的全等單元之影響。

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第二節

第二節研究目的

研究目的

基於上述的研究動機，本研究的目的為：一、了解國三學生在學習「三角形的全等」單元的作答情形。二、分析國三學生在學習「三角形的全等」單元的錯誤類型。三、探討國三學生在「三角形的全等」單元錯誤類型發生的原因。四、分析城鄉地區的國三學生在學習「三角形的全等」單元上的差異。

第三節

第三節待答問題

待答問題

根據研究目的，本研究有以下幾個待答問題：一、瞭解國三學生在學習「三角形的全等」單元的作答情形為何。（一）國三學生在「三角形的全等」單元的測驗錯誤率與空白率分配情形？（二） S-P 表分析國三學生在「三角形的全等」單元的測驗試題診斷情形？二、國三學生在學習「三角形的全等」單元出現哪些錯誤類型？三、國三學生在「三角形的全等」單元錯誤類型發生的可能原因為何？四、瞭解城鄉地區國三學生在學習「三角形的全等」單元上的差異。（一）分析城鄉地區國三學生在學習「三角形的全等」單元上的答對題數是否有差異性？（二）S-P 表分析城鄉地區國三學生在「三角形的全等」單元測驗的學生類型分布情況？

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第四節

第四節名詞解釋

名詞解釋

為了方便於研究上的討論與分析，本研究所使用的專有名詞，在此予以界定，以免產生混淆。專有名詞之操作性定義或概念性的定義說明如下：

一

一、

、

、三角形的全等

三角形的全等

根據根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，在學習「三角形的全等」單元的能力指標有三個，分別是8-s-13能理解特殊三角形的性質、 8-s-14能以尺規作圖理解兩個三角形全等的意義及8-s-15能理解三角形的全等性質，其中三角形的全等性質則是指SSS、SAS、ASA、AAS及RHS全等性質。

二

二、

、

、錯誤類型

錯誤類型

在數學計算式中產生之錯誤的步驟，依據其犯錯的關鍵處，分成幾種類型稱為錯誤類型(Kathleen,1987)。而本研究所提出的錯誤類型，是研究者參考相關錯誤類型分析的文獻之外，再加上「三角形的全等單元測驗」所分析出的錯誤類型，兩者一起歸納所界定出的錯誤類型。

三

三、

、

、城鄉地區

城鄉地區

依據教育部98年度教育優先區指標分類，可以把符合下列六項指標者視為鄉村地區，不符合這六項指標者為城市地區：（一）原住民學生比率偏高之學校。（二）低收入戶、隔代教養、單（寄）親家庭、親子年齡差距過大、新移民子女之學生比率偏高之學校。（三）國中學習弱勢學生比率偏高之學校。（四）中途輟學率偏高之學校。（五）離島或偏遠交通不便之學校。（六）教師流動率及代理教師比率偏高之學校

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四

四、

、

、錯誤

錯誤

錯誤原因

原因

根據本研究所提出之錯誤類型，經由探討分析而得的原因。

五

五、

、

、半結構面談

半結構面談

在進行面談前先建立面談的計畫，進行面談時再依據面談對象的反應，延伸至其他相關的問題，使研究者可以深入瞭解面談對象的想法。

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第五節

第五節研究範圍與限制

研究範圍與限制

一

一、

、

、研究範圍

研究範圍

本研究之施測試卷為研究者依據教育部（2003）頒布九年一貫課程網要之數學能力指標（8-s-13、8-s-14、8-s-15）所編製，並且其目的在瞭解學生學習「三角形的全等」單元後，所產生的錯誤類型及分析錯誤類型形成的原因，除上述以外之其他因素則不在本研究探討範圍。

二

二、

、

、研究限制

研究限制

雖然本研究在研究過程中力求嚴謹，但仍有許多研究上的限制。因此，以本研究之過程與結果進行推論時，必須注意到以下限制：（（（（一一一一））））研究樣本的限制研究樣本的限制研究樣本的限制研究樣本的限制：：：：由於研究者受限於研究時間及研究人力，因此本研究僅以彰化縣四所國中之國三學生 12 班，共 373 名為研究對象，且限於學校原班級之教育環境與課程安排，無法進行隨機化的抽樣調查。故有樣本自我選擇的限制（self-selection），而不是由隨機選擇（random select）而來。所以外部效度（external validity）受到限制，研究結果無法做過度的概化。因此所得的結論只能推論到相同地區且條件類似的樣本而已，未必能推論到其他地區或不同條件的學生。（（（（二二二二））））解題過程不完整解題過程不完整，解題過程不完整解題過程不完整，，導致資料分析有困難，導致資料分析有困難導致資料分析有困難：導致資料分析有困難：：：雖然在施測前已經叮嚀學生每題需寫出計算過程或想法，就算無法成功解答也不要把算式或過程清除，但仍有少部分的學生未完全配合；且幾何單元學生在解題過程中，常會直接在腦中完成作答，因此思考內容與解題過程無法完全用紙筆呈現，而與學生面談時也無法完全表達出其思考解題過程，以至於增加資料分析上的難度。因此研究者只能依據學生在試卷上所遺留的解題痕跡判斷，並於事後輔以面談請學生補充說明。

