理論推導

在本章中主要是利用光束覓跡的技巧來分析光束線在楔形板中行進的軌 跡，進而了解楔形板對於成像品質有何影響，並尋求改善的方法。

楔形板在背投顯示器系統中的主要作用是摺疊光程，將原本比較長的投影 光程利用楔形板中的全反射，反覆地摺疊起來，以達到超薄背投的目的。因為光 線在楔形板中的行進主要是利用全反射，因此最後出射的光線落點位置和進入楔 形板中的光線之位置及角度有很密切的關係。而推導出其中的關係式正是本章的 主要工作。

2.1 前人工作

這一個章節的工作主要是整理前人已做過的工作，主要參考的文獻是 Travis 2003 年 SID 所發表的一篇論文[3]。

如圖 2-1 所示光線從楔形板較厚的一端進入，每經過一次全反射，光線與 反射面的法線夾角就會逐漸遞減，直到最後不符合全反射的條件而出射。因此若 能控制光線進入楔形板的角度，也就等於控制了光線到達螢幕的位置。

X

Y Z

【圖 2-1】光線利用在楔形板中的全反射來摺疊光程之示意圖

至於分析的方式，可以利用幾何光學中常用的光路翻摺等效法來降低分析 的難度。為了簡單起見，考慮光線在楔形板的對稱面（子午面）上行進的情況，

如圖 2-2 所示，當光線在楔形板中每遭遇一次全反射時，就將整個楔形板沿著反 射面做一次翻摺，如此一來，原本反射的光線可以利用一條等效的直進光線來代 表。

【圖 2-2】楔形板之翻摺等效

光線由楔形板的一端進入，經過若干次的全反射之後，會從楔形板中做為 螢幕的一面出射，根據幾何光學的翻摺技巧，如圖 2-3 所示，可以得出以下的關 係式

L x

θ

θ

sin ⋅

=

(2.1)

【圖 2-3】光線出射落點位置與入射角度關係

其中θ為光線進入楔形板的入射角，x 為楔形板頂點到出射位置的距離，L 為楔形板的總長度，θc 為臨界角。

參考圖 2-4，由於在一般的使用上，進入楔形板的影像資料(物)尺寸比進入 楔形板的入射面尺寸小，所以必須經由光學系統將影像放大後投射在螢幕上。假 設影像資訊貼在楔形板的入射面一角進入，則 Z 軸方向上的影像位置可以由影像 資料（物）上每個像點的入射角度所控制，因此影像在 Z 軸方向上的放大率可以 很容易地依需求改變。但在 X 方向上，影像的放大由影像資料（物）一開始橫向 的發散角決定，因此楔形板勢必要保留一段區域做為影像在橫向上（在 X 軸上）

放大之用。

【圖 2-4】楔形板螢幕外保留區域是為了做為影像横向放大之用

2.2 前人工作的延伸－楔形板上非子午面討論

Travis 的工作是推導出光線在子午面上行進時的簡易模型，然而事實上絶 大部分的光線所在的平面是位於非子午面，因此討論光線在非子午面上的特性是 有其必要的。因為先前所建立的子午面模型形式簡潔，因此接下來希望可以找出

相似形式的數學模型。

) cos (tan tan

'= ⁻¹ _v ∆

v θ

θ

(2.5)

2.3 影像資訊（物）為無限小時，出射位置與入射角度關係式推導

由楔形板的入射角度與出射位置的關係式（2.1），可以知道控制入射的角 度可以決定光線會從螢幕的何處出射。假設進入楔形板的影像與楔形板尺寸相比 很小，可視為點光源，則螢幕上不同列位置所對應的入射角度可以被估算出來。

如圖 2-6（a）所示，假設影像光源置於楔形板入口的中央下方處，由此點光源 發出的光線將一一投射到螢幕上對應的位置上。螢幕上位於同一列上的不同點在 計算時為具有一樣的L¹值。分析上，楔形板的非子午切面若為梯形，則將此梯形 的兩個側邊做延長至交會於一點，形成非子午面所對應的三角形，需要注意的是 不同的非子午面有其各別對應的三角形。其中，L²代表該三角形的底邊長度，而 楔形板的厚度在此定為螢幕尺寸的二十分之一。

【圖 2-6】光源無限小時的入射角度估算

∆ length j

行數 行數

h

由圖 2-8 可以了解，若在楔形板中第一次全反射的反射角是θ＇，則接下 來每經過一次全反射，反射角會因為楔形板的上下兩面的法線不平行而減 少，減少的量為楔形板的頂角θv。

【圖 2-8】光線在楔形板內反射示意圖，每反射一次，

光線和楔形板的法線夾角就減少

θ

假設光線在楔形板中經過了 2m 次的反射（取偶數次反射是因為我們希望 光線總是在螢幕面出射，因此螢幕的另一面我們可以鍍上反射面），則最後出 射的角度θo 與θ的關係就可以很明確的表示出來：

V V

O θ m θ θ m θ

θ = '−2 ⋅ =90^o− −2 ⋅

為了方便計算出光線反射的次數 2m，我們引入某條全反射次數相同，但 是是以θ^ref角度入射，臨界角出射的參考光線，如圖 2-9 所示。

【圖 2-9】在楔形板內反射次數一樣但入射角度不同的光線，

Ceiling C

m

θ

L

會變得比較小，再取Ceiling函數即可修正

2 ]

Ceiling L

m

θ

x _V

接下來考慮影像光源的尺寸大小，即光源發出的位置會對最後的成像位置 sin cos

⋅

( ) ( ) ( ) ( )

b

（h=0），L=17.43 吋，θ分別為 5°、10°、15°、20°，Δθ由-2°變化到 2°，利

落點位置對入射角度的變化是很敏感的。

【圖 2-12】出射落點位置偏差對入射角度變化做圖

2.6 小結

在這一章中我們回顧了前人的工作，並且根據前人的工作做延伸。首先是 討論在非子午面上的光線如何行進，並導出點光源、非子午面的情況下，光線出 射位置所對應的入射角。另外，我們也把點光源拓展到非點光源的影像輸入時的 情形，並且建立相關的數學模型。最後我們討論光線在螢幕上落點位置對應入射 角度的敏感度分析。