第三階段三角函數圖形操弄單元之複習追蹤

本研究第三階段為原來研究樣本學生生上三年級的時期，因為學生即將面 臨學科能力升學測驗，需要複習先前一、二年級所上過的各單元（包含三角函 數），在加上也即將進入新的有關利用三角函數圖形的銜接學習單元，三角函數 的不等式，於是再一次地引起研究者研究的新循環，希望能幫助學生複習和學習 新單元。

在參考了第一階段以及第二階段的研究結果和經驗，比對了學生在 93 學 年度下學期期考有關繪圖試題的表現，一樣任教三年級的同儕教師也認為有用電 腦輔助過圖形教學的學生表現明顯較好。對學生的學習有明顯幫助。但是如果要 規劃足夠的時間來以電腦讓學生操作輔助進行教學，在考慮時間上、硬體設備上 不足的因素狀況，研究者著手計劃展示性的教學。

為了先了解學生對三角函數圖形的操弄概念，研究者先行設計了一份試題 工具【附錄七】，希望看看學生對於三角函數圖形的相關操弄概念。由於研究者 帶上來的三年級班級不同於原來在一年級的原班級學生，當中只有 8 位原班級學 生，其中 5 位是曾有參加電腦輔助補救教學的，其餘 3 位是沒參加電腦輔助補救 教學的學生。其餘學生完全沒有接觸過電腦輔助補救教學。研究者除了將於下表

【表 4-4-1】把所有學生的錯誤答案羅列出來，並將把這原班級 8 位學生中有參 加電腦輔助補救教學的 5 位學生以代號 C1 組表示；而原班級這 8 位中沒有參加 後續電腦輔助補救教學的 3 位學生以代號 C2 組表示；其餘以 B 組(23 人)表示。

表格中一並比較一下 C1、C2、B 三組學生的答題狀況，提供教學上參考的資訊。

【表 4-4-1】第三階段前測學生答題一覽表

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

測驗結果經整理及後有以下發現：

一、初步以總答對率來看，全班僅有 39.25%。週期操弄的試題全班僅 19.35%答對；振幅操弄僅有 12.90%答對；水平平移有 80.65%的答對 率；鉛直平移操弄有 22.58%的答對率。以總分 6 題分來看，C1 組的 學生答對百分比為 53.33%，而其餘 C2 組為 33.33%，B 組為 36.96%，

C1 組保留情形較好。

二、對於振幅第(五(一)題)的操弄，原來在一年及接受過補救教學的學生 (以下簡稱 C1 組)答對的比率(20%)稍微較其他組學生(C2 組 0%，B 組 13.04%)為高。對於週期的操弄(第三題)，C1 組學生在給定週期控制 係數再預測和水平直線的交點數的答對率(80%)明顯較其他組的學生 (C2 組 33.33%，B 組 30.43%)來的高。水平平移方面 C1 組答對率(80%) 卻稍為較其他學生(C2 組 83.34%，B 組 80.44%)為低。鉛直平移(第五 (二))操弄的表現方面，C1 組學生答對率(60%)明顯較其他組(C2 組 0%，B 組 17.39%)來的高。整體看來，C1 組學生答對總平均題數有 3.20 題，較 C2、B 組的學生(2.00,2.22)保留較好。

三、 )

- 4 sin(2x

y π

= 中水平平移量有高達 6 位學生認為相較於 y sin2x= 為

「向右移4

π 」。兩位認為是「右移 2 π 」。

四、週期方面，第四題「直線 1

y= 的圖形和三角函數 y sinax2 = 的圖形在 x∈[0,10]的範圍中有 5 個交點，請求出 a 的範圍限制？」中沒有學生 答對。只有 5 位學生做了計算，顯見對於週期的操弄並未完全內化到 可以任意操弄控制的情形。