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第二

第二章

章

章文獻探討

文獻探討

第一節

第一節數學解題歷程

數學解題歷程

數學解題歷程的相關研究

數學解題歷程

的相關研究

美國數學督導協會（The National Council of Supervisors Mathematic，NCSM，

1977）將數學解題界定為：「運用個人先前獲得的知識去解決一個未知或不熟悉問題之歷程。」而Lester(1980)認為「解題」是指個人面臨一種沒有現成既定的算式可以保證獲得答案的情境，而必須使用所擁有的相關訊息或知識來求取問題解決的過程。因此解題可說是在一個陌生的情境之下，利用既有的舊知識和技能，為解決問題所產生的一連串心理歷程。如果將之應用在數學解題上，便可說是：解題者在面對數學問題時，先將文字數學化，再融合並運用原有的數學知識與概念，產生並靈活運用策略及方法來求得解答的心智歷程（邱琬婷，2002）。數學家Polya(1945)曾說過：「人是解題的動物，人類生活中充滿著非立即可達成的願望，而只要不沈溺於純然的空想和白日夢中，人類的思考大半是和問題有關的…」，言下之意即表示解題歷程是生活中很重要的活動。此外，美國教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在2000年所公佈的課程標準、教師專業標準和教學評量標準，把「問題解決」列為重點之一（顏榮義，2001）。而國內教育部在2003年所公布的九年一貫數學課程綱要中，將「獨立思考與解決問題」列為十大能力之一，由此可見，今後的數學教育是以培養學生具有解題的能力為導向。故數學教師需在教學過程中教給學生有用的解題策略，並提供適當的問題引導以激發學生的思考能力，提升學生的數學解題能力。此外，教師也可藉由了解學生的解題歷程，發現導致學生答案錯誤的原因，適時給予學生回饋，讓學生明白自己的解題過程中有哪些問題，避免再犯同樣的錯誤。而歷來探討數學解題歷程和相關策略的研究甚多，茲將國內、外不同的解題策略分述如下。

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一

一、

、

、John Dewey解

解

解決問

決問題

決問

題

題的

題

的

的程序

的

程序

Dewey(1993)以邏輯分析的方法，將解決問題的程序分為五個步驟（引自吳德邦、吳順治，1989）：（一）瞭解一個問題的存在：一種困難的感覺、挫折、興奮和懷疑。（二）辨別問題：澄清問題和定義問題，包含目標的設定，以及被問題難住之情境的辨別。（三）使用先前的經驗，諸如相關的資料、原先的解答或公式假設的概念以及問題解決計畫的觀念。（四）首先嘗試看看，再持續的思考，進而提出假設或可能的解答，如果需要的話可以加以改變成其他的型式。（五）評估解答並且在解題過程中劃定出一個結論。這個動作伴隨著成功的解答，合併應用到個人的了解以及應用到其他類似的問題內。

二

二、

、

、Polya的數學解題模式

的數學解題模式

Polya(1945)在問題解決策略的研究上，強調教學生啟發的知識，其在《怎樣

解題（How to solve it）》一書中，特別強調解題之重要性，並歸納出解題過程之步驟，將數學解題歷程區分為四個步驟：瞭解問題、擬定計畫、實施計畫及回顧解答，分述如下（引自張億壽，1987）。

（一）瞭解問題（understanding the problem）：

從題目所給的訊息中，尋找未知數、已知數、條件、解題目標等重要關鍵。

（二）擬定計畫（devising a plan）：

針對問題所獲取的訊息，進行問題解決方案的規劃。

（三）執行計畫（carrying out the plan）：

根據規劃好的解題計畫，逐一採用各種可行的解題策略，進行解題的工作。

（四）回顧解答（looking back）：

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解題經驗。也因為Polya的數學解題模式，著重於解題策略的應用，因此其解題的四個步驟中，每個步驟都各包含許多的解題策略，藉著解題策略的使用協助解題者順利地完成解題，如表2-1-1所示。表2-1-1 Polya之數學解題歷程表步驟相關問題第一步瞭解問題＊未知數是什麼？條件是什麼？＊可能滿足條件的各個部份嗎？＊條件足夠決定未知數嗎？不夠嗎？矛盾嗎？＊作一個圖導入適當的計畫。＊分開條件的各個部份，你能把它們都寫下來嗎？第二步擬定計畫＊你以前見過它嗎？或者見過形式稍微不同的同樣問題嗎？＊你知道什麼相關問題嗎？有什麼可能有用的問題嗎？＊注視未知數！試想出一個有相同或相似的未知數的熟問題。＊這裡有一個相關的，以前你解過的問題，你能應用它嗎？你能應用它的結果嗎？你能應用它的方法嗎？你是否該導入些輔助原案，以便應用！＊你能改述這問題嗎？你能將它改述的更不同些嗎？＊回到定義！你若解不出這個問題，就先解個相關的問題。你能想一個更相關的問題嗎？一個更一般的問題嗎？一個更特殊的問題嗎？一個類似的問題嗎？＊你能解決問題的一部份嗎？保留一部份條件，丟開其餘部份，這樣決定的未知數會如何？＊你能從已知數得出什麼有用的東西來嗎？有沒有其他已知的東西可以用來決定未知數？＊你能改變未知數或已知數，必要時同時改變，使新未知數和新已知數能夠更加接近嗎？＊你用了所有的已知數嗎？你用了全部的條件嗎？問題中所包含的重要觀念都已考慮到了嗎？第三步執行計畫實行你所擬定的計畫，校核每一步驟。你能清楚的看出那個步驟是正確的嗎？你能證明它是正確的嗎？第四步回顧解答＊你能校核結果嗎？＊你能核校論證嗎？＊你能用不同的方法得出結果嗎？你能一眼看出來嗎？你能把這結果或方法應用到別的問題上去嗎？資料來源：怎樣解題（頁7-8），閻育蘇，1996，臺北市：九章。

