第四章 結果
第四節 不同分組方法對於分組 GEE 估計結果的影響
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散佈圖，觀察兩種方法估計結果的關聯性，結果如下圖:
圖 4-3 中藍色線為迴歸直線，紅色線為y = x之對角線，從圖中可看出各區間 下兩種方法的估計值有明顯的正相關，且相關係數皆在 0.93 以上，另外，圖上的 點越靠近紅色線代表兩種方法的估計值越接近，當𝜃𝜃越大，估計的點大多落在對 角線(紅色線)下方，表示此時 SCORIGHT 的估計值較 GEE 小，而當𝜃𝜃越小，估 計的點則大多落在對角線(紅色線)上方，表示此時 SCORIGHT 的估計值較 GEE 大。綜合以上所述，使用兩種方法估計，受試者間的相對關係(排名)是非常接近 的，而 SCORIGHT 的估計值與 GEE 相比，有往𝜃𝜃 = 0的位置集中的趨勢。另外 值得注意的是，在第三章中提到進行 GEE 估計時為了處理極端和不收斂的估計 值，事先設定了𝜃𝜃�上下界，因此會出現許多估計值剛好落在 2.5 和-2.5 的情形。。
第四節 不同分組方法對於分組 GEE 估計結果的影響
在前一節中針對了 9 個定點的𝜃𝜃值進行作答結果的模擬，但在實際的考試中，
受試者的能力分布會是接近連續的，因此本節探討了在考生能力值𝜃𝜃呈常態分配 圖 4- 3、不同能力值下使用 GEE 和 SCORIGHT 估計值之散布圖
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下，使用分組 GEE 與多階段分組 GEE 來改善工作相關矩陣的估計，其對於估計 能力值𝜃𝜃的影響，並以下述情境進行電腦模擬:
考試共有 60 道題目，以 5 題為一題組，題組結構設定為 AR1，題目間相關係數 為 0.3，從標準常態分配產生 10700 個亂數當作考生之真實能力參數，但因為電 腦模擬的限制，必須將絕對值大於 2 的值刪除，並控制受試者在 10000 人，方便 比較多次實驗的結果。
在分組 GEE 方面，首先以假設題目間互相獨立的工作相關矩陣(即使用對角 矩陣)，和不分組，使用全體作答結果作為工作相關矩陣的估計結果作為對照組；
在分組 GEE 方面，則比較了將受試者分為 5 組(每組 2000 人)、10 組(每組 1000 人)、20 組(每組 500 人)及 40 組(每組 250 人)對於估計效果的影響，其中又依分 組方式分為兩種情形:
1.以真實值分組:
將受試者的真實能力參數𝜃𝜃，依大小排序後分組估計工作相關矩陣，再進行 GEE 的估計，舉例來說，若將受試者分為 5 組，則會以組內 2000 人的作答結果 之相關係數矩陣，作為 GEE 的工作相關矩陣。
2.以估計值分組:
由於在實際情況中，我們無法得到受試者的真實能力參數，因此必須以𝜃𝜃�取 代𝜃𝜃作為分組依據，作法為將全體受試者進行一次不分組的 GEE 估計後得到估計 的能力值𝜃𝜃�，在將估計的能力值依大小排序後分組估計工作相關矩陣。
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上述之模擬及估計流程將重複 20 次，並將 20 次的結果取平均，以檢驗估計 結果的穩定性，並將結果以折線圖及長條圖呈現，結果如下:
圖 4- 5、不同分組 GEE 方法，估計結果的平均 MSE 比較
圖 4-4 以 1000 位受試者為一個區間，呈現各個方法在不同能力區間下的估 計結果，在水平軸上的值為該區間下受試者能力值之中位數，從圖中可看出不同 的分組方法，有相同的估計趨勢，即改變分組方法會造成整體的 MSE 下降或上 升。圖 4-5 顯示在以真實能力參數𝜃𝜃分組的情況下，將受試者分為越多組，其 MSE 也會隨之下降，這反映了在分組階段，如果能將受試者分的越好，即將能力值接 圖 4- 4、不同分組 GEE 方法在各能力區間下，估計結果的 MSE
0.2784
0.2678
0.2669 0.2669 0.2668 0.2665 0.2676 0.2671 0.2669 0.2684
0.2600 0.2620 0.2640 0.2660 0.2680 0.2700 0.2720 0.2740 0.2760 0.2780 0.2800
MSE
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-1.48 -0.99 -0.65 -0.38 -0.14 0.11 0.36 0.64 0.97 1.46
不分組 500_1st 500_2nd 500_3rd
1000_1st 1000_2nd 1000_3rd
圖 4- 7、多階段分組 GEE 方法在各能力區間下，各階段估計結果的 MSE
不分組 500_1st 500_2nd 500_3rd 1000_1st 1000_2nd 1000_3rd
MSE
圖 4- 7、不同的多階段分組 GEE 方法，各階段估計結果的平均 MSE 比較 圖 4- 6、多階段分組 GEE 方法在各能力區間下，各階段估計結果的 MSE
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圖 4-6 以 1000 位受試者為一個區間，呈現各個方法在不同能力區間下的估 計結果，在水平軸上的值為該區間下受試者能力值之中位數，從圖中可看出每次 迭代對於各能力區間的 MSE 有一致的影響。圖 4-7 中符號前面的數字代表估計 相關矩陣時所用的人數，後面的數字代表迭代階段數，例如 500_2nd 代表依據 𝜃𝜃�(1)，以鄰近 500 人的作答結果估計工作相關矩陣，進行第 2 次迭代的結果；
1000_3rd 則代表依據𝜃𝜃�(2)，以鄰近 1000 人的作答結果估計工作相關矩陣，進行 第 3 次迭代的結果。由圖 4-7 中可看出，使用鄰近 500 人與鄰近 1000 人兩種分 組人數，在進行第 2 次迭代時，其 MSE 皆較第一次有明顯的降低，但進行第 3 次迭代的 MSE 卻沒有再繼續降低，反而有些微的增加，顯示多階段分組 GEE 的 估計效果的並不會隨著迭代次數增加而持續改善。