本章的工作是仿照傳統的像差分析方式來分析楔形板的像差。傳統的像差 討論大多著重在三階像差，因為一般來說，三階像差在全部像差所佔的比重是最 重的，而且三階像差各項之間所蘊含的意義非常深遠，對於成像上的影響亦可分 門別類來討論。傳統來說，各項像差可以依其形式分為球差、彗差、像散、場曲 以及畸變，而在這章的討論之中，我們也可以看到楔形板的三階像差仍依稀具有 以上各種不同像差的特性。另一方面，因為楔形板的相對於一般像差分析所討論 的軸對稱系統而言是屬於非軸對稱系統，因此像差的各階展開仍保有偶次階，所 以在這章的討論中除了三階像差的特性探討之外，對於較低階的二階像差也必須 加以考慮。
3.1 楔形板之像差計算
參考圖 3-1，一般像差的分析上，都是考慮由物的某個位置高度（object point）發出光線，通過光學系統的入射瞳孔（entrance pupil）之後，到達像 平面上的真實落點，將此真實落點位置與理想成像位置的差值相減就可以算出像 差。在這裡我們把孔陘阻闌（aperture stop）放在楔形板之前，此時孔徑阻闌 相當於入射瞳孔。
如圖 3-2 所示，如果知道光線是由物體上什麼高度（場點）fp×h 發出，經 過多少長度 d 之後到達入射瞳孔上ρ的位置，那麼就可以算出光線進入楔形板的 角度。由進入楔形板的角度，我們也可以算出這條光線落於螢幕上的位置為何，
再與理想成像位置相比，就可以定出之間的誤差偏移量，即為像差。
【圖 3-2】光線的入射楔形板的角度與場點，入射瞳孔的關係
因為在像差的分析上ρ值的變化涵蓋整個楔形板的進光面，因此對應的θ變 化也很大，而我們先前推導出來的螢幕上落點 x 對入射角度θ的關係式都是基於 光線進入楔形板之後會先打到螢幕面做為假設（圖 3-3（a）），並不適用於光線 先打到螢幕背面（圖 3-3（b））的情況，這是必須加以注意的。
【圖 3-3】光線入射楔形板後可能的兩種情況
雖然圖 3-3（b）的情況沒辦法直接用公式（2-9）來描述，但是我們仍然可 點（field point）fp 分別取 0.0、0.7 及 1.0。圖 3-5（b）是利用光學模擬軟 體 TracePro 模擬出來的結果取點作圖，可以注意到模擬的結果和計算的數值結 果很相近。圖中曲線的趨勢轉折點是圖 3-3 的兩種情況的交界處，而曲線在某些
（a）
（b）
【圖 3-5】像差對入射瞳孔的變化作圖（場點 0.0，0.7，1.0），
（a）計算結果作圖，（b）TracePro 模擬數據作圖
3.2 非軸對稱系統的像差分析
在上一個章節討論的像差都是針對場點大於零的部分進行，但是必須要注 意到的是，楔形板並不像一般的透鏡是屬於軸（光軸）對稱系統，而是對子午面 對稱的面對稱系統。因此，為了對楔形板的像差做完整的分析，我們有必要對場 點小於零的部分進行討論，來看看是否在場點為負的情況下，其像差曲線的特性 仍與場點為正的情況維持一樣的趨勢。利用推導出來的數學模型，將像差對入射 瞳孔的變化作圖，場點（field point）fp 分別取 0.0、-0.7 及-1.0。
（a）
【圖 3-6】像差對入射瞳孔的變化作圖（場點 0.0，-0.7，-1.0），
（a）計算結果作圖，（b）TracePro 模擬數據作圖
將圖 3-6 與圖 3-5 做比較，可以發現場點的正與負對像差所造成的影響是 使得像差曲線平移了，曲線的轉折點以及暗帶的位置也改變了，但是曲線的整體 趨勢仍大致相同，因此接下來的討論，在具有客觀的前提下，仍是著重在場點 0.0，0.7，1.0 上。
3.3 楔形板中的暗帶（dark zone）