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三

三、

、

、Schoenfeld的解題歷程

的解題歷程

Schoenfeld(1985)在Polya的解題步驟加入了「後設認知」和「信念系統」的概念，且認為影響解題成敗的因素包含以下四點（引自邱琬婷，2002）：（一）資源（resource）：指解題者有關解題的相關知識。（二）捷思（heuristics）：指一般的解題技巧和策略。（三）控制（control）：指解題者解題時，如何決定計畫、如何選擇目標和次目標、及如何監控與評估解題結果等。（四）信念系統（belief system）：指解題者本身對數學的觀點。 Schoenfeld認為上述四個因素是彼此重疊且有相互作用的，其中控制因素便是屬於後設認知的概念，且認為控制因素在解題歷程中屬於關鍵性的地位，所以他以控制的觀點，將Polya的解題歷程分為六個階段：讀題（Reading）、分析（Analysis）、探索（Exploration）、計畫─執行（Planning—implementation）、驗證（Verification）、轉移（Transition），並在每個階段中列出解題分析時應注意的相關問題以協助解題者解題，請參考表2-1-2。表2-1-2 Schoenfeld之數學解題相關問題表階段相關問題讀題 R1：是否注意到問題的所有條件？這些條件不明確？ R2：是否正確注意目標狀態？目標明不明確？ R3：是否對解題者現有知識與問題的關係評估？分析 A1：選擇什麼觀點？選擇的觀點明不明確？ A2：是根據問題條件採取行動嗎？ A3：是根據問題目標採取行動嗎？ A4：是否考慮條件和目標間的關聯？ A5：本階段是否連貫而完整？解題者上述的行為是否合理？是否需更進一步的給予評論或觀察？探索 E1：本階段的問題是條件導向或目標導向？ E2：所採行動是直接的嗎？是否有其目的性？ E3：有無對解題過程加以檢視？檢視行為對解題結果有何影響？ E4：本階段是否連貫而完整？解題者上述的行為是否合理？是否需更進一步的給予評論或觀察？

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表2-1-2 Schoenfeld之數學解題相關問題表（續）階段相關問題計畫─ 執行 PI1：是否有明確的計畫？與問題的目標有關嗎？ PI2：計畫和問題解決有關嗎？是否適當？是否有良好結構？ PI3：解題者是否評估計畫的相關性、適當性及結構的品質？ PI4：執行是否依計畫有結構的進行？ PI5：是否在局部或整體層次評估執行？ PI6：評估之有無對解題結果有何影響？驗證 V1：是否重新檢查解題？ V2：有無考驗解題？如何考驗？ V3：有無歷程及結果的評估？對結果的信心如何？轉移 T1：對解決當前狀態有無評估過？若放棄一種解決的途徑，是否利用其中有用的部份？ T2：如放棄先前所做的，那有無評估對解題產生局部或整體影響如何？所採取的行動是否適當而必要？ T3：是否評估採取新途徑所產生短程或長程的影響？問題目標是否能順利的進入到新的研究中？ T4：採取新途徑後有無評估其對短程或長程的影響？行動是否必要？資料來源：國民中學數學低成就與國文低成就學生數學解題歷程與錯誤類型之分析（頁 27），邱琬婷，2002，國立彰化師範大學特殊教育系碩士論文，彰化縣。

四

四、

、

、Mason的數學解題歷程

的數學解題歷程

Mason(1992)認為數學的教學應該強調數學性思考（thinking mathematically），數學性思考教學著重在教學的過程中，老師要能激發學習者根據自己的經驗，主動且有意識地思考數學問題。學習者透過不斷的猜測、質疑、挑戰、反省等行為，建構自己真正理解的數學知識。 Mason 認為數學解題的歷程主要有兩個重要的活動，即特殊化（specializing）與一般化（generalizing）。特殊化是指剛開始嘗試解題時，可以先從問題的特例著手，因為特例常常比較容易解決。而一般化是指解出最後正確的答案之後，要能將問題的類型擴充到適用於一般的問題情境（張錦文，2003）。在特殊化與一般化的架構下，Mason 將解題的歷程分成三個階段：

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（一）進入（entry）階段：解題者需要關注的重點包括已知的訊息為何？欲達成的目標為何？需要引入的訊息為何？（二）攻擊（attack）階段：主要是綜合問題的情境之後，提出問題解答的可能猜測（conjecture），然後對任何可能的猜測，進行驗證與確認的工作。（三）回顧（review）階段：主要是對解答的檢驗，以確定答案的正確性。解題成功的關鍵部份，即是進行反思的工作，反思的活動可說是培養數學性思考最重要的活動，因為它可以讓學習者對解題的關鍵，有統整的理解，有助於往後解決類似的問題；最後還需要將所獲得的問題解法，擴充到適用於一般的問題情境。

五

五、

、

、九年一貫課程綱要

九年一貫課程綱要

九年一貫課程綱要的解決問題過程

的解決問題過程

據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，「解決問題」之過程可表為一序列啟發式計畫（heuristics）的組合，至少包含五個步驟：瞭解與思考、探究與計畫、選擇策略，尋找答案，以及省思與擴展問題。問題解決的五個步驟，並不是獨立的，也不是接連依序完成的。當一個人在解決問題時，常常在這些階段或步驟徘徊，來來去去修正他的想法或計畫，有時候甚至不自覺其行動之改變。以下就這五個步驟說明。（一）「瞭解與思考」階段：必須瞭解問題，要有批判的思考。注意到問題的所有條件嗎？條件明顯或是模糊？了解目標的狀態嗎？目標是明顯或模糊？分開問題的各部分條件，能聯結寫下來嗎？問題情境能視覺具體化嗎？問題能轉化為解題者的用語嗎？是否評估解題者現有知識與問題的關係？（二）「探索與計畫」階段：解題者能分析資料，決定是否有充分資訊解題，並且去除干擾解題的因

