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2.3 下游競爭市場階段
設下游廠商皆生產同質產品，生產成本皆為中間財價格c。
第i 家下游廠商 D 的目標函數為
max𝜋𝐷𝑖
𝑞𝑖 = max
𝑞𝑖 (𝑃 − 𝑐)𝑞𝑖，∀𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} (5)
以上N 條目標式同時對最終財產量 qi 一階偏微分並聯立求解，由於所有下 游廠商目標函數對稱，故可得
1 − (n + 1)q − c = 0 (6)
也就是說，每家下游生產的產量為
q = 1 − 𝑐
𝑛 + 1 (7)
而總產量為下游廠商水平加總而得
Q = (1 − 𝑐)𝑛
𝑛 + 1 (8)
P = 1 −(1 − 𝑐)𝑛
𝑛 + 1 (9)
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因為上游賣的中間財都會被拿來作成最終財，所以上游產量會等於下游總產 量，滿足市場結清條件。
由(8)、(15)聯立求解可以解出中間財價格 c
c = −−tn − t + tθn + tθ + 1 + nβ − nθ − nθβ − 2θ
n − nβ + nθ + nθβ + 2θ (16)
將(16)代入(7)、(8)、(9)可得
q = 1 − t + tθ
n − βn + nθ + nθβ + 2θ (17)
Q = (1 − t + tθ)n
n − βn + nθ + nθβ + 2θ (18)
P =−βn + nθ + nθβ + 2θ + tn − tnθ
n − βn + nθ + nθβ + 2θ (19)
將(16)、(17)代入(11)、(5)
𝜋𝑈 =(−1 − nβ + nθ + nθβ + 2θ)(1 − t + tθ)2n
(n − βn + nθ + nθβ + 2θ)2 (20)
π𝐷 = (1 − t + tθ)2
(n − βn + nθ + nθβ + 2θ)2 (21)
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整理可得
0 ≤ 𝑡 ≤ 1 1 − θ∗
(26)
所以可以得知t 值的上界為(25)與(26)中較小的值，令其為𝑡̅
𝑡̅ = min { 1 1 − θ∗,1
2
(𝑛 + 𝑛β + 2)2
(1 + 𝑛)(𝑛β + 3𝑛 + 4)} ，𝑡̅ ≤ 1 (27) 比較之後，t 的界線為(25)式所示。由此可以推得β的範圍，如圖 1。
圖 1 β 的範圍
我們推得β 的合理範圍為β ∈ [−√5 , √5 ]，之後帶回總產量檢視，發現在 β ≥ 1時總產量會是負的，代表下游廠商不會生產反而會買進最終財，沒有討論 的意義。也就是說，β 的範圍可以再縮為[−√5 , 1)。當β ∈ [−√5 , 1)時，
𝑡 ∈ [0,12 (𝑛+𝑛 √5+2)
2
(1+𝑛)(𝑛 √5+3𝑛+4)] 且0 ≤ θ∗ ≤ 1。(詳細證明請見 A.1)
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3.1 對應政府目標的民營化決策
定理一：當政府偏重消費者時，即使有些許民股釋出都比全公營好；當政府 偏重廠商時，民營的比例會升高到一定程度時跳至全民營。
<證明>
我們可以從政府偏好對民營化比例的一階偏微分看出，當政府越在乎消費者，
民營的比例會越低。
∂θ∗
∂β = −n(n + 1)3nβ + 2tnβ + 6 − 8tn − 6t − 3Ψ + 3n
Ψ(n + nβ + 2)2 < 0 (28) 其中Ψ = √−(𝑛𝛽 + 4𝑡𝑛𝛽 + 2 + 𝑛 − 2𝑡 − 6𝑡𝑛)(−𝑛𝛽 − 2 − 𝑛 + 2𝑡 + 2𝑡𝑛)
然而，不是所有β ∈ [−√5 , 1)所對應到的最適民營比例皆為一對一關係。
由圖 2 可以見得，在某些 β、t、n 的組合中，極大政府目標的民營比例並 非 單 調 遞 增 ， 可 以 得 到 不 只 一 個 解 。 一 部 民 營 化 的 解 為 區 域 極 大 值(local maximum)，而全域極大值(global maximum)則 θ 更大的地方，受限於0 ≤ θ ≤ 1 可得邊境解(boundary solution)𝜃 = 1。依據不同的 t、n 組合，我們可以找到一 個對應的𝛽𝑗𝑢𝑚𝑝作為分段點，當β ≤ 𝛽𝑗𝑢𝑚𝑝時，𝜃 = 1，其中
𝛽𝑗𝑢𝑚𝑝 =−𝑛 + 𝑡𝑛 − 2 + 𝑡 + √𝑡(𝑛 + 1)2(4 + 𝑡) 𝑛
( 29)
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圖 2 不同民營化比例對應的政府目標
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圖 3 對應政府目標的民營化決策
圖 3 中，β 越小，θ 會跟著提高到一個值之後跳到 1。代表政府越是在乎廠 商的利潤，民營的比例就會隨之增加，到一定程度後就會全民營。在β ≤ 𝛽𝑗𝑢𝑚𝑝時，
一部民營與全民營可以達到一樣的政府目標，但是全民營的總產量為獨占廠商利 潤極大化的產量，必小於一部民營化的產量。當總產量小時廠商會以高價賺取較 高的利潤，但是消費者剩餘會減少，而此時政府在乎廠商剩餘消費者，所以會以 全民營作為最適決策。
而向右延伸的部分，當β 越接近 1，θ 會漸進但不會等於 0。代表不論政府 有多在乎消費者，有一點點的釋股都會比全公營來的更好。因為有釋股就可以降 低上游生產成本。而總產量也會隨之增加甚至生產過剩(Q > 1)，是因為政府著 重消費者剩餘，當(1+β)CS 尚可蓋過無謂損失時，政府會不惜以中間財價格為負 這樣的補貼方式讓下游廠商願意生產，使市場繼續存在。
