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第二章 文獻回顧
第一節 試題反應理論(Item Response Theory, IRT)
試題反應理論為現代測驗理論的基礎，IRT 的核心概念為受試者在試題上的 反應(作答)情形，可透過一潛在特質加以解釋及預測，並將潛在特質與反應情形 兩者之間的關係以數學模式來表達，即試題特徵曲線(Item Characteristic Curve)，
如圖 2-1 所示。
以二元反應模式為例，較常見的有以下三種模式。
1.三參數對數(3-PL)模式:
𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 1|𝜃𝜃, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐) = 𝑐𝑐 + (1 − 𝑐𝑐) 𝑒𝑒𝑎𝑎(𝜃𝜃−𝑏𝑏) 1 + 𝑒𝑒𝑎𝑎(𝜃𝜃−𝑏𝑏) 2.雙參數對數(2-PL)模式:
𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 1│𝜃𝜃, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑒𝑒𝑎𝑎(𝜃𝜃−𝑏𝑏) 1 + 𝑒𝑒𝑎𝑎(𝜃𝜃−𝑏𝑏) 3.單參數對數(1-PL)模式，又稱作 Rasch model:
𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 1│𝜃𝜃, 𝑏𝑏) = 𝑒𝑒(𝜃𝜃−𝑏𝑏) 1 + 𝑒𝑒(𝜃𝜃−𝑏𝑏)
其 中𝜃𝜃 表 示 受 試 者 能 力 值 、 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 分 別 為 鑑 別 度 、 難 度 及 猜 測 度 ， 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 1|𝜃𝜃, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐)表示受試者在給定能力值𝜃𝜃與試題參數(𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐)下，答對該題的 機率。本次研究主要使用 2-PL 模式進行資料的模擬與參數估計，此模式亦可視 為三參數對數模式在 c=0 下的特例。
由圖 2-1 可看出不同試題參數對於 ICC 的影響。
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圖 2- 1、不同難度與鑑別度參數下的試題特徵曲線
根據余民寧 (1992)對於試題反應理論的整理和介紹，IRT 有下列基本假設:
一、單向度(Unidimensionality)
單向度假設指的是同一份測驗中的所有題目都是在測量同一種潛在特質，本 次研究方法的探討皆建立在單向度的假設之下，即針對共同的能力值𝜃𝜃進行估計。
二、局部獨立性(Local Independence)
局部獨立性意指在給定𝜃𝜃之下，題目間的作答情形是互相獨立的，因此在傳 統 IRT 的假設下，可透過將各題的試題反應函數(Item Response Function)相乘來 得到概似函數，並估計受試者能力值。
三、非速度測驗
速度測驗旨在測量個體反應速度的測驗形式，一般而言，此類測驗的試題難 度通常較低，但時間會有嚴格的限制，例如智力測驗，因此非速度測驗指的是受 試者的答對或答錯該試題只會受到自身的能力影響。
四、知道-正確假設
受試者若知道該題答案，則必然會答對該試題，即不考慮人為疏忽，例如粗 心或外在環境干擾，此假設與單向度假設有著類似的意涵。
第二節 題組反應理論(Testlet Response Theory, TRT)
在前一節中提到，由於 IRT 中有局部獨立性的假設，因此在針對具有題組結
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(Reliability)(Sireci, Thissen, & Wainer, 1991; Wainer & Thissen, 1996; Yen, 1993)，題組反應模型即是為了處理題組效果所衍生出來的模式，以 2-PL 模式為例，在 次測驗通過的可能性(Wainer et al., 2007)，除此之外，給予各參數事前分配的假 設也能避免在進行參數估計時出現不收斂的結果，例如受試者答對或答錯全部的
第三節 廣義估計方程式(Generalized Estimation Equation, GEE)
GEE 可以視為廣義線性模型(Generalized Linear Model, GLM)的延伸應用，
廣義線性模型為透過連結函數(link function)建立解釋變數的線性組合𝑋𝑋𝑖𝑖𝑇𝑇𝛽𝛽與不同
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GEE 首先由 Liang and Zeger (1986)提出，其克服了傳統廣義線性模型中觀察 值必須相互獨立的限制。一般而言，對於具相關性的資料，概似函數很難以 explicit form 的方式來描述，但 GEE 是一種類概似(Quasi-Likelihood)的估計方法，
在方程式中僅假設了依變項的一階與二階動差(moment)，因此不需要設定觀察值 的聯合分配，僅須透過工作相關矩陣(working correlation matrix)去設定資料間的 相關結構即可，但即使選擇了錯誤的相關係數矩陣，雖然會降低估計的有效性 (efficiency)，𝛽𝛽̂仍為一致性(consistent)的估計量且服從漸進常態分配。
GEE 欲估計的參數為下列方程式的解:
U = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖𝑉𝑉𝑖𝑖−1(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝑖𝑖) = 0 (2) 上述方程式又稱為 quasi-score equations。而矩陣𝑉𝑉𝑖𝑖可以表示為
𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑖𝑖1/2𝑅𝑅𝑖𝑖𝐴𝐴1/2𝑖𝑖 𝜙𝜙
其中𝐴𝐴𝑖𝑖為對角矩陣，對角線元素為var(𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖)，𝑅𝑅𝑖𝑖為觀察值𝑦𝑦𝑖𝑖間的相關係數矩陣，𝜙𝜙 為常數。
(2)式中的解必須透過迭代方法來得到，首先給予𝑅𝑅𝑖𝑖和𝜙𝜙一個起始值並解得𝛽𝛽，
之後得到配適值𝜇𝜇̂𝑖𝑖 = 𝑔𝑔−1(𝑋𝑋𝑖𝑖𝑇𝑇𝛽𝛽)並計算殘差𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝜇𝜇̂𝑖𝑖，接下來便能利用殘差估計𝐴𝐴𝑖𝑖、 𝑅𝑅𝑖𝑖和𝜙𝜙，並透過新的估計值重新解(2)的方程式直到收斂(Dobson & Barnett, 2008)。
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