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素。找出未知數與已知數之間的關係，如果找不到就得考慮一些輔助問題。選擇問題的條件採取行動嗎？或根據問題的目標採取行動？行動合理嗎？所採行動有方向或重點嗎？行動有目的嗎？有否監視解題行動？對解答有何影響？（三）「選擇策略」階段：一般人認為是解題時最困難的步驟。所謂「策略（strategy）」是指提供解題者一個指引，以利其發現答案。策略的選擇是根據前二個階段而來，困難的是如何去選擇一個合適的策略，或去修正所選擇的策略。下面策略常常在國民教育階段使用之：辨識型式、往後推導、猜測與檢驗、實驗或模擬、化簡或擴張問題、以及列方程式等。（四）「尋找答案」階段：即實施所擬定之計畫、校正每一個執行步驟，清楚看出每一步驟是否正確，並能證明其正確性。在執行計畫時，是否能評估計畫的相關性、適當性及結構性？是否在整體或局部層次評估執行？評估之有無對結果有影響嗎？有無利用計算器、電腦或其他科技去解題尋求答案？能否利用各種方式去解決問題？對特殊問題，有其他方法嗎？（五）「省思與擴展問題」階段：是否有校核結果？能否融合論證？能一眼看出來嗎？能把結果或方法應用到別的問題嗎？改變問題的條件狀況，可以求解嗎？有無原理及解答的評估？對解題的當前狀況有無評估？若放棄一種解題途徑，是否企圖利用其中有用的部分？有無再評估先前放棄的解題途徑？對解答產生的局部與整體影響如何？所採取行動適當而必要嗎？是否評估採取新途徑的短程及長程影響？其行動也適當必要嗎？這是一個「後設思考」階段。

六

六、

、

、洪榮平

洪榮平

洪榮平的解題歷程觀點

的解題歷程觀點

洪榮平（2007）認為國內外學者對解題歷程觀點雖有異，步驟名稱雖然有所

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不同，但可以歸納這些學者論點的共通性。因此歸納出以下解題歷程有四個步驟：了解問題、提出問題解決計劃、執行解題計畫、檢討並驗證答案。茲將此四個步驟分別敘述如下。（一）了解題意：對於所面臨的數學問題，必須從中尋找待解問題所提供的重要訊息，並能夠以文字、圖形、或符號等方式來簡化問題。解題者需要將文字語言轉譯為數學語言，而轉譯是否成功與個人的語文能力、數學知識有密切的關係。（二）擬定解題計劃：當學生了解題意後，必須回憶相關知識（如相關的概念、問題或方法）與尋找數學規則，來決定解題策略。（三）執行解題計劃：執行解題計劃，以程序性知識進行解題，解題過程中必須不斷的修正計劃、克服困難以獲得答案與結果。（四）檢討並驗證答案：檢查解題步驟或計算過程，最後必須對所得的結果進行檢視，能掌握住整個解題的過程，檢查結果是否合理。在數學解題歷程中，教師須了解在教學過程中如何教導學生，如何面對問題的挑戰，如何使用最佳的策略來解決問題，用以增進學生數學的解題能力。研究數學解題歷程也就是解決數學問題所使用的程序（張景媛，1994），因此本研究在探討學生錯誤類型的成因時，必須了解學生在數學解題的過程中，哪些環節出現差錯，導致學生產生錯誤，進而去瞭解發生問題的原因，故綜合上述學者所提出之數學解題歷程，本研究將數學解題歷程分成下列五階段：閱讀並理解問題、整合資訊及探索問題、擬定解題計畫、執行解題和檢討並驗證答案，各階段的內容參照下表2-1-3。

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表2-1-3 數學解題階段解題階段內容閱讀並理解問題 1. 注意到問題的所有已知條件。 2. 瞭解問題的解題目標。整合資訊及探索問題 1. 決定解答問題所需的資料。 2. 聯結問題的各部分條件。 3. 用圖示或畫圖來表示問題。擬定解題計畫 1. 列出解題的方程式或算式。 2. 化簡或擴張問題。執行解題 1. 基本計算。 2. 猜測與檢驗答案。檢討並驗證答案 1. 檢查答案是否合理。 2. 檢查答案是否合乎條件。 3. 利用不同的方法計算。 4. 檢視步驟過程。

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第二節

第二節錯誤類型與

錯誤類型與

錯誤類型與成因之

錯誤類型與

成因之

成因之相關研究

一

一、

、

、錯

錯

錯誤類型的定義

誤類型的定義

學者Ashlock(1986)指出分析學生錯誤類型的過程對老師及學生是有幫助的，教師藉由這種錯誤的分析知道學生常犯那些系統性的錯誤，在教學時能修正自己的教學，以避免容易使學生產生錯誤概念的教學方式；而學生有機會學習到錯誤、發現什麼原因造成錯誤，那麼在下次遇到類似的情境，他會知道如何去避免錯誤（李芳樂，1993）。表2-2-1列出國內外學者探討關於學生在解題過程中所產生的錯誤類型，研究的成果。

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表2-2-1 錯誤類型之相關研究研究者及年代錯誤類型 Marshall (1983) 將學生解題錯誤分為五種類型： 1.處理語言訊息錯誤。 2.解釋空間訊息錯誤。 3.選擇適當步驟錯誤。 4.概念連結的錯誤。 5.應用不相干的規則或訊息。而1987年，根據訊息理論又增加「不專心」這一項。 Mayer (1985) 將學生解題錯誤類型分為三種： 1.遺漏的錯誤：是對命題不能完整回憶的結果。 2.細節的錯誤：指在陳述句中，一個變數轉換成另一個變數的能力不夠所致，如：公升要改成公合。 3.轉換的錯誤：即無法將關係句的形成轉換成陳述句的形成。 Mayer指出三種錯誤中，以轉換的錯誤最嚴重，其原因是很多學生對關係的回憶，缺乏表徵關係語言知識所致。錯解辨析（九章， 1988）將學生會發生的錯誤類型分為四種： 1.由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念等產生的錯誤。 2.由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論據不足及方法不對等產生的錯誤。 3.由於忽視條件產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的適用條件；忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等產生的錯誤。 4.由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。

