Ashlock(1990), Brown & Burton(1978)曾在其研究中指出：分析學生錯誤 類型的過程對於老師及學生是有幫助的。教師愈瞭解學生的錯誤類型及想 法，則愈能掌握學生的數學學習問題，且更能根據問題提供有效的教學，以 減少學生的學習困擾，對學生而言，發現自己學習過程中的錯誤則可減少往 後許多錯誤的發生。每一位學生在學習數學的過程中或多或少都會產生一些 錯誤，然而從學生的觀點來看，他並不認為自己的運算過程或使用的策略是 錯誤的，此時，如果老師能使用一些技術正確診斷出學生問題所在，協助學 生察覺自己的錯誤並據之以提供有效的補救教學。那麼，就能夠化危機為轉 機，讓錯誤成為教學中最重要的助力。
要診斷學生的錯誤，首先必須掌握學生可能發生哪些錯誤。而過去關於 學生數學迷思概念及錯誤類型的研究結果正好可以提供參考的資訊。由於本 研究之診斷內容是以國小五年級的「小數」單元為例，此單元教材內容包括 二位小數的加法、二位小數的減法、小數的整數倍、小數的數線表示等四個 教學重點，因此關於學生小數錯誤類型的資料收集，本研究將聚焦在此四個
主題。以下便將與此四個主題有關之國內外研究結果整理如表 2-3-2。
表 2-3-2 本研究相關之小數錯誤類型研究結果
主題 研究者 研究發現之錯誤類型
林軍治（1986） 學童在小數加減運算時，會忘記標小數點。
周筱亭（1990） 學生將橫式的加減乘除寫成直式運算時，位值概 念容易模糊而算錯。
簡茂發、劉湘川
（1993）
不等位數的加法，易把最末位對齊相加。
艾如昀（1994） 學童在小數加減錯誤率不高，但錯誤者，以小數 點未對齊居多。
劉曼麗（1998） 中年級學童在小數加減時常犯的錯誤有：
1. 在小數點的概念上－未標小數點、未對齊小 數點。
2. 在 0 的概念上－只劃掉最末位的 0、小數點 前面的 0 省略、整數最前面的 0 多寫出來。
3. 在計算上－加法計算錯誤、減法計算錯誤、
進位錯誤、退位錯誤、抄錯數字、「＋」做
「－」算或「－」做「＋」算、將不等位數 計算以等位數計算。
4. 在應用題上：計算錯誤、不懂題意。
小 數 加 減
劉曼麗（2002） 1. 學生在做小數加減的直式計算時，會將兩數 靠右對齊計算。
2. 將小數點右邊的數當作整數來處理。
3. 被減數的位數少於減數，則學生易將減數的 數字放下來。
表 2-3-2 本研究相關之小數錯誤類型研究結果（續）
主題 研究者 研究發現之錯誤類型
郭孟儒（2002） 發現國小五年級學童有許多具有對齊最末位的 迷思概念。
江愛華（2002） 中低分群的學生在小數加減文字題的錯誤來自 運算的結果，包括
1. 當被減數末位是 0 時，便直接將減數的末位 放下來。
2. 傾向將小數點左右兩邊視為獨立的數來處 理。
小 數 加 減
Hiebert &
Wearne (1985)
學生做錯小數運算，是因為不懂計算規則背後 的原因、缺乏小數概念或選擇錯誤的計算規則。
陳永峰（1998） 六年級學生在小數乘法的普遍錯誤為放錯積的 小數點。
小數 的整
數倍 劉曼麗（2002） 有些學生在乘除法計算的主要錯誤，來自「.」
的處理。
小數 的數 線表 示
周筱亭、方美 娥、秋子虎
（1988）
在了解 1，0.1，0.01，0.001 之間的關係時，只 有 59%的學童能在尺上刻度指出指定長度。
表 2-3-2 本研究相關之小數錯誤類型研究結果（續）
主題 研究者 研究發現之錯誤類型
杜建台（1996） 中高年級學生在將小數與數線對應的過程中，較 常發生的錯誤反應如下：
1. 學生將小數點後面的數視為整數。
2. 學生會自己建構出另一種方法來尋找小數 在數線上的位置，但此方法卻是錯誤的，例 如自己重新規劃數線上的數字。
3. 不管數線分成幾等份，第一格就是 0.1 或 0.01。
4. 計數錯誤。
5. 位值概念錯誤。
根據上述文獻以及參考國小中高年級教師的意見，本研究將欲診斷的小 數單元錯誤類型與示例羅列如下：
（一）小數的加法的錯誤類型
A1.直式運算未對齊小數點，整個數採向右或向左對齊 例： 1 2.4
+1.3 5 2.5 9
A2.直式運算對齊小數點，只有小數部份採向右對齊 例： 12 . 4
