先前三年級學生預測結果的參考

第四章 各階段研究結果及發現

本研究共有預試、第一階段前測、第二階段後測及第三階段前測及後測共五 次測驗。預試主要為看看傳統一般教學模式之下學生在操弄三角函數圖形時有哪 些迷思，僅列為參考修正本研究正式試題之用。並不列入正式分析結果的引用。

本章將針對第一階段前測對照第二階段後測、第三階段前測對照第三階段後測來 做分析，觀察學生在接受過電腦輔助補救教學後,是否在三角函數之圖形操弄課 程單元能獲得更大的幫助。同時也特別對於學生在電腦教學的過程中其收穫加以 呈現，在本研究進行過程中研究者對於接受測驗的學生在進行完測驗之後亦進行 半結構性訪談，希望更加能盡量了解到學生對三角函數在操弄振幅伸縮、週期伸 縮、鉛直平移、水平平移各方面時的概念心像。

先前三年級學生預測結果的參考

在前測實施之前，參考了先前對三年級實施的預測結果和任教該班的數學教 師交換的意見，覺得學生雖然學過相關操弄的內容，但是保留狀況不佳，考試整 體結果並不是很好。

振幅方面試題表現最好，其次為水平平移，週期方面試題表現最差

對照週期、振幅以及平移方面試題的表現，可發現振幅方面的試題表現最

好，這和研究者和一般教師在教學時的情形類似。整體來看，學生對於振幅方面

的理解表現較好，整題答對率有到 51.47%，主要錯誤原因是因為對於值域的描

述不熟悉所造成(振幅方面試題的值域答對率僅 17.65%)，但是像第五大題第(一)

題「將 y = sin x 改成振幅為 2 單位長之三角函數式」就有 82.35%的答對率。其餘

第五大題關於振幅操弄的試題答對率平均有 62.94%。但值得一提的是，第五大

題第(七)題「將 y = tan x 改成振幅為

1.5

單位長之三角函數式」有 52.94%的錯誤

答案為「y=1.5tanx」 ，有相當多的學生習慣上使用代數表徵直接套用結果操弄任

何函數的振幅。

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

其次為水平平移方面的試題，水平平移方面學生總答對率有 46.64%，特別 是描繪 tan( )

y x π 2

= − 的圖形答對率僅 35.29%，水平平移圖形辨識僅有 11.76%的 答對率，並不高，主要錯誤為誤用鉛直平移和 More A-More B 的直觀類型。

而週期的概念方面，實際上學生對於週期的理解可以看的出來根本談不上操 弄，只對於基本三角函數例如 y = sin x 的週期有記憶性的印象，是記憶下來的結 果，而不是會操弄的。例如第四大題第(二)題的繪圖題答對率只有 35.29%，第 五大題關於週期操弄的試題答對率總平均僅 14.71%；甚至辨識三角函數週期的 答對率僅 5.88%。這裡面週期概念的學習似乎有著比振幅概念以及平移概念更多 的困難在。在第五大題對於週期操弄的錯誤類型多為 More A-More B 的直觀類 型、倒數類型和誤用振幅控制。

【表 4-1-1】第一階段高三預試統計結果一覽表

週 期

原始三角函數概念心像 操弄典範例題 屬性操弄 圖形辨 識 題號 一(三) 二(三) 三(三) 四(二) 五(三) 五(六) 五(九)

^五(十_二) ^五(十_五)

七(二)

平均答 對率 預測 76.47% 73.53% 64.71%

35.29% 20.59% 20.59% 5.88% 8.82% 17.65% 5.88% 32.94%

預測

平均 71.57%

35.29% 14.71% 5.88%

振 幅

原始三角函數概念心像 操弄典範例題 屬性操弄 圖形辨 識 題號 一(二) 二(二) 三(二) 四(一) 五(一) 五(四) 五(七) 五(十) 五(十 三) 七(一)

平均答 對率 預測

17.65% 17.65% 17.65%

64.71% 82.35% 73.53%

26.47%

73.53%

58.82% 82.35% 51.47%

預測

平均

17.65%

73.53% 62.94% 82.35%

水平平移

操弄典範例題 屬性操弄 圖形辨

識 題號 四(三) 五(二) 五(五) 五(八) 五(十 一) 五(十

四) 七(三)

平均答 對率 預測

35.29%

85.29% 52.94% 50.00% 44.12% 47.06% 11.76% 46.64%

預測

平均

35.29% 55.88% 11.76%

第一節 第一階段前測結果的發現

一、 以下先將施測結果初步統計如下表【表 4-1-2】~【表 4-1-7】 ，表格中「選 取者」表示選取參加第二段 GSP 電腦輔助補救教學的樣本學生， 「未選取者」

表未參加第二段 GSP 電腦輔助補救教學的學生。

原始三角函數概念心像

一 三 八

題號 (一) （二） （三）（四）（五） (一) （二）（三）（四） （五） (A) (B) 總平均 總答對率 81% 63% 60% 91% 86% 53% 33% 63% 91% 81% 37% 28% 64%

選取 者 (20)

答對 百分

比 75% 70% 60% 90% 90% 65% 40% 70% 95% 85% 50% 40% 69%

未選 取者 (23)

答對 百分

比 87% 57% 61% 91% 83% 43% 26% 57% 87% 78% 26% 17% 59%

操弄典範例題(第二、四(一)、四(二)、四(三)題) 總平均 振幅

四(一)

週期 四(二)

水平平移 四(三)

鉛直平移

第二大題

總答對率 58% 71% 52% 55% 55%

選取者

(20) 答對百

分比 67% 73% 63% 65% 65%

未選取者

(23) 答對百

分比 51% 69% 43% 47% 46%

屬性操弄(第五、第六大題)

總平均 振幅 週期 水平平移 鉛直平移 混合操弄 總答對率 51% 70% 20% 76% 79% 40%

選取者

(20) 答對百

分比 59% 76% 21% 84% 89% 46%

未選取者

(23) 答對百

分比 45% 64% 18% 68% 71% 34%

【表 4-1-4】

【表 4-1-3】

【表 4-1-2】

註：屬性操弄的試題分布

振 幅：五(一)、五(五)、五(九)、五(十三) 週 期：五(三)、五(七)、五(十一)、五(十五) 水平平移：五(二)、五(六)、五(十)、五(十四) 鉛直平移：五(四)、五(八)、五(十二)、五(十六)

混合操弄：六(一)、六(二)、六(三)、六(四)、六(五)、六(六)、六(七)

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

圖形辨識(第七大題)