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表2-2-1 錯誤類型之相關研究（續）研究者及年代錯誤類型林清山、張景媛（1994）將學生解題錯誤分為四種類型： 1.問題轉譯的錯誤：學生對於關鍵詞的詞義無法充分了解，對於題目中哪些是無用的條件分辨不清。 2.問題整合的錯誤：缺乏基本的數學概念；學生無法覺知到所計算出來的答案是否合理；學生不會做假設；學生套用固定的模式而不知隨問題變化而加以改變。 3.解題計畫及監控的錯誤：學生未能理解已知條件與未知條件之間關係，以致假設與式子不符；無法針對不同的問題採取不同的解題策略；學生會受到前後題型的影響而採用不當的解題策略。 4.解題執行的錯誤：解方程式時會產生移項的錯誤；學生在使用消去法時容易產生正負號混淆情形。林士哲（2005）學生解題的錯誤有以下八種： 1.錯誤的使用運算規則。 2.先備知識的不足。 3.憑直覺或關鍵字做反應。 4.無法將文字或圖形模式轉為代數模式。 5.缺乏概念或概念不完整。 6.新知識與舊經驗做錯誤的連結與類推。 7.不清楚題目設計或文字敘述。 8.粗心或遺漏造成錯誤的結果。莊淑貞（2008）學生的錯誤情形有下列五項： 1.未熟練基本的概念。 2.未準確掌握概念的使用時機。 3.未熟練解題方法。 4.未弄清題意。 5.運算技術上的錯誤。何秉鈞（2009）學生解題的錯誤類型有七種： 1.明顯的計算錯誤：題目看錯數字或運算符號。 2.粗心的錯誤。 3.轉化的錯誤。 4.概念化的錯誤。 5.過程化的錯誤。 6.推理無依據產生的錯誤。 7.忽視條件產生的錯誤。

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二

二、

、

、錯誤類型的成因

錯誤類型的成因

學生在解決數學問題時會出現許多的錯誤類型，這些錯誤類型正是造成學生數學學習的障礙。錯誤類型的成因主要是因為在學習過程中，學生為了要以自己原有的舊基模，去解釋新概念時，可能會產生與正確的數學概念不一致的想法，因此形成迷思概念。系統性的錯誤源於不恰當的一般化，也就是由於學習者把先前所學到的知識和方法作了不恰當的推廣（鄭毓信，1998）。所以探討錯誤類型成因是非常重要，只有從學生的解題錯誤中，才能明白學生解題時的認知情形。透過分析錯誤的原因，不但可以幫助學生啟發思考，提高學習的興趣，對於學生所使用的數學概念與方法也能得到更深刻的認識。但各家在不同單元及情境下對錯誤成因並沒有共同的說法，研究者欲對於錯誤原因有詳細的認識，故將國內外學者對於錯誤成因的探討結果整理如下表 2-2-2：表2-2-2 錯誤類型的成因之相關研究研究者及年代錯誤成因 Radatz (1979) 以認知理論中的訊息—過程模式，把數學上的錯誤歸因為： 1.語言困難導致的錯誤。 2.空間訊息獲得的困難。 3.不精熟先備的技能、運算和概念。 4.不正確的觀念。 5.使用不當的規則或策略。 Head (1986) 錯誤概念的原因有七個來源： 1.與生俱來。 2.從日常生活得來。 3.從隱喻得來。 4.從類比產生。 5.來自同儕文化。 6.正式或非正式的教學。 7.從字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。

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表2-2-2 錯誤類型的成因之相關研究（續）研究者及年代錯誤成因 Kathleen (1987) 認為學生在科學表現中大部分（甚至所有）的認知錯誤都有多重的原因，其大部分共同問題有： 1.來自有關競爭的心理職務間之交互作用，這些職務是有關工作記憶和注意的認知來源之分派。 2.來自對解決問題時，不恰當的心理歷程之期望，例如想用語言策略來處理空間問題。 3.來自先前自己的信念系統與新學習信念二者間之干擾。 4.來自採取思考捷徑之傾向。 5.來自無法分辨結果或結論。 6.來自表面的學習和機械地記憶，使想要回憶或應用新知於特殊情境中都很難。 7.來自直覺知識與語意知識間的交互作用，導致認知困難、儲存和提取知識途徑間的衝突。 8.來自無法適應集中或專注於某一事務上。李欣潔（2004）學生發生錯誤原因有以下八點： 1.對定義及公式的概念不清。 2.新舊學習經驗的互相干擾。 3.代數與幾何之間之間，無法作連結。 4.忽略題目所給條件、把給定的條件特殊化。 5.受題目所給數字產生答案。 6.由題目所給數字產生答案。 7.不合邏輯的推論。 8.粗心疏忽或明顯的計算錯誤。余庭瑋（2008）研究結果發現學生錯誤的主要原因有以下九點： 1.分類及觀察能力不足。 2.無法將觀察出的規律轉化成數學語言。 3.受所學習的新經驗影響，做出錯誤推論。 4.公式的不熟練。 5.錯誤的使用公式或公式的混合誤用。 6.缺乏將待解的問題轉換成數學問題的能力。 7.計算能力不足或計算上的粗心大意。 8.不清楚題目設計或文字敘述而產生錯誤。 9.新習得的知識、概念不純熟。