+ 1. 3 5 13. 3 9
A3.進位的部分直接將相加數值寫下 例： 1 2.4
+ 1 0.8 4 1 2.12 4
A4.進位的部分忘記加 1 例： 1 2.4
+ 1 0.8 4 2 2.2 4 A5.連續進位錯誤
例： 1 2.4 9 + 1 0.8 4 1 2.133
A6.不等位數自行改成等位數來計算
例：14.67+3.5 1 4.67 or 146.7 + 0.35 ＋ 3.5 1 5.02 150.2 A7.答案位值概念不清，忘記標小數點或標錯
例： 5.305.3，5.3=530
1 2.4 1 2.4 + 1 0.3 4 or + 1 0.3 4
2 2 7 4 2. 2 7 4 A8.文字題不懂題意或使用錯誤的運算
例：美美 1 年級的身高是 1.26 公尺，後來長高了 0.15 公尺，美美現在 的身高是多少公尺？
1.26－0.15=1.11（公尺）
A9.加法計算錯誤或粗心（例如＋算成－）：
例： 1 2.4 9 + 1 0.8 4 1 3.3 2
（二）小數的減法錯誤類型
B1.直式運算未對齊小數點，整個數採向右或向左對齊 例： 1 4.8
－1.3 5 0.1 3
B2.直式運算對齊小數點，只有小數部份採向右對齊 例： 12 . 6
－ 1. 3 5 10. 7 1
B3.須退位部分直接大的數減小的數 例： 2. 0 3
－1. 3 5 1. 3 2
B4.被減數某位為 0 或小數位數比減數小數位數少時，直接將減數的數 字寫下
例： 1 2.4
－ 1 0.8 4 1.6 4 B5.退位部分未減一
例： 1 2.9
－ 1 0.8 4 2.1 6
B6.連續退位錯誤 例： 1 2.4
－ 1 0.8 4 2.5 6
B7.不等位數自行改成等位數來計算 例： 10.84-2.4 1 0.8 4
－ 0.2 4 10.6 0
B8.答案位值概念不清，忘記標小數點或標錯 例： 1 4.8
－1 3.5 0.1 3
B9.文字題不懂題意或使用錯誤的運算
例：小敏的體重原本是 52.1 公斤，後來他努力減肥瘦了 2.58 公斤，請 問他現在的體重是多少公斤？
52.1+2.58=54.68（公斤）
B10.減法計算錯誤或粗心（例如－算成＋）
例： 1 2.4
－ 1 0.8 4 1.7 6
（三）小數的整數倍錯誤類型
C1.積錯標小數點或積的小數部分涉及 0 之位值概念缺失 例：0.8×6=0.48，
0 . 70 0 . 7
C2. 在乘數為 10 的乘法中，積被乘數的 0 搞混 例：0.6×10=06.0
6 . 0
C3.被乘數中若含有數字 0，遇 0 則直接往前一位計算或停止計算 例：13.08×6=82.08
C4.相乘後未進位至下一位，直接將數值寫下 例：3.14×5=15.52
C5.計算錯誤或粗心 例：3.14×5=15.6
C6. 文字題不懂題意或使用錯誤的運算
例：有一條繩子，每 6.5 公分剪一段，剛好可剪成 8 段，這條繩子原來 長多少公分？
8－6.5=1.5（公分）
（四）小數的數線表示錯誤類型
D1.忽略或錯誤使用數線上所標示的大單位 例：
（0.01）
D2.錯認數線上的十等分小單位 例：
5.9 6 6.1 6.2 6.3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
（0.1）
D3.數線單位非分成十等分之小單位指認錯誤 例：
（2.2）
D4.計數錯誤 例：
（5.86）
2 3 4 5 6 7
5.9 6 6.1 6.2 6.3
第四節 試題反應理論
試題反應理論是一種根據數學機率模式描述學生作答反應與試題參數 以及能力參數關係的理論。為了解答題機率和能力值與試題性質的關聯，教 育測驗學家先決定出4個使用IRT的基本前提, 再根據這些強勢假設(strong assumption)，衍生出各種不同的IRT模式與電腦程式，可應用於不同的情境。
這些試題反應理論模式，若依據試題特徵曲線的呈現方式，則可將其分成「參 數型IRT」及「無參數IRT」兩大部分，其中，「參數型IRT」又可依其適用 之記分型態，區分為雙點記分(dichotomous score)模式與非雙點記分模式，以 下將分別介紹之。