三重積分的變數變換

考慮如下三變數變換







x= x(u, v, w) y= y(u, v, w) z = z(u, v, w)

或 (x, y, z) = F (u, v, w)

設立體區域 _{Ω ⊂ xyz-}空間_, 是由 _uvw-空間的立體區域 _Σ 變換得到的_. 即 _{F(Σ) = Ω.}

以類似於上節_, 但顯然更複雜的想法_, 我們可以得到如下的定理_. 定理 5.1 (三重積分的坐標變換₎ 三重積分

Z Z Z

Ω

f(x, y, z) dx dy dz 在上述變換下等於 Z Z Z

Σ

f

x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

· |J(u, v, w)| du dv dw 其中

J(u, v, w) ≡       

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

      

(u, v, w) 6= 0

註_. 證明的關鍵在於體積變化率_,相當於一平行六面體的體積_,以及行列式可表示此體積的 事實_.

例 5.3 Z Z Z

Ω

z dV , Ω 為 _{z =} px²+ y² (錐面₎ 與 _x² _{+ y}²_{+ z}² _{= 1 (}球面₎ 圍成的區 域.

說明_.

Ω在 _xy-平面的投影為 _x²_{+ y}² ₌ ¹

2,因此_,恰當安排積分順序_, 得到 Z Z Z

Ω

z dV = Z √¹

2

−^√12

Z √1 2−x²

−√1 2−x²

Z √

1−x²−y²

√x²+y²

z dz dy

dx 算一下_,就會發現又需要作麻煩的三角代換_.

由於 _Ω 中出現_x²_{+ y}² 的項_,讓我們自然聯想到 極坐標_.所以我們試試下面的變數變換







x= r cos θ y = r sin θ

z = z ^Y

X

Z

則_Ω 可改寫成 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ^√1₂, r < z <√

1 − r². 又

J(r, θ, z) =       

∂x

∂r

∂y

∂r

∂z

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂θ

∂z

∂θ

∂x

∂z

∂y

∂z

∂z

∂z

      

=       

cos θ sin θ 0

−r sin θ r cos θ 0

0 0 1

      

= r

所以 原式 ₌

Z 2π 0

Z √¹ 2

0

Z ^√_1−r²

r

z (r dz dr dθ) = 2π · Z √¹

2

0

rz² 2   

√1−r² r

 dr

= 2π Z √¹

2

0

r

2− r³

dr = 2πr² 4 −r⁴

4   

1

√2

0

= π 8

柱面坐標

上例的變數變換₍或稱坐標變換_),稱為空間的柱面坐標_.體積單位r dr dθ dz 也可以使用極 坐標一節中的想法來解釋_.

即利用坐標面

r= r₀, r₀+ ∆r θ= θ₀, θ₀+ ∆θ z = z₀, z₀+ ∆z

切割空間得到一小體積區域_. 由極坐標一節_, 我們知道底面積 _{≈ r0∆r∆θ,} 所以整個體積

≈ r⁰∆r∆θ∆z. ^{θ = θ}

z = z r = r

θ = θ + ∆θ

0

0 0

0

0 0

r = r + r∆ z = z + z∆

球面坐標

另外一個常用的空間 「極坐標」_,稱為球面坐標_. 回顧平面極坐標_, 是將 ^R2 想成是由一連串的 同心圓_{(r = r0)}的聯集_,而 θ 則是這些同心圓 上的自然 「刻度」_. 球面坐標則是將 ^R3 想成是 一連串的同心球 _{(ρ = ρ0)}的聯集_, 然後再在每 一個球上採取常見的經緯度坐標 _{(θ, φ).}

φ ρ

θ ρ φ X

Y Z

sin P

如上圖_, 固定空間中一點 _P, 首先我們丈量它與原點的距離 _ρ, 然後度量 _OP 與 _z-軸正向 的夾角 φ (由 _z-軸起算_, 這相當於緯度_), 然後再求 OP 在 _xy-平面上投影線段_, 與 _x-軸正 向的夾角 θ (由_x-軸沿逆時鐘方向旋轉_, 這相當於經度). [ρ, φ, θ] 構成了點 P 的球面坐標_.

故球面坐標與直角坐標的轉換式為

x= ρ sin φ cos θ, y= ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ 若計算此變數變換的 _Jacobian函數_,得 _{J(ρ, φ, θ)}等於

      

∂x

∂ρ

∂y

∂ρ

∂z

∂ρ

∂x

∂φ

∂y

∂φ

∂z

∂φ

∂x

∂θ

∂y

∂θ

∂z

∂θ

      

=       

sin φ cos θ sin φ sin θ cos φ ρcos φ cos θ ρcos φ sin θ −ρ sin φ

−ρ sin φ sin θ ρ sin φ cos θ 0       

= ρ²sin φ

因此在做三重積分球面坐標的變數變換時_{, dx dy dz} 項要變成 _ρ²sin φ dρ dφ dθ.