總平均 振幅 週期 水平平移 鉛直平移 總答對率 42% 77% 9% 33% 49%

選取者

(20) 答對百

分比 55% 95% 15% 45% 65%

未選取者

(23) 答對百

分比 31% 61% 4% 22% 35%

綜合解題(第九大題) 總平均

總答對率 16%

選取者

(20) 答對百

分比 15%

未選取者

(23) 答對百

分比 17%

答對比例

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

原始三角函數概念心像

操弄典範例題 屬性操弄 圖形辨識 綜合解題 前測

整體而言，隨著試題愈往後(由原始三角函數的概念心像Æ操弄典範例題Æ 屬性操弄Æ圖形辨識Æ綜合解題)，整體總答對率愈降低【表 4-1-7】。可見學 生對三角函數圖形屬性的操弄尚未完全內化。

【表 4-1-5】

【表 4-1-6】

【表 4-1-7】

二、 對於前測各類試題結果分析如下：

(一) 原始三角函數概念心像試題方面：

繪圖試題方面

對於函數圖形的繪製以 y=sinx 來看，平均有 81%的答對率，錯誤 類型主要是弄錯週期(如下表【表 4-1-12】所示)

但是對於 y=tanx 的函數圖形卻只有 53%的答對率。錯誤類型歸類 如下：

1、 函數類型記錯

學生編號 所做圖形

S39

學生

編號 所做圖形 學生

編號 所做圖形

S11 S27

S32

【表 4-1-8】

【表 4-1-9】

(學生 S39 答週期為 π )

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

2、 週期弄錯

3、 錯誤平移

4、 概念薄弱類型：

.

學生編號 所做圖形

S17

學生編號 所做圖形

S34

學生編號 所做圖形

S20

S18

【表 4-1-10】

【表 4-1-11】

【表 4-1-12】

對於定義域及值域的描述試題方面

在第一、第三大題原始三角函數概念心像中對於函數定義域及值 域 的 代 數 描 述 ( 一 ( 二 ), 一 ( 三 ), 三 ( 二 ), 三 ( 三 )) 答 對 率 為 (63%,60%,33%,63%)，普遍較整個類型的總平均(64%)為低，尤其 y=tanx 的定義域答對率僅 33%；參考學生對於函數週期及振幅的認知(一(四), 一(五),三(四),三(五))的答對率(91%,86%,91%,81%)，顯然可能有不 少學生對於週期及振幅的理解屬機械式理解，就是把三角函數的週期 和振幅背下來，但是問他們為什麼便無法正確回答了。

以下研究者進一步將錯誤類型整理如下：

1. 函數的定義域、值域答案的錯誤類型 (1) 將定義域、值域混淆

S39、S34

例如：訪談 S39：

T ：你不覺得數學很多地方是把圖形跟函數之間做適當的結合。

問你定義域呀。定義域是所有實數對不對？

S39：不是吧。

T ：你就寫－∞ ≤ y…

S39：那是因為全部都ｘ寫成ｙ去了…

(2) 誤將所規定繪圖範圍視為定義域者 S4、S8、S16、S40

這些學生答案都是「 {x|-2 π <x<2 π } 」之類。

(3) 不清楚定義域中無法產生值有那些點

S11、S19、S20、S21、S22、S27、S28、S41 例如：訪談 S41(該生的繪圖如下圖【圖 4-1-1】)

T ：ㄟ定義域，所有的實數(手指著學生答案)，每一個實數代下去 都可以有．．值。

你現在看圖，ｘ軸上面所有的點就對了。對吧！

S41：對。

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

【圖 4-1-1】

(4) 定義域、值域的表達中，代數符號不熟悉或不會使用者 S29、S33、S38

例如：S38 前測中認為 y=tanx 的定義域為

{x| x

≠

n π +

^π₂

, n ∈ R}

【該生弄錯 n 的範圍，應為 n ∈ Z】

訪談 S38：

T：當初你為什麼會這樣寫？

S38：太緊張，符號不是很熟。

(5) 不知定義域、值域的意思，僅靠印象背答案。

S11、S27、S18、S20、S25 例如：訪談 S20

T：ㄟ不用客氣啊，然後想一下那時候寫這個卷子的時候是怎麼寫 的就可以了？那我現在就是說那當然這個定義域就是跟前面這 個 sin 一樣囉？那時候為什麼會寫 R？

S20：…

T：印象中是背的還是怎麼樣？還是怎麼出來？

S20：背的。

(6) 其他前述錯誤之綜合類型

例如 S45 記得印象中正切函數定義域答案為 R-{x|…}的

類型便想套答案，但是卻又把定義域和值域混淆，所以

出現正弦函數定義域為「 R {x|-1 ≤ x ≤ 1} 」的答案。

問週期和振幅的試題方面

而週期和振幅方面的試題因為答案較簡短容易背誦。所以總答 對率 (一(四),一(五),三(四),三(五))為(91%,86%,91%,81%)。

不過仍有部分學生的答案是錯誤的。錯誤答案整理如下表【表 4-1-13】 、 【表 4-1-14】所示：

錯誤類型的歸納：

1. 只記憶答案，但背錯。

例如：訪談 S20：

T ：不確定。沒關係你就把不確定和確定的講出來。什麼叫做週期？

第(四)小題。

S20：振幅。

T ：一個振幅的。好你比給我看。

S20：(在圖形上比著) T ：一個起伏對不對？

S20：嗯

T ：好，那週期我們怎麼度量？

S20：…

T ：知不知道？

S20：…

2. 將「無限大」視為一固定數字。

例如：訪談 S39

T：ｙ然後呢，ｙ就是答案哪。

S39：沒有，它名稱為….它最多也是到無限大。

T：那很多嗎，多少？要多大就多大？

S39：不一定。

一(四)請問正弦函數是否有週期？ 一(五)請問正弦函數的振幅為何？

答案 學生編號 人數 答案 學生編號 人數

π 39、20、44 3 2 21、42 2

2

π

45 1

2

π 5 1

╳ 30 1

空白 18、20 2

三(四)請問正切函數是否有週期？ 三(五)請問正切函數的振幅為何？

答案 學生編號 人數 答案 學生編號 人數 無 5、42 2 1 8、23、27 3

否 27、45 2 ∞ 39 1

無限大 21 1

空白 18、20、22、

32、41 5

【表 4-1-13】

【表 4-1-14】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

T：那最大到多大?