五、關於振幅操弄方面，第五大題「假設a,b,c,d∈ ，bR ≠0，關於函數 d

c) cos(bx a

(x) f

y= ₁ = × + + ，試回答下列問題：」中第(一)小題問到

「若y=f (x)₂ =3與函數y=f₁(x)相交，在 d=0 的情況下，a、b、c 各

有何範圍限制？」本題對於振幅正確答案應為「 a ≥3」，然而對於 振幅的控制整體答對率僅 12.90%。，普遍的錯誤答案為「a≥3」，

高達 11 人次(35.48%)。顯見學生對於變數操弄常常會僅偏向「數線 上正向慣性單邊思考」，忽略掉整體實數的完整性。

六、鉛直平移操弄方面，在第五大題第(二)小題中問到「若y=f (x)₂ =3與 函數y=f₁(x)相交，在 a=1 的情況下，b、c、d 各有何範圍限制？」

本題正確答案應為「2≤ ≤d 4」，但是有高達 7 位學生的錯誤答案為

「d≥ 2」或「d>2」。顯見都是只考慮到圖形上兩函數圖形間對接近部 分的「至少移動量」，而忽略了餘弦函數是具有振幅的，所以應該還 要有「最大移動量」的限制。

七、感覺上來說，在一年級曾接受過電腦輔助補救教學的學生(C1 組)，

在操弄振幅、週期、鉛直及鉛直平移的時候較一般學生更因為具「完 型」，而能較完整地思考。

八、參考對之前學生曾經作過的問卷，學生們對於電腦輔助多為肯定，例 如 S34：

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

但是也有學生 S35 提出如下的建議：

研究者反思往後相關的教學，以電腦來輔助是相當吸引人的，但是必 須先去照顧好學生的基本先備知識再去進行為佳。

以電腦輔助展示教學的規劃及實施 實施目的：

爲複習學生先前所學過的所有函數圖形，並銜接未來要學習的新不等式 單元。

教學目標

(一) 能幫助學生畫出正確的函數圖形。

(二) 希望藉由軟體視覺化地動態呈現變換，使學生直接判斷出何謂平 移，何謂伸縮。

(三) 能藉由軟體將函數圖形精確地呈現而能幫助學生正確繪圖。

(四) 能藉由軟體將函數圖形精確地呈現而能幫助學生判斷函數所被進行 的變換。

(五) 能幫助學生操弄控制變項使函數圖形在水平方向及鉛直方向進行所 要求的伸縮變換及平移變換。

時間規劃及實施日期

由於三年級本身數學課程就有既有的進度，又得複習舊有課程，

所以本三角函數圖形操弄的複習課程計畫利用二節課 100 分鐘的時間 作展示性教學，並要求學生於研究者編製講義上作筆記，包含函數圖

在 95 年 11 月 15 日下午第一節課及 11 月 17 日下午第三節課實 施。為了避免單槍投影機安裝及暖機時間的浪費，下課時間便先請學 生將向學校借用的單槍投影機和筆記型電腦在較是中先安裝好以利上 課時順利進行。

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

實施過程

課程進行中每位學生都發有繪圖複習講義一份二張(如附件 八)，講義編制的方式就是對於三角函數所進行的伸縮和平移變換都附 上座標平面，並要求學生在看完電腦在布幕上投影出來的變換結果 後，將圖繪製到講義上的空白座標平面上，並說明所看到進行的動態 變換。

課程進行期間學生很多是興奮的，不時會要求研究者左右或上下 來操弄變數來讓學生確認變換結果並紀錄下來。特別是看到研究者設 計的太陽圖形，更有許多學生好奇詢問這是怎麼做的。當然研究者也 藉機會說明所使用的函數，並示範控制操弄太陽光線的幅度(如下圖

【圖 4-4-1】)，對於挑動學生的學習動機是非常有幫助的。

sgn 1- tan 10⋅m∠B'CB'( ( ))^{⋅ t}(1+tan 10⋅m∠B'CB'( ))⋅1公 分 = 2.69公 分

t₁ = 3.0000

m∠B'CB' = -0.11π 弳 6.28319 弳⋅KL

KM = 1.95π 弳 KL KM = 0.9771 KM = 5.69公 分

KL = 5.56公 分

6.28319 弳⋅H I H J = 0.06π 弳 H I

H J = 0.0318 H J = 5.64公 分

H I = 0.18公 分

動態模擬太陽發光

動 態 模 擬 點

B' B'