在 Travis 2002 年的 IDW 論文中曾提到暗帶的現象[5]，但是他沒有進一步 計算暗帶位置，因此我們將在這個章節做更深入的研究。
由公式 2-9 可以知道某個入射的角度θ都對應著一個出射的位置 x，這是無 庸置疑的。但是反過來想想，是否螢幕上每個位置都能找到一個對應的入射角度 θ，答案則是否定的，至於原因詳述如下。
參考圖 3-7，這是一個楔形板及它的翻摺等效示意圖，不同的入射角度θ對 應到不同的全反射次數，因此會從不同的等效翻摺面出射，為了方便了解在螢幕 面出射的位置，虛線是從楔形板的頂角作同心的輔助圓。若改變光線進入楔形板 的角度，則從螢幕上出射的位置也隨之改變，連續的角度變化將使得出射的位置 也連續變化。圖中的黃色亮線就是代表具有同樣多次全反射次數的光線之落點位 置分佈，因為具有同樣多次的全反射次數，所以出射位置落點是連續變化的。在 圖中的楔形板為了避免光的能量由螢幕的背面損失，因此我們將螢幕的背面鍍上 一層反射物質，強迫要由另一面散逸的光線反射回螢幕面再出射，所以將楔形板 做翻折等效時，每回都是翻折兩次。
【圖 3-7】亮帶暗帶的示意圖
由圖 3-7 可以明顯看出，當光線自楔形板螢幕出射的角度愈來愈大，到達 了臨界角之後將會在楔形板內多做一次全反射再由螢幕面出射，因此出射的等效 翻折面是不同一個。此時可以由虛線的同心圓輔助線看出，出射的位置和先前出 射的位置並不是緊緊相連的，意即螢幕上的影像在此會有些許的斷離。而分離的 間隔大小和楔形板的規格以及入射的角度息息相關，其所造成的影響為螢幕上顯 現出來的影像會有一環一環的暗帶，而對成像品質造成影響。
因為影像的不連續位置發生在臨界角處，因此我們可以假設某條光線在楔 形板內全反射 2m 次之後，是以略小但接近於臨界角θc 的角度在螢幕上 x 的位 置出射。而另一條角度相近的光線在楔形板內全反射 2m 次之後假設和法線的夾 角略大於臨界角θc，因此必須再多全反射一次，總計反射 2（m+1）次後以θc-2 θv 出射。為了分析上簡單起見，假設光源為一點光源，利用θ =90o−θc−2mθv
)
如果使用 14 吋的壓克力樣本板作為模擬測試，L=17.43、n=1.49309，則用 上面討論的關係式可以計算出暗帶的位置，計算結果如表 3-1 所列，另外，我們 也用 TrocePro 來模擬，與計算的結果互相印證。其中要注意的是為了與 TracePro 的模擬結果對照，表 3-1 中，我們取暗帶位置為（L− ）及（x ）。模擬的
（a）
（a）模擬的配置圖（b）從螢幕上方觀察到的發光情況（Irradiance Map）
【圖 3-9】前三階像差對ρ作圖
其中 及 對應到傳統像差中的球差， 對應到彗差， 對應 到像散， 、 對應到畸變，另外
2 4
ρ
a a8ρ3 a7ρ2h a9ρh2
3 6h
a a3h2 a5
ρ
h因為是屬於二階的像差，而且形式比 較難歸類到一般的像差，所以是屬於一種比較特殊的像差。接著，我們可以將前三階的像差相加，比較前三階像差與全部像差的不同
（a）
（b）
【圖 3-10】前三階像差與全部像差的比較
（a）前三階像差總和（b）全部的像差總和
由圖 3-10 中可以比較出前三階像差與全部的像差相比，趨勢不太相同，對 照圖 3-9，發現這主要是因為 項所造成。這種現象在真實情況並非不可能發 生，因為我們在這邊的分析省略了三階以上的高階項，所以造成了與全部的像差 總和不一致。若是把與 所對應的高次項考慮進來，則會與 互相配對而相 消，使得像差的曲線愈來愈符合考慮了所有像差的總和。
h a1
h
a1 a1h