S39：…(搖頭)

T：沒有最大，那 tan 呢？它可以延伸到…. 無限大嗎？

S39：應該吧。

(該生對於正切函數定義域的答案為 {- ∞ ≤ x ≤ ∞ } )

描點試題(第八大題)

本大題之答對率僅有(A,B)=(37%,28%)，遠低於平均的 64%。

錯誤類型的歸納：

1. 未能正確求函數值 (1)背錯函數值：

例如：

S14： 3 1 cos( )

4 2

− π = − ， 5 2 cos 6 3

π = − 。

(2)函數值正負號判斷錯誤：

例如：S8： 5 3 cos 6 2

π ₌

2. 函數值正確求出但點位置描錯 例如：

學生編號 所做圖形

S17

S9

【表 4-1-15】

3. 來不及計算 例如：

T ：…來，第八題，第八題你怎麼會空白啊？

S42：來不及。

T ：來不及。你可能有些東西定義喔跟公式要熟悉，你要記起來。…

S42：第八題我是來不及寫先跳去…

整個原始三角函數概念心像方面的試題中，研究者發現，有些學生對 三函數圖形方面的概念理解是僅靠死背記憶的機械式理解來作答。然而 我們要幫助學生獲得完整的三角函數有關振幅週期以及平移方面的概 念，這裡有必要為學生在基礎概念和能力方面幫助學生進行重建。

例如：

訪談 S39：

T ：……正弦函數振幅是多少。

S39：1。

T ：怎麼知道是 1？比給我看，振幅在哪裡？

S39：振幅是 1 啊(在 x 軸方向比著)！

T ：那怎麼不是上面到下面。

S39：圖這邊的這個圖…。

T ：記得他的定義嗎？那你怎麼知道圖這樣看一看就知道了。

S39：振幅就表示…因為…彎曲來講的話就是．．．

T ：你覺得振幅的意思就是 0 和最低點的距離？

S39：不是吧。

T ：那應該是怎樣。

S39：波峰到波谷之間的距離那這樣就變 2 了啊。

T ：你是因為背那個 1？還是因為定義就是這樣定義？還是因為其他原因？

什麼原因？

S39：波谷…。

………

T ：你不覺得數學很多地方是把圖形跟函數之間做適當的結合。問你定義 域呀。定義域是所有實數對不對？

S39：不是吧。

T ：你就寫－∞ ≤ y…

S39：那是因為全部都ｘ寫成ｙ去了…

(該生誤將定義域視為 y 的範圍)

S39 該生前測答案中認為正弦函數的定義域為-1 ≤ x ≤ 1，值域為

−∞ ≤ ≤ ∞ ，週期為 y π ，振幅答案為 1。但是圖形畫出來的週期卻是

2

π (如下圖【圖 4-1-2】)。

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

【圖 4-1-2】

(二) 操弄典範例題方面 本項試題答對率如下

操弄典範例題(第二、四(一)、四(二)、四(三)題) 總平均 振幅

四(一)

週期 四(二)

水平平移

四(三)

鉛直平移

第二大題

總答對率 58% 71% 52% 55% 55%

以振幅操弄的典範試題 y=2sinx 來看(第四大題第(一)題)，錯誤 答案羅列如下(【表 4-1-17】、【表 4-1-18】、【表 4-1-19】、【表 4-1-20】 、 【表 4-1-21】)：

1. 圖形繪製方面 學生

編號 所做圖形 學生

編號 所做圖形

S5 S11

S19 S20

S25 S27

S30 S34

S39

【表 4-1-16】

【表 4-1-17】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

2. 就定義域的回答來看，錯誤答案歸納整理如下表【表 4-1-18】 ：

3. 就值域的回答來看，錯誤答案歸納整理如下表【表 4-1-19】：

4. 就週期的回答來看，錯誤答案歸納整理如下表【表 4-1-20】：

答案 學生編號 人數

2R 20 1

{x|-2<x<2} 25 1 {x|-2 ≤ x ≤ 2} 11 1 {x|-2 π <x<2 π ,x ∈ R} 8 1

{x|-2 π ≤ x ≤ 2 π } 16、40 2

{-2 ≤ x ≤ 2} 39 1 -2 π <x<2 π 4 1 {y|2 ≤ y ≤ -2} 12 1

-2 ≤ y ≤ 2 34 1 空白 18、32、37、44 5

答案 學生編號 人數

{x |-2 ≤ y ≤ 2, y ∈ R } 26 1 {y ∈ R|-2 ≤ y<2} 9 1

{y ∈ R|-2<y<2} 4 1 {y ∈ R|-1 ≤ y ≤ 1} 17 1

{y |-1 ≤ y ≤ 1} 19 1

{y|y ∈ R} 27 1

{x|-2 ≤ x ≤ 2} 42 1 {- ∞ ≤ y ≤ ∞ } 39 1

R 12 1

X 為實數 34 1

空白 18、20、25、30、32、

41、44 8

答案 學生編號 人數

π 11、29、39、42、44、45 7

2

π

27、30 2

空白 18 1

【表 4-1-18】

【表 4-1-19】

【表 4-1-20】

5. 就振幅的回答來看，錯誤答案歸納整理如下表【表 4-1-21】：

整個看來，關於第四大題第(一)題關於 y=2sinx 的試題，學生答 案的錯誤類型有以下二種：

1. 與週期控制混淆 例如：

關於以週期混淆的錯誤類型的造成原因，經訪談認為是定義 域和值域對象弄混所致。

例如：訪談 S39：

T ：…問你定義域呀。定義域是所有實數對不對？

S39：不是吧。

T ：你就寫－∞ ≤ y…

S39：那是因為全部都ｘ寫成ｙ去了…

( 該生誤將定義域視為 y 的範圍 )