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表2-2-2 錯誤類型的成因之相關研究（續）研究者及年代錯誤成因廖志偉（2010）學生解題錯誤原因有： 1.公式的不熟練。 2.缺乏將待解的問題轉換成數學問題的能力。 3.分類與觀察能力不足。 4.不清楚題目設計或文字敘述而產生錯誤。 5.計算能力不足。 6.憑直覺作答。 7.題目的抄寫或理解錯誤。 8.解題的細心度與耐心度不夠。 9.舊經驗的不足。綜合各研究學者的研究結果，發現在不同的單元中有部分相同的錯誤原因，包括：先備知識的不足、新知識的不熟練、新舊知識不當的連結或類推、計算能力的不足、無法了解題意等，但在不同單元中亦存在獨特性的錯誤類型與原因。國小數學以Piaget的認知發展來看，著重在具體操作的教學，但是國中數學卻以形式運思期的抽象思考和邏輯推理為主，在教材和教法上都有明顯的不同。學生以其熟悉的數學學習方式改變成不熟悉的思考方式，這種思考的過程當中又會引發許多的錯誤概念（張景媛，1994）。且Maurer(1984)指出學生在數學上所犯的許多錯誤是有系統的，而這些錯誤皆為非隨機的永久性錯誤，有時候會自我矯正，但有時會自動地一再發生。故在國中數學的教學過程中，教師應隨時掌握學生的學習狀況，且根據學生的先備知識及生活經驗引入適合的教學法，確保能夠表達數學概念、數學符號的意義，來以避免學生產生錯誤，正如Pines＆West(1986)所言學生的錯誤概念一旦形成之後，經常是根深蒂固，即使經過教導與糾正，仍很難改變。因此，如果其中有一種概念無法瞭解，會造成無法進行相關概念的學習，所以若有錯誤的概念必須立即進行補救，以免影響往後整個數學學習（蘇慧娟，1998）。

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所以本研究擬就國中學生在三角形的全等這個單元的概念學習及應用過程

中，分析學生的錯誤概念及運算上所使用的錯誤規則，以了解學生自行建構的錯誤概念，進一步探究發生錯誤的原因，才能對學生的錯誤做有效的更正，讓教學能達到最佳成效。

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第三節

第三節三角形相關錯誤類型的研究

三角形相關錯誤類型的研究

本研究旨在了解學生在「三角形的全等」單元學習上的錯誤類型。不過國內並沒有對三角形的全等單元錯誤類型的研究，但中小學的數學課程中，仍有幾何概念或三角形相關的單元，而這些單元的知識和三角形的全等有關，因此研究者將國內學者對於幾何或三角形相關的錯誤類型的研究結果整理如下段敘述，幫助研究者對於瞭解學生在學習三角形的全等的錯誤類型。吳慧真（1996）在「幾何證明探究教學之研究」中指出擷取三角形全等條件時有兩種錯誤類型：一是不完整邊角的關係，二是所擷取的條件不成為全等條件。另外幾何證明學習成就較低的學生，在「三角形全等」的證明表現，雖仍可達到某種程度的能力，但他們傾向直接憶取視覺上的訊息，不能將資訊加以分析。劉繕榜（1999）在「國中數學資優生尺規作圖表現之探討」研究中認為學生在尺規作圖有以下四種錯誤類型：（一）基本概念的錯誤影響解作圖題學生在解作圖題時，利用一些錯誤的幾何概念或基本作圖知識來解題。或許學生會利用自己的想法而解出題目所要求的圖形，但研究者認為這樣的錯誤類型由於牽涉到概念本身，因此這樣的影響因素不只限於對作圖本身產生不良的後果，這應該還牽涉幾何證明及解題本身。（二）圖形會錯誤引導解題歸納學生因為圖形而產生學生解作圖題時，而產生的錯誤共有三類： 1.草圖的錯誤引導學生解作圖問題時，經由畫草圖的歷程去進行分析，由於自己所畫的草圖，導致學生在分析時產生誤解，造成解作圖題時的錯誤。 2.給定圖形的錯誤引導因圖形而產生作圖錯誤的是「給定圖形的錯誤引導」。這是由於學生在解作圖題的過程中，利用了題幹中所給圖形中之特殊關係來作圖（姑且

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不論圖形是否有這樣的關係），而造成學生在解作圖題時發生錯誤。 3.求作圖形的錯誤引導因為圖形而發生錯誤的類型，有學生由於畫了「精準」的草圖，因而無法想出作圖題的解法。畫草圖的用意在於學生在解作圖題時，幫助學生分析，但由於學生畫了「精準」的草圖造成學生在解作圖題時，無法發現已知圖形和未知圖形之間的關係，使得這樣的草圖反而妨礙了學生解作圖題。（三）解作圖題會受先前相關題目的影響在解題中會聯想之前所解過的一些題目，包括解題策略、技巧等。（四）解作圖後證明之錯誤類型研究者分析出作圖題後的證明中表現出如下的弱點：加入未說明的條件、推論錯誤以及證明未完成等。當研究者對該群國中數學資優生進行解作圖後證明之錯誤類型分析時，發現學生普遍地發生三種錯誤類型，分別是加入題目未說明的條件、循環論證及圖式證明等。沈佩芳（2002）在「國小高年級學童的平面幾何圖形概念之探究」中發現學生的平面幾何錯誤概念有以下幾點：（一）三角形的錯誤概念 1.視覺辨識方面的錯誤在辨認時會受到方位的影響，不承認底邊不是水平的三角形為三角形。有的認為三角形一定要有直角，有的則是認為有等腰性質的才是三角形。認為凹四邊形只要把其中的一條邊拉成直線就是三角形了，所以算三角形。 2.組成要素的錯誤對於三角形的內角和，有的學童知道是180度，但無法說出原因；有的學童認為三角形的內角和是90度或360度，有的學童不知道三角形的內