對於一部民營恆大於全公營的論述，我們以輔理一解釋之。
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24 圖 4 當 n=8,β=0.5,t=0.18 時，Q 大於 1
3.2 政府效率(t)對民營化比例的影響
定理二：當公營效率較低時，民營的比例會升高。
<證明>
∂θ∗
∂t
=
2𝑡𝑛𝛽+𝑛𝛽+𝑛−4𝑡𝑛−2𝑡+22𝑡2√−(𝑛𝛽+4𝑡𝑛𝛽+2+𝑛−2𝑡−6𝑡𝑛)(−𝑛𝛽−2−𝑛+2𝑡+2𝑡𝑛)
−
12𝑡2
> 0
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25 圖 5 固定 n=4，變動 t
由圖 5 可以看見，給定 β 與 n，t 越大，θ 越大。當公營效率較低時，民營 的比例會升高。我們也注意到，t 越大，θ 跳到 1 的值越小(表 3)。由政府的效 率來看，越沒有效率的國營結構會導致更快進入全民營。反之，當t 很小，政府 又很在乎廠商利潤(β 小)時，全民營是自然發生的結果。因為只要t ≠ 0，民營化 上游成本恆高於全民營，所以即使政府很有效率，上游還是會全民營。也就是說，
在乎廠商的利潤就是在乎效率，而全民營就是效率最高的時候。
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t 𝛽𝑗𝑢𝑚𝑝 θ*
0.15 -.3263 1.0000
0.18 -.1907 .8271
0.2 -.1044 .6261
0.21 -.0622 .5457
0.215 -.0413 .5096
表 3 給定 n=4 不同 t 下的分段點與最適民營比例
3.3 下游競爭程度(n)對民營化比例的影響
定理三：由於上游的效率會間接影響最終市場(pass through)，最適民營比 例與下游競爭程度為互補。
<證明>
∂θ∗
∂n = (1 − 𝛽)3𝑛𝛽 + 2𝑡𝑛𝛽 − 6𝑡 + 6 − 8𝑡𝑛 − 3𝛹 + 3𝑛
𝛹 ∙ (𝑛 + 𝑛𝛽 + 2)2 > 0 (36)
其中Ψ = √−(𝑛𝛽 + 4𝑡𝑛𝛽 + 2 + 𝑛 − 2𝑡 − 6𝑡𝑛)(−𝑛𝛽 − 2 − 𝑛 + 2𝑡 + 2𝑡𝑛)
公營上游對下游而言有兩個層面，一方面降低中間財價格，另一方面增加總 產量。我們進一步細看政府的分配，表 4。當下游很競爭的時候，廠商對於最終 財價格的議價能力減弱，上游所訂定的中間財價格成為影響最終財價格最主要的 因素，而中間財價格則是受到上游成本的主宰。為了下游仍然有利潤，政府讓上 游全民營，雖然產量減少、價格上升，但是也消除了上游的成本。
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β θ* UG (1+β)CS PS π𝑈 π𝐷
n=4
0.2 0.0721 0.426 0.4891 -0.0631 -0.2669 0.0510 0.1 0.1149 0.3813 0.3309 0.0505 -0.0999 0.0376 0 0.1877 0.3469 0.2219 0.1250 0.014 0.0277 -0.1 0.3305 0.3208 0.1425 0.1782 0.099 0.0198
n=5
0.2 0.0841 0.4269 0.4791 0.0429 -0.2119 0.0510 0.1 0.1375 0.3827 0.3207 0.1333 -0.0547 0.0376 0 0.2342 0.3490 0.2108 0.1926 0.0539 0.0277 -0.1 0.4597 0.3245 0.1272 0.2397 0.1407 0.0198
n=8
0.2 0.1091 0.4286 0.4608 -0.0322 -0.1282 0.012 0.1 0.1877 0.3854 0.3014 0.0844 0.0156 0.0086
0 0.3556 0.3537 0.1873 0.1668 0.1196 0.0059 -0.1 1 0.3358 0.0889 0.2469 0.2222 0.0031
表 4 給定 t=0.18 在最適民營化比例下的社會福利分配比較
圖 6 固定 t=0.18 變動 n
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給定 β，n 越大，θ 越大。當下游家數增加時，民營的比例會升高。這是因 為上游的成本會反應到中間財的價格，進而影響下游所面對的最終財價格。而民 營比例與上游成本為反向關係，當下游競爭程度高，廠商為價格接受者時，上游 的成本幾乎成為最終財價格的主要成分(pass through)，為了極大政府目標，上 游民營化比例決策與上下游競爭程度為互補性。
這樣的結論與Wen and Yuan (2010)所提到的上下游競爭程度具替代關係看 似矛盾，但在模型設定的背景上有很大的不同。Wen and Yuan 的設定是上游有 公營出售的n 家廠商進行數量競爭；本研究則只有一家獨占民營化廠商，以調高 民營化比例來降低成本的方式改變效率。下游的部分，Wen and Yuan 與上游的 設定相同；而本模型設定為n 家民營廠商進行數量競爭。也就是說，Wen and Yuan 的模型讓政府於上、下游兩端皆可做競爭程度的調配，但在本模型中政府唯一的 手段就是改變上游民營化比例以影響整個垂直相關市場，因而得出與 Wen and Yuan 不同的結論。若是以無謂損失的角度來看的話，獨占上游為公營時因為會 多生產所以無謂損失較民營小，與增加上游廠商競爭程度的效果是相同的，所以 Wen and Yuan 的競爭程度替代與本模型並不衝突。