答案 學生編號 人數

4 21、42 2 1 11、19、27 3

π 5 1

空白 18 1

學生

編號 所做圖形 認為週期

S11 π

S27 2

π

S39 π

【表 4-1-21】

【表 4-1-22】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

2. 和鉛直平移混淆

例如：S25 認為 y=2sinx 圖形如下圖【圖 4-1-3】

【圖 4-1-3】

但是對於值域的答案則空白不知。

以週期操弄的典範試題 y=cos2x 來看(第四大題第(二)題)，錯誤 答案羅列如下：

1. 圖形繪製方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-23】

學生編號 所做圖形 學生編號 所做圖形

S3 S5

S8 S9

S10 S11

S12 S16

S18 S19

S21 S25

S26 S27

【表 4-1-23】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

2. 定義域方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-24】

S28 S29

S30 S31

S32 S36

S37 S39

S44 S45

答案 學生編號 人數

2R 20 1

{x|-2 π <x<2 π ,x ∈ R} 8 1 {x|-2 π ≤ x ≤ 2 π } 16、40 2

{x|-2<x<2} 25 1 {x|-2 ≤ x ≤ -2} 11 1

{-1 ≤ x ≤ 1} 39 1 -2 π ≤ x ≤ -2 π 4 1 { y ∈ R|-2 ≤ y<2} 9 1 {y|-1 ≤ y ≤ 1} 12 1

-1 ≤ y ≤ 1 34 1

【表 4-1-24】

3. 值域方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-25】：

4. 週期方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-26】：

5. 振幅方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-27】：

答案 學生編號 人數

{y |y ∈ R} 27 1

{y|-1 ≤ x ≤ 1} 44 1 {x|-1 ≤ x ≤ 1} 42 1 {y ∈ R|-2 ≤ y ≤ 2} 11、29 2

{y|-2 ≤ y ≤ 2} 19、28、36、37 4

{-2 ≤ y ≤ 2} 10 1 {-

¹₂

≤ y ≤

¹₂

} 22 1 {- ∞ ≤ y ≤ ∞ } 39 1

R 9、12 2

X 為實數 34 1

空白 16、18、20、23、25、

30、31、32、41 10

答案 學生編號 人數

2 20 1

2

π 10、19、22、25、27、

30、32、36、37、39、

44

11

4

π 16 1

2

π

31、45 2

| | p

k

23 1

空白 18 1

答案 學生編號 人數

1

2

22 1

2 9、10、11、19、21、

27、29、36、37、42 10

2

π 20 1

╳ 31 1

空白 18 1

【表 4-1-25】

【表 4-1-26】

【表 4-1-27】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

整個看來，關於第四大題第(二)題關於 y=cos2x 的試題，學生答 案的錯誤類型有以下四種：

1. 與振幅控制混淆 例如：

S36 認為圖形如右圖【圖 4-1-4】

定義域為{x|x∈R}

值域為{y|-2 ≤ y ≤ 2}

週期為

2

π ，振幅為 2。

2. more A-more B 的直觀法則 例如：

S16 認為圖形如右圖 【圖 4-1-5】

定義域為{x|-2π ≤ x ≤ 2π } 值域空白未寫。

週期為 4π ，振幅為 1。

訪談 S16：

T：那個第四大題第二題 y=cos2x 那個圖為什麼會這樣畵？

S16：因為 2 啊

T：你覺得那個 2 作用是什麼？

S16：週期變 2 倍。

3. 背錯函數圖形 例如：

S31 認為圖形如右圖【圖 4-1-6】

定義域、值域答案均空白未寫 認為週期為

2

π ，振幅為” ╳ ”。

【圖 4-1-4】

【圖 4-1-5】

【圖 4-1-6】

4. 與鉛直平移混淆 例如：

S29 認為圖形如右圖【圖 4-1-7】

定義域為 R

值域為{y∈R|-2 ≤ y ≤ 2}。

週期為π ，振幅為 2。

S27 認為圖形如右圖【圖 4-1-8】

定義域為{x|x∈R}

值域為{y |y∈R}

週期為

2

π ，振幅為 2。

整個週期試題學生答題狀況而言，造成錯誤類型的原因為定義 域及值域對象的混淆以及直觀法則 more A-more B 個別或綜合作用 的結果。

【圖 4-1-7】

【圖 4-1-8】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

以水平平移操弄的典範試題 y=tan(x- 2

π )來看(第四大題第(三)

題)，錯誤答案羅列如下：

1. 圖形繪製方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-28】~【表 4-1-32】

學生編號 所做圖形 學生編號 所做圖形

S1 S11

S16 S17

S20 S21

S24 S25

S29 S32

S34 S42

S45

【表 4-1-28】

2. 定義域方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-29】

3. 值域方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-30】

答案 學生編號 人數

{x| x

≠

n

^π₂

,n ∈ Z, x ∈ R } 38 1 {x |x

≠

n π ,n ∈ R} 33 1 {x|x

≠

n π +

^π₂

,x ∈ R} 28 1 {y|x

≠

n π ,n ∈ Z} 12 1 {x|

^nπ₂

,n 為奇數} 6 1

{

^nπ₂

|,n 是奇數} 9 1 {x ∈ R|x

≠

−

^π₄

+k π ,k ∈ Z} 1 1 {y ∈ R|y

≠

n π +

^π₂

,y ∈ Z} 29 1

R-{x|x ∈

^nπ₂

,n ∈ R} 15 1 R-{

^kπ₂

,k ∈ Z} 10 1 R-{

₂ⁿ

π |n 為奇數} 17 1 {x|x

≠ ₂ⁿ

π ,x ∈ N} 7 1

R 22、45 2 x ∈ R 11、19 2 {x|x ∈ R} 21、41 2

{x|-2<x<2} 25 1 {x|-2 π <x<2 π ,x ∈ R} 8 1

{x|-2 π ≤ x ≤ 2 π } 16 1 -2 π ≤ x ≤ 2 π 4 1 {- ∞ ≤ x ≤ ∞ } 39 1

2

π 20 1

Y 為實數 34 1

空白 18、23、27、30、31、

32、37、40、42、44 11

答案 學生編號 人數

x ≠

^nπ₂

,x 為奇數 34 1

╳ 7 1

空白

11、18、20、22、23、

25、27、30、31、32、

41、42

13

【表 4-1-29】

【表 4-1-30】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

4. 週期方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-31】：

5. 振幅方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-32】：

以水平平移整體試題的學生表現來說，相較於學生在第三大題 對於基本三角函數 y=tanx 的基本概念心像，原本有的錯誤類型依然 存在(例如將函數定義域及值域混淆、不知定義域及值域的意思，僅 靠印象背答案、誤將所規定繪圖範圍視為定義域、不清楚定義域中 無法產生值有那些點、定義域及值域的表達中，代數符號不熟悉或 不會使用共 29 人次的錯誤答案)，但本大題就定義域的錯誤答案人 次來看更有 36 人次之多，顯然一定有著函數被平移後關於平移的錯 誤迷思概念，但由於本題對於 y=tanx 往左平移

2

π 單位和往右平移 2 π

單位後的圖形和定義域的答案是相同的，所以圖形上是無法直接看 出學生在左右平移時所使用的代數表徵。但這一部分可以在對於第 五大題的分析中清楚看出有著例如 more A—more B 直觀控制的迷思 概念，這一部分將留至第五大題的討論時再論述。