當然，這是在這種規格下的個別分析，並非在所有的情況下a1h項都會這麼
大。事實上，每一項的像差完全取決於系統的規格，當規格改變，像差的量可能 就相差十萬八千里了。舉個例子來說，若設計一個 50 吋的楔形板顯示器，螢幕 大小比上楔形板厚度為 10:1，材料採用 BK7。則可以仿照先前的手法，把像差計 算出來，也可以只取其前三階的像差來分析。分析的結果繪圖如下
（a）
（b）
【圖 3-11】螢幕大小：厚度為 10:1 的 50 吋面板之像差，
（a）整體像差（b）前三階像差總和
由圖 3-11 中可以看出來，前三階像差總和所有像差總和趨勢大致相同，因
3.5 像差大小與系統參數的關係
由像差的表示式（3.1）可以知道像差的大小除了與光線行進的路線有關之 外，還與系統的參數有關。所謂的系統參數就是楔形板的規格，一般來說，就是 楔形板的傾斜面夾角θV與楔形板的材質折射率
n
。接下來將對這兩個參數做圖分 析（1） 折射率
n
由於在 14 吋樣板的材質是採用壓克力（n=1.49309，546.1nm），所以我將 分析的範圍定在 1.45~1.55，分析的方式是對通過入射瞳孔的光線作圖分 析，因為楔形板並不是一個軸對稱系統，因此場點選擇-1.0，-0.7，0.0，
0.7，1.0
1.46 1.48 1.52 1.54 refraction index 4.4
4.6
total aberration
（a）
1.46 1.48 1.52 1.54 refraction index 4.1
4.2 4.3
total aberration
（b）
1.46 1.48 1.52 1.54 refraction index 2.5
3 3.5 4
total aberration
（c）
1.46 1.48 1.52 1.54 refraction index - 1.65
- 1.55 - 1.45
total aberration
（d）
1.46 1.48 1.52 1.54 refraction index - 3.4
- 3.2
total aberration
（e）
【圖 3-12】像差對折射率的作圖，場點分別為
（a）-1.0，（b）-0.7，（c）0.0，（d）0.7，（e）1.0
（2） 楔形板頂角θV
在 14 吋樣本板，螢幕大小比上厚度 20：1 的設計中，頂角大約是 2.3
°，因此我們頂角的分析範圍取在 1°~6°，分析的方式是對通過入射瞳孔的 光線作圖分析，因為楔形板並不是一個軸對稱系統，因此場點選擇-1.0，
-0.7，0.0，0.7，1.0
（a）
（b）
（c）
（e）
【圖 3-13】像差對楔形板頂角的作圖，場點分別為
（a）-1.0，（b）-0.7，（c）0.0，（d）0.7，（e）1.0
由圖 3-12、3-13 中可以看出來，似乎在討論的變動範圍之內都很難把 像差給壓到足夠低的狀態，但這並不表示這一系列的分析無法有效的控制 像差。因為在這裡的分析我們都是假設光線通過入射瞳孔的中心（ρ=0）， 因此只要場點一選定，追跡的這一條光線入射楔形板的角度也就確定了。
但是這個入射的角度與理想的入射角度相差可能很大，因而造成的像差也 會很大，這時候只靠改變系統的設計參數（折射率n，楔形板頂角θV）要把 像差給壓低就顯得心有餘而力不足。除非是一開始的設計就很不錯，像差 也在允許的範圍之內，這時候再來變動某些參數，那麼才有比較大的機會 可以把像差給消除（壓到夠低）。
舉個例子來說，如果選定的場點跟通過入射瞳孔的位置配合得夠好，
舉個例子來說，如果選定的場點跟通過入射瞳孔的位置配合得夠好，