C B

H K

J M I

L

【圖 4-4-1】

當然配合學生物理課程所學過的簡諧運動，研究者也利用正弦函 數設計了彈簧所進行的簡諧運動(【圖 4-4-2】)，利用變數控制複習 週期數的操弄。讓學生能在視覺上實際體會操弄週期個數。

sin 2⋅π x_A-x_B

( )

( )

( )

( )

x_E-x_D = 1.56 x_E = 3.68 x_D = 2.12

x_C-x_B = 0.70 x_C = -3.46

x_A-x_B = 4.94 x_B = -4.15 x_A = 0.79

顯 示 等 速 率 圓 周 運 動 之 簡 諧 運

動態模擬彈簧簡諧運動

【圖 4-4-2】

兩堂課程結束後，為了保留學生的學習成果，研究者著手將所做 的 GSP 檔案掛在校園網站上提供學生上網瀏覽，但是一直有著技術上 的問題無法克服，ㄧ直到 12 月下旬才陸續以網頁的方式呈現動態的效 果。

複習課程之內容

以三角函數為題材，利用動態展示伸縮及平移變換，希望讓學生透過 視覺化的方式直接判斷所進行的變換。

所製作的 GSP 複習檔案中，有設置對y =asin(bx+c)+d和 d

c x b a

y = sin( ( + ))+ 進行操弄的a、b、c、d四個變數提供學生進行對 圖形上伸縮及平移視覺上的控制。同時也要求學生在講義上做出說明及變 換後圖形的描繪。特別也針對函數例如y= −2 cosx+ 進行圖形展示。展1 示各種變項為負的時候，週期、振幅和平移這些變換進行的情形。

第三階段後測的實施 試題的編製

設計上主要以操弄性的試題為主，而且不僅只有要求對代數式所做的 變換作辨識，而且還要求學生對於文字敘述所要求的情境進行變數操弄描 述。因此所進行的後測是比前測試題更進一步具操弄性的。但是其中前測 試題中第四題對於週期操弄試題的表現由於牽涉到要對週期變項作伸縮

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

【表 4-4-3】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

【表 4-4-4】

第三階段前測 第三階段後測 一、在直角座標 x-y 平面

上， y sinx= 的圖形經何種 變換後，其圖形為

y sin(x- ) 4

= π ？

三、題組：如果你想要利用 電腦程式模擬繪製一艘船 在海面上的動畫設計圖如 下(圖一)，而此海面的波浪 所選用的函數為

cos( )

y= ×a bx c+ + ， d (二)如果此波浪函數為

cos(3 )

y=a x c+ + ，那又d 該如何操控哪一個變數使 得波浪呈現往右平移？

(圖一) 題號及

題目敘 述

二、在直角座標 x-y 平面 上，y=sin2x的圖形經何種 變換後，其圖形為

4) -sin(2x y₌ π

？

題號及 題目敘 述

六、請問 tan(3 1)

y= x+ Æ

tan(3 1)

y= x− 是經過什麼 樣的變換？

【表 4-4-5】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

95 年 12 月 15 日星期五班會時間，研究者對施教班級無預警地實施後 測，藉此看一看學生在實施完 GSP 展示性的補救教學之後保留的情形。有 以下發現：

一、週期方面：

前測第三大題中能全班正確知道週期伸縮後的正確交點數有 38.71%；而後測第四大題能知道週期伸縮後的正確交點數有 67.74%，另外參考第五大題能辨識新的週期而且要能正確操弄週 期變數的學生也是全班有 67.74%。

在第三階段學生在週期相關 概念主要發生的錯誤改善情 形在於能繪出正確週期含函 數的圖形，並求出正確交點 數。參考表【表 4-4-6】，有 32.26%的學生能操弄概念上 獲得改善。例如 C1 組中一位 學生 S21，他在前測中本題發 生錯誤(如下圖【圖 4-4-2】)，

該生原本忘了 y=sin2x 週期為π，

【圖 4-4-3】

到了後測的時候已能正確地畫出 y=sinx 和 y=sin3x 的圖形並正 確求出交點數(如下圖【圖 4-4-4】)。

【表 4-4-6】

第三階段週期概念前後測一覽表

獲得改善,

獲得改善,