至於本大題（四（三） ）中週期及振幅方面的錯誤答案研究者以

答案 學生編號 人數

無 42 1

否 45 1

╳ 20 1

空白 18、27、30 3

答案 學生編號 人數

1 8、23、32 3

π 42 1

2

−

π

20 1

∞ 39 1

無限大 21 1

空白 18、22、27、30、41 5

【表 4-1-31】

【表 4-1-32】

數的改變。

像是週期方面：

S20 認為 y=tanx 週期為π ，y=tan(x- 2

π )的週期則答「╳」。

而 S18 認為 y=tanx 週期為 π ，y=tan(x- 2

π )的週期則答「空

白」 。 振幅方面：

S20 回答 y=tanx 振幅為「空白」 ，但 y=tan(x- 2

π )的振幅

則答「1」 。

S32 回答 y=tanx 振幅為「空白」 ，但 y=tan(x- 2

π )的振幅

則答「 − 」。

^π₂

S30 回答 y=tanx 振幅為「╳」 ，但 y=tan(x- 2

π )的振幅則

答「空白」 。

顯見以上這些少數的學生對於被水平平移後的代數表徵認知 並不具有形象上剛性變換的特性。也就是不知道是平移的變換。

【表 4-1-33】

三(四)請問正切函數 y=tanx 是否有週期？ 三(五)請問正切函數 y=tanx 的振幅為何？

答案 學生編號 人數 答案 學生編號 人數 無 5、42 2 1 8、23、27 3

否 27、45 2 ∞ 39 1

無限大 21 1

空白 18、20、22、32、41 5 四(三)4 請問正切函數 y=tan(x-

2

π )是否有週期？ 四(三)5 請問正切函數 y=tan(x-

2

π )的振幅為何？

答案 學生編號 人數 答案 學生編號 人數

無 42 1 1 8、23、32 3

否 45 1 π 42 1

╳ 20 1 −

^π₂

20 1

空白 18、27、30 3 ∞ 39 1

無限大 21 1

空白 18、22、27、30、41 5

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

以鉛直平移操弄的典範試題 y=cosx+1 來看(第二大題)，錯誤答案 羅列如下：

1. 圖形繪製方面，錯誤答案整理如下【表 4-1-34】~【表 4-1-37】

【表 4-1-34】

學生編號 所做圖形 學生編號 所做圖形

S5 S7

S11 S15

S20 S27

S31 S32

S36 S39

S40 S41

S44 S45

2. 定義域方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-35】：

3. 值域方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-36】：

4. 週期方面，錯誤答案整理如下表【表 4-1-37】：

答案 學生編號 人數

{y|y ∈ R} 5 1

{ -1 ≤ x ≤ 1} 39 1 {y| 0 ≤ y ≤ 2} 12 1 { 0 ≤ y ≤ 1} 34 1 {x|-2<x<2} 25 1 {x|-2 π <x<2 π ,x ∈ R} 8 1

{x|-2 π <x<2 π } 40 1 {x|-2 π <x<2 π } 16 1 -2 π <x<2 π 4 1 -1<cosx+1<3 18 1

空白 23、30、32、44 4

答案 學生編號 人數

{ y|1 ≤ y ≤ 2} 31 1 { y|-2 ≤ y ≤ 0} 28 1 { y|-2 ≤ y ≤ 2} 40 1 { y ∈ R|0 ≤ y<2} 9 1

{y ∈ R|0<y<2} 4 1 {y ∈ R|-1 ≤ y ≤ 1} 11、17、29 3

{y|-1 ≤ y ≤ 1} 7、15、36 3

{y |y ∈ R} 27 1

{ x|0 ≤ x ≤ 2} 42 1 {y| 0 ≤ y ≤ 1} 14 1 { 0 ≤ y ≤ 1} 22 1 {- ∞ ≤ x ≤ ∞ } 39 1 R { y|-1 ≤ y ≤ 1} 45 1

1 ≤ y ≤ 2 2 1

X=實數 34 1

R 12 2

空白 18、20、23、25、30、

32、41、44 8

答案 學生編號 人數

π 20、39 2

1 44 1

無 45 1

空白 23、30 2

【表 4-1-35】

【表 4-1-36】

【表 4-1-37】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

綜合整個鉛直平移試題學生答案的錯誤類型如下：

1、 函數圖形經平移後未保持原有形狀：

例如下表【表 4-1-38】所列答案：

2、 將 y=cosx+1 視為左右平移：

例如參考下表【表 4-1-39】所列之答案：

S

S36 將 y=cosx+1 視為往右平移 1 單位；S44 將 y=cosx+1 視為 往左平移 1 單位。

學生

編號 所做圖形 學生

編號 所做圖形

S5 S7

S32

學生

編號 所做圖形 學生

編號 所做圖形

S36 S44

【表 4-1-38】

【表 4-1-39】

3、 將 y=cosx+1 誤認為振幅變成 2：共有三位學生 S20、S27、

S40。

例如：

S40：回答 y=cosx+1 的振幅為 2，值域為{ y|-2 ≤ y ≤ 2}，

圖形如下圖【圖 4-1-9】

4、 弄錯週期：

例如：

S45 將 y=cosx+1 的圖形畫成下圖【圖 4-1-10】

而回答週期的時候卻認為「無」週期 5、 將定義域和值域混淆：

例如：

S12 回答 y=cosx+1 的定義域為{y| 0 ≤ y ≤ 2}；值域為 R。

【圖 4-1-9】

【圖 4-1-10】

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

綜合鉛直及水平平移方面的試題(第二大題第(五)題)，錯誤答案 整理如下表【4-1-40】 ：

研究者將以上學生錯誤類型整理如下：

1. 形狀相同但位置不同則不認為全等：

例如：

S3 認為「 否, y=cosx+1 在 y=sinx 的左邊

^π₂

單位且又上移 1 單位 」 。 S7 認為「 不是, cosx+1 較 sinx 的圖形向左

^π₂

,向上 1 個單位 」 。.

答案 學生編號 人數

是,振幅和週期皆相同, y=cosx+1 為 y=sinx 向左平移

^{π −}₂¹

36 1 是, 振幅和週期一樣,y=cosx+1 在 y=sinx 的上方 1 單位 17 1 是, y=cosx+1 在 y=sinx 的右邊

^π₂

,上面 1 單位 1 1

是,週期振幅相同,方位向左+1 45 1

是,只是向左一格 25 1

是,僅向左平移 1 15 1

是,週期和振幅一樣,cosx+1 向上移了一個單位 16 1

否 23 1

否,sinx cosx 本不同,cosx+1 在其上方 37 1 否, y=cosx+1 振幅較大, y=cosx+1 為 y=sinx 左移

^π₂

40 1 否, y=cosx+1 在 y=sinx 之左上各 1 單位 38 1 否, y=cosx+1 的圖形是 y=sinx 的圖形左移

^π₂

並向上平移 1 單

位 26 1

否, y=cosx+1 在 y=sinx 的左邊

^π₂

單位且又上移 1 單位 3 1 否,方位向左平移

^π₂

,向上平移 1 42 1 否、剛好相反,方位向左平移 1 單位 11 1 否、必須再向左平移 π

−1

單位 44 1 否,函數值不同,y=sinx 最大值在 1,而 y=cosx+1 最大值在 2 21 1 否,cosx 為 sin(x+1)+1 4 1 不是, cosx+1 較 sinx 的圖形向左