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從表 6 可以看出，下游競爭程度影響民營化的比例變動不是很大，但是在 分段點會隨著競爭程度越高而越大。也就是說，影響分段點之民營比例的主力為 政府的效率(t)，下游廠商的家數則是與政府的偏好(β)呈正向關係。
N 𝛽𝑗𝑢𝑚𝑝 θ*
3 -.2701 .8271
4 -.1907 .8271
6 -.1113 .8271
8 -.0717 .8271
20 -.0002 .8271
表 6 給定 t=0.18 不同 n 下的分段點與最適民營比例
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4 結論
實務上，具獨占性質的公營廠商大多為一部民營化。其理由除了國安考量，
還有政府有選票壓力，施政上必須偏向消費者，不能讓基本民生物資短缺。這也 是為什麼Matsumura (1989) 讓β ≥ 0，在此段區間中，除非下游競爭程度很高，
否則效率不彰的公營廠商都應一部民營化。另一方面，利益團體會去向政府遊說，
希望政府多扶持廠商成長，使政策偏向廠商(β < 0)，高度民營化即會是必然的 結果。
本研究提供一套垂直相關市場中上游獨占公營廠商決定最適民營化比例的 決策架構及分析。對於效率較為不彰的公營廠商時，民營化的比例應當升高。當 下游廠商家數多時，應增加民股的釋出，且即使比較在乎消費者也不能排除完全 民營的可能。若是政府在政策偏好上較為偏重消費者，即使有些許民股釋出都比 全公營好；而當政府偏重廠商時，民營的比例會升高到一定程度時轉為全民營。
回到緒論中義大利自來水的案例， Asquer 分析包含了政府與財團的目標考 量、法規以及網絡擴散機制(Mechanism of Network Diffusion)，認為一部民營化 與歷史因素、制度環境以及民營化的政策演進環環相扣。與本研究所得出的影響 民營化比例之結果可以互相印證。
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1 2
(𝑛 + 𝑛β + 2)2
(1 + 𝑛)(𝑛β + 3𝑛 + 4)≤ 1 (49) 解得
β = −1 + √5(n + 1)
n or −1 − √5(n + 1) n
由此可以推得β 的範圍，β ∈ [−√5 , √5 ]。
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Asquer, A. 2014.Explaining Partial Privatization of Public Service Provision: The Emergence of Mixed Ownership Water Firms in Italy (1994-2009). Annals of Public and Cooperative Economics 85, 11-30.
De Fraja, G. and Delbono, F. 1989. Alternative Strategies of a Public Enterprise in Oligopoly. Oxford Economic Papers 41, 302–311.
Gupta, N. 2005. Partial Privatization and Firm Performance. The Journal of Finance, 987-1015.
Han, L. and Ogawa, H. 2009. Partial Privatization, Technology Spillovers, and Foreign Ownership Restriction. Rurds, 37-49.
Heywood, J. S. and McGinty, M. 2011. Cross-border Mergers in a Mixed Oligopoly.
Economic Modelling 28, 382–389.
Jain, R. and Pal, R. 2012. Mixed Duopoly, Cross-ownership and Partial Privatization, J Econ 107, 45–70.
Lin, C. and Su, D. 2008. Industrial Diversification, Partial Privatization and Firm Valuation: Evidence from Publicly Listed Firms in China. Journal of Corporate Finance 14, 405–417.
Matsumura, T. 1998. Partial Privatization in Mixed Duopoly. Journal of Public Economics 70, 473–483.
Okuguchi, K. 2012. General Analysis of Cournot Mixed Oligopoly with Partial Privatization. Eurasian Economic Review, 48-62.
Wen, J and Yuan, L. 2010. Optimal Privatization of Vertical Public Utilities.
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36
Canadian Journal of Economics 10,816-831.