例 5.4 (續上例_{) Ω: z =}px²+ y² 與 x²+ y²+ z² = 1 圍成之區域. 說明_.

z = px²+ y² 相當於 _ρcos φ = ρ sin φ, 即 _{φ =} ^π

4. 也就是說錐面 _{z =} px²+ y² 是球面坐標中 _{φ =} ^π

4 的坐標面_. 另外 _x² _{+ y}² _{+ z}² _{= 1} 相當於 ρ= 1, 所以 _Ω 寫成球面坐標相當於

0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π

4, 0 ≤ ρ ≤ 1 所以

原式 ₌ Z 2π

0

Z ^π₄

0

Z 1 0

(ρ cos φ) (ρ²sin φ) dρ dφ dθ

= Z 2π 0

dθ

·Z ^π₄

0

sin 2φ 2 dφ

·Z 1 0

ρ³ dρ

= 2π ·

− cos 2φ 4

  

π 4

0

· ρ⁴ 4   

1

0 = 2π · 1 4 ×1

4 = π 8

例 5.5 Z Z Z

Ω

e^xy+ ln y − ln x dV , Ω: 1 ≤ xy ≤ 2, ^x₂ ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 1, x ≥ 0, y≥ 0.

說明_.

用直角坐標太複雜了_, 仔細觀察被積函數與定義 _Ω的函數_, 我們可以猜測_:







u= xy v = ^y_x w= z

這相當於







x=p_u

v

y=√uv z = w 則 _Ω可以重新寫成: 1 ≤ u ≤ 2, ¹₂ ≤ v ≤ 2, 0 ≤ w ≤ 1.

又

J(u, v, w) =       

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

      

= 1

2v >0 (因為 ¹

2 ≤ v ≤ 2)

原式 ₌ Z 1

0

Z 2

1 2

Z 2 1

(e^u + ln v) 1

2v du dv dw

= Z 1 0

dw

· Z 2

1 2

e^u

2v + ln v 2v u

 

2

1 dv

= 1 · e²− e 2

Z 2

1 2

1 v dv+

Z 2

1 2

ln v 2v dv

!

= e² − e 2 ln v

 

2

1 2

+1

4(ln v)²  

2

1 2

= e² − e

2 · 2 ln 2 + 0 = e(e − 1) · ln 2

例 5.6 求下面六平面所圍成之平行六面體 _Ω 的體積:







x+ y + z = 0, x+ y + z = 1, x− y = −1, x− y = 2, x+ y − z = 1, x+ y − z = 3.

說明_.

由題意欲求 ^RRR

Ω1 dV , 利用變數變換

u= x + y + z, v = x − y, w = x + y − z 解三元一次方程組得







x = ¹₄(u + 2v + w) y = ¹₄(u − 2v + w) x = ¹₂(u − w)

所以原區域 _Ω相當於 0 ≤ u ≤ 1, −1 ≤ v ≤ 2, 1 ≤ w ≤ 3,且 J(u, v, w) =

      

1

4 1

2 1

4 1

4 −¹₂ ¹₄

1

2 0 −¹₂       

= 4 · 1 16 = 1

4 所以由三變數變換得

Z Z Z

Ω

1 dV = Z 1

0

Z 2

−1

Z 3 1 1 ·1

4 dw dv du = 1

4· 1 · 3 · 2 = 3 2

5.7 ^





習題求下面六平面所圍成之平行六面體 _Ω的體積:







a₁x+ b1y+ c1z = d11, a₁x+ b1y+ c1z = d12, d₁₂> d₁₁ a₂x+ b2y+ c2z = d21 a₂x+ b2y+ c2z = d22, d₂₂> d₂₁ a₃x+ b3y+ c3z = d31, a₃x+ b3y+ c3z = d32, d₃₂> d₃₁ 其中

      

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

      

6= 0

關於 _{n ≥ 4}的情形的幾句話

原則上_{, n} 重積分的定義與二_, 三重積分並無兩樣_, 只是因為在 ^Rn 中的區域 _Ω, 我們的凡 夫肉眼實在看不到_, 所以覺得格外抽象_. 但是讀者還是應該可以揣測出 n 重積分的 _Fubini 定理_. 另外多重積分的變數變換也與二、 三重積分時類似_, 只是 _Jacobian 中的行列式換成 一個 n 階的行列式_.

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

5.8 ^





習題求半徑 R, 展角 α 的扇形, 對其一邊旋轉後之 旋轉體體積 ₍右圖_).

(Ans. ^2π₃ (1 − cos α)R³) 5.9 ^





習題設_{Ω = x}²_{+ y}²_{+ z}² _{≤ r}² ₍即半徑為r 的實心 球_),請利用球面坐標 證明球體積 ₌ ⁴

3πr³. 5.10 ^





習題求橢球 ^x

2

a² + y² b² +z²

c² = 1 的體積. 5.11 ^





習題計算 ^RRR

Ωx²y² dV , Ω: ^x_a²² + ^y_b²² + ^z_c²² ≤ 1.

α

X

Y Z

5.12 ^





習題計算 ^RRR

Ω(x²− y²)^{ln z}_z dV ,其中 Ω: y = x − 1, y = x + 2, y = −x, y = −x + 1, z = 1, z = 2圍成之體積.

5.13 ^





習題計算下面之三重積分, 設_Ω: ^x_a2² +^y_b²² +^z_c²² ≤ 1 Z Z Z

Ω

x²+ y² dV ,

Z Z Z

Ω

y²+ z² dV ,

Z Z Z

Ω

z²+ x² dV 註_. 這稱為橢球對 _{x, y, z} 三軸的轉動慣量_.

6 應用 : 重心

在文檔中 六 多變數函數的積分 (頁 32-37)