^π₂

,向上 1 個單位 7 1 沒有了, Q y=cosx+1 有往上平移一個單位,值就有不同 8 1 不同,從 0

^°

到 90

^°

y=sinx 為遞增,y=cosx+1 為遞減 28 1

否 20、39、41 3

空白 18、22、27、30 4

【表 4-1-40】

2. 水平及鉛直位移單位長的混淆 例如：

S38 認為「否, y=cosx+1 在 y=sinx 之左上各 1 單位」 。 3. 水平方向及鉛直方向平移在代數式造成的干擾

例如：

S11 認為「否、剛好相反,方位向左平移 1 單位」。該生將

y=cosx+1 視為左右水平方向的平移。

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

(三) 屬性操弄試題方面

以三角函數振幅屬性操弄試題來看，學生答題的錯誤答案整理如下表

【表 4-1-41】 ：

五(一)將 y = sin x 改成振幅為 2 單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

sin

y = x 42 1

sin 1

y = x + 40 1

sin 2

y = x 11、19、45 3

╳ 30 1

空白 21 1

五(五) 將 y = cos x 改成振幅縮小為 1

2 ^{單位長之三角函數式}

答案 學生編號 人數

1

cos

2

y = x 9、18、19、34、45 5

1

cos

2

y = x − 40 1

空白 11、21、30 3 五(九)將 y = tan x 改成振幅為

2

單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

2 tan

y = x 4、5、6、7、8、14、

21、23、27、28、29、

31、32、37、38、41

16

tan( 2 )

y= _π x

35 1

tan 2

y = x + ^{40 1}

2 sin

y = x 17 1

tan( 2)

y = x + ^{20 1}

tan( 2 )

y = x ^{18、19、45 3}

tan( 2 ) x ^{30 1}

空白 16 1

五(十三) 將 y = sin x 改成振幅為

2

π

單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

sin 4

y = x 15、35、41 3

sin

2

y =

^π

x 11、18、19、45 4

sin x

^π2

30 1

1

sin

2

y = x 9 1

sin

2

y = x +

^π

40 1

空白 20 1

【表 4-1-41】

關於振幅屬性的操弄錯誤類型主要如下：

1. 數字類型干擾：有些學生對於數字類型有著位置上的習慣，

例如：

訪談 S20：

T：那這邊的答案呢(翻到第 5 頁)？振幅…喔你這邊有答對，不錯ㄟ，可是 有的是空格喔，像第一個你答對啊，振幅是 2，所以你答案是 y=2sinx 是不是？

S20：…

T：下一個振幅你看，它 1

2 ^所以你就 1

2 cosx 這邊答對。

S20：嗯。

T：喔振幅改成

2

你就變成加

2

？啊ˊ ！你這個…

S20：我不會寫開根號！

T：開根號？你覺得開根號是怎麼回事？開根號是跟他不一樣的嗎？

S20：…

T：不要不好意思啦，

S20：沒有啊。

T：沒有。還是什麼….

S20：….

T：那 π 勒？振幅是 π 的話那怎麼辦？

S20：前面那個很類似，很像要乘 π 。 T：怎麼樣類似？稍微講一下。

S20：ㄟ…就 x 減掉

2 π 嘛。

T：就是應該放到裡面去囉。

S20：嗯。

2. 與週期控制的混淆 例如：

S19、S45 認為將振幅改為 a 就是將 x 改成 ax。

3. 與鉛直平移控制的混淆 例如：

S40 的回答就是直接將整個函數加 a。

4. y = tanx 振幅的誤用

有部分學生認為「將 y = tan x 改成振幅為

2

單位長之三角函

數式」答案為 y = 2 tan x 。有 S4、S5、S6、S7、S8、S14、

S21、S23、S27、S28、S29、S31、S32、S37、S38、S41 共 16 人之多。這些學生都直接套用公式 y = af (x ) 來操弄函數

) (x f

y = 的振幅，而忽略了 y = tan x 本身並無振幅。

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

以三角函數週期屬性操弄試題來看，學生答題的錯誤答案整理如下表

【表 4-1-42】 ：

五(三)將 y = tan x 改成週期為 2 之三角函數式

答案 學生編號 人數

tan 2

y = π x 2 1

tan

2

y =

_π

x 1、35 2

╳ 9、14、15、42、 4

tan( 4 )

y = x + π 5 1

2 tan

y = x 19、25、29、45 4

x

y =

₂¹

tan 11、32 2

tan 2

y = x 7、16、18、20、22、23、26、27、39、40 10

1

tan

2

y = x 3、4、6、8、10、12、17、21、24、28、36、38 12

tan( x +

^π2

) 30 1

五(七) 將 y = sin x 改成週期改為 1

2 ^{之三角函數式}

答案 學生編號 人數

sin

^x

y =

_π

34 1

1

sin

4

y =

_π

x 35 1

sin 2

y = π x 12、41 2

sin 4

y = x 3、7、21、24、26、28、38 7

sin 4

y = π 31 1

sin 2

y = x 1、4、6、10、17、36、42 7

1

sin

2

y = x 16、18、22、23、25、27、29、39、40、44 10

1

sin

4

y = x 11 1

1 2

sin

y = x 19、20、32、45 4

sin( )

y = x + π 5 1

1

2

sin x 30 1

╳ 9、14、15 3

五(十一) 將 y = cos x 改成週期為

2

之三角函數式

答案 學生編號 人數

2

cos2

y= _π x

33、35、36 3

cos 2^x

y= ^π

_{1 1}

2

cos 2

y=

π

x

12 1

2

cos 4

y= x

17 1

2

cos 2

y= x

6、10、24、38 4

2

cos 2

y= x

_{31 1}

cos2 2

y=

π 34 1

【表 4-1-42】

以下研究者將關於週期屬性的操弄錯誤類型羅列如下：

1. 對週期變項的錯誤控制

(1)對週期操弄屬於 more A -more B 的迷思類型

像是 S18、S23、S27、S40 的錯誤答案類型來說，我們可以 看出如果要求讓這些學生把週期函數 y=f(x)改成週期為 a 的時候，它們的答案就是 y=f(ax)。就是把 x 改成 ax。隨著 週期愈大，a 值就愈大。