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角和幾度。有的會嘗試以量角器來找出答案。（二）角的錯誤概念 1.視覺辨識方面的錯誤認為兩條線交會的頂點處就是角，有的認為角是交會的兩條線，有的接受兩條線是圓弧線的狀況。認為90度才是角，認為平角不是角。認為分開的兩條線延伸後還是會併在一起，所以也算是角。 2.角的大小比較方面認為交會的兩條線要有一條是呈水平方位，才能正確比較角的大小。認為角度最大是360度，所以總共有360種角，而且轉了一圈以後就不是角了，還沒到一圈才叫做角。認為角最大只有360度，超過360度就開始重複，所以角有很多種，但不是無限多種。認為角會隨著交會那兩條線的長短而改變角的大小。黃文達（2003）的「青少年的測量概念學習研究」認為學生常出現角度方面的錯誤概念角包括：（一）僅有靜態角的觀念，對動態角缺乏認識，且不清楚角的圖形表徵與角的大小之間的連結關係。（二）對於直角或角的估測缺乏認識。（三）比較角的大小時會受到角的方位、角的邊長長短、角的弧線標示的影響。（四）利用測量工具進行角的實測時，常會發生無法正確讀出量角器上的刻度，或不知道使用量角器的正確操作方式等。陳創義（2004）的「九年一貫數學能力指標詮釋：國中平面圖形部分」研究中發現學生在論證形式上常有以舉例當作證明的錯誤概念。因此發展教學活動：「舉例（支持例與反例）與證明的關係」，希望藉此幫助學生理解「舉例」在數學證明中所扮演的角色與功能。一方面，讓學生自舉例支持命題的過程中，察覺某些針對「所有」而形成的命題，以現存實例或舉例的方式並不足以證明，

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故有提升至形式證明的必要；另一方面，則希望學生透過舉反例反駁命題的過程，察覺數個反例與一個反例的效果相當，都足以反駁錯誤命題，進而相信一個反例即可反駁命題。在紀妙貞（2005）的「基於模糊理論與試題反應理論來探討國小中高年級學童三角形的概念發展」可發現兒童在三角形的概念發展錯誤分成兩部分：（一）視覺辨識方面： 1.旋轉圖形（1）許多研究都指出學童對於旋轉圖形的判別是有困難的。因為旋轉圖形牽涉到圖形位向的概念，致使學生在判別上產生困擾，不易判別。 2.直角三角形（1）認為三角形一定要有直角。（2）認為直角三角形三個角都一樣大，都是直角。（3）學童在辨識直角三角形時，直角三角形不同的方位對學童的辨識能力是有所影響。是直角在上的三角形，發現學童會忽略其直角性質，而認為它是銳角三角形。 3.等腰三角形（1）認為有等腰性質的才是三角形。（2）把不是等腰三角形的三角形，看成兩邊一樣長。（3）學童在辨識等腰三角形時，學童容易受等腰三角形方位變化影響。 4.鈍角三角形（1）三角形角度張開超過135度時角度越大，學生越容易產生錯誤。（2）是鈍角在下的三角形，可能是受銳角在上的影響，自動忽略其鈍角性質，而認為鈍角三角形是銳角三角形。 5.銳角三角形

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容易誤判為直角三角形。（二）組成要素方面： 1.三角形組成要素（1）三角形的描述，兒童都是以「有三個角」的性質描述較多。（2）兒童大都是以「邊的性質」來描述正三角形、等腰三角形。（3）兒童可能認為這個圖形有兩個三角形，所以認為這個圖形也算是三角形。而張蕙質（2007）在「實施數學寫作活動之行動研究對國小學童數學態度與數學成就之影響」研究中發現，國小四年級學童對於「角度」概念，常出現幾個錯誤：（一）在角的大小比較上，誤以為邊長比較長、線條較粗、弧度標示比較大，角度就比較大。（二）畫圖形角方面，以為只能從量角器的右邊看起，也因為不會看量角器的內、外圈數字而有錯誤，更有些學童在畫圖形角時，以為線段上的任何一點都可以當頂點來畫角。（三）在角的保留概念上，以為角度會因圖形方位改變而改變。根據上述文獻，研究者將這些錯誤類型結果區分為七部份：角視覺辨識方面、角的大小比較方面、三角形組成要素、三角形視覺辨識、旋轉圖形視覺辨識方面、證明方法上的錯誤、作圖方法上的錯誤等，說明如表2-3-1：

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表2-3-1 三角形相關錯誤類型研究整理概念錯誤類型研究者＊認為兩條線交會的頂點處就是角。＊認為 90 度才是角，認為平角不是角。＊認為分開的兩條線延伸後還是會併在一起，所以也算是角。沈佩芳＊僅有靜態角的觀念，對動態角缺乏認識，且不清楚角的圖形表徵與角的大小之間的連結關係。＊利用測量工具進行角的實測時，常會發生無法正確讀出量角器上的刻度，或不知道使用量角器的正確操作方式等。黃文達＊畫圖形角方面，以為只能從量角器的右邊看起、也因為不會看量角器的內、外圈數字而有錯誤，更有些學童在畫圖形角時，以為線段上的任何一點都可以當頂點來畫角。角視覺辨識方面＊以為角度會因圖形方位改變而改變。張蕙質＊認為交會的兩條線要有一條是呈水平方位，才能正確比較角的大小。＊認為角度最大是 360 度，所以總共有 360 種角，而且轉了一圈以後就不是角了，還沒到一圈才叫做角。＊認為角最大只有 360 度，超過 360 度就開始重複，所以角有很多種，但不是無限多種。＊認為角會隨著交會那兩條線長短而改變角的大小。沈佩芳＊比較角的大小時會受到角的方位、角的邊長長短、角的弧線標示的影響。黃文達角的大小比較方面＊在角的大小比較上，誤以為邊長比較長、線條較粗、弧度標示比較大，角度就比較大。張蕙質＊對三角形內角和，知道是 180 度，但無法說出原因。＊認為三角形的內角和是 90 度或 360 度。＊不知道三角形的內角和幾度。＊不知道三角形內角和，但會嘗試以量角器找出答案。沈佩芳＊認為這個圖形有兩個三角形，所以算三角形。＊認為銳角三角形一定要有一個直角。＊無法推理得知鈍角三角形一定有兩個銳角。＊無法推理得知直角三角形一定有兩個銳角。三角形組成要素＊無法推理等腰直角三角形其內角。紀妙貞