(2)對週期控制以「倒數模式」來控制

像是 S3、S17、S38 這三位學生的答案某種程度地以「倒數 模式」來處理改變函數週期的問題。

2 2

cos( 2 )

y= x+ ^π

5 1

2 cos

y = x 19、21、22、30、29、32、45 7

8 cos

y = x 11 1

╳ 3、9、14、15、39、42 6

2cos

y= ^π x

_{44 1}

cos

y = x 7 1

cos 2

y = x 18、23、25、27、28、40 6

cos

2

y = π x 2 1

cos

2

y = x 4 1

空白 16、20、41 3

五(十五) 將 y = tan x 改成週期為

2

π 之三角函數式

答案 學生編號 人數

tan

y = π x 42 1

tan 4

y = x 4、21 2

2

tan 2

y= x

44 1

tan

2

y =

^π

x 16、18、22、23、27、39、40 7

tan

2

y =

_π

x 3、17、38 3

2

tan

y =

^π

x 9、11、19、32、45 5

4 tan

y = π x 30 1

5

tan(

2

)

y = x +

^π

5 1

╳ 20、25 2

空白 34 1

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

例如：

五(三)將 y = tan x 改成週期為 2 之三角函數式，S38 的答案是

「 y = tan

¹₂

x 」。

五(七)將 y = sin x 改成週期改為 1

2 之三角函數式， S38 答案均為

「 y = sin 4 x 」。

五(十一) 將 y = cos x 改成週期為

2

之三角函數式，S38 的答案 是「

y=cos ₂²x

」。

五(十五) 將 y = tan x 改成週期為

2

π 之三角函數式，S38 的答案是

「 y = tan

_π²

x 」。

訪談 S38：

T：是怎麼樣想出這個答案來的？

S38：想說裡面把它乘進來會變成原來週期

……

T：嗯阿那個 2 是 1

2 對不對？乘以多少等於 2 π 這樣。然後 a 就等 於…4。阿沒有 π ？

S38： 嗯….消掉了吧。

T：為什麼會想到把 π 消掉？

S38：因為…本來就沒有了。

……

T：寫一遍 S38：(寫出

2 a

π × = π )….這時候把 π 想成 1。(參考下圖 4-1-11)

(3)其餘錯誤類型 例如：

S35 在五(三)將 y = tan x 改成週期為 2 之三角函數式的 答案為「 y = tan

_π²

x 」 ，在五(七) 將 y = sin x 改成週期改 為 1

2 之三角函數式的答案為「 y = sin

₄¹_π

x 」 ，在五(十一) 將 y = cos x 改成週期為

2

之三角函數式的答案為

π

【圖 4-1-11】

之三角函數式的答案是答對的。

他對於沒接觸過的數字類型處理的方式就是將原來的週 期除以所要改成的週期 a 再倒數來當作新的 x 係數。

S12 在五(三)、五(七)、五(十一)、五(十五)四個題目 中的答案分別為 y = tan

¹₂

x 、 y = sin 2 π x 、

y=cos ₂²

π

x

、

y=tan2x(正確答案)。該生的方式是先把所要改成的週期 a 倒數之後再乘以 π 。至於五(三)的答案是忘了把 π 寫上 去。

2. 與振幅控制的混淆

例如：將週期改為 a 便認為是直接將 a 乘上該函數。

S19、S45 在五(十五) 將 y = tan x 改成週期為 2

π 之三角函數

式的答案中回答「 y =

^π₂

tan x 」 。 3. 與水平平移控制的混淆

例如 S5 在五(三)、五(七)、五(十一)、五(十五)四個題目中的 答案分別為 y = tan( x + 4 ) π 、 y = sin( x + π ) 、

y=cos(x+^{2 2}₂^π)

、

5

tan(

2

) y = x +

^π

。

經訪談 S5 得知該生作答的原因是「4 π 為 2 倍週期；加 π 為週

期為

₂¹

倍。」

變換之電腦輔助補救教學之相關研究

以三角函數水平平移操弄試題來看，學生答題的錯誤答案整理如下表

【表 4-1-43】 ：

五(二) 將 y = cos x 改成往右平移 3 單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

(cos ) 3

y = x + 44 1

cos( 3)

y = x + 42 1

cos( x + 3) 30 1

cos( x − 3) 18 1

cos 3

y = x − 11、23、29、32、45 5

3

cos

2

y = x +

^π

39 1

五(六) 將 y = tan x 改成往左平移 1

2 ^{單位長之三角函數式}

答案 學生編號 人數

1

tan(

2

)

y = x − 23、42 2

1

tan( x −

2

) 30 1

1

tan

2

y = x + 11、29、32、45 4

1

(tan )

2

y = x − 44 1

1

tan(

4

)

y = x −

^π

39 1

五(十) 將 y = sin x 改成往右平移

2

單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

sin( 2)

y = x + ^{39、42 2}

sin( x + 2) ^{30 1}

(sin ) 2

y = x + ^{44 1}

sin 2

y = x − 11、29、34、45 4

╳ 3、25 2

空白 16、20 2

五(十四) 將 y = cos x 改成往左平移

2

π 單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

cos(

2

)

y = x −

^π

21、39、42 3

cos( x −

^π2

) 5、30 2

(cos )

2

y = x −

^π

2、44 2

cos

2

y = x +

^π

29、32、45 3

╳ 20 1

【表 4-1-43】

研究者整理歸納關於水平平移的操弄錯誤類型主要如下：

1. More A-More B 型：錯將 y=f(x)改成 y=f(x+a)認為是 y=f(x)向 右平移 a 單位；y=f(x)改成 y=f(x-a)認為是 y=f(x)向左平移 a 單位。

例如：

S42 在「五(二)將 y = cos x 改成往右平移 3 單位長之三角函數 式」中的答案為「 y = cos( x + 」。在「五(六) 將 3) y = tan x 改成往 左平移 1

2 單位長之三角函數式」中的答案為「 y = tan( x − 」。在

¹₂

)

「五(十) 將 y = sin x 改成往右平移

2

單位長之三角函數式」中的 答案為「 y = sin( x + 2) 」 。在「五(十四) 將 y = cos x 改成往左平 移 2

π 單位長之三角函數式」的答案為「 y = cos( x − 」。

^π₂

)

訪談 S42：

T ：我們看第五大題第二題，那麼這個 y=cosx 說要叫我們把它往右平移 3 個單位，那你作法就是…

S42：就是向右所以 x+3 T ：什麼加 3？

S42：x T ：x+3？

S42：嗯

T ：第六題的話把 tan 改成往左，所以…

S42：用減的 T ：x…

S42：減

2 1

T ：減

2

1 。然後第十題是類似的 S42：嗯

T ：第十題 sin 往右

2

你就是把

S42：x+

2

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2. 誤使用鉛直平移來控制

未能區分 y=f(x+a)和 y=f(x)+a 的差別。前者是將 y=f(x)在定義 域的 x 軸水平方向上的平移移動；後者是在值域 y 軸鉛直方向上 的平移移動。

例如：

S44 在「五(二) 將 y = cos x 改成往右平移 3 單位長之三角函數 式」的問題中回答「 y = (cos ) 3 x + 」。在「五(六) 將 y = tan x 改 成往左平移 1

2 單位長之三角函數式」的問題中回答

「 y = (tan ) x − 」。在「五(十) 將

¹₂

y = sin x 改成往右平移

2

單 位長之三角函數式」的問題中回答「 y = (sin ) x + 2 」 。在「五(十 四) 將 y = cos x 改成往左平移

2

π 單位長之三角函數式」的回答是

「 y = (cos ) x − 」。

^π₂

訪談 S44

T ：第五大題的水平平移還有問題要問你喔，那個第五大題的四小題，他 說往下平移 3 單位，那你的答案就是把 y 變成 y-3，你是怎麼想的你大 概想一下。

S44：就是因為他那個整個把它往下移 3 單位啊，

T ：你的策略是什麼？

S44：頭先先減 3 到後面就會自然就會跟著減 3 單位了。

又 S29、S45 在五(二)、五(六)、五(十)、五(十四)的答案分別 為「 y = cos x − 」、「 3 y = tan x + 」、「

¹₂

y = sin x − 2 」 、

「 y = cos x + 」。

^π₂

3. 習慣性將水平方向上「1 單位」是必須由π 表示。

例如：

訪談 S39

T:…第五頁，這裡往右平移 3 單位。

S39:往右平移應該是 π 除以．．．．

π

S39:咦，為什麼我會這麼寫 3 2

π ，好奇怪。

………

T：你回想一下該怎麼寫。你當時在第(二)題寫ｘ＋ 3 2

π 。

S39:那時我應該想一單位長就等於π ２才對。

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以三角函數鉛直平移操弄試題來看，學生答題的錯誤答案整理如下表

【表 4-1-44】 ：

五(四)將 y = sin x 改成往下平移 3 單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

sin 3

y = − 23 1

sin( 3)

y = x − 11 1

sin 3

y = x + 5、45 2

3 sin

y − = x 40、44 2

空白 30 1

五(八) 將 y = cos x 改成上移 1

2 ^{單位長之三角函數式}

答案 學生編號 人數

1 1

2 2

cos( )

y = x + + 17 1

1

cos

2

y = + 4 1

cos( x + 2 ) π 30 1

1

cos(

2

)

y = x + 21、20 2

cos 1

y = x + 18 1

cos 1

y = x − 2 45 1

1

2

cos

y + = x 25、44 2

1

2

sin

y + = x 40 1

五(十二)將 y = tan x 改成往下平移

2

單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

tan 2

y = x − 16 1

tan( 2)

y = x − ^{11、21 2} 2 tan

y − = x 18、25、40、44 4

tan 2

y = x + ^{45 1}

╳ 3、32 2

空白 20、30 2

五(十六)將 y = sin x 改成往上平移

2

π 單位長之三角函數式

答案 學生編號 人數

sin(

2

)

y = x +

^π

11、21 2

sin

2

y = x −

^π

45 1

sin 2

y = x 29 1

2

sin

y + =

^π

x 25、40、44 3

空白 20、30 2

【表 4-1-44】

研究者將關於鉛直平移的操弄錯誤類型主要如下：

1. 位移方向相反

(1) 使用 y=f(x)+a 的方式平移但錯誤者 例如：

S45 在 「 五(十六)將 y = sin x 改成往上平移

2

π 單位長之三角函數式 」

中回答「 y = sin x − 」。

^π₂

(2) 使用 y-a=f(x)的方式平移但錯誤者 例如：

S40、S44 在「五(十六)將 y = sin x 改成往上平移 2

π 單位長

之三角函數式」的回答為「 y + =

^π₂

sin x 」 。 訪談 S44：

T：這邊的問題是要你把它用 sin 的圖形來表示。

S44：對啊。我就是跟那個之前ㄧ樣，認為他是要往上移 T：你看到的是認為是往上移動 1 個單位是吧？

S44：對啊。

T：所以你的答案就把 y 變成 y+1 就對了？

S44：對啊。

2. 誤用水平平移控制變項 例如：

S11、S21 在「五(十六)將 y = sin x 改成往上平移 2

π 單位長

之三角函數式」中回答為「 y = sin( x + 」。

^π₂

) 訪談 S21：

T ：題目像第五大題第八題往上平移

2

1 ，那你的話就是把 x 變 x+

2 1 。這是 你答案嘛。阿如果第十二題說往下移

2

，你就是 x 改 x-

2

。這是你 的答案嘛對不對。

S21：嗯。

T ：阿往上

2

π 你就寫 x+

2

π ，這是你的答案嘛。

S21：嗯

T ：好我問你，你為什麼會這樣寫？

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S21：我不知道我那時候…

T ：好啊，沒關係就想說可能那時候你是怎麼想的。

S21：想說他會往上平移吧。然後就這樣寫了。

T ：就這樣寫？

S21：對

T：就是把它改成比如說 sin 的話把改成往上平移

2

π ，就寫成 y=sin(x+

2 π )對

不對？

S21：嗯。

3. 誤用週期控制變項 例如：

S29 在「五(十六)將 y = sin x 改成往上平移 2

π 單位長之三

角函數式」中回答為「 y = sin 2 x 」 。

關於第六大題對於一個函數給予兩種操弄(複合變換)，對於學生的錯 誤答案研究者整理如下表【表 4-1-45】~【表 4-1-51】 ：

六(一)、先將 y = sin x 振幅改成為 2 單位長，再往左平移 1 單位長

答案 學生編號 人數 備註

2 sin( 1)

y = x + 3、6、7、8、9、12、14、15、16、17、22、

24、25、27、28、29、31、33、34、35、36、

37、38、41

27 ˇ 2 sin( 1)

y = x − 39 1

sin( 1)

y = x + 21 1

sin( 1) 1

y = x + + 40 1

sin( 1)

y = x − 42 1

2 sin 1

y = x + 10、23、26 3 2 sin 1

y = x − 2、20、44 3 )

1 (sin 2 +

= x

y 32 1

sin(2 1)

y = x + 11、19 2

sin 2 1

y = x + 45 1

(sin 1)2

y = + x 18 1

sin(2 x + 1) 30 1

【表 4-1-45】

【表 4-1-46】

六(二)、先將 y = sin x 往左平移 1 單位長，再將振幅改成 2 單位長

答案 學生編號 人數 備註

2 sin( 1) y = x +

3、6、7、8、9、10、12、14、15、16、17、

22、24、25、26、27、29、31、33、34、35、

36、37、38、41

28 ˇ sin 2( 1)

y = x + 28 1

sin( 1) 2

y = x + 19 1

2 sin( 1)

y = x − 39 1

sin( 1) 1

y = x + + 40 1

sin( 1)

y = x + 21 1

sin( 1)

y = x − 42 1

2 sin( 1)

y = x − 20 1

(sin 1)2

y = x + 32、45 2

sin( 1)

2

y = x + 11 1

2(sin 1)

y = x − 2 1

2 sin 1

y = x + 23 1

2 sin 1

y = x − 44 1

sin

y = 18 1

sin 2( x − 1) 30 1