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表2-3-1 三角形相關錯誤類型研究整理（續）概念錯誤類型研究者＊不承認底邊不是水平的三角形為三角形。＊認為三角形一定要有直角。＊認為有等腰性質的才是三角形。＊認為凹四邊形只要把其中的一條邊拉成直線就是三角形。沈佩芳＊銳角三角形容易誤判為直角三角形。三角形視覺辨識＊認為直角三角形一定都是等腰直角三角形。紀妙貞＊在辨認時會受到方位的影響，不承認底邊不是水平的三角形為三角形。沈佩芳旋轉圖形視覺辨識方面＊因為旋轉圖形牽涉到圖形位向的概念，致使學生在判別上產生困擾，而不易判別。紀妙貞＊在論證形式上常有以舉例當作證明。陳創義＊在「三角形全等」的證明表現，仍可達到某種程度的能力，但傾向直接憶取視覺上的訊息，不能將資訊加以分析。＊擷取三角形全等條件時，有不完整邊角的關係。＊擷取三角形全等條件時，所擷取的條件不成為全等條件。吳慧真＊加入題目未說明的條件。＊循環論證。＊圖式證明。＊推論錯誤。證明方法上的錯誤＊證明未完成。劉繕榜＊基本概念的錯誤影響解作圖題。＊自己所畫的草圖，導致學生在分析時產生誤解，造成解作圖題時的錯誤。＊利用了題幹上所給圖形中之特殊關係來作圖，而造成學生在解作圖題時發生錯誤。＊學生由於畫了「精準」的草圖，因而無法想出作圖題的解法。做圖方法上的錯誤＊在解題的過程當中會聯想到之前所解過的一些題目，包括解題策略、技巧等。劉繕榜

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研究動機引發「三角形的全等」單元的錯誤類型與錯誤原因文獻探討預測教學實務推測紙筆測驗、個別面談歸納教師調查問卷發展研究設計規劃圖 3-1-1 研究架構圖

第三章

第三章研究方法

研究方法

依據相關文獻及研究目的，本章將本研究使用之研究方法與實驗設計分為六節加以詳細說明，依序為第一節研究設計與架構、第二節研究對象、第三節研究工具、第四節研究流程及第五節資料處理與分析，以下就上述分項加以說明。

第一節

第一節研究設計

研究設計

研究設計與架構

研究設計

與架構

本研究主要目的在探討國中生在學習「三角形的全等」單元時，所產生的主要錯誤類型並分析其錯誤類型形成的原因。本研究首先從文獻探討和研究者的教學經驗中推測可能發生的錯誤類型及其成因，同時發展研究設計及問卷，而為了能確實瞭解學生在學習三角形的全等單元中，所產生的錯誤類型及錯誤原因，本研究採用紙筆測驗和面談兩種方式蒐集資料。藉由紙筆測驗統計學生在三角形的全等單元的學習成果及常出現的錯誤類型，並根據錯誤類型設計半結構性面談計畫，透過面談的方式，進一步了解學生解題時採用的解題策略、產生的錯誤與遭遇的困難。最後綜合學生紙筆測驗結果及面談結果，分析學生在三角形的全等單元所發生的錯誤類型，並探討學生犯錯的原因。本研究的架構圖如下圖3-1-1：

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第二節

第二節研究對象

研究對象

本研究的對象為彰化縣的國中三年級學生，研究樣本依次為預試樣本、正式施測樣本和面談樣本。一、為了瞭解此測驗題目之可行性，研究者邀請彰化縣兩所國中之國三學生六班，共計212名學生當作預試樣本，其中有效樣本為180名學生。二、正式施測樣本為彰化縣四所國中（A、B、C、D等四校）十二個班級的國三學生，共計373名學生，其中有效樣本為340名學生。每班均為常態編班且為男女合班之班級，本研究的研究對象並非經由隨機抽樣，而是商請有意願配合的學校與班級協助。各校人數分配情形見表3-2-1：表3-2-1 研究樣本人數之分配表學校Ａ校Ｂ校Ｃ校Ｄ校合計合計合計合計參加樣本 101 99 87 86 373 有效樣本 93 92 76 79 340 有效卷％ 92.1％ 93.0％ 87.4％ 91.9％ 91.2％％％％備註：有效問卷係指至少完成作答三分之一以上的題目者。三、面談樣本係根據整理出的三角形的全等學習之錯誤類型，由於每位受試者對於每個問題犯錯的原因可能有所不同，故研究者根據錯誤類型種類，從中抽取13名具有代表性錯誤的受試者面談，來整理分析受試者解題時採用的解題策略、產生的錯誤與遭遇的困難。

探討三角形的全等錯誤類型之研究—以國中三年級學生為例

國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 碩 士 班 碩 士 論 文

指導教授：施淑娟 博士